6-2分式线性映射

一.分式线性映射 分式线性映射
az + b ( ad − bc ≠ 0, a , b, c , d均为常数 .) 定义 w = cz + d 称为分式线性映射 分式线性映射. 称为分式线性映射 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z
由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. 故命题得证 [证毕 证毕] 证毕
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试将如图所示的区域映射到上半平面. 试将如图所示的区域映射到上半平面 y z+i i , 解 取分式线性映射 w1 = z−i • 将切点 i映射为w1 = ∞ , 并将
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3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 这 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域
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三、典型例题
例1 求分式线性映射 , 使 z = 1映射成 w = 1 , 且使 z = 1,1 + i 映射成 w = 1, ∞ .
=e
− πiw1
=e
− πi
z+i z−i
为所求映射. 为所求映射
( w1 )
z+i w1 = z−i
•i
−1
O −i
1x
O
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y
i
( w1 )
•
O −i
•i
1x
w2 = − iw1
i
( w2 )
−1
O
O
w3 = πw2
w= w= f (z)
v
(w )
w = e w3
πi ( w3 ) O
20
O
u
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方法2 方法 z1 → z2 → z3 与 w1 → w2 → w3 绕向相同.
则 C的内部就映为 C ′ 的内部 . 若绕向相反 则C 若绕向相反, 的内部就映射为 C ′ 的外部 .
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分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 分式线性映射对圆弧边界区域的映射 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时 这二 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域. 2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时 这二 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 围成的区域
z w = 将单位圆盘 z − 1 ?
解 由已知条件 z ≤ 1, 故从所给映射中将 z解出 : w w z= , = z ≤1 w −1 w −1
即
w ≤ w − 1 = ( w − 1)( w − 1) = w − ( w + w ) + 1, 1 1 1 所以 w + w ≤ 1 ⇒ ( w + w ) ≤ , 即 Re( w ) ≤ , 2 2 2 1 故 z ≤ 1映为w平面上的半平面 Re( w ) ≤ . 2
令z − 2 = ζ ,
w1 = g (ζ ),
w − 2i = w1 , 2
ζ <1
w1 = g (ζ )
w1 < 1,
i − 2i i =− , ζ = 0 → w1 = 2 2
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当 w1 = g (ζ )时， w1 + i 2 , ζ = g ( w1 ) = e 1 − i w1 2
−1
在 z平面上任意给定三个相 异的点 z1 , z2 , z3 , w 在 w 平面上也任意给定三 个相异的点 1 , w2 , w3 ,
那么就存在唯一的分式 线性映射 , 将 zk ( k = 1,2,3)
依次映射成 wk ( k = 1,2,3).
az + b (ad − bc ≠ 0)可由下式给出 : 即w = cz + d
iθ
(w − 2i ) 2 + i 2 z−2=e , 1 − (i 2) ⋅ ((w − 2i ) 2)
iθ
2(w − i) = ϕ(w), 所以 z = 2 + e 2 − iw
iθ
f (z )与ϕ (w )互为反函数， 互为反函数，
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由argf ′(2) = 0，
1 arg ′(i) = arg ϕ = 0, f ′(2)
例4
z = − i映射为 w1 = 0.
由分式线性映射的保圆性知： 由分式线性映射的保圆性知：
π − i 2
O
1x
−i w1将两相切的圆周映射为 两平行的直线(且w1 (1) = i ).
取旋转变换 w2 = e w1 = − iw1 将铅直带形域
− 1 < Re( w1 ) < 0映射为水平带形域 0 < Im( w2 ) < i
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4
2）分式线性映射具有保对称性. ）分式线性映射具有保对称性
设点 z1 , z2 是关于圆周 C的一对对称点 , 那么 在分式线性映射下 , 它们的象点 w1 , w2也是关于
C的象曲线 Γ的一对对称点 .
这一性质称为保对称性 这一性质称为保对称性. 保对称性
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二.唯一决定分式线性映射的条件 唯一决定分式线性映射的条件
如果规定两条伸向无穷 远的曲线在 z = ∞处 1 的夹角, 等于它们在映射 ζ = 下所映成的通 z 过原点 ζ = 0的两条象曲线的夹角 , 则分式线 性映射是保角的 .
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1）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性 ） 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射 扩充w平面上的圆周 即具有保圆性. 平面上的圆周, 成扩充 平面上的圆周 即具有保圆性 注意： 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周. 注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周. 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 穷远点 那末它就映射成半径为有限的圆周 如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 有一个点映射成无穷远点 那末它就映射成直线
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取伸缩变换 取指数变换
w3 = πw2 , 将水平带形域 w = e , 将水平带形域
w3 w3
0 < Im( w2 ) < i映射为水平带形域 0 < Im( w2 ) < πi
0 < Im( w3 ) < πi映射为上半平面 Im( w ) > 0, 从而 w = e y i • =e
πw 2
2 2
2
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w = e iz 下, 互相正交的直线族 例3 试证明在映射 Re( z ) = C1与 Im(z ) = C2依此映射成互相正交的直 线族与圆族 u 2 + v 2 = e − 2 C 2 .
证
设 z = x + iy, w = u + iv,
⇒ Re(z ) = x, Im( z ) = y,
放映结束， Esc退出. 放映结束，按Esc退出. 退出
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四、小结与思考
• 本节学习了分式线性映射概念、性质和 唯一决定分式线性映射的条件。其中决 定分式线性映射的条件是本节的重点。
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思考题
• 唯一决定分式线性映射的条件是什么？
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• 答：可以按照点到点的对应关系确定一 个分式线性映射。映射是一对一的关系。
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任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 分式映射复合而成
(1)平移映射 w = z + b ; ( 2)旋转与相似映射 w = az ; 1 ( 3)反演映射 w = . z

分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应. ）分式线性映射在扩充复平面上一一对应 2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性. ）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性
因为 w = e = e (cos x + i sin x )
iz −y
所以 u = e − y cos x , v = e − y sin x , ⇒u +v =e
2 2 −2 y
, v = u tan x ,
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又因为 Re( z ) = x = C1 , Im( z ) = y = C 2
⇒ u 2 + v 2 = e − 2 C 2 , v = u tan C1 .
解1 利用分式线性映射不变交比和对称点
因为w = 0与w = ∞是关于圆周 w = 1的对称点,
1 , 又 z = 1 + i 关于圆周 z = 1 的对称点为 1− i 据分式线性映射不变对 称点的性质知
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例1 求一个分式线性映射w = f (z )它将圆 z − 2 < 1 映成圆 w − 2i < 2 ，且满足条件 f ( 2) = i , arg f ′( 2) = 0. 解
iθ 2( w − i ) ϕ ′( i ) = 2 + e 2 − iw
得 θ = 0.
′
2e = 2e iθ 3 ,
w=i
2( w − i ) 所以 z = 2 + ， 2 − iw z − (2 − i ) . 故 w= iz 2 + (1 − i )
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例2 问分式线性映射 射成 w 平面上的什么区域
w − w1 w3 − w1 z − z1 z3 − z1 : : . = w − w2 w3 − w2 z − z2 z3 − z2
交比不变性
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对确定区域的映射 在分式线性映射下, 的内部不是映射成 在分式线性映射下 C的内部不是映射成 C ′ 的内部便映射成 C ′ 的外部 . 判别方法: 判别方法 方法1 在分式线性映射下 如果在圆周 内任取 方法 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 一点 z0 , 若 z0的象在 C ′ 内部, 则 C的内部就映为 C ′ 的内部; 若 z0的象在 C ′ 外部, 则 C的内部就映 为 C ′ 的外部 .