山东财经大学概率论与数理统计复习
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点解析
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点解析概率论与数理统计是山东省考研数学中的一个重要部分，学好这一部分内容对于考研的顺利通过至关重要。
本文将对山东省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点进行解析，帮助考生更好地备考。
一、概率论的重点内容1.基本概念与基本规则- 随机试验及其基本概念- 事件与事件关系- 概率的基本性质与运算规则2.条件概率与独立性- 条件概率的定义与性质- 乘法定理- 全概率公式与贝叶斯公式3.随机变量及其分布律与数学期望- 随机变量及其分布函数- 离散型随机变量与连续型随机变量- 期望的定义与性质4.随机变量的函数的分布- 随机变量的函数的分布函数的求法- 随机变量的线性变换与标准化5.多维随机变量及其分布律- 多维随机变量的概念与联合分布函数- 边缘分布函数与条件分布函数- 相互独立的随机变量二、数理统计的重点内容1.抽样分布及极限定理- 抽样分布的概念与性质- 大数定律与中心极限定理2.参数估计- 点估计及其性质- 基本思想与方法- 矩估计与最大似然估计3.假设检验与区间估计- 假设检验的基本概念与步骤- 常用的假设检验方法- 信赖区间的概念与构造4.多元统计分析的基本方法- 样本协方差矩阵与相关系数矩阵- 多元正态分布- 多元正态总体的统计推断以上为山东省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点内容分析。
考生可以根据这些内容，有针对性地进行复习与备考。
在学习过程中，还应该注重理论联系实际，通过做题与练习巩固所学知识。
只有经过系统的学习与练习，才能真正掌握概率论与数理统计的重点知识，提高在考试中的应对能力。
为了更好地复习概率论与数理统计，建议考生使用多种复习资料，包括教材、习题集、考研真题等，多角度地对知识点进行加深理解和掌握。
同时，考生还可以参加相关的考研辅导班或自习室，与同学们一起学习和讨论，相互促进进步。
总之，山东省考研数学复习资料中的概率论与数理统计是一个重要的考点，考生要充分重视并进行有计划、有针对性的复习。
山东财经大学概率论与数理统计复习PPT学习教案
(5)错，其它对.
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9、设X1, X2是来自正态总体N (, 2 )的样本，若
cX1
1 2013
X 2是的一个无偏估计量则c
（
）.
2012 2013
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10、对正态总体的期望进行检验, 如果在显著水平
0.05下接受H0 : 0 ,那么在显著水平0.01下，( )
(A)必拒绝H
;
0
B
(B)必接受H
;
0
(C)可能接受，也可能拒绝H0 .
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山东财经大学概率论与数理统计复习
会计学
1
随机变量(X ,Y ,
分布列
D.r
.v.
常见分布
)
非D.r .v .
其他类型
C
.r .v .
密度函数f 常见分布
(
x)
r.v.的分布函数F ( x)
随机变量函数的分布
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联合分布/密度
二维随机分布布/密度 独立性
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7、设ˆ1 ,ˆ2是总体参数的两个估计量,ˆ1比ˆ2有效
是指（）.
( A)Dˆ1 Dˆ2; (B)Eˆ1 Eˆ2 E ,且Dˆ1 Dˆ2 .
