1《圆的标准方程》课件1.ppt
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程课件PPT
2．点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有 如表所示的对应关系.
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d 与 r 的关系 ___d_>_r___ ___d_＝__r__ ___d_<_r___
自主探究 探究 1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？ 为什么？
解：
法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2.
a＝4， 解得b＝0，
r＝ 5.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为 y＝－12(x－4)， 令 y＝0，得 x＝4.即圆心坐标 C(4,0)， ∴r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5， ∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
【答案】未必表示圆，当 r≠0 时，表示圆心为(a，b)，半径 为|r|的圆；当 r＝0 时，表示一个点(a，b)．
探究 2：由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 【答案】由圆的标准方程可直接得到圆的圆心坐标和半径．
预习测评 1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和 半径分别是( ) A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3 C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
错解：由题意可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂直 平分线 x＝2 上，由xy＝＝22，x， 可得圆心 C(2，4)，r＝|AC|＝ 17， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
圆的标准方程PPT
例 己知圆心为C的圆经过点A(-1,5),B(5,5),C(6,-
2)，求圆的标准方程.
解1:设圆C的方程为
2
x a
2 2
2
y b r
2
2
1 a 5 b r 2 2 5 a 5 b r 2 2 2 2 6 a 2 b r
圆经过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)
待定系数法
a 2 b 1 r 5
2 2 (x-2) ( y 1) 25. 即圆的标准方程为：
数形结合
A(1,5),B(5,5),C(6,-2)
y 弦的垂直平分线 （垂径定理）
o
x圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点圆的解析式呢？
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半 径R（R>0),如何确定圆的方程？ y
C
M
x
一.建立直角坐标系；
二.设 M ( x, y)为圆上任意一点； 三.由 MC R ,则圆上所有点的集合
P={M||MC|=R}
四.根据两点距离公式得：
( x a ) 2 ( y b) 2 R( R 0)
五.化简得：
( x a)2 ( y b) 2 R 2 ( R 0)
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
( x a) ( y b) r r 0
2 2 2
O
C
x
形
数
若圆心为O（0，0），半径为1，则圆的 方程为： 2 2
x y 1 单位圆
三.典例探究
例 己知圆心为C的圆经过点A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)， 求圆的标准方程.
2)，求圆的标准方程.
解1:设圆C的方程为
2
x a
2 2
2
y b r
2
2
1 a 5 b r 2 2 5 a 5 b r 2 2 2 2 6 a 2 b r
圆经过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)
待定系数法
a 2 b 1 r 5
2 2 (x-2) ( y 1) 25. 即圆的标准方程为：
数形结合
A(1,5),B(5,5),C(6,-2)
y 弦的垂直平分线 （垂径定理）
o
x圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点圆的解析式呢？
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半 径R（R>0),如何确定圆的方程？ y
C
M
x
一.建立直角坐标系；
二.设 M ( x, y)为圆上任意一点； 三.由 MC R ,则圆上所有点的集合
P={M||MC|=R}
四.根据两点距离公式得：
( x a ) 2 ( y b) 2 R( R 0)
五.化简得：
( x a)2 ( y b) 2 R 2 ( R 0)
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
( x a) ( y b) r r 0
2 2 2
O
C
x
形
数
若圆心为O（0，0），半径为1，则圆的 方程为： 2 2
x y 1 单位圆
三.典例探究
例 己知圆心为C的圆经过点A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)， 求圆的标准方程.
