高等量子力学31产生算符和消灭算符

如自旋） 例 n=2 单粒子本征态 a （如自旋） b 1 ε p P bα 1 b β 2 2; b α b β = ∑ 2! P
2; aa = a 2; bb = b 2; ab =
1 1
a b
1
2 2
对称 归一化
2
1 (a 2
b
± b
1
a
2
)
对称 反对称
未归一化
对称： 1 1 2; bb 2; bb = ∑ Pδ ( b − b ) δ ( b − b ) = × 2 = 1 2! P 2! 1 1 1 2; ab 2; ab = ∑ Pδ ( a − a ) δ ( b − b ) = ×1 = 2! P 2! 2 反对称： 1 1 1 p 2; ab 2; ab = ∑ ( −1) Pδ ( a − a ) δ ( b − b ) = × 1 = 2! P 2! 2 完全性关系：
单地表出各个对称化空间的基矢的联系。 单地表出各个对称化空间的基矢的联系。结果极大推动了理论的 进展，并为处理粒子数可变的系统做好准备。该方法通常称“ 进展，并为处理粒子数可变的系统做好准备。该方法通常称“二 次量子化”方法。 次量子化”方法。
§31-1 定义 bα 为基础，其中 B bα = bα bα 讨论B表象 表象， 为基础， 讨论 表象，以 确定一个n=0的一维空间 。 的一维空间R。 定义一个什么粒子都没有的状态 0 ，确定一个 的一维空间 a† ( b) ，用它来得出 用它来得出n=1,2,3,…等系统的对称化 表 等系统的对称化B表 定义一个算符 等系统的对称化 象的基矢： 象的基矢： a † ( b ) 0 = 1; b
(30.9)
β′ γ ′ ν′
+ εδ ( b − b β ) n − 1; bα bγ L bν +L
+ ε 2δ ( b − bγ ) n − 1; bα b β L bν + ε n −1δ ( b − bν ) n − 1; bα b β L b µ ]}
Q 上式对一切左矢成立 ⇒ a ( b ) n; bα b β bγ Lbν = 1 [δ ( b − bα ) n − 1; b β bγ Lbν n
†
占有数密度算符和总粒子数算符
N = ∫ dbN (b )
( 31.7 )
N (b ) n ; b α b β L bν = a † ( b ) a ( b ) n ; b α b β L bν (31.5)a † ( b ) 1 [δ ( b − b α ) n − 1; b β b γ L bν n + εδ ( b − b β +L = δ (b − b
1 = ∑ ε p P ∑ n; b α ′b β ′ L bν ′ δ bα ′bα δ b β ′b β L δ bν ′bν n! P bα ′ b β ′ Lbν ′ 1 = ∑ ε p P n; b α b β L bν n! P
ε p n; b α b β L bν
1 = ∑ ε 2 p n; bα b β L bν n! P n! n; bα b β L bν = n! = n; bα b β L bν ( ∆ )
比较
a ( b ) a † ( b′ )
ε a † ( b′ ) a ( b )
n; bα bbb L bν 作用
⇒ a ( b) a† ( b′) − ε a† ( b′) a ( b) = δ ( b − b′)
( 31.6)
§31-2
a
( b ) ,a ( b ) 构 造 算 符 : N (b ) = a † ( b ) a ( b )
a (b )
=？ a ( b ) n; bα b β bγ L bν
n − 1; b β ′bγ ′ L bν ′ a ( b ) = n n; bb β ′bγ ′ L bν ′ = n n; bb β ′bγ ′ L bν ′ n; bα b β bγ L bν 1 = n − 1; b b L b { [δ ( b − bα ) n − 1; b β bγ L bν 内积定理 n
= δ ( b − bα ) n; bb bγ Lbν +δ ( b − b β ) n; bα bb Lbν +L
bα β
bα γ
+δ ( b − bν ) n; bα b β bγ Lb µ b
b
α
= δ ( b − bα ) + δ ( b − b β ) + L + δ ( b − bν ) n; bα b β Lbν ν α = ∑ δ ( b − b ) n; bα b β Lbν α
α
) n − 1; b
α
b γ L bν
α
) n; bb b + εδ ( b − b ) n ; bb
β β α
+ ε n −1δ ( b − bν
1
γ
) n − 1; b
bβ L bµ
L bν b γ L bν
n-1
+L
+ ε n −1δ ( b − bν
)
n ; bb α b β b γ L b µ
+ εδ ( b − b β ) n − 1; bα bγ Lbν +L
+ ε 2δ ( b − bγ ) n − 1; bα b β Lbν + ε n −1δ ( b − bν ) n − 1; bα b β L b µ
( 31.5)
Q ( 31.5) rhs, 对Fermi，最多一项， 基矢中b各不相同，顶多只能有一个 同a ( b )中的b相等。
a † ( b β ) a † ( bα ) n; b γ L bν = =ε
( n + 1)( n + 1)
⇒ a † ( b ) a † ( b′ ) − ε a † ( b′ ) a † ( b ) = 0
⇒ a † ( b ) a † ( b′ ) − ε a † ( b′ ) a † ( b ) = 0 Bose, ε = 1, Fermi, ε = −1,
——N(b)的本征值方程 的本征值方程
α β γ ν 本征值为0; 对本征矢 n; b b b L b ,设b α b β L bν 没有≠ b ,本征值为 设 本征值为
(31.8)
本征值为l 有l个 = b ,本征值为l个δ 函 本征值为 数之和. 数之和.