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判断8、(1)总体均值的95%置信区间的意义是指 这个区间以95%的概率含的真值；
(2)置信区间不唯一； (3)置信区间的长度越小，估计越精确； (4)置信度越大，估计越可靠； (5)在样本容量一定时，同时提高估计的
随机向量函数的分布
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随机变量的数学期望 数字特征 随机变量的方差
概率论与数理统计复习“小技巧”
概率论与数理统计复习“小技巧”概率论与数理统计是大多数学科中一门非常重要的基础课程，对于理解和应用统计方法有着重要的意义。
然而，由于其内容广泛，理论较多，所以学习起来可能有一定的难度。
下面将分享一些复习技巧，帮助大家更好地掌握概率论与数理统计。
1.理解基本概念：在学习概率论和数理统计之前，必须首先理解基本概念。
概率、随机变量、概率分布、样本空间等是概率论和数理统计中的基础概念。
弄清楚这些概念的含义和相互关系，可以为后续学习打下坚实的基础。
2.制定学习计划：复习概率论与数理统计时，不要盲目地阅读教材。
应该提前制定一个复习计划，并按照计划进行学习。
可以根据自己的理解程度和时间安排，将内容分为几个阶段，逐个击破，确保每个阶段都能够掌握。
3.多做例题：概率论与数理统计是一门非常注重实际应用的学科，在学习的过程中，要多做例题。
通过做例题，可以帮助我们更好地理解和应用相关的概念和方法。
可以选择一些典型的例题进行尝试，同时也可以寻找一些辅助教材或者网上资源，多做一些相关的习题。
4.注重理论与实践相结合：概率论与数理统计的学习不仅仅局限于理论知识的掌握，还需要将所学的理论知识应用到实际问题中。
在学习的过程中，要多关注实际问题的分析和解决方法。
可以通过一些案例和实例来巩固所学的知识。
5.关注核心内容：在学习概率论与数理统计的时候，要有所侧重，注重理解一些核心的概念和方法。
这样可以避免被琐细的理论内容所困扰，更好地掌握主要的知识点。
要善于将抽象概念转化为具体的问题，通过问题的实质来理解和运用相关的知识。
6.做好笔记：在学习的过程中，要做好笔记。
可以将重点、难点和要点等内容进行归纳和整理，形成系统的笔记。
这样可以帮助我们更好地回顾和巩固所学的知识，并在复习的时候提供方便。
7.理论与实际结合：概率论与数理统计这门学科的一个重要特点是理论与实际的结合，在学习的过程中要善于将理论与实际问题相结合。
可以通过阅读相关的案例和实例，从实际问题的角度出发，探讨和应用相关的概率和统计方法。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
概率论与数理统计复习资料要点总结--学生
《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。
考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。
7、 掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。
9、 会求分布中的待定参数。
会求区间的概率.10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、 较熟练地求协方差与相关系数.16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。
18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3） 全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i i i p D X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i i i p x F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y gy gf y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习公式总结
概率论与数理统计期末复习公式总结概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=?，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论与数理统计总复习
随
机 试 验
可能结果
基 本 事 件
Ai
只有两个
不含任何ω Φ
Ai Aj 完
不可能 i j 备 Ai任何组合事件A p(Ai ) 0事
Ai
i
必然
Ωi
Ai
件 组
Ai
等
1 P(A i) n
概 完
i 1,2, n 备
事
件
可能结果
条件：
组
贝努利试验
n次重复
定义 随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）
称X 为离散型随机变量。
分布律（分布列） 表示法
公式法
PX xk pk
k 1,2,
列表法 X x1 x2
xk
xn
pk p1 p2
pk
pn
性质
1. PX xk 0 k 1,2,
n
2. pk 1
7 7
k 1
2、连续性随机变量 定义 对于随机变量X，若存在非负函数
将 F( y) 用 F[h( y)] 及有关函数表述出来。
利用 F '( y) f ( y) 求出Y的密度函数。
f
(
y)
F
(h(
y))'
h(
y)
h'
(
y)
0
y
其他
14
14
三、二维随机变量及其分布
（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数
定义 对于任意实数 x, y 二元函数
F(x, y) P{X x,Y y}
X为离散型其分布列为 PX xk pk
k 1,2,, n.
X为连续型其密度函数为 f (x).
