应用PDE讲义03_特征线

解法 2：将原方程的特征线参数化
，
其中 为特征线的曲线参数， ， 应满足
，
于是对于给定的 0，过点 0， 的特征线为
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sin ，
cos
注意到原方程，沿着特征线成立
， 0，
即
，
exp
因此
，
exp
exp arctan
这里特别指出， 的取值范围是 0， /2 。 例 2：求定解问题
2＝
0， 1 ，1
2
应用偏微分方程与科学计算 讲义（3）
Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and
Scientific Computing No. 3
马石庄
2010．09．13．北京
1
第 3 讲 波动方程特征线解法
教学目的：学习一阶偏微分方程特征线解法，掌握波动方程的行波解， 建立一阶偏微分方程组与高阶偏微分方程的联系 主要内容： §1. 一阶偏微分方程的特征线解法........................................................ 4
在区域中每一点都不存在任何实特征方向，称方程组是椭圆型的。
例 1：电报方程组。电力传输线中电流 ， 和电压 ， 随
距离和时间的变化，考虑自感 、电容 和电漏 的影响。 任取一段导线 ， ∆ ，电压降应等于电动势之和
，
∆，
∆
∆
其中， ， 是单位长度导线的电阻和电感。上式两边同时除以∆ ， 令∆ 0得到
∞， 0， ∞；
许多物理规律都可以用守恒律形式表示，最一般地．用偏微分
方程
给出。这里
，，
·
0
是 ， 的向量值函数， R ，
3
是 的矩阵值函数。使用“守恒“的含义是因为如果| | ∞时． 0，那么
是与 无关的常量，即这些积分是守恒的． 一阶偏微分方程（组）在生灭过程、连续介质力学以及交通流
动力学中有广泛的应用。在许多教材中简单处理，一个原因是许多明 显意义的偏微分方程，如扩散方程、波动方程和位势方程都是标准的 二阶偏微分方程；再者，一阶偏微分方程理论局部上可以转化为一阶 常微分方程组的研究。
与原方程一道构成关于 / 和 / 在 上值的方程组，其中 ， ， 都是 的已知函数。因此，如果系数行列式 0，对所有的
则 / 和 / 在 上可以唯一确定。如果这个条件成立，并且
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， ， 及 Cauchy 数据在没一点都有 Taylor 级数展开，可以验证 的 任意阶偏导数都可以被 Cauchy 数据和偏微分方程唯一确定，并且可
在 ， ， 空间中，解曲面的法向为 ， ，1
把偏微分方程可以重新表示为 ，， · ， ， 1 0
几何上， ， ， 落在解曲面每一点的切平面上。因此，如果通过 求解常微分方程组（特征方程组）
，， ，， ，， 来构造曲线 ， ， ，其中 为参数，那么对于所有的 ， 这条曲线就落在解曲面上。另外，如果在 0上要求
，0
， ，0
，
，0
构成了平面 ， 中单曲线族 ，称为特征投影（通常也称这些曲线
为特征线）。通过任意非奇点存在唯一的特征投影，参数为 ， ，因
此映射 ，
， 是可逆的，从而
0。
假设特征投影已知，利用下式
或
可以计算沿着特征投影解 是如何变化的。当然如果系数 非线性地依 赖于 ，最后的常微分方程可能没有整体解。但是事实上，原方程可 以分解为两个一阶常微分方程，分别求解。这是一个实质性的简化， 即使不一定得到用初等函数表示的显示解。
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，
，
则这个解曲面也通过边界曲线的解曲线就称为特征线。当 变化的时
候，特征线族就张成一个曲面，也就是解曲面。解曲线在 ， 平面
上的投影称为特征投影。然而，还不清楚所构造的曲面是否光滑，是
否连续。
如果要求偏微分方程的经典解，那么 及一阶导数 / 和 /
必须存在，且使得每一点上方程两边必须相等。由 ， ， 都是
， 处的 值。
如果把 ，0
看成初始扰动，那么上述结果就表明，这
个扰动以速度| |传播，波形保持不变；当 0，是向右移动；当 0，
是向左移动。
1.3 定义域和破裂
虽然已经得到解的局部存在性结果，但是在远离特征线 的地方，
解仍然可能产生奇性，尤其当方程不是线性的时候极其容易发生。在
线性方程中
，，
， ， ，，
， ，特征线方程
：
沿特征线 有
0 即在特征线上， 是常数；特征线的斜率 是常数，特征线是一族平 行直线。
