流体力学8
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v(v n)dA F
CS
上式为对固定不变形控制体的定常流动动量方程，
该式表明: 定常流动中作用在 控制体上的合外力等于从控制 面净流出的动量流量（见图）
B4.4.1 固定控制体 沿流管的定常流动
图示为一维流管控制体，出入口截面为A1, A2，平均速度 为 V1, V2，净流出流管的动量流量为
结果相似
B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.5.1 固定的控制体
设( r,t ) ( r v )，r为从原点到流体元的矢径，v为流体元 的速度。由系统广延量定义，流体系统的动量矩为
Lsys
r vd
sy s
根据动量矩定律，流体系统的动量矩方程为：
dLsys d r vd M
dt dt sys
例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响
已知:一车厢以Ve 15m / s 的速度做匀速直线运动，一般由固 定喷管流出的自由射流沿车厢前进方向冲入固结于车厢上的 导流片，水流截面积 A1 40cm2，速度 V 45m/ s，水流沿导流 片偏转一角度 θ 后流出，忽略质量力和粘性影响。 求：射流对固定导流片的冲击力F 与 θ 的关系。
（a）
∑M为作用在流体系统上的合外力矩。
B4.5.1 固定的控制体
如图，在流场中取固定不变形的控制体 CV，控制面为CS。设在 t 时刻流体系统 与控制体相重合，利用输运公式，可得 系统动量矩在控制体上的随体导数：
V 2 z p H 常数（沿总流）
2g
该式表示无粘性不可压缩流体作定常流动时单位质量流体沿总流 机械能守恒，该式是水力学中常用的形式。
如图，在水力学中：
V2 2
速度水头
H
总水头
z
位置水头 z p
测压管水头
p
g
g
压强水头
将相应的水头高度连成线称为水头线。水面线为测压管水头线， 总水头线保持定值。
m&r m&r1 m&r2 Qr Vr A
(103 kg / m3)(30m / s)(40104 m2) 120kg / s
作用在控制体上的外力为 ，由动量方程
m&(Vr2 Vr1) F 或 F Vr A(Vr1 Vr2 )
Fx Vr A(Vr Vr cos ) Vr2 A(1 cos ) (120kg / s)(30m / s)(1 cos ) 3600(1 cos )
Fy Vr AVr sin Vr2 Asin 3600sin
例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响
作用力大小和方向
F Fx2 Fy2 3600 2(1 cos )
（a）
arctg(Fy / Fx ) tg1[sin / (1 cos)]
（b）
讨论：计算结果表明与例B4.4.1C相比，除了冲击 力减小外，其余结果相似，相当于用绝对速 度 v=30m/s，冲击固定导流片情况一样。
t
CV vrd
CS vr (vr n)dA
F
上式为匀速运动控制体的流体动量方程。 当流动为定常时：
CS vr (vr n)dA F
B4.4.2 匀速运动控制体
如下图，对具有多个一维出入口的控制体中的定常流动：
(m&rvr
) out
(m&rvr
) in
F
式中：m&r 为运动坐标系中的质流量
这里 m&1, m&2 ，为出入口质量流
量大小，式中负号是因为入口端 的(vn) < 0。
B4.4.1 固定控制体
运用可压缩流体定常流动连续性方程
由动量方程可得
m1 m2 m
m(V2 V1 ) F
上式称为沿流管的定常流动动量方程或一维定常流动动
量方程。
它表明: 流出流管的动量流量减去流入流管的动量流量 等于作用在流束上的合外力。
主讲教师：宗 智 孙雷
船舶工程学院
B4 积分形式的基本方程
B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B4.3.3 伯努利方程的水力学意义
沿总流的伯努利方程可改写为：
设( r ,t ) v ，流体系统的动量为
psys
vd
sys
根据牛顿第二定律