概率论与数理统计(随机数学)(概率统计)复习资料——精华知识点
《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程期 末 复 习 资 料古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;例2：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，c 个红球，从中任意取出ｍ(m ≤a +ｂ)个球，求取出的m 个球中有k 1(≤a ) 个白球、k 2(≤b ) 个黑球、k 3(≤c ) 个红球(k 1＋k 2＋k 3=m )的概率.占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}. 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
如对于事件A ，B ，A 或B ，已知P (A )，P (B )，P (AB )，P (A B )，P (A |B )，P (B |A )以及换为A 或B 之中的几个，求另外几个。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B ) 例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求： P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
若已知导致事件A 发生(或者是能与事件A 同时发生)的几个互斥的事件B i ，i =1,2,…,n ,…的概率P (B i ) ，以及B i 发生的条件下事件A 发生的条件概率P (A |B i )，求事件A 发生的概率P (A )以及A 发生的条件下事件B i 发生的条件概率P (B i | A )。
大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用)汇总
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4）3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4） Bayes公式： 7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意，4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。
第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布 1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质 4．正态总体的抽样分布（1）；（2 ；（3 且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以 .2．由知即解得，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故 .5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则与也独立. 与也独立（D）若，则与也独立.（） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）. （D）. （）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立. （B）（C）. （D）. （） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）. （A）. . （）（C）（D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有应选（A）. 2 ， 9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’则（1）（2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________. （4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：, , , ）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理 . . （2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则 . 所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C. （2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
山东财经大学实践考核本科《概率论》作业-综合测试题
⼭东财经⼤学实践考核本科《概率论》作业-综合测试题综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题⼀（课程代码 4183）⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.下列选项正确的是 ( ).A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. (A -B )+B =AD. AB AB =2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B )C. P (A +B )=P (A )+P (B )D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )3.同时抛掷3枚硬币，则⾄多有1枚硬币正⾯向上的概率是 ( ). A.18 B. 16 C. 14 D. 124.⼀套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( ).A.1120 B. 160C. 15D. 125.设随机事件A ，B 满⾜B A ?，则下列选项正确的是 ( ).A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )⼀定满⾜ ( ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续C.()1f x dx +∞-∞=?D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2, (2)k bP X k k ===，且0b >，则参数b 的值为 ( ).A. 12B. 13C. 15D. 18.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( ).A.1B.2C.1.5D.09.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110i i X X ==∑~ ( ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)XN X X X µσ是来⾃X 的样本，⼜12311?42X aX X µ=++ 是参数µ的⽆偏估计，则a = ( ).A. 1B.14 C. 12D. 13⼆、填空题（本⼤题共15⼩题，每⼩题2分，共30分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
概率论与数理统计复习资料要点总结--学生.
《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。
考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解” 的内容一般不考。
1 、会事件关系的运算，了解概率的古典定义2 、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3 、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4 、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5 、理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6 、理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布8 、会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。
9 、会求分布中的待定参数。
会求区间的概率.10、会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差与相关系数.16、会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t 分布、 F 分布及其分位点概念。
18、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
19、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。
20、会求单正态总体均值与方差的置信区间。
概率论与数理统计复习
《概率论与数理统计》复习©基本内容和要求第一章随机事件及其概率1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性；2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率；3、掌握古典概型的概率计算；4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率；5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。
第二章随机变量及其分布1、理解随机变量及其概率分布的概念；2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布；3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率；4、掌握随机变量函数的分布。
