2020高考数学复习--专题05 导数与函数不等式恒成立、有解(存在性)-用思维导图突破导数压轴题

专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（训练篇B ）

-用思维导图突破解导数压轴题

1. 已知函数.

（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 解 （1）的定义域为，. 若，则当时，，故在单调递增.

若，则当时，； 当时，. 故在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为 . 所以等价于，即. 设，则， 当时，；

当时，.

所以在单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为.所以当时.

从而当时，，即.

2. 已知函数，设. （1）求的极小值；

()2(1)2lnx ax a x f x =+++()f x 0a <3()24f x a

≤--()f x (0,)+∞'1(1)(21)()221x ax f x ax a x x ++=

+++=0a ≥(0,)x ∈+∞()0f x '>()f x (0,)+∞0a <1(0,)2x a ∈-

()0f x '>x ∈1(,)2a

-+∞()0f x '<()f x 1(0,)2a -1(,)2a

-+∞0a <()f x 12x a =-

11()214)21(ln f a a

a =----3(4)2a

f x ≤--13(12441)2a ln a a ---≤--1(02121)a ln a -++≤()ln 1

g x x x =-+1()1g x x '=

-(0,1)x ∈()0g x '>(1,)x ∈+∞()0g x '<()g x (0,1)(1,)+∞1x =()g x (1)0g =0x >()0g x ≤0a <10,2a ->1(02121)a ln a -++≤3(4)2a

f x ≤--()()e x f x x a x a =-++()()

g x f x '=()g x

（2）若在上恒成立，求a 的取值范围.

解 （1），由题意可知， 所以。

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

所以在处取得极小值，为。

（）由（Ⅰ）得

当时，所以在单调递增，所以 即时在恒成立.

当时， 又，所以在上单调递增，在上单调递减。

因此在上一定存在使得，在递减，在递增， 所以，所以在存在，使得， 所以当时，在上不恒成立。

所以a 的取值范围为.

3.设函数

（）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，，求的取值范围

解（Ⅰ）

令

当时，

当时， ()0f x >(0,)+∞()(1)1x f x x a e '=-++()(1)1x g x x a e =-++()(2)x g x x a e '=-+2x a >-()0g x '>()g x (2,)a -+∞2x a <-()0g x '<()g x (,2)a -∞-()g x 2x a =-2(2)1a g a e --=-+2()()1a f x g x e -'=≥-+2a ≤2()10a f x e -'≥-+>()f x ()(0)0f x f >=2a ≤()0f x >(0,)+∞2a >(0)(0)20f g a '==-<()()10a f a g a e '==+>()f x '(2,)a -+∞(0,2)a -(0,)a 0x 0()0f x '=()f x 0(0,)x 0(,)x +∞0()(0)0f x f <=(0,)+∞0x 0()0f x <2a >()0f x >(0,)+∞(],2-∞.)1()(2x

e x x

f -=)(x f 0≥x 1)(+≤ax x f a .)21()(2'x e x x x f --=.21,210)('+-=--==x x x f 或得)21,(---∞∈x ,0)('x f