黑洞热力学

b, 动态 Lemaitre 坐标表述下的粒子能量：
E I ( * R * ) I .
Kruskal-Szekers坐标中的霍金温度 把相应能量定义式和Kruskal-Szekers度规代人哈密顿雅克比方程，然后在视界处积分，将得到
r 3 ij 2 2 2 2 32 M 2 2M e (g Ji J j m ) 4 ME 16 M E ( R ) 1 2 2 R r Im I Im d ( R ) , 2 2 R 2 Im I 4 M E , Im I 0.
当 径 向 变 换 函 数 F (r) 是 视 界 处 的 奇 异 函 数 或 为 零 时 ， 可 设 F = Δ α X (r), 其 中 α 为 非 零 函 数 ， X (r) 为 正 规 函 数 。
也可以得到标准霍金温度： TH
1 8 M
三、积分围道与霍金辐射
C. K. Ding, J. L. Jing, Class. Quant. Grav. 27 (2010) 035004
1，问题关键
2，积分围道与黑洞温度
3，Kerr-Newman黑洞的各种坐标表述
4, 一般坐标表述下KN黑洞的霍金温度

2 复路径方法
把霍金辐射处理成粒子可以通过经典禁区——黑洞视界的 量子隧道效应过程，便是这样的一种半经典处理方法—— 隧道效应方法。 隧道效应方法中又可分为零测地线方法和复路径方法。 零测地线方法是基于动态几何中的粒子的，该方法是在能 消除坐标奇点的Painlevé坐标表述下进行研究的。 复路径方法首先由霍金应用到处理黑洞辐射过程中。后 来由Padmanabhan及其合作者、Parikh和Wilczek、Mann等 人发展为不需要任何坐标变换，成为处理霍金辐射的一个 强有力的工具。


Virtual particles
In quantum theory, there is an intrinsic uncertainty in energy and time: E t ≥ h/4 This implies the existence of ‘virtual particles’ even in a vacuum Virtual particles appear in pairs, consisting of a particle and its corresponding antiparticle
2
)( dv
G ( r 2 a 2 )
F F
du )2
2(2 Mr Q 2 )a sin 2
2
F
( dv

