黑洞热力学

1，问题关键
坐标变换时，当径向变换函数 是视界处的奇异函数或为零时， 必须根据严格的数学表达式对积 分围道作相应的改变。
2，积分围道与黑洞温度

用复路径方法求霍金温度时，必须采用一 个合适的围道来绕过奇点来实现正规化。 在Schwarzschild坐标表述下的 Schwarzschild黑洞，对于从黑洞视界里出 射的粒子，采用一个无限小半圆从上方绕 过奇点； 类似的，对于从远处入射进黑洞 视界里的入射粒子，采用一个无限小半圆 从下方绕过奇点。 但是，在其它的坐标表述下，这时霍金温 度的计算就与围道的选择有密切的关系， 不正确的围道会导致错误的结果。
复路径方法来自于非相对论性半经典量子力学里， Landau提出的用于处理隧道效应现象的方法。在黑洞时 空里，Hartle和霍金用半经典分析方法得到粒子的创 生。在Schwarzschild黑洞时空中传播的半经典标量传 播子能解析延拓，实的时间变量t变成复数。 这种解析 延拓给出的结果是，从过去视界辐射的粒子的几率与将 来视界的吸收率不相同。它们的关系是
4, 一般坐标表述下KN黑洞的霍金温度
把相应能量定义式和度规代入哈密顿-雅克比方程，然后 在视界处积分，将得到
B A qQr ma 2 2 Im W Im du[( )(r a )( E 2 2 ) 2 2 F F r a r a 1 qQr ma 2 2 2 2 (r a ) ( E 2 2 ) ]. 2 2 F r a r a
当前黑洞热力学研究 中出现的一些疑难问 题及解决方案
内容
一、当前研究中出现的一些疑难问题 二、粒子能量与霍金辐射 三、积分围道与霍金辐射 四、HL引力理论黑洞热力学第一定律
一、当前研究中出现的一些疑难 问题
1、霍金辐射
2、复路径方法
3、黑洞热力学第一定律 4、当前研究中出现的一些疑难问题
1、 霍金辐射
当 径 向 变 换 函 数 F (r) 是 视 界 处 的 奇 异 函 数 或 为 零 时 ， 可 设 F = Δ α X (r), 其 中 α 为 非 零 函 数 ， X (r) 为 正 规 函 数 。
2
b. Kruskal-Szekers表述
32M ds e r
2
2 2
3

r 2M
( d 2 d R 2 ) r 2 ( d 2 s i n 2 d 2 )
c. 动态Lemaitre表述
3 ( R* * )] 2/3 dR 2 ds d [ 4M 3 2 ( R* * )]4/3 ( d 2 sin 2 d 2 ) (2 M ) [ 4M


Hawking radiation
Stephen W. Hawking (b1942)

One partner of a virtual-particle pair could fall into a black hole, carrying negative energy with it Effectively, the black hole appears to be emitting particles and losing mass!
2 dr ds2 N2 (r)dt 2 r2 (d 2 sin2 d2 ) f (r)
N ( r ) f ( r ) 1 r r 4 mr
2 2 2 4
dm TdS dm A 2 S S 0 log( r ) S 0 T 4

3，Kerr-Newman黑洞的各种坐标表述
a. Boyer-Lindquist坐标表述
ds (1
2
2Mr Q2

2
2
)dts
2 2 2
2(2Mr Q2 )a sin2

2 2 2 2
dts ds
2
2


2

dr d (r a
2 2
(2Mr Q )a sin
可以得到标准霍金温度： TH
1 8 M
动态Lemaitre坐标中的霍金温度 把相应能量定义式和Lemaitre度规代入哈密顿-雅克比方 程，然后在视界处积分，将得到
3 3 * * 2/3 2 * * 2/3 ij 2 E R E R g J J m [ ( )] {[ ( )] 1}( ) i j * * M M 4 4 d ( R ) , Im I Im 3 * * 2/3 [ ( R )] 1 4M Im I 4 M E , Im I 0.
3、黑洞热力学第一定律
对于一般黑洞
M 2TS VQ 2J
dM TdS VdQ dJ
4、 当前研究中出现的疑难问题
在Kruskal-Szekers坐标表述和 动态Lemaitre坐标表述下， 求不出Schwarzschild黑洞的霍金温度；
Class. Quantum Grav. 19 2671(2002)。
上面的讨论存在着如下的一些问题 （1）KS黑洞的熵不满足Bekenstein-Hawking熵，
（2）积分律
m kTS
一系列文章
二、粒子能量与霍金辐射
C. K. Ding, J. L. Jing, Physics Letters B676, (2009) 99.
1、问题关键
2、Schwarzschild黑洞的各种坐标表述 3、辐射粒子的能量定义及黑洞温度
1、问题关键
P[emission] P[absorption]e
E / TH
由上式知：黑洞的霍金温度与辐射
粒子的能量密切相关。因此，要得 到正确的温度就必须给出正确的粒 子能量定义。
2、Schwarzschild黑洞的各种坐标表述
a. Schwarzschild坐标表述
2M 2 2M 1 2 2 2 ds (1 )dt (1 ) dr r (d sin2 )d 2 r r
3、辐射粒子的能量定义及黑洞温度
如果时空具有时间平移不变性，我们就可以 定义粒子的能量。在Schwarzschild坐标系中的 线元明显地具有时间平移不变性，所以粒子能量 为E= -∑tI。 而在Kruskal-Szekers、动态Lemaitre线元 并没有这种时间平移不变性，即∑tI并不是一个运 动常数。 然而，粒子的能量是一个物理中的守恒量， 与坐标的选取无关。问题的关键是在不同的坐标 系里怎样找到这个守恒量的表达式。
1974年，霍金在对一颗塌缩星正在形成黑洞 的过程进行计算时发现在考虑了量子效应后， 黑洞竟发射出黑体辐射谱，其辐射温度正是
1 T 2 K B 8 MK B
后来人们进一步研究发现，完成坍缩后的永 久黑洞以及任何一个具有未来事件视界的静态 或稳态时空都具有完全相同的霍金辐射。
Hawking radiation


