(完整版)简谐振动、振动合成

分振动 x1 Acos(t 1)
x2 Acos(t 2 )
合振动 x
x1
x
2
2
A
c
os(2
2
1
)
c
os(t
1
2
2
)
例: x1 0.05cos(t 4)
x2 0.05cos(t 19 12)
３、由分振动曲线求合振动
例：两同方向、同频率谐振动合成，
x1 4 cos 3t
求：合成谐振动方程
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： 一维振动
F弹 k x F弹 kx ma
a
d 2x dt 2
F弹 m
k x m
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
用匀速圆周运动 几何地描述 S H V y
矢量 A 以角速度 逆时针
作匀速圆周运动，
M A t
研究端点 M 在 x 轴上投
影点的运动，
ox P x
初相
1. M 点在 x 轴上投影点的运动
y
x A cos(t )
为简谐振动。
A M
A v t M 0
2. M 点的运动速度
ox P x
组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动 求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间
解：设 t 时刻到达末态
由已知画出t = 0 时刻的旋矢图
再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢
o
x
设始末态位矢夹角为
t 0
因为 t
得 t
繁复的三角函数的运算用匀速
圆周运动的一个运动关系求得
xx
x1
x2
t
结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后
仍为同频率的简谐振动。
１、旋转矢量法求合振动Y
A
A2
2
1 A1 x
注意
１、当 2 1 2k 时（同相）,
(k 0,1,2, )
A
A12
A
2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
x A A1 A2
合振动振幅最大。
A
A2 A1
o
x1 A1 cos( t 1 ) x 2 A2 cos( t 2 )
l
o
x0 0 v0 0
0 A cos
cos 0
y
A
o
x
2 xA
o
t
/ 2 , 3 / 2
v0 A sin 0, sin 0取 / 2
3.初始条件
t 0
x
l
x0 A v0 0
o A
y
x
A A cos A
cos 1
A
o
xo
A
4.初始条件
x
v A
在 x 轴上投影速度
v A sin( t )
3. M 点的加速度
a A2
在x轴上投影加速度
a A2 cos(t )
y
aM
A M A2 t 0
ox P x
结论：
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。 M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。 M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。
x0 / A
x0
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
d 2
dt 2
g
l
0
令 2 g
l
d 2
dt 2
2
0
谐振动微分方程
圆频率
wenku.baidu.com g
l
周期 T 2 2 l
g
与质量无关。
频率 1 1 g T 2 l
l
T
mg
简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交
替变化。
一、谐振动的动能
Ek
1 mv 2
2
x oA
1 m[A sin( t )]2
二、物理模型与数学模型比较
谐振动
A
振幅
t+
初相 相位
圆频率
T 谐振动周期
旋转矢量 半径
初始角坐标 角坐标 角速度
圆周运动周期
三、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相
1.初始条件
t 0 x0 A v0 0
A A cos
cos 1 0
x oA
y
x
A
A 0
o
x
o
l
t
2.初始条件
x
t 0
T 2
2 2
T
2秒内的振动次数 (单位：1/S或rad./S)
x Acos(t ) Acos( 2 t ) Acos(2 t )
T
4、相位与初相φ
x A cos(t )
(t + )是t 时刻的相位
t时刻的相位反映t时刻的振动状态
由x =Acos(t + )
v A sin( t ) a A2 cos(t )
2
1 mA 2 2 sin 2 (t )
2
Ek
1 m 2 A 2 sin
2
2 (t
)
2 k
Ek
m
m2 k
o
t
Ek
1 kA 2
2 sin
2 (t
)
Ek
1 kA 2
2 sin
2 (t
)
二、谐振动的势能
Ep
1 kx 2
2
Ek E p
1 k[ A cos(t )]2
2
1 kA 2 cos2 (t ) o
2
a A 2cos t π
x,, a 均是作简谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系
m A am A 2
相位差
超前 落后
6.振动曲线
x ,v, a
2A
a
Ax
o
A
v
x A cos(t ) v A sin( t ) a A2 cos(t )
2
3
4 t
单摆
质量集中于小球上，不计悬线质量。
x Acos t
A cos t π
2
dx dt
A
sin
t
a A 2cos t π
a
d
dt
A
2cos t
2x
速度与加速度也都是周期变化的。
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cos(t )
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
t + 0 /2 3/2 2
x(t) A 0 -A (t) 0 -A 0 a(t) -2A 0 2A
0A A 0 0 -2A
初相(initial phase)是t = 0时刻的相位
(t =0称时间零点，是开始计时的时刻，不 一定是开始运动的时刻)
反映t = 0时刻的振动状态(x0，0 )
要熟记典型 值所对应的振动情况和振动 曲线(如图)
t
2
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化.
