大学生数学竞赛经典题库

10月16日

1:求极限3

0sin arctan lim x x

x x -→.

2:已知

,0)0(,1)0(=='f f 求)2

(lim n

nf n ∞

→. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<<

+n x x x n n π求:

(1)

证明n n x ∞

→lim 存在, (2)计算1

1)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知

)(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1)

(lim ,0)0(0

=-=→x

x f f x 则在点0

=x 处

)(x f

(A) 不可导 (B) 可导,且

,0)0(≠'f

(C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设

,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 .

6：求对数螺线θ

ρe =在点)2,(2

π

πe 处得切线的直角方程.

7：计算dx e e x x )(0

cos cos ⎰

--π

.

8：计算dx x x ⎰

++4

2

)

2()

1ln(. 9: 计算

dx x x ⎰

-π

53sin sin .

10: 化三重积分

⎰⎰⎰Ω

)

,,(z y x f 为累次积分,其中

Ω

为六个平面

2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域..

11：求2

2

2

a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>==

b b y m my x x

截下部分

面积. 12计算,)(22dxdydz y x I

⎰⎰⎰Ω

+=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而

成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体.

级数部分 13:设1,32,1,11221

≥+===++n a a a a a n n n ，求n n n x a ∑∞

=1

的收敛半径、收敛域

及和函数。

解：把1,3212≥+=++n a a a n n n 化为),3(3112n n n n a a a a --=-+++则123++-n n a a 是以 －2为首项，－1为公比的等比数列，所以n n n a a )1(2312--=-++此式又可以

化为])1(21

[3])1(21[1122++++-+=-+n n n n a a 则1

)1(21n n a -+是以 2

1为首项，3为公比的等比数列，

所以132

1)1(21-⨯+--=n n

n a 由于,3lim =∞→n n n a

所以

n

n n

x a ∑∞

=1

的收敛半径是31，收敛域是)31,31[-，和函数是 )31)(1()

1(31361121)3(61)(21111

x x x x x x x x x x x a n

n n

n n

n n

-+-=-⨯++-⨯-=+--=∑∑∑∞=∞=∞

= 14已知)(x f n 满足x

n n n e x

x f x f 1)()(-+='

（n 为正整数），且n

e

f n =

)1(，求函数项级数)(1

x f

n n

∑∞

=之和（2001，3）.

解：由已知条件可见

x n n n e x x f x f 1)()(-=-'

其通解为

)(

)(1c n x e c dx e e x e x f n

x dx x n dx n +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-- 由条件n e f n =)1(，得0=c ，故n

e x x

f x

n n =)(。

从而

∑∑∑∞

=∞

=∞

===111)(n n x

n x n n n n

x e n e x x f

记∑∞

==1

)(n n

n x x s ，其收敛域为[)1,1-，当()1,1-∈x 时，有

x

x

x s n n -=

='∑∞

=-11)(1

1

故 )1

l n (11

)(0x dt t x s x

--=-=

⎰。 当1-=x 时，

∑∞

=--=1

12ln )(n n

e x f

于是，当11<≤-x 时，有

∑∞

=--=1

)1l n ()(n x n

x e x f

15：将函数)11(2)(≤≤-+=x x x f 展成以2为周期的傅里叶级数,并求级数∑∞

=1

2

1n n

的

和.

16.计算不定积分⎰+-=dx xe x x

x I x )

cos 1(cos sin cos sin 2（里20）

提示：)sin (cos )(cos 2sin sin x x e xe x x -='

17.计算不定积分⎰++dx x x 1

1

4

2（例13） 提示：2

11)1(x x x -='- 18.计算不定积分⎰--=

dx x x x

I 2)ln (ln 1（例6）

提示：2ln 1)ln (

x

x

x x -=' 19.已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=+=+=23221,,是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。（例24） 20.设⎰--

=x

dt t f t x x x f 0)()(sin )(，其中)(x f 为连续函数，求)(x f 。

（例40） 21.设二阶常系数齐次方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为x x

e x e y )1(2++=，试确定常

数γβα,,，并求该方程的通解。（例41）

22.设),(t x f y =，其中),(y x t t =是由0),,(=t y x G 确定，其中G f ,具有连续的一阶偏导