结构方程模型与偏最小二乘法教学文稿
结构方程模型案例重点讲义资料
结构方程模型案例重点讲义资料以下是结构方程模型案例重点讲义资料的主要内容：一、结构方程模型的基本概念1.1结构方程模型的定义和目的1.2结构方程模型的组成部分（潜变量、测量变量、误差项、因果关系）1.3结构方程模型的表示方式（路径图、方程式）二、测量模型的构建2.1潜变量的定义和测量2.2测量模型的评估准则（信度、效度、合理性）2.3验证性因素分析（CFA）的步骤和方法2.4模型修正指标（修正指数、比较指数、适配指数）三、结构模型的构建3.1潜变量间的因果关系的设定3.2结构模型的估计方法（最小二乘估计法、最大似然估计法）3.3结构模型的适配度检验（适配指数、残差、误差修正模型）四、模型分析和解释4.1结构方程模型的参数估计和显著性检验4.2模型拟合程度的评估（拟合指数、误差修正指数、SRMR）4.3预测能力和因果关系的解释4.4结果的解释和可信度评价五、结构方程模型在实际研究中的应用案例5.1教育领域中的结构方程模型应用5.2金融领域中的结构方程模型应用5.3健康领域中的结构方程模型应用5.4社会科学领域中的结构方程模型应用六、结构方程模型案例分析技巧和注意事项6.1结构方程模型数据的准备和处理6.2模型设定和变量选择的技巧6.3数据样本量的要求和样本偏倚的处理6.4模型解释和模型比较的技巧总结：结构方程模型是一种强大的统计分析工具，可以帮助研究人员深入理解和解释潜变量之间的因果关系。
掌握结构方程模型的基本概念和构建步骤，能够为实际研究提供有力的支持。
在使用结构方程模型时，需要注意模型设定和变量选择的合理性，样本量和样本偏倚的问题，以及模型解释和比较的技巧。
随着结构方程模型在不同领域的广泛应用，我们可以看到其在教育、金融、健康和社会科学等领域中的重要作用。
因此，进一步学习和掌握结构方程模型的技巧和方法，对于提高研究质量和推动学科发展具有重要意义。
偏最小二乘课件
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算法流程
每次舍去第 i 个观测数据（ i 1,2, ，对余下 , n）
的 n 1个观测数据用偏最小二乘回归方法建模，并考 虑抽取 h （ h r ）个成分后拟合的回归式，然后把舍 去的自变量组第 i 个观测数据代入所拟合的回归方程 式，得到 y j ( j 1,2, ˆ ( h) 。 b
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简介
偏最小二乘回归分析在建模过程中集成了主成分分 析、典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在 分析结果中， 除了可以提供一个更为合理的回归模型外， 还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析 的研究内容，提供一些更丰富、深入的信息。
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简介
（6）
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算法流程
（3）用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤。 ˆ u ˆ， ˆ u ˆ1 (1)T ， B ˆ1 (1)T ，则残差阵 E1 A A 记A ˆ 。如果残差阵 B 中元素的绝对值近似为 0， B1 B B 1 则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要 了， 可以停止抽取成分。 否则用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤即得
4. 否则继续对第二成分的提取，直到能达到满意的精度 为止。 5. 若最终对自变量集提取 r 个成分 u1 , u2 , 二乘回归将建立 y1 , 6. 最后表示为 y1 ,
, ur ，偏最小
, y p 与 u1 , u2 ,
, ur 的回归方程。
, y p 与原自变量的回归方程，即偏
最小二乘回归方程式。
分别为 X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有 (1)T ( 2)T ˆ ˆ A u u A2 , 1 2 (1)T ( 2)T ˆ ˆ B u u B2 . 1 2
结构方程模型与偏最小二乘法
2 λ11φ11 + θ 11 λ21λ11φ11 Σ(θ ) = λ31λ11φ11 λ42 λ11φ 21 λ52 λ11φ 21
λ2 φ11 + θ 22 21 λ31λ21φ11 λ42 λ21φ 21 λ52 λ 21φ 21
2 λ31φ11 + θ 33 λ42 λ31φ 21 λ2 φ 22 + θ 44 42 λ52 λ31φ 21 λ52 λ 42φ 22
var( x1 ) cov( x2 , x1 ) Σ = cov( x3 , x1 ) cov( x4 , x1 ) cov( x , x ) 5 1