《圆的方程》课件
核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。
《圆的标准方程》课件
《圆的标准方程》PPT课 件
欢迎来到《圆的标准方程》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍圆的基本概 念、标准方程的一般形式以及圆心和半径的含义。让我们开始探索圆的奥秘 吧！
什么是圆的标准方程
圆的标准方程是描述圆形的方程式。它使用平面直角坐标系中的变量来表示 圆的位置和半径。了解圆的标准方程可以帮助我们解决各种与圆相关的数学 问题。
多边形
圆可以与多边形的外接圆或内切 圆相交或相切。
圆的重要性及应用领域
1 数学基础
圆是几何学的基本概念之一，对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2 物理学
圆的运动和旋转是物理学中许多现象的基础，如行星的轨道和自转。
3 计算机科学
圆的标准方程在计算机图形学中用于绘制圆形的图像和动画。
圆的标准方程与其他方程型的比较
圆的标准方程在物理学中的应用
物理学中的许多现象可以用圆的标准方程进行建模和描述。例如，行星的轨道可以用圆形或椭圆 形来表示，而物体的旋转运动也可以用圆的方程来描述。
圆的标准方程在工程 中用于设计圆形物体 的尺寸和位置。
通过圆的标准方程解决方程组
圆的标准方程可以与其他方程组合使用，解决多元方程组中与圆有关的问题。例如，我们可以通 过圆的标准方程和直线方程的系统来求解直线和圆的交点。
圆和其他图形的关系
1
三角形
2
圆可以与三角形的外接圆或内切
圆有关。
3
矩形
圆可以与矩形相切或包围，形成 有趣的图案。
步骤2
将圆心的坐标(h, k)代入圆的标准方程的x 和y的变量位置。
步骤4
整理方程，得到圆的标准方程。
圆的一般方程和标准方程之间 的关系
圆的一般方程和标准方程都可以用来表示圆形，但它们的形式不同。一般方 程是多项式形式，而标准方程是平方项的和。通过变换，可以将一般方程转 化为标准方程，反之亦然。
欢迎来到《圆的标准方程》PPT课件！在这个课件中，我们将介绍圆的基本概 念、标准方程的一般形式以及圆心和半径的含义。让我们开始探索圆的奥秘 吧！
什么是圆的标准方程
圆的标准方程是描述圆形的方程式。它使用平面直角坐标系中的变量来表示 圆的位置和半径。了解圆的标准方程可以帮助我们解决各种与圆相关的数学 问题。
多边形
圆可以与多边形的外接圆或内切 圆相交或相切。
圆的重要性及应用领域
1 数学基础
圆是几何学的基本概念之一，对于数学的发展起到了重要的推动作用。
2 物理学
圆的运动和旋转是物理学中许多现象的基础，如行星的轨道和自转。
3 计算机科学
圆的标准方程在计算机图形学中用于绘制圆形的图像和动画。
圆的标准方程与其他方程型的比较
圆的标准方程在物理学中的应用
物理学中的许多现象可以用圆的标准方程进行建模和描述。例如，行星的轨道可以用圆形或椭圆 形来表示，而物体的旋转运动也可以用圆的方程来描述。
圆的标准方程在工程 中用于设计圆形物体 的尺寸和位置。
通过圆的标准方程解决方程组
圆的标准方程可以与其他方程组合使用，解决多元方程组中与圆有关的问题。例如，我们可以通 过圆的标准方程和直线方程的系统来求解直线和圆的交点。
圆和其他图形的关系
1
三角形
2
圆可以与三角形的外接圆或内切
圆有关。
3
矩形
圆可以与矩形相切或包围，形成 有趣的图案。
步骤2
将圆心的坐标(h, k)代入圆的标准方程的x 和y的变量位置。
步骤4
整理方程，得到圆的标准方程。
圆的一般方程和标准方程之间 的关系
圆的一般方程和标准方程都可以用来表示圆形，但它们的形式不同。一般方 程是多项式形式，而标准方程是平方项的和。通过变换，可以将一般方程转 化为标准方程，反之亦然。
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
即有
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
课外作业: 做《数学之友》并预习圆的一般方程.
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
探究:Leabharlann 求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
课外作业: 做《数学之友》并预习圆的一般方程.