5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度；6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率；8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。
第三章随机变量的数字特征1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差；2．记住常见分布的数学期望和方差；3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。
第四章大数定律与中心极限定理1．掌握切比雪夫不等式；2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义；3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。
第五章统计估计1．理解总体、个体、样本、统计量等概念；2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。
4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计；5．了解估计量的评选标准；6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。
第六章 假设检验1．两类错误2．掌握假设检验的一般步骤；3．掌握正态总体的均值和方差的双侧假设检验（z 检验,t 检验, 2χ检验）方法。
山财大 概率论与数理统计_第4章(new)
F ( x, ) 0
F (, y) 0
(4)右连续性： F(x, y)关于变量x或y是右连续的。 (5)矩阵不等式：对于任意(x1, y1)，(x2, y2)R2，(x1<x2 ，y1<y2)，F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0。
2、二维离散型随机变量及其联合分布律
P(X=xi, Y=yj)=pij
F ( x, y)
p
i 1 j 1 Fra bibliotekij1
3、二维连续型随机变量及其密度函数及其性质 x y
f (u, v)dudv
(1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;
(2)归一性：
－ －
f ( x, y)dxdy 1 F (, )
第三章
内容提要
一、二维随机变量及其分布
1、二维随机变量联合分布、几何意义、性质 F(x,y)=P({Xx}∩{Yy}) @ P(Xx,Yy) (1)对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。 (2)单调不减：F(x, y)是变量x或y的非降函数。 (3)归一性： F (, ) 0 F (, ) 1
(3)若f (x, y)在(x,y) 处连续，则有 (4) (X,Y)落在平面区域G内的概率
2 F ( x, y) f ( x, y ) xy
P ( X , Y ) G f ( x, y ) dxdy
G
二、边缘分布定义、几何意义、计算 FX ( x) P{X x} F ( x, ) FY ( y) F (, y) 联合确定边缘，但仅有边缘未必能确定联合 1、二维离散型随机变量的边缘分布律的计算
概率论及数理统计山东经济学院第一章第二节
则称这种随机试验为古典概型
这是一类最简单却是常见的随机试验。
古典概型中事件概率的计算
例2 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，假设10个 球中有7个是白色的，3个是红色的，现从中任取一球。
P1100
P37 习题第13、14题
[3]分房问题 (生日问题) （可重复的排列问题）
例1 （ P13例4）两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ的4个邮筒投寄。求：（1）前两个邮筒各投入1封 信的概率（2）第Ⅱ个邮筒恰好投入1封信的概率
（3）两封信投入不同邮筒的概率
解 设A——前两个邮筒各投入1封信
格”或“不合格”代替等。
（2）袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出ｍ (1≤ m≤a+b)个球，取出的球不放回，求第m次取出的球是
白球的概率。 解：设Ａ——“第m次取到白球” 方法1：把a+b个球全部取出看作一个样本点，共有（a+b）！
4 10
法2 考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则
C P P（B）=
12
4 4 9
P3 10
10
2.有放回地抓
考虑10人抽取的结果为一个基本事件，则
P(B)=
109.4 4
1010
10
考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则
P(B)=
102 .4 103
44 1100
例2 袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中任取一个，求（1）
[4]抓阄问题 (抽签问题)
例1 10人抓阄决定谁得到4张电影票，(10张阉) 求
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，概率论与数理统计都扮演着重要的角色。
为了更好地理解和应用这门学科，我们需要进行系统的复习和总结。
本文将为大家提供一些有关概率论与数理统计的复习资料，帮助大家更好地掌握这门学科。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的可能性的数学学科。
它以概率为基础，通过建立数学模型来描述随机事件的规律性。
在概率论的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如，掷硬币的结果、骰子点数的出现等都属于随机事件。
2. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
3. 随机变量：随机变量是指随机事件的结果所对应的数值。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限或可数的，例如掷骰子的点数；连续型随机变量的取值是无限的，例如身高、体重等。
4. 概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其对应的概率的分布规律。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。
5. 期望：期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望可以通过加权平均的方式计算；对于连续型随机变量，期望可以通过积分的方式计算。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中获取总体信息的学科。
它通过对样本数据进行分析和推断，来对总体进行估计和推断。
在数理统计的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
样本是对总体的一种观察和研究。
2. 统计量：统计量是样本数据的函数，用于对总体参数进行估计。
例如，样本均值、样本方差等都是统计量。
3. 抽样分布：抽样分布是指统计量的分布规律。
《概率论与数理统计》复习总结(已完成)
大学教案总结之《概率论与数理统计》期末复习目录第一章 (4)定义：一般的，称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件。
.......................... 4 事件间的关系与运算 ....................................................................................................... 4 定义： ............................................................................................................................... 4 概率的性质： ................................................................................................................... 4 古典概率 ................................................................................................................................... 4 条件概率 .. (4)定义： (4)⑴条件概率的乘法公式：()()()A P A B P AB P |= (5)⑵全概率公式 ................................................................................................................... 5 ⑶贝叶斯公式 ................................................................................................................... 5 随机事件的独立性 ................................................................................................................... 5 第二章 一维随机变量及其分布 .. (6)定义：一维随机变量。
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随机变量 (X,Y,L
)
? ???非D.r ? ?
.v.
? 其他类型
? ?? C ?
.r
.v.
?密度函数 ??常见分布
f
(
x
)
? ?
r
.v.的分布函数
F
(
x
)
?随机变量函数的分布
?联合分布/密度 二维随机向量???离连续散型型??????条边独件缘立分分性布布/密度
??随机向量函数的分布
?随机变量的数学期望 数字特征??随机变量的方差
n
?
, b=
n
?
.
7、设??1 ,??2是总体参数 ?的两个估计量 ,??1比??2有效
是指（）.
