备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析

【高考地位】

数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】

方法一 公式法

解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果

例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n

S n

的前n 项和，求n T ．

【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前n 项和公式： 11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪

=--⎨=≠⎪--⎩

．

自然数方幂和公式：1

123(1)2

n n n +++⋅⋅⋅+=

+ 22221

123(1)(21)6n n n n +++⋅⋅⋅+=++

333321

123[(1)]2

n n n +++⋅⋅⋅+=+

【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】

试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109

101002

S a d ⨯∴=+= 考点：等差数列通项公式及求和

方法二 分组法

解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；

第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n

.

【变式演练2】在等差数列{}n a 中，45a =，711a =.设(1)n

n n b a =-g ，则数列{}n b 的前100项之和100S 为（ ）

A ．-200

B ．-100 C.200 D ．100 【答案】D 【解析】

考点：等差数列通项，分组求和 【方法点睛】分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；

(2)通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，

可采用分组求和法求和.

【变式演练3】已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．

【答案】（1）21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）2

31

2

n n -+．

【解析】

试题分析：（1）易得329

33b q b =

==⇒211b b q

==⇒4327b b q ==⇒111a b ==，14427a b ==⇒

11327d +=⇒2d =⇒21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）由（1）知，21n a n =-13n n b -=⇒n n n c a b =+=

1

213

n n --+ ⇒1

13(21)133

n n S n -=++

+-++++2

31

2

n n -=+． 试题解析：（1）等比数列{}n b 的公比329

33b q b =

==，所以211b b q

==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =． 所以21(1,2,3,

)n a n n =-=．

（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，．因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和113(21)133n n S n -=++

+-+++

+

2

(121)13312132

n n n n n +---=+=+

-． 考点：1、等差数列；2、等比数列．

方法三 裂项相消法

解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 例3. 已知数列{}n a :

12,1233+,123444++,…, 123

9101010

10+++,…,若1

1

n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ） A ．

1n n + B ．41n n + C. 31n

n + D ．51

n n +

【答案】B 【解析】