var( x2 ) cov( x3 , x2 ) var( x3 ) cov( x4 , x2 ) cov( x4 , x3 ) var( x4 ) cov( x5 , x2 ) cov( x5 , x3 ) cov( x5 , x4 ) var( x5 )
cov( z 3 , z1 ) = cov(β 31 z1 + β 32 z 2 + e1 , z1 ) = β 31 cov( z1 , z1 ) + β 32 cov( z 2 , z1 ) + cov(e1 , z1 )
r31 = β 31 + β 32 r21
路径系数（续）
r32 = β 31r12 + β 32
2 λ52φ 22 + θ 55
学科
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1.00
2
0.12
1.00
3
0.08
偏最小二乘法
for i=1:n %以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
matrix=e0'*f0*f0'*e0; [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量 val=diag(val); %提出对角线元素
[val,ind]=sort(val,'descend'); w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量 w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值 t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分 alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵 e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
在上式中， p1
X
T α
t1 2
， s1
YαT t1 2
； X β 、Yβ 为回归方程的残差矩阵。
（2）第2个成分 t2 的提取
以 X β 取代 X α ，以Yβ 取代Yα ，用求 t1 的方法，求到第2个轴 w2 以及第2个成分 t2 。
w2
X
T β
Yβ
X
T β
Yβ
同样， X β 、Yβ 分别对 t2 进行回归，得到 X β 、Yβ 对 t2 的回归方程： X β t2 p2T X δ
6.119 6.9293 6.934 6.1524 7.4984 7.35 7.1299 7.8258 8.9597 8.1966 8.5688 8.5383 9.3404 9.2511 9.4694 9.9961 10.5853 10.616 10.0119 10.0782 11.2238 11.4733 11.3371 11.4427 12.7513 12.3517 12.1622 12.1067 13.2551 13.8308 13.7943 13.9619
第二章平差数学模型与最小二乘原理电子教案
2平差数学模型与最小二乘原理2.1 参数估计及其最优性质几何模型：包括水准网和平面控制网（包括测角网、测边网、边角网）。
每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。
这些元素都被称为几何量。
在诸多几何量中，有的可以直接测量，有的是间接求出。
几何模型不同，它所需要知道的元素的个数与类型也不同，目标是确定几何模型的唯一性。
1.如图2-1的三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道三个内角中的任意两个内角的大小就可以了。
它们都是同一类型的元素。
2.要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角或者是三边。
它们中间都至少包含一条边长该情况包含角度和边长两类元素。
3.要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素（6个坐标元素，3个内角元素，3个边长元素，3个方位角元素）中的6个不同的元素，这6个元素可以构成更多的组合，至少要包含一个点的坐标和一条边坐标方位角，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。
如果A、B两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。
我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。
必要观测个数用t表示。
例如，确定三角形的形状，必要观测元素个数t=2；确定三角形的大小和形状，必要观测元素个数t=3；确定三角形的大小、形状、位置和方向，必要观测元素个数t=6。
对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。
必要起算数据个数用d表示，水准网为1，测角网为4，测边网和边角网为3。
观测值个数用n个表示。