dpsys d vd F
dt dt sys
上式称为流体系统的动量方程，F 为作用在流体系统
上的合外力。
B4.4.1 固定控制体
如下图，在流场中取固定不变形 的控制体CV，控制面CS。
设在 t 时刻，流体系统与控制体相重 合，利用输运公式可得系统动量在控 制体上的随体导数：
B4.4.1 固定控制体 在具有多个一维出入口的控制体上的定常流动
当控制面上有多个一维出入口时，由不定常流动动量 方程可得：
(miVi )out (miVi )in F
式中：out代表是出口，in代表是 入口， 应满足连续性方程要求。
B4.4.2 匀速运动控制体
当控制体作匀速运动时，固结于控制体上的坐标系 仍是惯性系。 令 vr， vr为运动坐标系中的相对速度。由动量定律 和输运公式可得
dpsys D vd vd v(v n)dA
dt Dt sys
t CV
CS
设在 t 时刻，作用在流体系统上的合外力与作用在控制体上
的外力也重合。
t
CV
vd
CS
v(v
n)dA
F
上式为对固定不变形控制体的流体动量方程, 式中v均取绝对 速度。
B4.4.1 固定控制体
当流动为定常时，动量方程中的当地项为零，方程变为：
B4.3.4 不定常伯努利方程
对于粘性不可压缩流体的不定常流动，由欧拉一元 运动方程沿流线从位置1到位置2积分可得：
v12
2
gz1
p1
v22 2
gz2
p2
2 1
vds t
上式为不定常流伯努利方程。式中最后一项表示单 位质量流体的非定常惯性力沿流线从位置1到位置2 所做的功。
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
解：建立图示坐标系和控制体，按一 维流动处理，在坐标系中，入口 和出口的速度分别为Vr1 , Vr2 ,由伯 努力方程：
Vr21 p1 Vr22 p2
2 2
例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响
因 p1 p2 0 ，故Vr1 Vr2 Vr V1 Ve (45 15)m / s 30m / s，由 不可压缩条件A1 A2 A ，质流量为
CS
上式为对固定不变形控制体的定常流动动量方程，
该式表明: 定常流动中作用在 控制体上的合外力等于从控制 面净流出的动量流量（见图）
B4.4.1 固定控制体 沿流管的定常流动
图示为一维流管控制体，出入口截面为A1, A2，平均速度 为 V1, V2，净流出流管的动量流量为
结果相似
B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.5.1 固定的控制体
设( r,t ) ( r v )，r为从原点到流体元的矢径，v为流体元 的速度。由系统广延量定义，流体系统的动量矩为
Lsys
r vd
sy s
根据动量矩定律，流体系统的动量矩方程为：
dLsys d r vd M
dt dt sys
例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响
已知:一车厢以Ve 15m / s 的速度做匀速直线运动，一般由固 定喷管流出的自由射流沿车厢前进方向冲入固结于车厢上的 导流片，水流截面积 A1 40cm2，速度 V 45m/ s，水流沿导流 片偏转一角度 θ 后流出，忽略质量力和粘性影响。 求：射流对固定导流片的冲击力F 与 θ 的关系。
（a）
∑M为作用在流体系统上的合外力矩。
B4.5.1 固定的控制体
如图，在流场中取固定不变形的控制体 CV，控制面为CS。设在 t 时刻流体系统 与控制体相重合，利用输运公式，可得 系统动量矩在控制体上的随体导数：
V 2 z p H 常数（沿总流）
2g
该式表示无粘性不可压缩流体作定常流动时单位质量流体沿总流 机械能守恒，该式是水力学中常用的形式。
如图，在水力学中：
V2 2
速度水头
H
总水头
z
位置水头 z p
测压管水头
p
g
g
压强水头
将相应的水头高度连成线称为水头线。水面线为测压管水头线， 总水头线保持定值。
m&r m&r1 m&r2 Qr Vr A
(103 kg / m3)(30m / s)(40104 m2) 120kg / s
