上期高等数学单元测试答案

湖南科技学院二○一五年 上 学期单元测试

计算机科学与技术专业 2014年级 高等数学（二）试题

考试类型：闭卷 试卷类型：A 卷 考试时量： 120分钟

1

⎰

⎰

-=

y

dx y x f dy 30

3

1

),(dy y x f dx x

⎰

⎰

-31

2

),(

2 设L 为圆周t a x cos =，t a y sin =)20,0(π≤≤>x a ，则⎰

=L ds a π2

3 设L 为球面12

22=++z y x 与平面0=++z y x 相交的圆周，则⎰

=L

xds 0

4 若曲线L 是1)1(22=+-y x ，方向为逆时针，则

=++⎰

dy e x dx xe y y L

y 222)(π-

5 设曲线L ：)0(2

2

2

>=+a a y x ，方向逆时针，则

=+⎰dx y x

L

)(22

6 设S 是由柱面12

2=+y x 和平面0=z 及4=z 所围成的闭曲面，方向取外侧，则

⎰⎰=+S

zdxdy dydz x

2

π4

7 =+-∑∞

=1

)15)(45(1

n n n 15

8 幂级数1

1

n n x n +∞

=∑收敛区间为 [1,1)- 9 曲面22

z x y =+与平面9z =所围成的空间立体的体积用二重积分可表示为

9:,)9(2

222≤+--=

⎰⎰y x D dxdy y x V D

二、选择题（每小题3分，共24分）

1 用格林公式表示闭曲线L 所围成的区域D 的面积=S （ B ）

（A ）

⎰-L

ydx xdy （B ）⎰L

xdy （C ）⎰

L

ydx （D ）⎰+L

ydx xdy

2 有分片光滑的闭曲面S 所围成的立体的体积是 （ C ）

（A ）⎰⎰++S

zdxdy ydzdx xdydz （B ）⎰⎰--S

zdxdy ydzdx xdydz

（C ）

⎰⎰+-S

zdxdy ydzdx xdydz （D ） ⎰⎰+S

ydzdx xdydz

3 下列级数中条件收敛的是 （ B ）

（A ）∑∞

=+-11)1(n n

n n （B ）∑∞=-11)1(n n n （C ）∑∞=-12

1)1(n n n （D ）∑∞

=+-1

)1(1)1(n n

n n 4 下列选项中哪一个不是曲线积分

⎰+L

Qdy Pdx 与路线无关的等价条件。 （ C ）

(A)

x Q y P ∂∂=∂∂ (B) 0=+⎰Qdy x Pd L (C) y

Q x P ∂∂=

∂∂ (D) Qdy Pdx d +=μ 5设S ：)0(,1222≤=++z z y x ，1S 为S 在第五卦限中的部分，则有)(C

（A ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xdS xdS （B ） ⎰⎰⎰⎰=1

4S S

ydS ydS

（C ）

⎰⎰⎰⎰=1

4S S

zdS zdS （D ） ⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xyzdS xyzdS

6 设S 为球面1222=++z y x ，则曲面积分

=⎰⎰dS y

x S

2

（ D ）

（A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）0

7 设1:22

2222≤++c z b y a x V ，则⎰⎰⎰=+V

dxdydz z )1(（ A ）

（A ）43

abc π （B ）3abc π （C ）4abc π （D ）0

三、解答题（每小题7分，共42分）

1 设L 是t y t x sin ,cos ==上从0=t 到π=t 的一段，求⎰-L

ydy xdx 。

解：原式dt t t t t )cos sin cos sin (0

--=⎰π

⎰

-=

π

2sin tdt

0=

2 设L 是顶点为)1,0(),0,1(),0,0(B A O 所围成的三角形边界，求

ds y x L

⎰+)(

解： AB OB OA ,,所在直线方程分别为1,0,0=+==y x x y ， 所以 原式⎰

⎰

⎰

++=OB

OA

AB

⎰⎰⎰++=1

10

AB

ds ydy xdx

21+=

3 求

⎰⎰++

D

dxdy y y x )(22，其中D 是1)1(2

2=++y x 所围成的平面区域。 解：由题意知积分区域D 关于x 轴对称，所以

⎰⎰=D

ydxdy 0。 1分

设θθsin ,cos r y r x ==，则2

32

,cos 20π

θπ

θ≤

≤-≤≤r 2分 所以原式dr r d ⎰

⎰

-=

θ

ππ

θcos 20

22

32

θθπ

πd 32

32

cos 38⎰-=932=

4 求

dxdydz z y x V

⎰⎰⎰

++)(，V 是球面22

22=++z y x 与锥面z =所围立体。 解：由对称性知

()0V

x y dxdydz +=⎰⎰⎰，设

sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r ϕθϕθϕ=== 则 原式21

34

cos sin V

zdxdydz d d r dr π

π

θϕϕϕ=

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4

cos sin 28

d ππ

π

ϕϕϕ=

=

⎰

5 设V 是锥面z =与半球面z =, S 是V 的整个边界

的外侧, 求

S

xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰.

解: 由高斯公式和球面坐标变换:sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r ϕθϕθϕ===, 有

3S

V

xdydz ydzdx zdxdy dxdydz ++=⎰⎰⎰⎰⎰

22

340

3

sin 2(1R

r dr d d R π

π

ϕϕθπ==⎰

⎰⎰ 注: 三重积分还可以柱面坐标变换和截面法求.