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
探究:Leabharlann 求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
即有
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
半径 r =_____ (2) C:(x+1)2+(y-1)2=10, 圆心坐标是________, 半径 r =_____ (3) C:(x-1)2+(y+5)2=3, 圆心坐标是________, 半径 r =_____
(4) 圆心为原点半径为 5的圆的方程________ , (5) 圆心为 3,4),半径为4的圆的方程_________ (
2
即(x 0) (y b) r
2 2
2
01
第三步:将B(18.7, 0) , C(0 , 7.2)分别代入上式,得
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
Y
A
0
2.7
B
X
3.求圆心在直线2 x－y－3=0上,且经过点( 5, 2) 和点( 3, -2)的圆的方程.
6
4
2
A( 5 ,2 )
-10 -5 5 10
-2
B( 3, -2 )
-4
-6
课堂检测: 1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为6;
(2)经过点P( 6, 3 ),圆心为C(2, -2). 2.求以点C( -1 ,-5) 为圆心,并且和y轴相 切的圆的方程. 3.已知点A(-4 ,-5 ),B(6, -1),求以线段AB 为直径的圆的方程.
半径 r =_____ (2) C:(x+1)2+(y-1)2=10, 圆心坐标是________, 半径 r =_____ (3) C:(x-1)2+(y+5)2=3, 圆心坐标是________, 半径 r =_____
(4) 圆心为原点半径为 5的圆的方程________ , (5) 圆心为 3,4),半径为4的圆的方程_________ (
2
即(x 0) (y b) r
2 2
2
01
第三步:将B(18.7, 0) , C(0 , 7.2)分别代入上式,得
圆的标准方程公开课一等奖课件
例题1
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
1《圆的标准方程》课件1.ppt
7.7 圆的方程
圆的标准方程
什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。 y M 一、建立圆的标准方程 r 求圆心Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。 c 如图（１），设M(x ,y )是圆上任 意一点，根据定义，点Ｍ到圆心Ｃ的 o 距离等于r ，所以圆Ｃ就是集合 x Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝ 图⑴
例6 已知圆的方程是x y r 2，求经过圆上一点 y M x , y 的切线的方程。 解：如图⑵，设切线的斜率 k , P(x,y) 半径OM的斜率为 k ，因为圆的 M(x0,y0) 切线垂直于过切点的半径，于是
2
0 0
2
1
k
1
∵k
1
y x
k
1
o ∴
y
k
0
0
x y
2 2
2
( y b)
2 2
2
r 的关系判断：
2
⑴( x 0 a )
( y 0b) ( y 0b) ( y 0b)
2 2
r r r
，P在圆外， ，P在圆上， ，P在圆内。
⑵( x 0 a )
⑶( x 0 a )
2
2
2
例５ 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆，车辆只能在道路的中心线一侧 行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车 能不能驶入这个隧道？
点Ｍ适合的条件可表示为
(x a)
2
( y b)
2
＝r
①
①式两边平方，得 ② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。 特别的，如果圆心在原点，这时 a 0 , b 0 ，那么 2 2 2 y r 圆的方程是 x 二、圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程： ⑴圆心在原点，半径是３； ⑵圆心在点 C 3 , 4 ，半径是 5 ； ⑶经过点 P 5 ,1 ，圆心在点 C 8 , 3 。 2 2 y 9 ⑵( x 3) 2 ( y 4 ) 2 5 答：⑴ x 2 2 ( y 3) 2 5 ⑶ ( x 8) 点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 2 2 2 x 8 y 3 r，用待定系数法求解。
圆的标准方程
什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。 y M 一、建立圆的标准方程 r 求圆心Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。 c 如图（１），设M(x ,y )是圆上任 意一点，根据定义，点Ｍ到圆心Ｃ的 o 距离等于r ，所以圆Ｃ就是集合 x Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝ 图⑴
例6 已知圆的方程是x y r 2，求经过圆上一点 y M x , y 的切线的方程。 解：如图⑵，设切线的斜率 k , P(x,y) 半径OM的斜率为 k ，因为圆的 M(x0,y0) 切线垂直于过切点的半径，于是
2
0 0
2
1
k
1
∵k
1
y x
k
1
o ∴
