人教A版高中数学必修第一册n次方根与分数指数幂课件(共22张ppt)
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4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
高一数学人教A版(2019)必修第一册4、1、1n次方根与分数指数幂 课件
3.n次方根：如果xn a，那么x叫做a的n次方根， 其中n 1且n .
32 =9 42 =16 52 =25
-23 = -8 33 =27 -33 =-27
34 =81 25 =32 -25 =-32
根式
1当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数； 正数a的正的n次方根用符号n a表示;负的n次方根用符号- n a表示. 负数没有偶次方根.
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论．如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y， －z)，关于坐标平面 Oyz 的对称点为(－x，y，z)．
【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定 是(a,0,0)的形式．
(2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是(a,0，c)的形式．
(3)错误．关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反．
n次方根与分数指数幂-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT
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第 n次四方章根与4分.1数.1指n次数方幂根-【与新分教数材指】数人幂-教【A新 版教 高 材 中数】学人 必教修A版第（一2册01优9 ）秀高课中件数-学PP必T 修第一 册课件( 共45张 PPT) 第 n次四方章根与4分.1数.1指n次数方幂根-【与新分教数材指】数人幂-教【A新 版教 高 材 中数】学人 必教修A版第（一2册01优9 ）秀高课中件数-学PP必T 修第一 册课件( 共45张 PPT)
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n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
27
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n
±n a
a的取值范围 R
[0，＋∞)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
一、 利用根式的性质化简或求值 【例1】 化简：
(1) 4 3 4 ；
(2) （a－b）2(a>b)；
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 1 a3 .
解 (1) 4 3 4 ＝|3－π|＝π－3.
(2) a b2 ＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
例 3 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
反思 感悟
正确区分n an与(n a)n (1)( n a)n 已暗含了n a有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围． (2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性．
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版(完整版)
1.正数的奇次方根是一个正数； 2.负数的奇次方根是一个负数； 3.0的奇次方根为0． 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数； 2.负数没有偶次方根； 3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
xn a
xna
x n a
(n为奇数) (当n是偶数，且a＞0)
①正确区分“ (n a )n ”与“ n an ”两式；（注意分析 n a 是否有意义） ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完 全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
思考：
2
1
a4 a2对任意的实数a都成立吗？
利用指数幂的运算性质化简求值的方法： （1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
指数运算性质：
(1) aras ars (a 0, r, s Q); (2) (ar )s ars (a 0, r, s Q); (3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
祝你学业有成
2024年5月3日星期五11时45分28秒
把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
1
b b2 (b 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
正数的正分数指数幂：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
正数的负分数指数幂：
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m, n N *, n 1)
例如：5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
奇次方根
n次方根与分数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
（1）2 ∙ 2 ；
解：（1）2
∙
（2） 3 .3来自2=2
2
3
∙ =
8
3
；
（2）
3
=
作者编号：32101
1
3
· =
4
3
2
3
= .
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）.
1 5
1 1
23 12
6 6
2 3
1 2a b 6a b 3a b
a(a 0)
=|a|= a(a 0) ;
a mp n a m（a≥0）.
m
n
（4）a n a m (a 0, m, n N *且n 1).
m
1
n
（5）a
(a 0, m, n N *且n 1).
n
am
作者编号：32101
课堂总结
(1)n次方根与分数指数幂的概念与性质
4.1.1 n次方根与
分数指数幂
作者编号：32101
学习目标
1.知道n次方根与分数指数幂的概念.
2.理解n次方根与分数指数幂的性质.
3.会分数指数幂与根式的互化.
作者编号：32101
新课导入
初中，我们已经学习了整数指数幂，在学习幂函数时，我们把正方形场地
1
2
的边长c关于面积S的函数 = 记作 = .
作者编号：32101
1
a a a
r
s
r s
(a ) a
r s
(a 0, r , s Q)
（1）2 ∙ 2 ；
解：（1）2
∙
（2） 3 .3来自2=2
2
3
∙ =
8
3
；
（2）
3
=
作者编号：32101
1
3
· =
4
3
2
3
= .
例4 计算下列各式（式中字母都是正数）.
1 5
1 1
23 12
6 6
2 3
1 2a b 6a b 3a b
a(a 0)
=|a|= a(a 0) ;
a mp n a m（a≥0）.
m
n
（4）a n a m (a 0, m, n N *且n 1).
m
1
n
（5）a
(a 0, m, n N *且n 1).
n
am
作者编号：32101
课堂总结
(1)n次方根与分数指数幂的概念与性质
4.1.1 n次方根与
分数指数幂
作者编号：32101
学习目标
1.知道n次方根与分数指数幂的概念.
