第四章计算机控制系统的分析

Φ(z) = G(z) ) ( z − 1)( z − 0.368) + 0.158kz
求得该系统的闭环Z特征方程为：
( z − 1)( z − 0.368 ) + 0.158 kz = 0
令z
=
1+w 1− w
对应的W特征方程为：
0.158 kw 2 + 1.264 w + (2.736 − 0.158 k ) = 0
程的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响 缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，可以得
到k值的范围为0＜k＜40.5。 但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计
算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无 多大意义，所以应该适当选取采样周期。
| pi |< 1 i = 1, 2, ", n
上述结论对系统中有重根时也成立。
4.1.3 离散系统的稳定性检测
1 直接求取特征方程根
检验系统的稳定性，最直接的办法就是求出它的全部 特征根。
优点： 判断系统稳定性，了解特征根的具体特性. 缺点：难于分析系统参数的影响。
例4-2 已知系统的特征方程为
例：给定系统的特征方程为
z2 + 5z + 6 = 0
试用Routh判据分析系统的稳定性。
解：对其进行 Z −W 变换
z
=
1+w 1− w
(1+ w)2 + 5(1+ w) + 6 = 0
1− w
1− w
整理，得 w2 − 5w + 6 = 0
该二阶系统的特征方程，经 Z −W 变换后所得方程的系数
z1 = es1T = e−1×2π/ωs = e−1×2π/10 = 0.533∠0
z2 = es2T = e(−1+ j10)×2π/10 = 0.533∠2π z3 = es3T = e(−1− j10)×2π/10 = 0.533∠−2π
•s平面上实部相同虚部相 差整倍数 ωs 的所有点映射
z =e(σ+jω)T =eσT ⋅ejωT
ejωT =cosωT + jsinωT ---2π的周期函数
z=e(σ+jω)T =eσT ⋅ejωT =eσT ⋅ej(ωT+2kπ) =eσT∠(ωT+2kπ)
复变量z的模及相角与s的实部和虚部的关系
z =eσT∠(ωT +2kπ)
⎧
⎪R =| z |= eσT
不同号，由Routh判据知该系统不稳定。
例某离散系统如图所示，试用Routh 准则确定使该系统 稳定k值范围，设T=0.25s。
r(t)
y(t)
k
s(s+4)
T
解：该系统的开环Z传递函数为：
G(z)
=
Ζ
⎡ ⎢⎣
s
(
s
k +
⎤ 4) ⎥⎦
=
(z
0.158 kz − 1)( z − 0.368 )
该系统的闭环Z传递函数为：
4.2 离散系统的动态特性分析
动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应 特性来描述。
极点位置与时间响应的关系
与连续系统类似，如已知脉冲传递函数的极点，同样也可 估计出它对应的瞬态响应。
离散系统的脉冲传递函数为
m
∏∏ Φ ( z )
=
C(z) R(z)
=
K (z − zi )
i =1 n
(z − pj)
j =1
(n > m)
当 r (t ) = 1(t ) 时，离散系统输出的Z变换
C
(
z)
=
Φ
(
z
)R
(
z
)
=
Φ
(
z)
z
z −
1
将C ( z ) 展开成部分分式
z
m
∏∏ =
z
z⋅ −1
K (z − zi )
i =1 n
(z − pj)
j =1
∑ C ( z )
z
=
c0
1+ z −1
=0
任意值
单位圆周
=1
左半平面 <0
任意值
单位圆内
<1
θ = ωT
任意值 任意值
右半平面 >0
任意值
单位圆外
>1
任意值
z =e(σ+jω)T =eσT ⋅ejωT =eσT∠ωT
s平面上的主带与旁带的映射
s平面上被分成了许多平行带子，其宽度为ωs 。
−ωs / 2 ≤ω ≤ωs / 2 的带子（σ任意变化）称为主带。 (θ = ωT由− π到 + π )
（2）极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应是 等幅的。
（3）极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应单调 衰减。
（4）极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应是以 2T为周期正负交替的衰减振荡。
（5）极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应是 以2T为周期正负交替的等幅振荡。
（6）极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应是以 2T为周期正负交替的发散振荡。
an−1
"
− an an−4
b2 =
an−1 an−5 = an−1an−4 − anan−5
an−1
an−1
− an −1 an −3
c1 =
b1
b2 = b1an −3 − b2an −1
b1
b1
劳斯判据：系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯表第一 列元素中符号变化的次数相等。 根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必要条件为： 由系统特征方程系数组成的劳斯表的第一列元素没有符号变 化。 若劳斯表第一列元素的符号有变化，其变化的次数等于 该特征方程的根在s右半平面的个数，表明相应的线性系统 不稳定。
根据系统稳定性定义，如果系统的δ函数响应c(k)，在 k → ∞
时衰减为零，即
n
∑ lim c(k )
k→∞
=
lim
k→∞
i =1
Ai pik
=
0
则离散系统是稳定的。
为此，要求c(k)每一个分量都要衰减为零，即
lim
k→ ∞
Ai
p
k i
=
0
由于 Ai ≠ 0，为此要求每一特征根的模值应小于1，即位于单 位圆中
到z平面上时均位于一点。 •采样信号在z平面表示， 消除了在s平面表示时的
周期性.
图4-2 例4-1的映射关系
s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任一点映 射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外.
几何位置 虚轴
表4-1s平面与z平面关系
s = σ + jω
z = R∠θ
σ
ω
几何位置 R = eσT
主带映射为整个z平面，而其余每一个旁带也都重叠映射 在整个z平面上。
主带
旁带
图4-3 主带映射
图4-4旁带映射
4.1.2 离散系统的稳定条件
稳定性是指当扰动作用消失以后，系统恢复原平衡状态的 性能。
稳定性是系统的固有特性，与扰动的形式无关，而只取决 于系统本身的结构与参数
系统稳定的充要条件： 连续系统----特征根全在s左半平面,如有特征根在虚轴 上，称作临界稳定，由于响应不会收敛，因此，系统也是 不稳定的。 离散系统----特征根全部位于z平面单位圆内,即每一特 征根的模值应小于1：
n i =1
ci z − pi
于是
∑ C ( z )
=
c0
z
z+ −1
n i =1
ciz z − pi
1. 极点位于实轴
G(z)
= ci
z
z − pi
c(k) = ci pik
Pi =0的时间响应为 发生在k=0时的脉冲.
图 z平面极点分布与脉冲响应（实极点）
（1）极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应单调 发散。
c(k)
=
Z
−1
⎡ ⎢ ⎣
ci+1z z − pi
z−1
+
z
ci z − pi+1
z−1
⎤ ⎥
⎦
=
ci+1
pk −1 i
+ ci
pk −1 i+1
=| ci | e−jϕi | pi |k−1 ejθi (k−1) +| ci | ejϕi | pi |k−1 e−jθi (k−1)
⎪⎨θ = ∠z = ωT + 2kπ
⎪ ⎪= ⎩
(ω
+
k
2π )T T
=
(ω
+
kωs )T
s平面的点映射到z平面上，模值唯一，相角不唯一；
z平面上的一个点对应着s平面的多个点，这些点具有 同样的实部，虚部相差2kπ/T。
例4-1 在S平面上有3个点，分别为S1=-1，S2,3=-1±j10 ，若ωs=10，试求它们映射在z平面上的点
| pi |< 1 i = 1, 2, ", n
离散系统稳定充要条件数学上的简单推导
离散系统的脉冲传递函数为
G(z)
=
C(z) R(z)
=
b0 zm a0 zn
+ b1zm−1 + a1zn−1
+" +"
+ +
bm −1 z an −1 z
+ +