当n<t时,显然无法确定模型的解；当n =t 时,则可唯一地确定该模型，但对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现；当n >t 时，能及时发现测量中的粗差和错误，提高观测成果的精度和可靠性。
偏最小二乘法教案
偏最小二乘法教案一、引言偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种常用的统计分析方法，广泛应用于科学研究和数据分析领域。
本教案旨在介绍偏最小二乘法的基本原理、应用场景以及实际操作过程。
二、偏最小二乘法概述1. 基本原理偏最小二乘法是一种多元统计分析方法，主要用于分析自变量与因变量之间的关系。
它通过对自变量与因变量进行正交变换，得到新的综合变量，使得新变量之间的协方差最大，同时与因变量的相关性也最大。
2. 应用场景偏最小二乘法可以应用于许多领域，如生物医学、化学工程、金融等。
例如，在生物医学领域，可以利用偏最小二乘法对肿瘤等疾病的相关因素进行分析和预测。
三、偏最小二乘法的步骤1. 数据准备首先，需要收集相关的数据，包括自变量和因变量。
确保数据质量，并进行必要的数据预处理。
2. 模型建立在偏最小二乘法中，需要建立自变量与因变量之间的模型。
通过选择合适的模型算法和参数，得到最佳的模型表达。
3. 变量选择与降维在建立模型时，可能会面临自变量过多的问题。
为了简化模型和提高模型的稳定性，可以进行变量选择和降维操作。
4. 模型评估与优化完成模型建立后，需要对模型进行评估与优化。
可以采用交叉验证、拟合度等指标进行评估，并根据评估结果进行相应的调整和优化。
5. 结果解释与应用最后，需要对模型结果进行解释和应用。
可以通过系数分析、相关性分析等方法，理解自变量与因变量之间的关系，并对实际问题进行预测和决策。
四、实例演示1. 数据收集以某企业的销售数据为例，收集相关的自变量（如广告投入、促销活动等）和因变量（如销售额）。
2. 数据预处理对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、数据转换等操作，确保数据的可靠性和一致性。
3. 模型建立选择适当的偏最小二乘法模型算法，建立自变量与因变量之间的关系模型。
4. 变量选择与降维如果自变量较多，可以采用变量选择和降维的方法，减少模型复杂度和提高模型的预测能力。
偏最小二乘结构方程模型
偏最小二乘结构方程模型
《结构方程模型-偏最小二乘法理论与应用》是以结构方程模型－偏最小二乘法为分析工具，以组织知识管理对软件项目绩效水平影响分析作为研究案例，给读者呈现一个完整的结构方程模型分析过程，以便读者掌握偏最小二乘法的分析技术，清楚了解在建模分析时应该注意的一些事项。
结构方程模型-偏最小二乘法理论与应用:以软件项目绩效评价为例》以偏最小二乘法的算法分析作为切人点，在结构方程模型框架内对偏最小二乘法进行详细讨论。
主要内容包括：结构方程模型概念、原理；偏最小二乘法的形式规范、迭代方法、检验（符号检验，Stone －Geisser检验）。
从数学原理角度理解结构方程模型及偏最小二乘法的内在工作机制。
根据偏最小二乘法原理，本书在MATLAB上实现了基于偏最小二乘法的结构方程模型分析软件MS－PLS。
通过假设模型的模拟分析，不仅验证了MS－PLS软件的正确性和有效性，而且从中归纳得到基于两个潜变量的偏最小二乘法数据处理特征。
在顾客满意度应用背景下，本书对偏最小二乘法与层次分析法进行了可比性研究。
不仅通过理论基础与应用背景分析，而且通过多个模型验证了在航空公司顾客满意度模型权重确定上这两种方法具有
可比性。
将人类隐性知识显性化是这两个算法的共同目标，也是算法比较研究的意义所在。
借此，将PLS算法引入群体决策领域并进行了初步探讨。
结构方程估计方法
结构方程估计方法
结构方程模型（SEM）的估计方法主要有三种：协方差分析法、偏最小二乘法和贝叶斯法。
1. 协方差分析法：这种方法认为潜变量间的关系反映在可测变量的协方差关系中，理想的模型产生的协方差结构和真实协方差结构应一致。
因此，这种方法以协方差矩阵的差异作为优化准则。
2. 偏最小二乘法：在考虑潜变量结构的前提下，这种方法认为“最好”的潜变量应该与对应可测变量“最接近”。
其优化准则本质是OLS（最小二乘法）。
3. 贝叶斯法：这种方法对潜变量假定先验，然后用MCMC（马尔科夫链蒙特卡洛）直接对潜变量进行抽样。
当潜变量的样本都有了，结构方程模型也就退化为了一堆回归。
以上内容仅供参考，建议查阅结构方程模型相关书籍获取更多专业信息。
偏最小二乘方法
75 152 102 91
X2
63 96
132 218
82 176
36 74
69 157 124 51
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
由此得到的B矩阵为：
0.71 0.18 0.42
B2
0.42 0.24
0.19 0.20
0.20 0.03
0.12 0.03
0.01