2.理解n次方根与分数指数幂的性质.
3.会分数指数幂与根式的互化.
作者编号：32101
新课导入
初中，我们已经学习了整数指数幂，在学习幂函数时，我们把正方形场地
1
2
的边长c关于面积S的函数 = 记作 = .
作者编号：32101
1
a a a
r
s
r s
(a ) a
r s
(a 0, r , s Q)
【课件】 n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3-2
52
25
2
-2
1
3 =(0.23 ) 3 =0.2-2 =
=52=25.
5
3
3
-4
3-3
73
34 4
343
2 401
5
-
27
2
-
(2)0.008
(3)
2
-3
6
=-5 .
74
1
33
7-3
1, ≠ - ,
2
1
无意义, = - 2 .
5 5 -1
-
6 3
27
.
总结：
用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简化根式运算.
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
式子
n
a叫做根式， n 叫做根指数， a叫做被
开方数.
a
n 次根式的性质：
5
2
5，
5
3
n
5
n
3.
a.
探究新知
思考：
n
an a一定成立吗？
化简下列各式：
22， 2 ，3 23，3 2 ，4 24，4 2 .
m
a
n
m n
mn
；
a mn；
m m
ab
a
b .
积的乘方：
m
• 幂函数
如果一个正方形场地的面积为 S ，那么这
个正方形的边长 c
S
1
2
.
S ， S 也可以表示为
• 思考
52
25
2
-2
1
3 =(0.23 ) 3 =0.2-2 =
=52=25.
5
3
3
-4
3-3
73
34 4
343
2 401
5
-
27
2
-
(2)0.008
(3)
2
-3
6
=-5 .
74
1
33
7-3
1, ≠ - ,
2
1
无意义, = - 2 .
5 5 -1
-
6 3
27
.
总结：
用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简化根式运算.
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
式子
n
a叫做根式， n 叫做根指数， a叫做被
开方数.
a
n 次根式的性质：
5
2
5，
5
3
n
5
n
3.
a.
探究新知
思考：
n
an a一定成立吗？
化简下列各式：
22， 2 ，3 23，3 2 ，4 24，4 2 .
m
a
n
m n
mn
；
a mn；
m m
ab
a
b .
积的乘方：
m
• 幂函数
如果一个正方形场地的面积为 S ，那么这
个正方形的边长 c
S
1
2
.
S ， S 也可以表示为
• 思考
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
(3)
(4)
(−8)3 = −8;
4
(3 − π)4 = 3 − π = π − 3;
(a −
b)2 =
a − b, a ≥ b,
a−b =
b − a, a < b.
a ∙ a = as+
÷ = −
(a ) = a
0 = 1 ( ≠ 0)
1
−
= ( + )
9.672699729
1.42
2
9.829635328
3
1.414
9.735171039
1.415
3
9.750851808
4
1.4142
9.738305174
1.4143
4
9.73987262
5
1.41421
9.738461907
1.41422
5
9.738618643
6
1.414213
良渚遗址
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，古
城存在时期为公元前3300年~前2500年，面积近630万平方
米，包括古城、水坝和多出高等级建筑 … …
当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按照确定的规
律衰减，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间为“半
衰期”。
根据此规律，科学家获得了生物体内碳14含量P与死亡
年数t之间的关系：
当 = 5730、5730 × 2、5730 × 3时， =?
当 = 1000、5300、10000时， =?
= ( )
= ( )
= ( )
以分数为指
(4)
(−8)3 = −8;
4
(3 − π)4 = 3 − π = π − 3;
(a −
b)2 =
a − b, a ≥ b,
a−b =
b − a, a < b.
a ∙ a = as+
÷ = −
(a ) = a
0 = 1 ( ≠ 0)
1
−
= ( + )
9.672699729
1.42
2
9.829635328
3
1.414
9.735171039
1.415
3
9.750851808
4
1.4142
9.738305174
1.4143
4
9.73987262
5
1.41421
9.738461907
1.41422
5
9.738618643
6
1.414213
良渚遗址
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，古
城存在时期为公元前3300年~前2500年，面积近630万平方
米，包括古城、水坝和多出高等级建筑 … …
当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按照确定的规
律衰减，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间为“半
衰期”。
根据此规律，科学家获得了生物体内碳14含量P与死亡
年数t之间的关系：
当 = 5730、5730 × 2、5730 × 3时， =?