作用在控制体上的外力为 ，由动量方程
m&(Vr2 Vr1) F 或 F Vr A(Vr1 Vr2 )
Fx Vr A(Vr Vr cos ) Vr2 A(1 cos ) (120kg / s)(30m / s)(1 cos ) 3600(1 cos )
Fy Vr AVr sin Vr2 Asin 3600sin
例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响
作用力大小和方向
F Fx2 Fy2 3600 2(1 cos )
（a）
arctg(Fy / Fx ) tg1[sin / (1 cos)]
（b）
讨论：计算结果表明与例B4.4.1C相比，除了冲击 力减小外，其余结果相似，相当于用绝对速 度 v=30m/s，冲击固定导流片情况一样。
t
CV vrd
CS vr (vr n)dA
F
上式为匀速运动控制体的流体动量方程。 当流动为定常时：
CS vr (vr n)dA F
B4.4.2 匀速运动控制体
如下图，对具有多个一维出入口的控制体中的定常流动：
(m&rvr
) out
(m&rvr
) in
F
式中：m&r 为运动坐标系中的质流量
这里 m&1, m&2 ，为出入口质量流
量大小，式中负号是因为入口端 的(vn) < 0。
B4.4.1 固定控制体
运用可压缩流体定常流动连续性方程
由动量方程可得
m1 m2 m
m(V2 V1 ) F
上式称为沿流管的定常流动动量方程或一维定常流动动
量方程。
它表明: 流出流管的动量流量减去流入流管的动量流量 等于作用在流束上的合外力。
主讲教师：宗 智 孙雷
船舶工程学院
B4 积分形式的基本方程
B4.1 流体系统的随体导数 B4.2 积分形式的连续性方程 B4.3 伯努利方程及其应用 B4.4 积分形式的动量方程及其应用 B4.5 积分形式的动量矩方程 B4.6 积分形式的能量方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B4.3.3 伯努利方程的水力学意义
沿总流的伯努利方程可改写为：
设( r ,t ) v ，流体系统的动量为
psys
vd
sys
根据牛顿第二定律
dpsys d vd F
dt dt sys
上式称为流体系统的动量方程，F 为作用在流体系统
上的合外力。
B4.4.1 固定控制体
如下图，在流场中取固定不变形 的控制体CV，控制面CS。
设在 t 时刻，流体系统与控制体相重 合，利用输运公式可得系统动量在控 制体上的随体导数：
B4.4.1 固定控制体 在具有多个一维出入口的控制体上的定常流动
当控制面上有多个一维出入口时，由不定常流动动量 方程可得：
(miVi )out (miVi )in F
式中：out代表是出口，in代表是 入口， 应满足连续性方程要求。
B4.4.2 匀速运动控制体
当控制体作匀速运动时，固结于控制体上的坐标系 仍是惯性系。 令 vr， vr为运动坐标系中的相对速度。由动量定律 和输运公式可得
dpsys D vd vd v(v n)dA
dt Dt sys
t CV
CS
设在 t 时刻，作用在流体系统上的合外力与作用在控制体上
的外力也重合。
t
CV
vd
CS
v(v
n)dA
F
上式为对固定不变形控制体的流体动量方程, 式中v均取绝对 速度。
B4.4.1 固定控制体
当流动为定常时，动量方程中的当地项为零，方程变为：
B4.3.4 不定常伯努利方程
对于粘性不可压缩流体的不定常流动，由欧拉一元 运动方程沿流线从位置1到位置2积分可得：
v12
2
gz1
p1
v22 2
gz2
p2
2 1
vds t
上式为不定常流伯努利方程。式中最后一项表示单 位质量流体的非定常惯性力沿流线从位置1到位置2 所做的功。
B4.4 积分形式的动量方程及其应用
解：建立图示坐标系和控制体，按一 维流动处理，在坐标系中，入口 和出口的速度分别为Vr1 , Vr2 ,由伯 努力方程：
Vr21 p1 Vr22 p2
2 2
例题B4.4.2 自由射流冲击运动的导流片：相对运动的影响
因 p1 p2 0 ，故Vr1 Vr2 Vr V1 Ve (45 15)m / s 30m / s，由 不可压缩条件A1 A2 A ，质流量为