数学建模-传染病模型ppt课件
数学建模-传染病模型
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理
解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模
型并无影响。
注意到：dr li (n 1 r s)
dt
可得：
dr dt
l(n 1 r
r
soe
)
及：S
r
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出：
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时， 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明 。
数学建模传染病模型ppt课件
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方 程
dx x , x(0) x dt
0
(1)
(2)方程（1）的解为x(源自 ) x e0t
结果表明，随着 t 的增加，病人人数 x(t) 无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
2019 11
2019
-
12
不难看出，接触数=1是一个阈值。
当 1时i (t )的增减性取决于 i0的大小(见图4）， 1 但其极限值 i () 1 随的增加而增加 (试 从的含义给以解释 )；当 1时病人比例 i (t ) 越来越小，最终趋于零 ，这是由于传染期内 经有效接触从而使健康 者变成的病人数不超 过原来病人数的缘故。
7
这时病人增加的最快，可以认为是医院 的门诊量最大的一天，预示着传染病高 潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 t m与成反比，因为日接触率表示该地区的 卫生水平， 越小卫生水平越高。所 以改善
保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高 潮的到来。第二，当 t 时 i 1 , 即所有 人终将被传染，全变为病人，这显然不符合 实际情况。
2019 9
不难看出，考虑到假设3，SI模型的（3） 式应修正为
di N Nsi Ni dt (8)
（4）式不变，于是（5）式应改为
di i(1 i) i , dt i(0) i0 (9)
我们不去求解方程（9）（虽然它的解 可以解析地表出），而是通过图形分析i(t) 的变化规律。定义 (10)
2019 1
不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
基本数学模型-传染病模型
• 现有数据显示，天花的 值较小，麻疹等传染
病的 值较大，目前全世界已消灭天花疾病
17
模型验证
•
孟买某岛（1905.12.17-1906.7.21）
（
Kermack,McKendrick,1926）
• 该岛上80%－90%的感染者死亡，
dS dt dI dt
SI SI
I
视为移出者
• 在疾病传播期内所考察地区总人数 N 保持不变
• t 时刻易感者和感染者人数所占比例分别为 S(t)
和 I (t) ，S(t) I (t) 1 • 每个感染者单位时间内可使数量为 N 的人受到
感染，其中易感者数量为 NS ， 称为有效接触率
3
SI模型
N dI NSI dI I (1 I ) 1 dI dt
Jules Henri
Aleksandr
Poincaré
Mikhailovich
（1854－1912） 法国数学家、
Lyapunov （1857－1918）
物理学家
苏联数学家、 物理学家
11
自治系统
• 记 x (x1, x2 )T，F(t, x) ( f1(t, x), f2 (t, x))T，一阶常 微分方程组 dx F(t, x)称为自治（autonomous）
• III. Further Studies of the Problem of
电磁场理论，DNA双
Endemicity, 141, 94-122, 1933
螺旋结构等重要论文
均发表在该刊上
2
基本假设
• 人群分类
• 易感者（Susceptible）：易受疾病感染但尚未发病 • 感染者（Infective）：已感染且具传染性
数学建模_传染病模型
传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？关键字:传染病模型、建模、流行病摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。
但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。
20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。
还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。
长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，病人人数的增加，就有到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx==λ方程（1）的解为 )2()(0te x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
