极坐标与参数方程

极坐标与参数方程面面观

1、极坐标

极坐标系（polar coordinates ）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O ，称为极点。从O 出发引一条射线Ox ，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P 的位置就可以用线段OP 的长度ρ以及从Ox 到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P 点的极坐标，记为P （ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P 点的极角。

阿基米德螺旋线r θ=

玫瑰线2sin(4)r θ=

双纽线r 2=2a 2cos2θ

心形线

极坐标中的直线一般方程

a ρcos θ+

b ρcos θ+

c =0(θ为倾斜角)

极坐标中的圆

圆心在极点，半径为R ：ρ=R （θ任意）

半径为R 的圆过（R,0）点：ρ=2Rcos θ.

圆心(a ，α)半径为r ：r 2=ρ2+a 2−2a ρcos (α−θ)

ρ^2-2R ρ(sin θ+cos θ)+R^2=0

圆心在(a ，π2)处且过极点：ρ=2asin θ(θ∈[0，π]) 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ

ρcos 1e ep -=.（p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ）．

当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；

当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

2、参数方程 定义：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数't’的函数{x=f(t)，y=g(t)}并且对于't‘的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x ，y 的变数't‘叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。（注意：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数）

圆的参数方程它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ

=+⎧⎨

=+⎩为参数（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径。

抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2

2(0)y px p =>的参数方程为2

2().2x pt t y pt

⎧=⎨=⎩为参数 p 表示焦点到准线的距离

直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα

=+⎧⎨=+⎩()t 为参数， y 0和x 0表示直线经过000(,)M x y 且倾斜角为α或者{x =x 0+ut y =y 0

+vt (t 为参数) ， y 0和x 0表示直线经过000(,)M x y u ，v 表示直线的方向向量d=（u ，v ）

圆的渐开线⎩⎨⎧-=+=)

cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）φ∈[0,2π） r 为基圆的半径

摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。⎩

⎨⎧-=-=)cos 1(

)sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）

3、球坐标与柱坐标

设P （x ，y ，z ）为空间内一点，则点P 也可用这样三个有次序的数r ，φ，θ

来确定，其x 轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面xoy 的投影所转过的角，这里M 为点P 在xOy 面上的投影。这样的三个数r ，φ，θ叫做点P 的球面坐标

柱坐标系中的三个坐标变量是 r 、φ、z 。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z 变量。