当 = 1000、5300、10000时， =?
= ( )
= ( )
= ( )
以分数为指
n次方根与分数指数幂课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
有全称量词的命题，再写出命题的否定．
内容索引
例 1 写出下列全称量词命题的否定： (1) 所有能被3整除的整数都是奇数； 【解析】 存在一个能被3整除的整数不是奇数． (2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； 【解析】 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上． (3) 对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 【解析】 ∃x∈Z，x2的个位数字等于3.
内容索引
思考1►►► 一个命题和它的否定的真假情况是怎样的？ 【解析】 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假 命题，只能一真一假．
内容索引
ห้องสมุดไป่ตู้
思考2►►► 写出下列命题的否定： (1) 所有的矩形都是平行四边形； 【解析】 存在一个矩形不是平行四边形．
(2) 每一个素数都是奇数； 【解析】 存在一个素数不是奇数． (3) ∀x∈R，x＋|x|≥0.
题且为真命题的是( )
A. ∃x∈R，x2－x＋34≤0
B. 所有的正方形都是菱形
C. ∃x∈R，x2＋2x＋32＝0
D. 至少有一个实数 x，使 x2－1＝0
12345
内容索引
【解析】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以 A，C，D
中的命题的否定是全称量词命题．对于 A，命题∃x∈R，x2－x＋34≤0 的
内容索引
活动一 全称量词命题的否定
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新 命题称为原命题的否定．例如“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍 数”，“空集是集合A＝{1,2,3}的真子集”的否定为“空集不是集合A＝ {1,2,3}的真子集” .下面，我们研究利用存在量词对全称量词命题的否 定，以及利用全称量词对存在量词命题的否定．
n次方根与分数指数幂ppt课件
4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
0的n次方根为0.
n 次 方 根 偶次方根
？负数有没有偶次方根？为什么？
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根 2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
根式
让我们认识一下这个式子:
2 3
练习2. 用分数指数幂表示下列各式.
1 x
23 x2
34 x2
4 1
4 x3
新课讲授 分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整 数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性 质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s， 均有下面的性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q);
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
一般地，如果xn=a，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，
0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号n a 表示．
5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2. 1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数；
0的n次方根为0.
n 次 方 根 偶次方根
？负数有没有偶次方根？为什么？
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根 2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
根式
让我们认识一下这个式子:
2 3
练习2. 用分数指数幂表示下列各式.
1 x
23 x2
34 x2
4 1
4 x3
新课讲授 分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整 数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性 质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s， 均有下面的性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q);
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
一般地，如果xn=a，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，
0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号n a 表示．
5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2. 1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数；
n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1.当n是奇数时，a的n次方根表示为
负的n次方根，a∈ [0，＋∞)．
二
学生探索、尝试解决
② 根式的定义是什么？
二
学生探索、尝试解决
③深入思考教材 P105 探究问题
n
an
表示 a 的 n 次方根， a
n
一定成立，那么
提示：不一定．
n
n
an
n
a
一定成立吗？如果不
等于什么？
二
学生探索、尝试解决
根式的性质
n n
(1)( a) ＝ a (n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a>0，
且 n>1).
a n 为奇数，且 n>1，
n n
(2) a ＝ |a|
n 为偶数，且 n>1.
二
学生探索、尝试解决
④为什么负数没有偶次方根？
因为任何数的偶次方根都是非负数.
二
学生探索、尝试解决
例 1：①完成教材典型例题 P105 例 1 求下列各值.
b a, a b.
二
学生探索、尝试解决
②判断下列运算是否正确
10
5
（1） a (a ) a a (a 0);
5
10
5
2 5
2
12
3
（2） a (a ) a a (a 0).
3
12
3
4 3
4
你能得到什么结论？
提示：正确
结论：当根式的被开方数
（看成幂的形式）的指数
3
2
2
3
3
1
2
4
1
2
1
3
2
1
人教A版高中数学必修第一册 n次方根与分数指数幂 课件(2) (共27张PPT)
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1)
x－πn(x＜π，n∈N*)；
6
(2)
4a2－4a＋1
a≤12
.
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当 n 为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；
当 n 为奇数时，n x－πn＝x－π.