(6数学建模)传染病模型
简化可得SEIR模型
S (t ) SI S E (t ) SI E E I E I I R I R S E I R 1 S0 0, E0 0, I 0 0, R0 0
则有
上式消除N，
由I＋S＝1可得
上式是伯努里(Berrnolli）方程的初值问题，其解
析解为
定理 对上方程，当σ＞1时， I (t ) 1 1 lim
t
；Байду номын сангаас
当σ＜1时， I (t ) 0 。 lim
t
定理1表明，接触数σ＞1时，传染者不会消灭，
其数量趋近于 1 1 ；当σ＜1时，传染者的数量越 来越少，最终趋于零，传染病将消灭。所以接触数σ ＝1是区分传染病是否蔓延的阈值，定理1的结果可用 下图表示。
假设
1.人口总数为常数N，N足够大，则S（t）、I（t）、 R（t)可视为连续可微的；考虑出生与死亡时，出生率 与死亡率相等，且新生儿全为S类，平均出生率为μ。
2.人群中三类成员均匀分布，传播方式为接触传播，
单位时间内一个传染者与他人接触的接触率为常数λ， 则一个传染者在单位时间内与S类成员的接触率为λS。 因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数 λNSI，就是单位时间内I类成员增加的数量，λSI称 为发病率。
定理2、定理3表明，传染病是否流行，取决于 s0 。 当 s0 1 时，传染病不会流行；当 s0 1 时，传染 病将流行，但最终传染病将消灭，这时人群中仍然有 S N 数量的成员为易感人群，而并非全体成员均为恢 复类成员。当 s0 初始值一定，控制传染病蔓延就要减 小传染期的按触数σ，我们注意到在σ＝λ／ν中， 人们的卫生水平越高，接触率λ越小；医疗水平越高， 治愈率ν越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医 疗水平有助于控制传染病的蔓延。
传染病模型PPT
02
03
时间序列分析
通过对历史病例数据进行 时间序列分析，预测未来 一段时间内的病例数量。
机器学习算法
利用机器学习算法对历史 数据进行训练，预测未来 疾病的传播趋势。
贝叶斯推断
基于贝叶斯定理，利用历 史数据和先验知识，推断 未来疾病传播的概率分布 。
模拟与预测的应用场景
政策制定
通过模拟和预测，为政府和卫生部门提供决策依据， 制定有效的防控策略。
公共卫生管理
模拟和预测有助于公共卫生机构评估防控措施的效果 ，优化资源配置。
疫情预警
通过预测方法，提前预警可能的疫情爆发，为及时采 取防控措施提供时间保障。
05
传染病模型的优化与改 进
模型的改进方向
考虑更多影响因素
除了基本的传播方式，还应考虑 人口流动、环境变化、社会经济 因素等对传染病传播的影响。
概率论
传染病模型的预测结果存在不确定 性，因此需要使用概率论知识来评 估预测结果的可靠性和误差范围。
传染病模型的建立过程
数据收集
收集相关数据，包括疾病报告 数据、人口数据、地理信息等 ，用于参数估计和模型验证。
模型验证
使用历史数据对模型进行验证 ，评估模型的准确性和可靠性 。
确定模型目标
根据研究目的确定模型的目标 ，如预测疾病的传播趋势、评 估防控措施的效果等。
提高模型精度
通过增加数据来源和改进模型参 数调整方法，提高模型的预测精 度和可靠性。
动态建模
将传染病模型与时间序列分析、 机器学习等方法结合，实现动态 建模，更好地反映传染病传播的 时变特性。
模型的优化方法与技术
混合模型
结合不同模型的优点，构建混合模型，以提高预 测精度和可靠性。
传染病模型ppt课件
模型的解：
k t 0 I( t)I0e
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
dI I (t ) kS ( t ) dt I (0) I 0
方程的解：
I(t) n n knt 1 I 1 e 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）总人数为： s(t)+i(t)＝n （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）单位时间治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 h(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称 1/ h为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每天治愈2
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终趋 于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
数学建模第二章微积分方法建模--212传染病模型-PPT课件
x
2s0
(s0
1
)
当该地区的卫生和医疗水平不变时， 就不变，这个
比例也不变。
课件
19
2、群体免疫和预防
由于当 s0
1
时不会蔓延，故降低
s0也是种手段。
由 i0
0 ， s0
1 r0
，于是 s0
1
可表示为 r0
1 1
，即通
过群体免疫使初始时刻的移出者比例r0