过 轴上任意一点 ，0 的特征线 为 ：
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沿特征线， 是常数
，
，0
于是得到初值问题的隐式解
，，
，
若从第一式可以确定出
， ，即对任一点 ， 能唯一地确定
出 轴上的一个对应点 ，0 ，则就可以有第二式唯一地确定出
0，对所有的 由连续性，在边界的某些邻域内这一条件也满足，于是得到解 的局 部存在性。进一步，显然所构造的函数满足原泛定方程，由特征线方 程组，只要简单沿特征线求导
注意这个结果表示，沿特征线原泛定方程中的偏导数简化为 沿特征 线方向的方向导数。
现在求单边波动方程的初值问题
0， ， 0
，0
，
如果方程的一个解为
的上方wenku.baidu.com
和下方的，虽然是 ， 的连续函数，且沿此抛物线取相同的值
，
，
3
但在此抛物线上
，
，
也就是说，偏微分方程的一个连续合成解的一阶导数沿特征线产生间 断，是不连续的。
对于所有的标量拟线性方程，解的定义域至少是被通过边界曲线 投影端点的特征投影所限制，另一个限制是系数 ， 均为零，或者沿
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特征线积分时破裂，即解及其导数出现奇性，或者是在 ， 平面的
某些曲线上 Jacobi 行列式 这些曲线上不能再延拓。
， / ， 为零所致，解的定义域在
§2 线性波动方程的初值问题
高阶偏微分方程，常可以通过引入新的未知函数的方法，化为一 个一阶偏微分方程组。特别指出，一个一阶偏微分方程组未必能化为 一个高阶偏微分方程。例如可压缩流体动力学方程组。
2.1 一阶线性偏微分方程组
§1. 一阶偏微分方程的特征线解法
考察一阶拟线性偏微分方程
，，
，，
，，
其中，系数 ， ， 与 的导数无关，且在讨论的范围内是光滑函数。
1.1 Cauchy 数据与特征线
假 设 是 ， 平面中一条曲线 ， 在 上 规 定 它 的 值 ， 称 为
Cauchy 数据，用 上的弧长 给定函数
，
，
，对
把边界条件写成参数形式。这里 ， ， 都是 的光滑函
，
且
9
，，
，
，
最简单的是上面研究过的单边波动方程， ，
， 常数。
现在研究半线性方程，定义主部是线性的，于是对于原方程，左
边含所有导数项关于 是线性的，系数 ， 仅依赖于 ， ，而 可
以费线性地依赖于 ，因此特征线方程组化为一阶常微分方程
是没有耦合 的，在相平面 ， 中有积分曲线，除了奇点
0
外不相交，满足初值条件
例 1：求定解问题
， 0， 0 0，
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其中 是一阶连续函数，即 解法 1：特征投影方程为
0，∞ 。
于是对于给定的 ，过点 0， 的特征线
，
，
沿该特征线，有
1 ， 0，
， 满足 0
积分上式
，，
0， exp
1
＝
，
exp arccos 2
原问题的解为
1 exp
√
，
exp arccos √
2
exp arctan
1.1 Cauchy 数据与特征线 .................................................................. 4 1.3 定义域和破裂 ............................................................................. 9 §2 线性波动方程的初值问题 .............................................................. 15 2.1 一阶线性偏微分方程组............................................................ 15 2.2 d'Alembert 公式 ...................................................................... 17 2.3 物理意义 ................................................................................. 21 §3 追赶问题与激波 .............................................................................. 