充分条件与必要条件-沪教版必修1教案

充分条件与必要条件

2. 第一章 集合与简易逻辑的复习

二. 本周重、难点：

1. 关于充要条件的判断

2. 本章综合知识的应用

【典型例题】

[例1] 判断下列各组命题中p 是q 的什么条件？

（1）p ：0=ab ，q ：02

2=+b a

（2）p ：0>xy ，q ：y x y x +=+

（3）p ：0>m ，q ：方程02

=--m x x 有实根

（4）p ：012>++ax ax 的解集为R ，q ：40<

解： （1）p 是q 的必要不充分条件 （2）p 是q 的充分不必要条件 （3）p 是q 的充分不必要条件 （4）

p 是q 的必要不充分条件

[例2] 已知：p ：02082>--x x ，q ：0122

2>-+-a x x ，若p 是q 的充分而不必要条件。求正实数a 的取值范围。

解：

p ：10>x 或2-a ∴ q ：a x +>1或a x -<1

由题意q p ⇒但/⇒q p 如图 则有⎪⎩⎪

⎨⎧≤+-≥->10

1210a a a 解得30≤

∴ 实数a 的取值范围是30≤

[例3] 已知p 是r 的充分条件，而r 是q 的必要条件，同时又是S 的充分条件，q 是S 的必要条件。

（1）S 是p 的什么条件？ （2）p 是q 的什么条件？

（3）其中有哪几对条件互为充要条件？ 解：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⇒⇒⇒⇒q S S r r q r p ∴

∴（1）S 是p 的必要条件 （2）p 是q 的充分条件

（3）r 与S ，r 与q ，S 与q 三对分别互为充要条件

[例4] 当且仅当m 取何整数值时，关于x 的方程。

0442=+-x mx ① 0544422=--+-m m mx x ②的根都是整数

解：

方程①有实根的充要条件是：01616≥-=∆m 解得1≤m

方程②有实根的充要条件是：0)544(4162

2

≥---=∆m m m 解得45-

≥m

∴

145

≤≤-

m

由m 为整数知：1-=m ，0，1

当1-=m 时，方程①为0442

=-+x x 它没有整数根 当0=m 时，方程②为052

=-x 它也没有整数根

当1=m 时，方程①、②的根都是整数

[例5] 设a 、b 、c 为ABC ∆的三边，求证：方程0222=++b ax x 与022

2=-+b cx x 有

公共根的充要条件是︒=∠90A

证明：

（1）充分性 ∵ ︒=∠90A ∴ 2

22c b a +=

∴ 0222=++b ax x 可化为：022

22=-++c a ax x

0)]()][([=-+++c a x c a x ∴ c a x --=1，c a x +-=2

同理：0222=-+b cx x 可化为：022

22=-++a c cx x

0)]()][([=++-+a c x a c x ∴ c a x --=3，a c x +-=4 ∴ 两方程有公共根c a -- （2）必要性

设两方程有公共根α 则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++02022222b c b a αααα ∴

0)(22=++ααc a 又 ∵ 0≠α 若0=α代入任一方程得02

=b 即0=b 这与已知b 是三角形的边长0≠b 相矛盾

∴ c a --=α

把c a --=α代入上面方程组与任何一个式子，均可得2

22c b a +=

∴ ︒=∠90A

[例6] 设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式0112

1>++c x b x a 和+2

2x a

022>+c x b 的解集分别为M 和N ，那么“21

2121c c b b a a =

=”是“M=N ”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分与不必要条件

解：对于022>--x x 和022

>++-x x 有22111

1-=-=-，但其解集分别为}21|{<<-x x 和1|{-x 不相等，∴ 充分条件不成立

又对于012>---x x 的解集为φ，0422>---x x 的解集为φ，412111--≠--≠--

∴ 必要条件不成立 ∴ 21

212

1c c b b a a =

=是M=N 的既不充分也不必要条件。 [例7] 已知：1

1<-x ax

的解集为1|{x ，求a

解：

原不等式化为：0

11

)1(<-+-x x a ∴ 同解于0)1](1)1[(<-+-x x a

由已知解集为：1|{x 得01<-a

∴ 0)1](1)1[(>---x x a 即0

)1)(11

(>---

x a x ① 又解集为1|{x 的不等式为0)1)(2(>--x x ②

比较①、②得211=-a 解得121<=a ∴

21=

a [例8] 已知集合

}6553|),{(2

-+-==p px x y y x A p 其中]100,1[|{∈=∈x x B p ，}N x ∈，求所有集合p A 的交集A 。

解：

由65532-+-=p px x y ∴

0)653()5(2

=--+-y x p x ∴ ⎩⎨⎧=--=-0653052y x x 解得⎩⎨⎧==105y x

可知所有p A （]100,1[∈p ，N p ∈）中的抛物线都过定点（5，10）

∴ 所有p A 的交集)}10,5{(=A

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题：

1. 设全集为U ，下面三个命题中，真命题的个数是（ ）

（1）若B A ⋂φ=，则U B C A C U U =⋃)()( （2）若U B A =⋃，则φ=⋂)()(B C A C U U （3）若φ=⋃B A ，则φ==B A A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 设}1|{<=x x A ，}0)2)((|{≤--=x a x x B 且}2|{≤=⋃x x B A ，则a 的取值范围是（ ）

A. 1≤a

B. 1

C. 1>a

D. 1≥a

3. 032

>+++a ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A.（4-，0）

B. ),0()4,(∞+⋃--∞

C. ),0[∞+

D. )0,(-∞ 4. “B A x ⋂∉”的充要条件是（ ） A. A x ∈有B x ∈

B. A x ∈或B x ∈