1
1
dt
又由假设 1 和设 t 0 时的比例 i0 ，则得到模型
di dt
i(1
i)
i(0) i0 课件
（1）
3
（1）的解为
i(t)
1
1 ( 1 1)et
i0
（2）
课件
4
i(t)
1
1 2
i0
0
tm
t
di dt
di ( dt )m
0
1 2
1
i
课件
5
模型解释
§12 传染病模型
建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受 感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。
为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数 N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。
课件
1
模型（一）（SI 模型） 模型假设
1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中 所占比例分别为 s(t) 和 i(t) ，即 s(t) i(t) 1 ；
2、平均每个病人每天有效接触人数是常数 ，即 每个病人平均每天使 s(t) 个健康者受感染变为病 人， 称日接触率。
数学建模-6.3传染病模型
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
2021/3/18
6
模型3
di/dt
dii(1i)i
dt
>1
ii0
1-1/
0
1-1/ 1 i
i0
/ ddtii[i(11)]
i
>1
i0
1
di/dt < 0
i()
1
1
,
0
1
t0
t
接触数 =1 ~ 阈值
0,
P3
s 满s足 0i0s1lnss 0 0 0 s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 2P0221:/3/s108<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/ ~ 阈值
11
模型4 预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
区分易感者(健康人)和感染者(病人)
1）总人数N不变，健康 人和病人 的比例分别为 s(t ), i(t )
2）每个病人每天有效接触人数为, ~ 日
且使接触的健康人致病
接触率
N [ i( t t) i( t) ] [s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1
di
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
2021/3/18
8
模型4 SIR模型 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
传染病模型ppt
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xx年xx月xx日
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contents
目录
引言常见的传染病模型传染病模型的建立传染病模型的应用案例传染病模型的未来发展结论与展望
01
引言
传染病模型是对疾病传播过程进行数学描述的模型，它可以帮助我们理解疾病的传播机制和趋势，预测疫情的发展，评估防控措施的效果等。
传染病模型的概念
根据模型的复杂性和应用的场景，传染病模型可分为基本模型、复杂模型和网络模型等。
加强传染病模型的普及和应用，让更多的人了解和掌握传染病模型的应用方法和技巧，有利于提高疫情控制和公共卫生管理的科学化水平。
开展跨学科合作
传染病模型研究涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学、流行病学等。加强跨学科的合作和交流，可以促进传染病模型研究的发展和创新。
加强传染病模型研究的建议和展望
通过对防控措施进行模拟和比较，评估不同防控措施的效果和经济效益，为政策制定提供依据。
传染病模型在公共卫生领域的应用
研究疾病传播途径
通过模拟疾病传播过程，研究疾病的传播途径和影响因素，为防控策略的制定提供依据。
研究疾病变异情况
通过对病毒变异过程进行模拟，研究病毒变异情况及其对疾病传播的影响，为防控策略的制定提供参考。
03
描述性模型
02
01
用数学方程组描述疾病传播动态，如 SIR 模型。
确定性模型
考虑疾病传播中的随机因素，如传播链的随机断裂、免疫接种的随机性等。
随机模型
通过计算机模拟疾病传播过程，预测疾病传播趋势和公共卫生干预措施的效果。
模拟模型
数学模型
基于个体行为的模型，如 Agent-Based 模型。
数学建模第五讲：微分方程—传染病模型
区分病人
考虑治愈
和健康人
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高潮时刻, 预防蔓延手段.
模型4: 数值计算与理论分析相结合.
2. 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性. • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移.