ຫໍສະໝຸດ Baidu
Virtual particles
In quantum theory, there is an intrinsic uncertainty in energy and time: E t ≥ h/4 This implies the existence of ‘virtual particles’ even in a vacuum Virtual particles appear in pairs, consisting of a particle and its corresponding antiparticle
2
)sin2 ds2
b. 一般坐标变换
u
2 2 F ( r ) dr , v t ( r a )G ( r ) dr , s
s a G ( r ) dr .
c. 一般坐标表述
ds 2
1

(1 2
2
2 Mr Q 2

b, 动态 Lemaitre 坐标表述下的粒子能量：
E I ( * R * ) I .
Kruskal-Szekers坐标中的霍金温度 把相应能量定义式和Kruskal-Szekers度规代人哈密顿雅克比方程，然后在视界处积分，将得到
r 3 ij 2 2 2 2 32 M 2 2M e (g Ji J j m ) 4 ME 16 M E ( R ) 1 2 2 R r Im I Im d ( R ) , 2 2 R 2 Im I 4 M E , Im I 0.
P[emission ] P[absorption ]e 8 ME
式中E是粒子的能量，T=1/8πM是Schwarzschild黑洞的霍金 温度。他们就把这个关系解释为黑体辐射系统里粒子的热 力学的贡献。
这种方法中，(1+1)维Schwarzschild时空中的半经典传 播子是 K ( r2 , t2 ; r1 , t1 ) N exp[iI ( r2 , t2 ; r1 , t1 )] 其中Ι是 沿粒子轨迹的经典作用量。 与量子力学中的隧道效应相似，这种作用量在视界处是有 奇点的。在半经典量子力学中，这种奇点是用一个合适的 围道来正规化。在围绕奇点积分之后，我们会发现作用量 Ι变为复数，辐射率为 e 2 Im I。 粒子出射率与入射率是 不同的， E /TH [ emission ] [ absorption ] e 它们的比值是 对这种关系的解释，可以等价于粒子的热力学配分函数， 好像其它已观察到的具有黑体辐射特征的任何一个系统。 这样就得到了标准的霍金温度。
在各向同性坐标表述下， 求出Schwarzschild黑洞的温 度为其标准霍金温度的二分之一。
J. Phys. A: Math. Gen. 39 6601(2006)； J. High Energy Phys. 0505 (2005) 014； Class. Quantum Grav. 25 145015(2008)。
对于沿测地线运动的粒子，类时Killing矢量和粒 子四动量之间的标量积是一个常数：
p Const
我们利用这个常数和Lagrangian方程，定义 粒子的能量为：

E p I .

a, Kruskal-Szekers坐标表述下的粒子能量：
R E I ( R )I. 4M 4M
也可以得到标准霍金温度： TH
1 8 M
三、积分围道与霍金辐射
C. K. Ding, J. L. Jing, Class. Quant. Grav. 27 (2010) 035004
1，问题关键
2，积分围道与黑洞温度
3，Kerr-Newman黑洞的各种坐标表述
4, 一般坐标表述下KN黑洞的霍金温度
2
)( dv
G ( r 2 a 2 )
F F
du )2
2(2 Mr Q 2 )a sin 2
2
F
( dv
G ( r 2 a 2 )
du )( d
aG
F
du )
2 2 2 du d 2
2 2 2 2 (2 Mr Q ) a sin sin aG 2 2 2 ) ( ) . ( r a d du 2 2 F

2 复路径方法
把霍金辐射处理成粒子可以通过经典禁区——黑洞视界的 量子隧道效应过程，便是这样的一种半经典处理方法—— 隧道效应方法。 隧道效应方法中又可分为零测地线方法和复路径方法。 零测地线方法是基于动态几何中的粒子的，该方法是在能 消除坐标奇点的Painlevé坐标表述下进行研究的。 复路径方法首先由霍金应用到处理黑洞辐射过程中。后 来由Padmanabhan及其合作者、Parikh和Wilczek、Mann等 人发展为不需要任何坐标变换，成为处理霍金辐射的一个 强有力的工具。