( A)D??1 ? D??2; ( B)E??1 ? E??2 ? E? , 且D??1 ? D??2 .
判断8、(1)总体均值?的95% 置信区间的意义是指 这个区间以95% 的概率含?的真值；
X3 ),
T2 ? X1 ? X2e X3 , T5 ? X1 ? X2 ? 2? ,
是
T4 ? max( X1, X2 , X3 ),
T6
?
1 ?2
(X1Biblioteka 2?X22
?
X32 ).
不是
2、(判断 )设 r .v. X 和 Y都服从标准正态分布 ,则 (1) X +Y 服从正态分布 ;
(2) X 2 +Y 2服从 ? 2分布 ; (3) X 2和 Y 2都服从 ? 2分布 ;
??随机向量的数字特征
?
?贝努力大数定律
??大数定律??切比雪夫大数定律
? ?
??辛钦大数定律
????中心极限定理???棣独莫立弗同尔分-拉布普中拉心斯极中限心定极理限定理
了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。
?总体和样本
抽样分布????????????统抽计样量分?????布样样 样?????上正?本本本2(分态均方矩双布总值差)侧、体分t常分位用布数分、布F分布
10、对正态总体的期望进行检验 ,如果在显著水平
0.05下接受H 0 : ? ? ? 0 ,那么在显著水平 0.01下，( )
(A)必拒绝H 0;
B
(B)必接受H 0;
(C)可能接受，也可能拒绝 H 0 .
(C ) (n -1) X ~ t(n -1);
D
S
nX 2 ( D) S 2 ~ F (1, n -1);
4、设r
.v.X
~t(n)(n>1),则Y=
1 X2
~(
F (n,1) ).
5、设X1,X2 ,X3 ,X4是来自总体 X ~N (0，? 2 )的样本 ,
则(1)
Y=
(X1 +X2 )2 (X3 -X4 )2
(随机)试验(重复性、明确性、随机性)
? 样本空间? 随机事件（A,B,L ）??事件间的关系
?? 事件间的运算律
?定义（古典、统计、公理化）
概率
? ? ??概型 ? ?
?古典概型 ??几何概型 ?? 独立试验概型：事件的独立性
??条件概率
??全概率公式和贝叶斯公式
?
?分布列
? ?
D.r
.v.
??常见分布
??参数假设检验???
?? ???
2已知 2未知
U检验法 t检验法
? ?
??? 2：? 2检验法
1、设 X1, X2 , X3是来自总体 N (? ,? 2 )的一个样本 , 其中 ? 为已知 , ? 2 为未知 , 判断下列各式哪
些是统计量 , 哪些不是 ?
T1 ? X1,
T3
?
1 3
(
X1
?
X2 ?
~(
F (1,1) ).
(2) Y=(X1 +X2 )-(X3 +X4 ) ~ ( N(0,4? 2 )).
6、设X1 , X2 ,L Xn来自总体X ~ N (1,? 2 )的样本, X为样
本均值，已知 Y ? aX ? b ~ N (0,1), 求a , b的值.
a=
n
?
, b=-
n
?
,或者a =-
?典型模式
?
?
?无偏性
? ?
??评价标准??有效性
参数估计???????点估计????????矩最估大计似然??估相计合性（一致性）
???区间估计???正置态信总区体间的区间估计
?
?原(零)假设
??基本概念??对立(备择)假设
? ?
??显著性水平?
假设检验????基两本类原错理误：弃真、纳伪
?
?
(4) X 2 /Y 2服从 F 分布 ; (5) X/Y 2服从 t分布 .
(3)正确，其它均错 .
3、设样本X1 , X2 ,L Xn来自总体X ~ N (0,1), X和S 2 分别为其样本均值和样本方差，则 ( ).
( A)nX ~ N (0,1)；
(B)nS 2 ~ ? 2 (n)分布；
(2)置信区间不唯一； (3)置信区间的长度越小，估计越精确； (4)置信度越大，估计越可靠； (5)在样本容量一定时，同时提高估计的
可靠度和精确度是可能的 .
(5)错，其它对 .
9、设X1 ,
X
是来自正态总体
2
N(?
,?
2
)的样本，若
cX1 ?
1 2013
X2是?的一个无偏估计量则
c
?（
）.
2012 2013