SPSS典型相关分析

SPSS数据统计分析与实践

第二十二章：典型相关分析

（Canonical Correlation）

主讲：周涛副教授

北京师范大学资源学院

教学网站：/Courses/SPSS

典型相关分析（Canonical Correlation）本章内容：

一、典型相关分析的基本思想

二、典型相关分析的数学描述

三、SPSS实例

四、小节

典型相关分析的基本思想

z典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。

z简单相关系数；复相关系数；典型相关系数

z典型相关分析首先在每组变量中找出变量的线性组合，使其具有最大相关性；

z然后再在每组变量中找出第二对线性组合，使其与第一对线性组合不相关，而第二对本身具有最大相关性；

z如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为止；

z这些综合变量被称为典型变量（canonical variates）；第I对典型变量间的相关系数则被称为第I 典型相关系数（一般来说，只需提取1～2对典型变量即可较为充分的概括样本信息）。

典型相关分析的目的

T

q T

p Y Y Y Y X X X X )

,,,(),,,(2121K K ==设两组分别为p 与q 维(p ≤q)的变量X ,Y ：

设p + q 维随机向量协方差阵，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝

⎛=Y X Z ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝⎛Σ

ΣΣΣ=Σ22

21

1211其中Σ11是X 的协方差阵，Σ22是Y 的协方差阵，Σ12=ΣT 21是X ，Y 的协方差阵

典型相关分析用X 和Y 的线性组合U =a T X , V =b T Y 之间的相关来研究X 和Y 之间的相关性。其目的就是希望找到向量a 和b ，使ρ（U ，V ）最大，从而找到替代原始变量的典型变量U 和V 。

典型相关分析的数学描述

z

典型相关系数的数学定义为：

b

b a a b

a V Var U Var V U Cov V U T T T 221112)()(),(),(ΣΣΣ=

=ρ由于随机变量乘以常数不改变其相关系数，为防止不必要的结果重复出

现，最好在其中附加如下的约束条件：

1

)(1)(2211=Σ==Σ=b b V Var a a U Var T T 记，，则有2112212111ΣΣΣΣ=−−A 12

11121122ΣΣΣΣ=−−B b Bb a Aa 22,λλ==其中既是A 又是B 的特征根，a 和b 就是对应于A 和B 的特征向量。

2

λ

SPSS 实例

为研究运动员体力与运动能力的关系，对某高一年级男生38人进行体力测试（共7项指标）及运动能力测试（共5项指标）。

运动能力测试指标：Y1 50米跑（秒）Y2跳远（cm ）Y3投球（m ）

Y4引体向上（次）Y5耐力跑（s ）

体力测试指标：

X1反复横向跳（次）X2纵跳（cm ）X3背力（kg ）X4握力（kg ）

X5台阶试验（指数）X6立定体前屈（cm ）X7俯卧上体后仰（cm ）

SPSS实例

SPSS操作

z SPSS采用’Canonical correlation.sps’宏程序来实现。

输出结果解释－两组变量间的相关系数SPSS在三个方框中分别输出的是体力测试指标内部的相关系数、运动能力测试指标内部的相关系数，以及两组指标间的相关系数

由体力测试指标内部相关系数看，各指标间相关系数较小，即指标间没有多大的重复。如果两个指标相关系数很大，可能这两个指标反映的是同一个方面，可以考虑合并。

输出结果解释－两组变量间的相关系数SPSS在三个方框中分别输出的是体力测试指标内部的相关系数、运动能力测试指标内部的相关系数，以及两组指标间的相关系数

运动能力测试指标间的相关系数也比较类似（各指标间的相关系数较小），不过y2（跳远）和y4（引体向上）之间的相关系数较大，达到0.6067

输出结果解释－两组变量间的相关系数SPSS在三个方框中分别输出的是体力测试指标内部的相关系数、运动能力测试指标内部的相关系数，以及两组指标间的相关系数

上表输出的是体力与运动能力之间的相关系数，从二者直接相关系数看，只有X2（纵跳）和y2（跳远）之间关联程度较大（R＝0.5584），而其他体力指标和运动能力指标间的直接关联不大，更多的可能是综合影响。

由于变量间的交互作用，因此，这个简单相关系数矩阵只能作为参考，不能真正反映两组变量间的实质联系。

典型相关系数及显著性检验

第一典型相关系数为0.763，第二典型相关系数为0.706，第三典型相关系数为0.607，它们均比体力指标和运动能力指标两组间的任一个相关系数大，即综合的典型相关分析效果要好于简单相关分析。

典型相关系数及显著性检验

由于此处的典型相关系数是从样本数据算得的，和简单相关系数一样，有必要进行总体系数是否为0的假设检验。此处采用的是Bartlett的χ2检验，零假设为对应的典型相关系数为0。

上面的输出结果表明：在α＝0.05的情况下，第一与第二典型相关系数是显著的。

典型变量的系数－体力变量

标准化变量（Standardized

Canonical Coefficients）的典型

相关变量的换算系数

e.g. 来自体力指标的第一典型变

量的计算公式为：

U1=0.314X1 + 0.628X2 +

0.295X3 + 0.309X4 + 0.335X5

+ 0.033X6 + 0.077X7

原始变量（Raw Canonical

Coefficients）的典型相关变量

的换算系数