综上可知，n
x－πn＝
π－x，n x－π，n
为偶数，n∈N*， 为奇数，n∈N*.
a
相乘．
n
(5)0 的任何指数幂都等于 0.
(√) (√) ( √)
(×) ( ×)
2. 5 a-2 可化为(
A．a
-
2 5
)
5
B．a 2
2
C．a 5
答案：A
3
3．化简 25 2 的结果是( )
A．5 答案：D
B．15
C ．25
4．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
答案：11 8
-23 ;
(2)0.008-
2 3
;
(3)
81 2 401
-
3 4
;
(4)(2a+1)0;
(5)
5 6
-
3 5
-1
-1
.
解:(1)
125 27
-
2 3
53
-
2 3
33
5-2 3-2
32 52
295.
(2)0.
008-
2 3
=
(0.23
)-
2 3
=0.2-2=
1
-2
=52=25.
5
(3)
n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
4
（3） 分数指数幂与根式可以相互转化，如 2 =
4
1
2
1
2
（
若 < 0时， 2 有意义，但 = 无意义
）
三.分数指数幂
分母为根指数
2.用根式表示下列各式：（ > 0）
4
3
3
4
4
3
3
4
2
−5
1
5
3
−2
1
2
3
分数指数幂的
简洁性与运算便捷性
都优于分式和根式
3.用分数指数幂表示下列各式：
23 = 8，(−2)3 = −8,
则8的三次方根（立方根）为2
则 − 8的三次方根（立方根）为 − 2
24 = 16，(−2)4 = 16，则16的四次方根为 ± 2
25 = 32，(−2)5 = −32, 则32的五次方根为2
则 − 32的五次方根为 − 2
二.n次方根
探究一：n次方根概念
n次方根概念： = ,
探究三：根式与分数指数幂的互化
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以也表示为分数指数幂的形式.
5
（1） (−2)3=
（2）4(−2)23−25=1
(−2)2
没有意义
所以，在表示分数指数幂时，我们需要规定底数>0
三.分数指数幂
探究三：根式与分数指数幂的互化
正分数指数幂： =
负分数指数幂：
( ) =
() =
( > 0, > 0, 、 ∈ )
五.检测
1.求值
2
83
= _____
2
（3） 分数指数幂与根式可以相互转化，如 2 =
4
1
2
1
2
（
若 < 0时， 2 有意义，但 = 无意义
）
三.分数指数幂
分母为根指数
2.用根式表示下列各式：（ > 0）
4
3
3
4
4
3
3
4
2
−5
1
5
3
−2
1
2
3
分数指数幂的
简洁性与运算便捷性
都优于分式和根式
3.用分数指数幂表示下列各式：
23 = 8，(−2)3 = −8,
则8的三次方根（立方根）为2
则 − 8的三次方根（立方根）为 − 2
24 = 16，(−2)4 = 16，则16的四次方根为 ± 2
25 = 32，(−2)5 = −32, 则32的五次方根为2
则 − 32的五次方根为 − 2
二.n次方根
探究一：n次方根概念
n次方根概念： = ,
探究三：根式与分数指数幂的互化
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以也表示为分数指数幂的形式.
5
（1） (−2)3=
（2）4(−2)23−25=1
(−2)2
没有意义
所以，在表示分数指数幂时，我们需要规定底数>0
三.分数指数幂
探究三：根式与分数指数幂的互化
正分数指数幂： =
负分数指数幂：
( ) =
() =
( > 0, > 0, 、 ∈ )
五.检测
1.求值
2
83
= _____
2
高一数学人教A版必修第一册新课件：4.1.1n次方根与分数指数幂1
第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标： 1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。 2.掌握分数指数幂与根式的互化。
教学重点 n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂 与根式的互化 教学难点 分数指数幂与根式的互化
xn
负数没有偶次方根
因为负数的偶次方根一定是正数
分数指数幂的概念： 当根式的被开方数（看成幂 的情势）的指数能被根指数 整除时，根式可以表示为分 数指数幂的情势。
那么正数的负分数指数幂ຫໍສະໝຸດ 何表示呢？对于任意有理数r,s，均有下面的运算性质：
本节课学习了n次方根与分 数指数幂的概念与性质，分 数指数幂与根式的互化。
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标： 1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。 2.掌握分数指数幂与根式的互化。
教学重点 n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂 与根式的互化 教学难点 分数指数幂与根式的互化
xn
负数没有偶次方根
因为负数的偶次方根一定是正数
分数指数幂的概念： 当根式的被开方数（看成幂 的情势）的指数能被根指数 整除时，根式可以表示为分 数指数幂的情势。
那么正数的负分数指数幂ຫໍສະໝຸດ 何表示呢？对于任意有理数r,s，均有下面的运算性质：
本节课学习了n次方根与分 数指数幂的概念与性质，分 数指数幂与根式的互化。
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学习新知——根式的性质
=-2 =2 =3 =3
人教A版（）高中数学必修第一册n次 方根与 分数指 数幂课 件（共2 2张ppt ）
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例题讲解
例1：求下列各式的值
（当n为奇数） （当n为偶数）
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负数没有n次方根.