对于此模型，Err=0.07。它比前者为小，这就意味着对于矩 阵Y，第二个数学模型比第个要更有效，这是一种假象。由 于X中引入最后一列，使得B2中上部3*3部分与前边所提B不 相等（B为真实模型）。由B2计算所得Y尽管误差要小，但其 数学模型所描述的自变量与因变量间的关系并不真实。其原 因主要为多元线性回归方法是采用整个X矩阵来建立数学模 型，而并不顾及在X中的信息与真实模型相关与否。很显然 ，若所得结果偏离了其实际数学模型，则对于未知试样的预 测也是错误的。
事实上，完全满足上述条件比较困难。当噪声较强，或干 扰较严重时，有可能导致所得数学模型失真，如下例：
75 152 102
X
63
132
82
96 218 176
69
157
124
2 7 5
Y
4
3
3
9 12 3
6
8
2
运用式(6.3)则可得B矩阵：
0.71 0.55 0.48 B 0.42 0.41 0.24
为了克服多元线性回归的不足，在数学方法上引进了主 成分回归方法（PCR）。
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。
偏最小二乘路径建模(pls-pm)结构方程
偏最小二乘路径建模（PLS-PM）结构方程一、变量间关系偏最小二乘路径建模（PLS-PM）是一种探索变量间关系的统计方法。
它通过路径图来描述变量之间的因果关系，并使用偏最小二乘回归（PLS）进行模型估计。
PLS-PM适用于变量间存在复杂关系的情境，可以处理多个因变量和自变量，并考虑测量误差和潜在变量的影响。
二、因果关系在PLS-PM中，因果关系是核心概念。
通过路径图，我们可以直观地展示变量之间的因果关系，并根据专业知识或实证数据来构建路径。
在路径图中，箭头表示因果关系，箭头的方向表示因果关系的方向。
通过因果关系，我们可以分析一个变量对另一个变量的影响，以及这种影响是如何传递的。
三、路径图构建构建路径图是PLS-PM的重要步骤。
路径图需要基于理论或实证数据来构建，并遵循一定的原则，如因果关系应该基于理论或实证证据，箭头指向表示因果关系的方向等。
构建路径图时，我们需要确定因变量和自变量，并考虑潜在变量的影响。
路径图可以帮助我们更好地理解变量之间的关系，并为后续的模型估计提供基础。
四、模型估计在PLS-PM中，模型估计使用偏最小二乘回归（PLS）进行。
PLS 是一种广义的线性模型，通过迭代的方式对模型进行拟合，并考虑到测量误差和潜在变量的影响。
在模型估计过程中，我们需要确定合适的模型拟合指标，如R方、Q方等，并对模型的拟合效果进行评估。
五、模型评估模型评估是PLS-PM的重要环节。
我们需要评估模型的拟合效果、预测能力和解释能力。
通过比较模型拟合指标和竞争模型的性能，我们可以判断模型的优劣。
此外，我们还可以使用交叉验证、敏感度分析等方法来评估模型的稳定性。
如果模型拟合效果不理想，我们需要重新审视路径图和模型估计过程，并进行相应的调整。
六、模型应用与拓展模型应用是PLS-PM的目的之一。
我们可以将建立好的模型应用于实际情境中，预测新数据或对未知数据进行解释。
此外，我们还可以将PLS-PM应用于其他相关领域，以探索变量之间的关系。
偏最小二乘方法优秀课件
b12 ...
b1m
由此得到
b21
b22
...
b2
m
e11 e21
E (e1
e2
)
e12
...
e
22
...
e1n
e
2
n
Y = XB + E
对于2-P 个因变量的图形表示为： 2-p n 2-p 2-p
Y=X B+E
m 最小二乘的解为：
n
mn
B(XX)1XY
(6.3)
多元线性回归应用很广泛，因为在许多情况下该种方法具有 良好的性能。但是，此种方法也有固有的缺点。假若体系的响 应（即因变量）呈现线性，无干扰，无溶液间的相互作用，低 噪声无共线性，则多元线性回归是一种非常好的方法。
§ 6.1 多元线性回归（MLR）
若自变量为m个，xj (j=1,2,…,m)，因变量为y，在y与xj间， 我们可以建立一线性模型，即
y b 1 x 1 b 2 x 2 . .b .m x m e (6.1a)
m
y bj xj e
(6.1b)
j1
yxbe
(6.1c)
在式中，bj为回归系数。 在式（6.1）中仅有一个试样，若有n个试样，即
为yi (i=1,2,…,n)，它的列向量形式为y ，b与原来相同， 矢量xj’为矩阵X的行，则： y = Xb + e
若用图形表示，则为：
1
m1
1
y= X B+ e
n
nm n
在此情况下，n为试样数，m为自变量数。有如下三种情况：
(1) m>n，即变量数多于试样数，对于b来说，则有无穷多个解。
(2) m=n，变量数与试样数相等，若矩阵X满秩时，则矢量b有 唯一解。但是，在实际工作中，这种情况是极少能碰到的。 此时我们有：
《偏最小二乘方法》课件
首先对数据进行预处理和特征选择，然后利用偏最小二乘方法提取 主成分，最后建立预测模型并进行模型评估。
预测建模效果
通过偏最小二乘方法建立的预测模型具有较好的稳定性和泛化能力 ，能够为实际应用提供可靠的预测结果。
04
偏最小二乘方法在机器学习中的 应用
分类问题
偏最小二乘方法在分类问题中可以用于特征提取和模型训练。通过提取数据中的潜在特征，偏最小二 乘方法能够降低数据维度，同时保留分类信息，提高分类准确率。
提高可解释性 为了更好地理解模型的内在机制 ，未来研究可以进一步探索如何 提高偏最小二乘方法的结果可解 释性。