y
k
0
0
x y
2 2
2
( y b)
2 2
2
r 的关系判断：
2
⑴( x 0 a )
( y 0b) ( y 0b) ( y 0b)
2 2
r r r
，P在圆外， ，P在圆上， ，P在圆内。
⑵( x 0 a )
⑶( x 0 a )
2
2
2
例５ 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆，车辆只能在道路的中心线一侧 行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车 能不能驶入这个隧道？
点Ｍ适合的条件可表示为
(x a)
2
( y b)
2
＝r
①
①式两边平方，得 ② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。 特别的，如果圆心在原点，这时 a 0 , b 0 ，那么 2 2 2 y r 圆的方程是 x 二、圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程： ⑴圆心在原点，半径是３； ⑵圆心在点 C 3 , 4 ，半径是 5 ； ⑶经过点 P 5 ,1 ，圆心在点 C 8 , 3 。 2 2 y 9 ⑵( x 3) 2 ( y 4 ) 2 5 答：⑴ x 2 2 ( y 3) 2 5 ⑶ ( x 8) 点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 2 2 2 x 8 y 3 r，用待定系数法求解。
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
即有
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
圆的标准方程:(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 (r＞0)
例题: 1 . (1)求圆心是C(2, -3), 且经过原 点的圆的方程. (2)求圆心是C(3, 4),且经过点 (4 ,6 )的圆的方程. (3)过点A( 1 , 2 ),且与两坐标轴 同时相切的圆的方程.
2.已知隧道的截面是半径为4m的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这 个隧道?
探究:
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 ( 1 ) 反过来,若点P1的坐标(x1 ,y1) 是方程(1)的解,则
(x1 - a) 2 + ( y1 - b) 2 = r2
课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
(x1-a) 2 + (y1-b) 2 = r
这说明点P1(x1,y1)在以C(a, b)为圆心,r为半径的圆上.
方程(x-a) 2 +
(y-b) 2 = r2 (r＞0)
叫做以(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程.
练习: (1) C:(x-3)2+(y+2)2=9, 圆心坐标是_______,
圆的标准方程:(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 (r＞0)
例题: 1 . (1)求圆心是C(2, -3), 且经过原 点的圆的方程. (2)求圆心是C(3, 4),且经过点 (4 ,6 )的圆的方程. (3)过点A( 1 , 2 ),且与两坐标轴 同时相切的圆的方程.
2.已知隧道的截面是半径为4m的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这 个隧道?
探究:
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 ( 1 ) 反过来,若点P1的坐标(x1 ,y1) 是方程(1)的解,则
(x1 - a) 2 + ( y1 - b) 2 = r2
课堂小结
1.圆的标准方程 (x-a)
2+
(y-b) =
2
2 r
(r＞0)
2.会用待定系数法求出圆的基本 量a、b、r, 从而求出圆的标准方 程.
作业:
P102 习题2.2(1)
交送作业:ex1.2.3.
《圆的标准方程》课件1 (北师大版必修2)
探究:
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
r C O x M
解：设M(x,y)是圆上任意一点，则CM=r
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 ( 1 ) 反过来,若点P1的坐标(x1 ,y1) 是方程(1)的解,则
(x1 - a) 2 + ( y1 - b) 2 = r2
半径 r =_____ (2) C:(x+1)2+(y-1)2=10, 圆心坐标是________, 半径 r =_____ (3) C:(x-1)2+(y+5)2=3, 圆心坐标是________, 半径 r =_____
(4) 圆心为原点 半径为 5的圆的方程________ , (5) 圆心为(3,4),半径为4的圆的方程_________
圆的标准方程:(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 (r＞0)
例题: 1 . (1)求圆心是C(2, -3), 且经过原 点的圆的方程. (2)求圆心是C(3, 4),且经过点 (4 ,6 )的圆的方程. (3)过点A( 1 , 2 ),且与两坐标轴 同时相切的圆的方程.
2.已知隧道的截面是半径为4m的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这 个隧道?