人口 发展 方程
F (r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N (t) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄 F (0, t ) 0, F ( rm , t ) N (t )
MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
1
0.8 s(t) 0.6
0.4
0.2
i(t)
0
0
10
20
30
40
50
0.4
i
相轨线i(s)
0.3
0.2
0.1
P0 s
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
i(t)从初值增长到最大; t, i0 s(t)单调减; t, s0.04
传染病模型
模型1
模型2
的解析解
i(0)
i0 ,
s(0)
s0
先做数值计算, 再在相平面上研
究解析解性质
i0 s0 1 (通常r(0) r0很小）
模型4 SIR模型的数值解
di
dt ds
dt
si i, i(0) i0 si , s (0 ) s0
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
数学建模实验(传染病模型)
实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数。
即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。
3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。
求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=， 令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=， 则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。
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通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太
大，故 一r般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：
r
e
1
r
1(r
)2
2
代入（3.20）得近似方程：
dr dt
l
n
1
So
So
1 r
So 2
r
2
积分得：
r(t)
2
So
So
1
m
tanh( 1 2
mlt
)
其中：
1
m
So
2 1
2So
(n
1
So
)
2
这里双曲正切函数 ：
tanh
u
eu eu
eu eu
tanh1
1 m
So
1
而： d
du
tanh u
(eu
eu )2 (eu eu )2 (eu eu )2
(eu
4 eu )2
对r(t)求导 ：
dr dt
lm2 2
2So
sec h2
1 2
mlt
（3.21）
传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出： 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，
k
则：
1 r(t)
s(t) soe
4
由(1)式可得： di ds li ds ds
不如伴如难从积果随验果证而分地ssoo，解得有当得：st→(，，t：+)单∞则则时减开有，d。i始ddr(ti(tti(t)t当)时)趋0si向oid(，ddott于ti)减s此一soo0少个疾，ss(到t(病i)t()dt小在)t单于l该nl增nss等地ss(dso。t(ot)t于区) 但根在时本（i(3，流t.)1增9行i）(加t不)s开的u起s始c同e来p减t时i。b小l，e ，
图3-14（a）
8
l
recovered
下面对 进行讨论，请参见右图
5
图3-14
综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：
（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流 传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。
（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为 缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。
2
模型2 记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t)
与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的
假设及可（得竞：争象无模模项病，法型型），且解预2统与当仍释测计ii为确人dd实((时t有ito医最)筹)了，群多际间不生终k算s使有细房ii情(os趋足t们所律)模必分室况与之发有，型要，系n不无处现人更再建统符1穷，的都精将立。时它现得， （3.16）
解得： 其中：
i(t)
co
n
co (n 1)ek(n1)t
1 io
coek
(n1)t
1 io
（3.17）
统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更
接近实际情况。医学上称曲线 为t ~传d此i 染值与病传曲染病的实际高峰期非常
线，并称 峰。
最ddti大值时刻t1为此传染病的d接t 流近，行可高用作医学上的预报公式。
7
曲线
dr dt
lm2 2
2So
sec h2
1 2
mlt
在医学上被称为疾病传染曲线。
图3-14（a）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位
每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图3-14（b）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟 疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
1
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理
解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模
型并无影响。
注意到：dr li (n 1 r s)
dt
可得：
dr dt
l(n 1 r
r
soe
)
及：S
r
Soe l
（3.20）
6
（3.18）
s(t) i(t) r(t) n 1 (3)
i(o) io , r(o) 0
susceptible
k
infective
l
求解过程如下：
recovered
对（3）式求导，由（1）、（2）得： ds ksi k s dr
解得：
k r(t)
dt
l dt
s(t) soe l
记： l
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
3
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
dt
li
(2)
常直数至，从此而疾可病以解在释该医地生们s区(t发)消现s失的oe现。1 象r (t )。
k
鉴于在本模型中的r作(t)用 n，1被 i(t) s(t)
infective
医为生揭们示称产为生此上疾述病现在象该的地原区因（3.18）中
的 较第大其的么的（的中阀此所常1值疾有）数。 病 人式通。没。改常kl的有写是引波成一入及：个解到与dd释ti该疾了地k病为i(区种s什类 )有关的
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
（3.15）
此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推 移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则 不加任何区分，来建立两房室系统。