扩展应用领域
随着大数据和人工智能技术的不 断发展，偏最小二乘方法可以进 一步扩展到更多领域，如自然语 言处理、图像处理等。
结合其他算法
未来研究可以将偏最小二乘方法 与其他算法结合，如深度学习、 强化学习等，以获得更好的性能 和更广泛的应用。
金融数据分析
总结词
偏最小二乘方法在金融数据分析中广 泛应用于预测股票价格、评估投资组 合风险和回报等方面。
详细描述
通过分析历史股票数据和市场信息， 偏最小二乘方法能够建立有效的预测 模型，帮助投资者做出更明智的决策 。
市场细分分析
总结词
偏最小二乘方法在市场细分分析中用于识别不同消费者群体的特征和行为模式，从而制定更有针对性的营销策略 。
线性回归（Linear Regression）
PLS和线性回归都是预测模型，但PLS更适合处理具有复杂相关性和非线性的数据集， 而线性回归假设数据服从正态分布且变量独立。
支持向量机（SVM）
PLS和SVM都是监督学习算法，但PLS更适用于高维度和多因多果的问题，而SVM主要 应用于分类问题。
偏最小二乘结构方程
偏最小二乘结构方程偏最小二乘（Partial Least Squares，简称PLS）是一种常见的结构方程模型方法，用于将多个自变量与一个或多个因变量联系起来，同时考虑自变量之间和因变量之间的相关性。
本文将介绍PLS的原理、步骤和优点，帮助读者更好地了解和使用该方法。
PLS的核心思想是将自变量和因变量的信息映射到几个新的变量（称为潜变量）中，这些变量能够最好地解释自变量和因变量之间的关系。
PLS与传统的最小二乘回归（Linear Regression）方法不同，它能够处理具有多重共线性（Multicollinearity）和高维数（High Dimensionality）的数据集，并且能够发现潜在的非线性关系。
PLS的步骤主要包括以下几个方面：第一步：标准化数据。
将自变量和因变量标准化，使其均值为0，标准差为1，从而消除不同变量之间的量纲差异性。
第二步：选择潜变量数目。
根据样本量和数据结构的特点，确定潜变量的数目，以便更好地表示自变量和因变量之间的关系。
第三步：估计剖面矩阵。
使用PLS算法计算潜变量，估计自变量和因变量之间的相关性，并构建剖面矩阵。
第四步：估计结构方程模型。
使用剖面矩阵和PLS算法，构建能够解释自变量和因变量之间关系的结构方程模型。
PLS方法有以下优点：1. 能够处理多重共线性和高维数的数据集。
2. 能够发现潜在的非线性关系。
3. 能够同时估计自变量和因变量的贡献。
4. 能够将多个自变量结合成一个潜变量，并能够同时处理多个因变量。
总之，PLS是一种优秀的结构方程模型方法，可以帮助研究者更好地探究自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，需要注意选择适当的潜变量数目和确认模型的可靠性，以充分发挥PLS方法的优点。
偏最小二乘方法 ppt课件
偏最小二乘方法
10
设矩阵X的阶为I*J，若T的阶与J相等，则主成分回归与 多元线性回归所得结果相同，并不能显示出主成分回归的优 越之处。选取的主成分数一般应该比J 小，而删去那些不重 要的主成分，因为这些主成分所包含的信息主要是噪声，由 此所得的回归方程稳定性较好。
b(XX)1Xy
(6.2)
x(bb)1by
在上边的叙述中，因变量为1个，而事实上可以有多个因 变量。如有两个因变量y1和y2，我们可以简单地写成两个线性 方程：
y1=Xb1+ e ; y2=Xb2+ e
偏最小二乘方法
4
若用矩阵标表示，则：
x11 x12 .. x1n
y11 y12
X
x
21
为了克服多元线性回归的不足，在数学方法上引进了主 成分回归方法（PCR）。
偏最小二乘方法
9
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。
主成分分析的概念在前一章已经作了介绍。所谓主成分， 它为一新的变量，而该新变量是原变量xij的线性组合。第一 个主成分所能解释原变量的方差量最大，第二个次之，第三 个再次之，等等。也就是说，主成分是一种线性组合，用它 来表征原来变量时所产生的平方误差最小。运用主成分分析， 原变量矩阵X可以表达为得分（即主成分）矩阵T，而T由X在 本征矢量P上的投影所得。主成分与矩阵X的本征矢量一一对 应，即T = XP。
8
对于此模型，Err=0.07。它比前者为小，这就意味着对于矩 阵Y，第二个数学模型比第个要更有效，这是一种假象。由 于X中引入最后一列，使得B2中上部3*3部分与前边所提B不 相等（B为真实模型）。由B2计算所得Y尽管误差要小，但其 数学模型所描述的自变量与因变量间的关系并不真实。其原 因主要为多元线性回归方法是采用整个X矩阵来建立数学模 型，而并不顾及在X中的信息与真实模型相关与否。很显然 ，若所得结果偏离了其实际数学模型，则对于未知试样的预 测也是错误的。
偏最小二乘法算法
偏最小二乘法 1.1 基本原理偏最小二乘法（PLS ）是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。