问题:
河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的 石拱桥.赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约为7.2m, 如何写出这个圆拱所在的圆的方程?
探究:
第一步:建立直角坐 标系 第二步:设圆拱所 在的圆的半径为r, 那么圆上的任意 一点p(x,y)应满足 o1p=r
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例２ ⑵ x 4 ⑶x
2
说出下列圆的圆心坐标和半径长：
2
2
⑴ x3
y 1
y2 2
y2 2 4 ;
2
7 ;
答：⑴圆心 (3,2), 半径为2； ⑵圆心 (4, 2 ),半径为 7 ; ⑶圆心 (0,1),半径为4
16.
例３ 求以C 1,3 为圆心，并且和直线 3x 4 y 7 0 相切的圆的方程。 解：∵圆与直线 3x 4 y 7 0 相切， ∴圆心C 1,3 到 3x 4 y 7 0的距离
r
⑴( x0a) ( y 0b)
2
2
r r r
2
，P在圆外， ，P在圆上， ，P在圆内。
⑵( x0a) ( y 0b)
⑶( x0a) ( y 0b)
2
2 2
2
例５ 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆，车辆只能在道路的中心线一侧 行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车 能不能驶入这个隧道？
点Ｍ适合的条件可表示为
( xa)
2
( y b)
2
＝r
①
①式两边平方，得 2 2 2 ( y b) r ( xa) ② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。 特别的，如果圆心在原点，这时 a 0, b 0，那么 2 2 2 y r 圆的方程是 x 二、圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程： ⑴圆心在原点，半径是３； ⑵圆心在点 C 3,4，半径是 5 ； ⑶经过点 P5,1 ，圆心在点 C 8,3。 2 2 y 9 ⑵( x3)2 ( y 4)2 5 答：⑴ x 2 2 ( y 3) 25 ⑶ ( x8) 点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 2 2 2 x 8 y 3 r，用待定系数法求解。
x , y 在(xa)2 ( yb)2 r 2 上时，过 M x , y
00 0 0y来自r2；r
2
上时，过 M的切线为
三、课堂练习
练习1 2 3
四、小结 五、作业
习题2.2(1) 1 2 3
7.7 圆的方程
圆的标准方程
什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。 y M 一、建立圆的标准方程 r 求圆心Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。 c 如图（１），设M(x ,y )是圆上任 意一点，根据定义，点Ｍ到圆心Ｃ的 o 距离等于r ，所以圆Ｃ就是集合 x Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝ 图⑴
解：①∵11
2
11
2
4 ，∴点 A
在圆上；
②∵ 01 11 1 4，∴点 B在圆内；
2 2
③∵ 01
小结： P
0
2
31
2
，∴点 C 在圆外。 5 4
2 2
( x0 , y ) 与圆( x a) 2 ( y b) 2 2 的关系判断：
经过点M的切线方程是 图⑵ 2 整理，得 x0 x y0 y r 当点Ｍ在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适 用。 思考：是否可以用平面几何的知识求此切线方程。
0 0 0
y y
x y x x
0
小结：⑴ M
x , y 在x
0 0
2
y
2
xx
0
y
0
⑵M
圆的切线方程为 ( x 0 a)( x a) ( y b)( y b) r 2 0
d r 3 1 4 3 7
2
∴圆的方程为 x 1 y 3
2
3
4
2
2
16 5
256 25
例4 已知圆O的方程为 x 1 y 1 ，判断下面的点在 4 圆内、圆上、还是圆外？ A1,1 B0,1 C 0,3
2 2
例6 已知圆的方程是x M x 0 , y 的切线的方程。 0 解：如图⑵，设切线的斜率 k , 半径OM的斜率为 k 1 ，因为圆的 切线垂直于过切点的半径，于是
2
2 2 y r ，求经过圆上一点
y
P(x,y) M(x0,y0) o x
k
1
y ∵k x
1
k
1
0
∴
k
0
x y
0 0