G ( r 2 a 2 )
du )( d
aG
F
du )
2 2 2 du d 2
2 2 2 2 (2 Mr Q ) a sin sin aG 2 2 2 ) ( ) . ( r a d du 2 2 F
P[emission ] P[absorption ]e 8 ME
式中E是粒子的能量，T=1/8πM是Schwarzschild黑洞的霍金 温度。他们就把这个关系解释为黑体辐射系统里粒子的热 力学的贡献。
这种方法中，(1+1)维Schwarzschild时空中的半经典传 播子是 K ( r2 , t2 ; r1 , t1 ) N exp[iI ( r2 , t2 ; r1 , t1 )] 其中Ι是 沿粒子轨迹的经典作用量。 与量子力学中的隧道效应相似，这种作用量在视界处是有 奇点的。在半经典量子力学中，这种奇点是用一个合适的 围道来正规化。在围绕奇点积分之后，我们会发现作用量 Ι变为复数，辐射率为 e 2 Im I。 粒子出射率与入射率是 不同的， E /TH [ emission ] [ absorption ] e 它们的比值是 对这种关系的解释，可以等价于粒子的热力学配分函数， 好像其它已观察到的具有黑体辐射特征的任何一个系统。 这样就得到了标准的霍金温度。
3、辐射粒子的能量定义及黑洞温度
如果时空具有时间平移不变性，我们就可以 定义粒子的能量。在Schwarzschild坐标系中的 线元明显地具有时间平移不变性，所以粒子能量 为E= -∑tI。 而在Kruskal-Szekers、动态Lemaitre线元 并没有这种时间平移不变性，即∑tI并不是一个运 动常数。 然而，粒子的能量是一个物理中的守恒量， 与坐标的选取无关。问题的关键是在不同的坐标 系里怎样找到这个守恒量的表达式。
3、黑洞热力学第一定律
对于一般黑洞
M 2TS VQ 2J
dM TdS VdQ dJ
4、 当前研究中出现的疑难问题
在Kruskal-Szekers坐标表述和 动态Lemaitre坐标表述下， 求不出Schwarzschild黑洞的霍金温度；
Class. Quantum Grav. 19 2671(2002)。
复路径方法来自于非相对论性半经典量子力学里， Landau提出的用于处理隧道效应现象的方法。在黑洞时 空里，Hartle和霍金用半经典分析方法得到粒子的创 生。在Schwarzschild黑洞时空中传播的半经典标量传 播子能解析延拓，实的时间变量t变成复数。 这种解析 延拓给出的结果是，从过去视界辐射的粒子的几率与将 来视界的吸收率不相同。它们的关系是
当前黑洞热力学研究 中出现的一些疑难问 题及解决方案
内容
一、当前研究中出现的一些疑难问题 二、粒子能量与霍金辐射 三、积分围道与霍金辐射 四、HL引力理论黑洞热力学第一定律
一、当前研究中出现的一些疑难 问题
1、霍金辐射
2、复路径方法
3、黑洞热力学第一定律 4、当前研究中出现的一些疑难问题
1、 霍金辐射
4, 一般坐标表述下KN黑洞的霍金温度
把相应能量定义式和度规代入哈密顿-雅克比方程，然后 在视界处积分，将得到
B A qQr ma 2 2 Im W Im du[( )(r a )( E 2 2 ) 2 2 F F r a r a 1 qQr ma 2 2 2 2 (r a ) ( E 2 2 ) ]. 2 2 F r a r a
1974年，霍金在对一颗塌缩星正在形成黑洞 的过程进行计算时发现在考虑了量子效应后， 黑洞竟发射出黑体辐射谱，其辐射温度正是
1 T 2 K B 8 MK B
后来人们进一步研究发现，完成坍缩后的永 久黑洞以及任何一个具有未来事件视界的静态 或稳态时空都具有完全相同的霍金辐射。
Hawking radiation
2 dr ds2 N2 (r)dt 2 r2 (d 2 sin2 d2 ) f (r)
N ( r ) f ( r ) 1 r r 4 mr
2 2 2 4
dm TdS dm A 2 S S 0 log( r ) S 0 T 4
在各向同性坐标表述下， 求出Schwarzschild黑洞的温 度为其标准霍金温度的二分之一。
J. Phys. A: Math. Gen. 39 6601(2006)； J. High Energy Phys. 0505 (2005) 014； Class. Quantum Grav. 25 145015(2008)。
1、问题关键
P[emission] P[absorption]e
E / TH
由上式知：黑洞的霍金温度与辐射
粒子的能量密切相关。因此，要得 到正确的温度就必须给出正确的粒 子能量定义。
2、Schwarzschild黑洞的各种坐标表述
a. Schwarzschild坐标表述
2M 2 2M 1 2 2 2 ds (1 )dt (1 ) dr r (d sin2 )d 2 r r
1，问题关键
坐标变换时，当径向变换函数 是视界处的奇异函数或为零时， 必须根据严格的数学表达式对积 分围道作相应的改变。
2，积分围道与黑洞温度

用复路径方法求霍金温度时，必须采用一 个合适的围道来绕过奇点来实现正规化。 在Schwarzschild坐标表述下的 Schwarzschild黑洞，对于从黑洞视界里出 射的粒子，采用一个无限小半圆从上方绕 过奇点； 类似的，对于从远处入射进黑洞 视界里的入射粒子，采用一个无限小半圆 从下方绕过奇点。 但是，在其它的坐标表述下，这时霍金温 度的计算就与围道的选择有密切的关系， 不正确的围道会导致错误的结果。
2
)sin2 ds2
b. 一般坐标变换
u
2 2 F ( r ) dr , v t ( r a )G ( r ) dr , s
s a G ( r ) dr .
c. 一般坐标表述
ds 2
1

(1 2
2
2 Mr Q 2
对于沿测地线运动的粒子，类时Killing矢量和粒 子四动量之间的标量积是一个常数：
p Const
我们利用这个常数和Lagrangian方程，定义 粒子的能量为：

E p I .

a, Kruskal-Szekers坐标表述下的粒子能量：
R E I ( R )I. 4M 4M
可以得到标准霍金温度： TH
1 8 M
动态Lemaitre坐标中的霍金温度 把相应能量定义式和Lemaitre度规代入哈密顿-雅克比方 程，然后在视界处积分，将得到
3 3 * * 2/3 2 * * 2/3 ij 2 E R E R g J J m [ ( )] {[ ( )] 1}( ) i j * * M M 4 4 d ( R ) , Im I Im 3 * * 2/3 [ ( R )] 1 4M Im I 4 M E , Im I 0.