25 3.1 追赶问题 ................................................................................... 25 3.2 经典解：疏散波和压缩波........................................................ 30 3.3 间断解：激波 ........................................................................... 34 习题 3 ..................................................................................................... 39
解：由特征投影方程
2 得知，特征线为抛物线族
在抛物线上，原方程简化为
积分 其中，
1 3 是因特征投影不同而不同的任意函数。参数 可以消去，
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得到通解为
，
1
3
及其等价形式
，
1
3
运用边值条件
0， 因此，该解在两条抛物线
1 ，1
2
之间
1，
2
，
1
3
1
2
2
1
3
如果在 轴上关于 的信息扩展到1
2范围之外，那么在 ，
更大的范围可以确定偏微分方程的解。例如
0，
，0
∞
和
依据通解，得到
，0
，0
∞
， 3
依据通解等价形式，得到
，
，0
∞
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， 3
，0
∞
2
/，
3
显然， ， 和 ， 的公共部分
3 满足原齐次偏微分方程，而差异部分
， 和
，
，0
∞
，
2
3
是相应齐次偏微分方程
/，
，0
∞
2
＝0
的解。 和 在互补的区域内部，即第一象限中抛物线
一阶偏微分方程组可以一般表示为
其中， ， ，
设有一光滑曲线
特征方程
0
， ，，
，
，
1，2， ，
，
det
0
把在一点 ， 满足 7 的方向 / 称为特征方向。 记
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特征方程表示为
det
0 即 det
0
关于 的 次代数方程，则 个不同的实根。一阶线性偏微分方程组的
分类：在区域中有两两不同的实特征方向，称方程组严格双曲型的；
， ， 的函数，而不显含 ，特征方程组是自治的，在一定连续条
件下，特征方程组有唯一的连续可微局部解
，，
，，
，
其中
，0 如果变换
， ，0
，
，0
，
，
有唯一的逆变换， 就可以局部唯一地表示为 ， 的可微函数。由反
函数定理，充分必要条件为
， 0，∞
，
其中 ，
利用泛定方程，进一步简化为
7
0，∞ 它在边界曲线上肯定是满足的，并化为条件
数，并且不存在 使得
0。
4
寻求满足边界条件和拟线性偏微分方程的连续可微函数的 的问
题，在几何上可以解释为在 ， ， 空间中构造曲面
，，
满足拟线性偏微分方程且通过边界条件定义的边界曲线，称为积分曲
面或者解曲面。这显然是常微分方程初值问题的推广，而这种推广需
要构造一条通过边界点的曲线。
如果沿边界曲线对边界数据关于 求导，则
2
在绪论里面，建立了种群演化密度偏微分方程构成定解问题：
，0
0，
，
就泛定方程而言，是具有两个变量 ， 的单一方程，偏微分方程的 一种最简单的情况。稍作推广，
0， ∞
∞， 0
和 都是标量。本讲先研究一阶非线性偏微分方程初值问题
引入
0， ∞
，0
，∞
∞， 0， ∞；
也可以改写为
0， ∞
，0
，∞
称为单边波动方程，或对流方程。
0 再考虑这段导线在时间∆ 内电流的变化
，
∆， ∆
∆∆
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应等于该段导线充电所需电量和漏电之和
，∆
，∆
， ∆∆
∆∆
其中， ， 是单位长度导线的电容和电漏。取∆ ，∆ 0，得到
0 传输线模型表示成一阶偏微分方程组，称为电报方程组
以 形 式 地 构 造 上 一 点 的 Taylor 级 数 展 开 ， 这 就 是 著 名 的
Cauchy‐Kowalevskaja 存在唯一性定理的出发点。
如果系数行列式非零的条件在一点
不被满足，那么在边界
曲线的邻域中不存在解。对于如下特殊情况
关于 / 和 / 在 上值的方程组线性相关， / 和 / 存在 但是不唯一，可能有许多曲面通过同一条边界曲线。