Ek
1 kA 2
2 sin
2 (t
)
Ep
1 kA 2
2
cos2 (t
)
三、谐振动的能量
Ek E p
E
E
Ek
Ep
1 kA 2 2
o
t
•机械能守恒，谐振过程保守力作功。
•谐振能量与振幅的平方成正比。
旋转矢量
一、旋转矢量
将物理模型转变成数学模型。
相反，称反相
x
A1
A2
o
- A2
x1 x2
同相
x
A1
A2
T o
t
- A2
x1
反相
T t
x2
-A1
-A1
(a) 两同相振动的振动曲线
(b) 两反相振动的振动曲线
3.领先和落后
若 = 2-1> 0,则x2比x1较早达到正最大，称x2
比x1领先(或x1比x2落后)
领先、落后以 < 的相位角(或以< T/2的时间间隔) 来判断
物体完成一次全振动所用的时间。 单位：秒，s 或曰,物体的运动状态完全重复一次所用的时间。
频率v 1秒内物体完成全振动的次数。
1
T
单位：赫兹，Hz
3、圆频率ω x A cos(t )
每隔周期T物体的运动状态复原: x(t T ) x(t)
x(t) Acos( t ) Acos[ (t T ) ]
l
取逆时针为 张角
T
正向，以悬点为轴，
只有重力产生力矩。
M mgl sin
mg
“ – ”表示力矩与 张角方向相反。
M mgl sin
M
J
J
d 2
dt 2
J
d 2
dt 2
mgl
sin
当 5 时
sin
d 2
dt 2
mgl J
0
l
T
mg
d 2
dt 2
mgl J
0
J ml 2
A0
-A 0
A
0
0 -A 0
A 0
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A cos(t ) v A sin( t )
x0 A cos ① v0 A sin ②
①2+(②/)2
有
x
2 0
(v0
/ )2
A2
A
x02
v0
2
②/①有
tg v0 / A v0
t
o
x
1 2
２、当 2 1 （2k 1） 时（反相）,
(k 0,1,2, )
A
A12
A
2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
A A1 A2
x o
合振动振幅最小。
若 A1 A2 A 0
t
A
o
A1
2
x
A2
合振动初相随振幅大者。
２、和差化积求合振动
适用于：两个分振动等振幅时。
t π x 0
AA
2
<0
A
同样
t π π
3
xA
<
2
0
A
o
A
x
t π x A
x
54 32 1
注意到： 2 3 4 < 0 向负方向运动
向正方向运动
t π π
3
或
2π 3
t 3π
2
或 π 2
t
3
xA 2
>0
x
o
x0
>0
A
A
A
x A
2 >0
6 78
x
678 > 0 向正向运动
x2 2 cos( 3t / 3)
解：合成后不变， x A cos(3t )
A
A12
A
2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
42 22 2 4 2 cos( / 3 0) 2 7
tg
A1 A1
sin 1 cos 1
A2 A2
sin 2 cos 2
4 4
sin cos
t 0
l
o
x0 0
v0 0
y
x
0 A cos
3 A
cos 0
o
2
x
o
A
t
/ 2 , 3 / 2
v0 A sin 0, sin 0 取 3 / 2
优点
1、 直观地表达振动状态
分析解析式 x Acos t 可知
当振动系统确定了振幅以后
表述振动的关键就是相位 即
2、方便地比较振动步调
x Acos t
A cos t π
2
a A 2cos t π
A
2A
A
a
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
3、方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧
7π
6
7π 6k
m
引：
-
一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差 的两个谐振动的合成
质点同时参与两个振动，研究两 个同方向同频率的振动合成。
分振动 x1 A1 cos( t 1 )
x 2 A2 cos( t 2 ) 振动合成 x x1 x 2
合成后仍为谐振动，角速度不变。
x A cos(t )
x
=0
x
m
A
(a)
m
A
(c)
oA
o x
t T
-A o
xo
x0 = A -A
x0 = -A
-A
= T t
x
(b)
m
A
o
o x
x0 = 0
-A
= /2
(d) Tt
m o
x0 = 0
x A
xo -A
= 3/2(或 -/2) T t
弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
0 /2 3/ 2
2
x0
前言：振动和波动是物理中的重要领域：
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动都 是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动 定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t) Acos(t )
二、简谐振动的速度、加速度
表达式中的余弦函数的综量 (t )
而旋转矢量图
可直观地显示该综量
A t x
用图代替了文字的叙述 0 x t
如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 • 在正的端点 旋矢与轴夹角为零
t 0 意味 x A
• 质点经二分之一振幅处 向负方向运动
A
x
oA
t π
意味
x A 2
3
< 0
x
21
•质点过平衡位置向负方向运动
dt 2
解微分方程 x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，为初相位。
圆频率 k 单位：rad/s
m 只与弹簧振子性质有关。
1.圆频率 k
m
F弹 x
ox
2.周 期 T 2 2 m
k
3.频 率 1 1 k T 2 m
x Acos t
A cos t π
0 0
2 sin 2 cos
/3 /3
3 5
0.33
合振动方程 x 2 7 cos( 3t 0.33 )
二、多个同方向、同频率谐振动合成
合成后仍为谐振动。
x A cos(t )
1、解析法：先将 x1,x2合成，再与x3 合成。…… 2、矢量合成法： x1,x2，x3 ……首尾相 接。
x
A1
x1
A2
思考：在上图中，x1与x2两 振动谁领先?
o
- A2
x2
T t
-A1
振动的领先与落后
弹簧振子
F弹 x
1.符合简谐振动的条件
1.在平衡位置附近来回振动。
ox
2.受回复力作用。
2. 弹簧的振动 特点： 1.弹簧质量不计。 2.所有弹力都集中在弹簧上。
3.质量集中于物体上。 4.不计摩擦。