空间立体几何建系练习题

空间立体几何建系设点专题

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一•所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB_AD，CD _ AD，PA_底面ABCD，

PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。

(1) 求证：BM //平面PAD;

(2) 在侧面PAD内找一点N，使MN _平面PBD;

(3) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

19.(本題满分直分)

正方形曲与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2t

点E%AB的中点.

(1 )求证：轲"平面A^DEt

(H)求二面角DSE①的大卜

(III)求多面体AyDyDBE的休积*

3. 已知多面体 ABCDE 中，AB 丄平面 ACD , DE 丄平面ACD, AC = AD = CD = DE

=2a , AB = a , F 为 CD 的中点.

4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，PB 丄平面ABCD , MA//PB , PB=AB=2MA ,

(I) 证明：AC//平面PMD ;

(U)求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；

(川)求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小。

所成二面角的大小

(I)求证：AF 丄平面CDE ;

(U)求异面直线AC , BE 所成角余弦值;

(

5. 已知斜三棱柱ABC - AB。, . BCA =90“ , AC 二BC =2, A在底面ABC上

的射影恰为AC的中点D，又知BA _ AC i

(I) 求证：AC i _平面ABC ;

(II) 求CC i到平面AAB的距离；

(III )求二面角A-AB-C的大小。

6. (湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD 的高都为2, AB= 4.

(1)证明：PQ丄平面ABCD;

(2)求异面直线AQ与PB所成的角；

(3)求点P到平面QAD的距离.

图I

7. (全国卷U理科第19题)在直三棱柱ABC-ABQ i中，AB= BC, D、E

分别

为B% AG的中点.

(1)证明：ED为异面直线BB i与AC i的公垂线；

(2)设AA =AC =：：；2A B，求二面角几- AD -G的大小.

图2 8. 如图，平面PAC_平面ABC , ABC是以AC为斜边的等腰直角三角

形,

E,F,O 分别为PA , PB , AC 的中点，AC =16, PA二PC =10 .

(I)设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE ;

(II )证明：在ABO内存在一点M，使FM _平面BOE，并求点M 到OA , OB的距离.

9. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD ,

AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E1、F 分别是棱AD、

AA1、AB的中点。

(1)证明：直线EE1//平面FCC1；

(2)求二面角B-FC i-C的余弦值。

10.如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形.

已知AB =3, AD =2, PA =2, PD = 2 . 2, PAB = 60 .

(I)证明AD _平面PAB ;

(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小；

(川)求二面角P - BD - A的大小.

2

3 求异面直线BD 与B i C 的距离。 4. 四棱椎P — ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD 为正三角形, 平面PCD _平面ABCD, PB_ AC ,E 为PD 中点.

(1) 求证：PB//平面AEC

(2) 求二面角E — AC — D 的大小.

高三立几建系设点专向练习 1. 在正方体A —C i 中，E 、F 分别为D i C i 与AB 的中点, 所成的角的正弦值为( ) A . sin 空

B . sin —3 3 3 2. 如图，正三棱柱ABC-ABG 中， 则A i B i 与截面A I ECF 值为(

) 6 C . sin - 2

则AC 与平面

D •都不对 AB =AA ， BBCC 所成的角的正弦 3.已知正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱长为1,

5. 如图，已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD为菱形，PA _平面ABCD ,

.ABC =60 , E, F分别是BC, PC的中点.

(1)证明：AE _ PD ；

⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为于，求二

面角E -AF -C的余弦值.

6. 如图，ABCD是边长为a的菱形，且/ BAD=60°，

△ PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD

(1)求COS〈AB，PD〉的值；

(2)若E为AB的中点，F为PD的中点，求|EF |的值;

(3)求二面角P—BC—D的大小

7. 如图，四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，PC丄AD .底面ABCD为梯形，AB//DC，AB_BC . PA 二AB 二BC，点E 在棱PB 上，且PE=2EB .

(1)求证：平面PAB丄平面PCB ;

(2)求证：PD // 平面EAC ;

(3)(理)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.