N n; bα b β Lbν = ∫ dbN (b) n; bα b β Lbν ν α = ∫ db∑ δ ( b − b ) n; bα b β Lbν α = n n; bα b β L bν 结论： 对称化的n粒子空间 结论：①对称化的 粒子空间 Rn 是N的本征子空间 的本征子空间 NRn = nRn
0
n; b α ′b β ′ L bν ′ = 1
离散形式
验证： 验证：
b b L bν ′
α′ β′
∑
n; b α ′b β ′ L bν ′
n; b α ′b β ′ L bν ′ n; b α b β L bν 1 ε p Pδ bα ′bα δ b β ′b β L δ bν ′bν ∑ n! P
对Bose 没有关系 从 看出，产生算符作用的次序 看出， 对Fermi 有关系 F
B
研究a † ( b )的伴算符a ( b ) 由a † ( b ) 右矢 的关系（31.1），写出相应 左矢 a ( b )的形式： 0 a ( b ) = 1; b 1; bα a ( b ) = 2 2; bbα 2; bα b β a ( b ) = 3 3; bbα b β LL n; bα b β Lbν a ( b ) = n + 1 n + 1; bbα b β Lbν 注意由右矢写出相应的左矢时， 号内的内容不改变次序，新粒子仍应写 在最左端 同样 ⇒ a ( b ) a ( b′ ) − ε a ( b′ ) a ( b ) = 0
所得状态： 所得状态：在原状态中 增加一个B值为 值为b的粒子 增加一个 值为 的粒子
a † ( b ) n; bα bb β L bν = n + 1 n + 1; bbα bb β L bν
验证完全性关系 n; b α ′b β ′ L bν ′ ∑
bα ′ b β ′ L bν ′
Bose Fermi
分析:① 分析 ① a( b) 把n粒子基矢 → (n-1)粒子基矢⇒ a ( b ) ——消灭算符 粒子基矢 粒子基矢 消灭算符
中有一个离子处于b态则 ②如在 n; bα b β bγ Lbν 中有一个离子处于 态则 a( b) 的作用正 是去掉该粒子,得出其余 个粒子的态,若没有粒子处于 是去掉该粒子 得出其余(n-1)个粒子的态 若没有粒子处于 得出其余 个粒子的态 若没有粒子处于b 才有)， 的作用是将处于b态 ③若 n; bα bbb L bν (Bose才有 ，则 a( b) 的作用是将处于 态 才有 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 对此态的作用结果为0 态,则 a( b) 对此态的作用结果为 则
1 2
ε
ε
⇒ n粒子系统的基矢统一用真空态 0 和适当的产生算符表示： 0 1; bα = a † ( bα ) 0 2; b b LL n; bα b β L bν = 1 † α † β a ( b ) a ( b ) L a † ( bν ) 0 n! (9.29)
α β
在 R0 空间（一维） R1 R2 L Rn
1 † α † β = a (b ) a (b ) 0 2!
(∆)
由 a † ( bα ) a † ( b β ) n; b γ L bν =
1 † n 类似 n = (A ) 0 n!
( n + 1)( n + 1) ( n + 1)( n + 1)
n + 2; bα b β b γ L bν n + 2; b β bα b γ L bν n + 2; bα b β b γ L bν (31.2)
† 或（31.2） ⇒ （31.4）
(31.4)
由 ( ∆ ) 右矢形式相应写出左矢形式： 1; bα = 0 a ( bα ) 2; b b LL n; b b L b
α β ν α β
1 = 0 a ( b β ) a ( bα ) 2!
( ∆′ )
1 = 0 a ( bν ) L a ( b β ) a ( bα ) n ! 最左端 最先作用， 最先作用，同右矢作用顺序相反
§31
产生算符和消灭算符
Rn n ; b α b β L bν
没有 明显联系
n ; b α ′ b β ′ L bν ′
没有 简单关系
R n −1 n − 1; b α b β L b µ
给理论的数学处理带来很大不便。 给理论的数学处理带来很大不便。
上升 算符的方法，定义数目较少的算符， 仿照单粒子理论 下降 算符的方法，定义数目较少的算符，明显简
{ }
a † ( b ) 1; b α = a
†
2 2; bb α = 3 3; bb b
α β
(b )
2; b b
α
β
（31.1） ） 规定在前面
LL a † ( b ) n; bα b β L bν =
n + 1 n + 1; bb α b β L bν
粒子B值 产生算符 n粒子 值 粒子 确定的状态
2; bα b β 2; bα b β 2; ab
Байду номын сангаас
2; bb
)
bα b β
∑
= 2; ab 2; ab 2; ab + 2; ba 2; ba 2; ab 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab 2; ab 2; ab + ε 2 2; ba 2; ba 2; ab = 2 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab
bα b β
∑
2; bα b β
2; bα b β
= 2; aa 2; aa + 2; bb 2; bb + 2; ab 2; ab + 2; ba 2; ba =1
验证： 2; bα b β ∑
bα b β
2; bα b β 2; bb = 2; bb 2; bb 2; bb = 2; bb
( 其它项 ⊥
(31.2)
a † ( b ) a † ( b′ ) − a † ( b′ ) a † ( b ) = 0 a † ( b ) a † ( b′ ) + a † ( b′ ) a † ( b ) = 0 a† ( b ) a† ( b ) = 0
B F
(b ≠ b′)
( Fermi系统内不能有两个相同态)