三角函数中万能公式总结

两角和与差的三角函数

三角函数基本公式总结

1 .和、差角公式

sin （.二 I ） = sin ： cos -

二 cos ： sin ; cos （.二 l ） = cos ： cos 『■一

sin ： sin ;

tg （

：「）=1rg ：tg[

2.二倍角公式 sin2： = 2sin ： cos ：

cos 2： =cos 2

： - sin

:--2cos 2 ： -1 = 1 - 2sin 2 ：；

2tg :

tg2

"1『

3.降幕公式

sin ： cos ： =^sin2：

2

sin 2

:

1 -cos2：

2

1 cos

2： cos :

4.半角公式

1 -cos-

a sin — = 2 . 2

a

cos —-二 2

1

cos ： 丄

a

丄

‘1 — cosa tg -- y

2

sin -■ 1 -

cos- 1 cos ：

1 COS -：

：

sin

二

5.万能公式

CL

si …玉

1-tg 2

cos ：=

tg

： 2 a

1-tg 2

6.积化和差公式

1

sin ：

cos ［sin （二 b ■■-'） sin 「--）］

2 cos ： cos ： =1

［cosp I '） cos （=

'

「'）］

；

2

cos ： sin : sin ： sin -

1

-［sin （二 1

'-J - sin （：——：）］; 2

「［［COS （二 I '）「COS （工 ’「'）］.

2

7.和差化积公式

© a + P a - P o a + P a - P

sin t "si n - -2sin ----- cos ----- ; sin： - si n - - 2cos -- sin一

2 2 2 2

A ot + P a - P R a + P . a - P cos土11cos - - 2cos -- cos ----- : cos： -cos - - -2sin ---- sin -----

2 2 2 2

倍角、半角的三角函数

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即

9 7 2 2

sin 2a = 2sin a cos cos = cos a - sin a = 2 cos cs -1 = 1 - 2siri a, tan 2a =

由此可继续导出三倍角公式•观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键•二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定

倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式•推导过程中

a 11 —cos a a I l-l-cos c a 11 —cos a

sin —= 土」------------ ,cos ——-土J--------- ”tan ——二±J ------

2 V 2 2^2 2 Vl + coscE

降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个

原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于2所在

◎ 1 - coga sin 门

tan —= ------- = ------- 的象限.而半角的正切可用a的正弦、余弦表示，即：- -」丄 1 -2 tan a

1 - tan，a

可得到一组降次公式，即二二

j a1 斗cos oe

CO£ —= ---------

2 2进一步得到半角

公式:

J-.

这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之

or

用 tan 二也可表示 sin a , cos a , tan a ，即卩:

l-tan a - 2 - a ce 1 + tan 一

2

Stan-

ta n«=——J

1-tan 2-

2这组公式叫做

能”公式.

教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角 公式及同角三角函数公式推出

2

c^s 口

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