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学习新知——n次方根的概念
0的3次方根是 0 0的4次方根是 0
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情景引入
(3)你能用根式的意义解释(2)的式子吗?
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结果表明:分数指数幂是根式的另一种表示方法. 综上,我们规定正数的正分数指数幂的意义.
1
2a3bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
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课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
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谢谢观看！
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有理数指数幂运算性质
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例题讲解
例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0,b>0）
b3
3
b5
b
3 3
18
5b5
11
51
5
(b b4 )3 b 4 3 b12
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例题讲解
例2.求值
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学习新知——有理数指数幂运算性质
如果xn=a，x叫做a的
.
学习新知——n次方根的概念
学习新知——n次方根的概念
27的3次方根是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
人教A（2019版）高一上
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 3.掌握有理数指数幂的运算性质．
情景引入
情景引入
如果x2=9，则x= ±3；x叫做9的 平方根 . 如果x3=8， 则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 . 如果x4=16，则x= ±2 ；x叫做16的四次方根.
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情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0）
类比
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结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
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学习新知——分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
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3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
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情景引入 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
结论1: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
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学习新知——n次方根的概念
（当n是奇数） （当n是偶数，且a>0）
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学习新知——根式的概念
根指数 根式
na
被开方数
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学习新知——根式的性质
(2)根式性质:当n>1,n∈N*时,
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=-2 =2 =3 =3
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例题讲解
例1：求下列各式的值
（当n为奇数） （当n为偶数）
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负数没有n次方根.
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学习新知——n次方根的概念
0的3次方根是 0 0的4次方根是 0
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情景引入
(3)你能用根式的意义解释(2)的式子吗?
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结果表明:分数指数幂是根式的另一种表示方法. 综上,我们规定正数的正分数指数幂的意义.
1
2a3bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
13
6a 2b 2
1
3 1 1 2
a 2b2 3
3
1
a
5 1
2b 6
3
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课堂小结
1.n次方根与根式的概念，根式的性质 2.分数指数幂概念 3.有理数指数幂运算性质
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有理数指数幂运算性质
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例题讲解
例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0,b>0）
b3
3
b5
b
3 3
18
5b5
11
51
5
(b b4 )3 b 4 3 b12
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例题讲解
例2.求值
人教A版（）高中数学必修第一册n次 方根与 分数指 数幂课 件（共2 2张ppt ）
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学习新知——有理数指数幂运算性质
如果xn=a，x叫做a的
.
学习新知——n次方根的概念
学习新知——n次方根的概念
27的3次方根是
3
-32的5次方根是 -2
a6的3次方根是
a2
结论1：当n为奇数时：正数的n次方根为正数， 负数的n次方根为负数 .
学习新知——n次方根的概念
16的4次方根是 2和-2 -81的4次方根是 无 结论2：当n为偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数
人教A（2019版）高一上
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质． 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 3.掌握有理数指数幂的运算性质．
情景引入
情景引入
如果x2=9，则x= ±3；x叫做9的 平方根 . 如果x3=8， 则x= 2 ；x叫做8的 立方根 . 如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的 立方根 . 如果x4=16，则x= ±2 ；x叫做16的四次方根.
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情景引入
(2)利用(1)的规律,把下列根式表示成分数指数幂的形式（a>0,b>0,c>0）
类比
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结论2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式.
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学习新知——分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义：
2.正数的负分数指数幂的意义：
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3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
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情景引入 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
结论1: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
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学习新知——n次方根的概念
（当n是奇数） （当n是偶数，且a>0）
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学习新知——根式的概念
根指数 根式
na
被开方数
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学习新知——根式的性质
(2)根式性质:当n>1,n∈N*时,
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