但它相对于主成分回归（PCR ）更进了一步，两者的区别在于PLS 法将浓度矩阵Y 和相应的量测响应矩阵X 同时进行主成分分解：X=TP+E Y=UQ+F式中T 和U 分别为X 和Y 的得分矩阵，而P 和Q 分别为X 和Y 的载荷矩阵，E 和F 分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X 和Y 时所引进的误差。
偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y 中因子的同时也用于描述变量X 。
为了实现这一点，数学中是以矩阵Y 的列去计算矩阵X 的因子。
同时，矩阵Y 的因子则由矩阵X 的列去预测。
分解得到的T 和U 矩阵分别是除去了大部分测量误差的响应和浓度的信息。
偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T 和特征浓度矩阵U 进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称关联矩阵B ：B=(T T T -1)T TU因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y 和矩阵X 的主成分分解以及对关联矩阵B 的计算。
1.2主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。
他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。
同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。
新变量是一组正交的，即互不相关的变量。
这种新变量又称为主成分。
如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。
下面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。
假设有n 个样本包含p 个组分，在m 个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：A n×m =C n×pB p×m如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而大小不同。
换句话说，光谱A 表示在由p 个波长构成的p 维变量空间的一组点（n 个），而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。
偏最小二乘方法
Y ( y1
y11 y y2 ) 12 ... y1n
e11 e e2 ) 12 ... e1n
y12 y22 ... y2 n
e21 e22 ... e2 n
图6.1 PLS处理的图形表示
如有矩阵（见§ 6.2）：Leabharlann 75 63 X 96 69
152 102 132 82 218 176 157 124
2 7 5 4 3 3 Y 9 12 3 6 8 2
数据的预处理为：每列减去相应列的平均值（meancentered），PLS所得结果为：
§ 6.2 主成分回归
主成分回归可分为两步： 测定主成分数，并由主成分分 析将X矩阵降维； 对于降维的X矩阵再进行线性回归分析。 主成分分析的概念在前一章已经作了介绍。所谓主成分，
它为一新的变量，而该新变量是原变量xij的线性组合。第一 个主成分所能解释原变量的方差量最大，第二个次之，第三 个再次之，等等。也就是说，主成分是一种线性组合，用它 来表征原来变量时所产生的平方误差最小。运用主成分分析， 原变量矩阵X可以表达为得分（即主成分）矩阵T，而T由X在 本征矢量P上的投影所得。主成分与矩阵X的本征矢量一一对 应，即T = XP。
设矩阵X的阶为I*J，若T的阶与J相等，则主成分回归与 多元线性回归所得结果相同，并不能显示出主成分回归的优 越之处。选取的主成分数一般应该比J 小，而删去那些不重 要的主成分，因为这些主成分所包含的信息主要是噪声，由 此所得的回归方程稳定性较好。 另外，由X所定义的空间可以进一步来说明主成分回归 与多元线性回归的区别。多元线性回归应用了由X的列所定 义的全部空间，而主成分回归所占用的是一子空间。当X的J 列中，有一列可为其它J —1列的线性组合时，则X可用J -1列 的矩阵T来描述，而并不丢失信息。新的矩阵T定义了X的一 个子空间。
结构方程模型的约束最小二乘解与确定性算法概要
结构方程模型的约束最小二乘解与确定性算法1)摘要研究了结构方程模型(SEM)的约束最小二乘解（CLS），从分析SEM的观测方程组入手，发现了这个不定方程组的结构变量与观测变量必须满足的最小二乘关系，在对结构变量有固定模长参数约束的条件下，求出它的一组模长约束最小二乘解（MCLS）。
MCLS 可以作为求解结构方程组的偏最小二乘（PLS）迭代初值。
在求得MCLS以后，在观测方程组中改变模长，使得每个结构变量所对应的与观测变量的路径系数满足配方条件，是更为合理的约束，它可以保证结构变量与所辖的观测变量同质。
尽管观测方程组是不定方程组，但是根据误差平方和最小以及对路径系数的配方约束，使得MCLS求解为合理的确定性算法。
然后再对结构方程组直接求解，也是确定性算法，这就解决了结构方程模型求解的唯一性问题。
关键词：结构方程模型，约束最小二乘解，配方条件，确定性算法MR(2000)主题分类：62H12, 62J05THE CONSTRAINT LEST SQUARE SOLUTION AND DEFINITE ALGORITHM IN STRUCTURALEQUATION MODELAbstractthe constraint least square solution in structural equation model (SEM) has been studied. By analysis of the observation equations in SEM, the least square relationship between each structural variable and its observation variables is find. Adding a constraint with modular length to the structural variables, the modular constraint least square solution (MCLS) for observation equations is obtained. This MCLS can be used as the initial value in PLS iterative process to improve its convergence. Furthermore it is reasonable to change the modular lengths of observation variables so that the path coefficients between the structure variable and its observation variables satisfy prescription conditions. This prescription conditions can guarantee the homogeneity of a structure variable with its observation variables. This algorithm is a determinate algorithm with the least square of errors and prescription conditions for the path coefficients, although the SEM is an indeterminate equations.Keywords:Structural equation models, Constraint least square solution, Prescription conditions, Definite algorithm.2000 Mathematics Subject Classification：62H12, 62J05 ——————————————————————————————1) 国家自然科学基金资助项目（30570611, 60773210）.1. 结构方程模型结构方程模型（SEM）是应用统计领域近来发展迅速的一个分支，广泛应用于心理学、社会学等领域，尤其是顾客满意指数（CSI）分析模型([1][2])。
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因子模型
❖ x1，x2，x3是潜变量1的指标（indicator）， x4，x5是潜变量2的指标
❖ 测量方程（measurement equation），反映 了因子（潜变量）与其测量指标之间的关系
测量方程
x 1 11 1 1 , x 2 21 1 2 , x 3 31 1 3 , x 4 42 2 4 , x 5 52 2 5
学科 6
0.68
学科 7
0.65
学科 3
0.65
学科 8
0.81
学科 9
0.66
第一组
0.19 第二组
0.22 0.22 第三组
模型路径图
x11 x12 x13
x 31
x 32
1
3
3
x21 x22 x23 x24
结构方程分析原理
❖ 结构方程模型是验证性因子模型和（潜变量） 因果模型的结合。
因子分析算法原理
7
0.09 0.44 0.09 0.09 0.08 0.44 1.00
8
0.13 0.12 0.53 0.12 0.12 0.12 0.11 1.00
9
0.11 0.10 0.43 0.10 0.10 0.10 0.09 0.54 1.00
学科 1
0.73
学科 4
0.69
学科 5
0.65
学科 2
0.68
学科
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1.00
2
0.12
1.00
3
0.08
0.08
1.00
4
0.50
0.11
0.08
1.00
5
0.48
0.03
0.12
0.45
1.00
6
0.07
0.46
0.15
0.08
0.11
1.00
7
0.05
0.44
0.15
0.12
0.12
0.44
1.00
8
0.14
0.17
0.53
0.14
0.08
学科 6
0.68
学科 7
x4
0
0 0 ,
42
12,
2
3
4
x5
0 52
5
vaxr1()
covx2(,x1) vaxr2()
covx3(,x1) covx3(,x2) vaxr3()
covx4(,x1) covx4(,x2) covx4(,x3) vaxr4()
covx5(,x1) covx5(,x2) covx5(,x3) covx5(,x4) vaxr5()
调查问卷－数据挖掘
结构方程分析
❖ 纯粹验证（strictly confirmatory）：只有一个模型 去拟合一个样本数据，分析目的是决定接受还是拒 绝这个模型
❖ 选择模型（alternative model）：提出数个不同的 可能模型，从各模型拟合样本数据的优劣，决定哪 个模型最为可取。
❖ 模型产生（model generating）：先提出一个或多 个基本模型，检查这些模型是否拟合样本数据，基 于理论或样本数据，分析找出模型中拟合欠佳的部 分，修改模型，并通过同一数据或其他样本，检查 修正模型的拟合程度，整个分析过程的目的在于产 生一个最佳模型。
CSM） ❖ 线性结构方程模型LISREL（LInear Structural
RELationship） ❖ 基于变量的协方差(相关系数)矩阵来分析变量之间
关系的一种统计方法 ❖ 应用于社会学、教育学、心理学等
为何要用结构方程模型
❖ 很多社会、心理研究中涉及的变量，都不能准确、 直接地测量，这种变量称为潜变量（Latent variable），如智力、学习动机、家庭社会经济地位 等等。我们只好退而求其次，用一些外显指标 （observable indicators），去间接测量这些潜变量。
0.05
0.43
0.10
0.06
0.08
0.10
0.54
1.00
学科 1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1.00
2
0.10 1.00
3
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4
0.50 .09 0.45 1.00
6
0.10 0.46 0.10 0.09 0.09 1.00
2
0.12
1.00
3
0.08
0.08
1.00
4
0.50
0.11
0.08
1.00
5
0.48
0.03
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1.00
6
0.07
0.46
0.15
0.08
0.11
1.00
7
0.05
0.44
0.15
0.12
0.12
0.44
1.00
8
0.14
0.17
0.53
0.14
0.08
0.10
0.06
1.00
9
0.16
结构方程模型与偏最小二乘法
报告人： 宁禄乔 吴兵福 何涛
主要内容
❖ 结构方程模型简介 ❖ 结构方程模型原理
因子模型 路径模型
❖ 结构方程模型与偏最小二乘法 ❖ 基于两个潜变量的偏最小二乘法 ❖ 基于多个潜变量的偏最小二乘法 ❖ 偏最小二乘法的几何意义
结构方程模型简介
❖ 结构方程模型（Structural Equation Model, SEM） ❖ 协方差结构模型（Covariance Structure Modeling,
模型假设
❖ 误差项的均值为零，即E(i) = 0，i = 1…5； ❖ 误差项与因子之间不相关，即cov(i，j) = 0，
i = 1，2，j = 1, 2, …5； ❖ 误差项之间不相关，即cov(i，j) = 0，i≠j。
矩阵形式
❖ x＝x +
x1
11 0
1
x2
21
xx3, x 31
0.10
0.06
1.00
9
0.16
0.05
0.43
0.10
0.06
0.08
0.10
0.54
1.00
模型
❖ 学科可分为三组（即三个因子）：
学科1，4，5为一组； 学科2，6，7为一组； 学科3，8，9为一组； 这三组成绩可能相互关联。
学科 1
0.73
学科 4
0.69
学科 5
0.65
学科 2
0.68
❖ 例如：
以学生父母教育程度、父母职业及其收入（共6个变量）， 作为学生家庭社会经济地位（潜变量）的指标；
以学生语文、数学、英语三科成绩（外显变量），作为 学业成就（潜变量）的指标。
一种量化研究方法
❖ 定性研究－>定量研究（演绎） ❖ 例如：
顾客满意度与顾客忠诚 智商，情商与成就 ……
❖ 定量研究－>定性研究（归纳）
1 211111
211111
2
2111 22
()311111
312111
2 3111 33
5 42 2 1 11 12 21 1
422121 522121
423121 523121
2 4222 44
524222
2
5222
55
学科
1
2
3
4
5
6
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9
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1.00