2015广东高考文科数学试题及答案
2015年广东省高考文科数学试题及答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．25. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =，且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．3 6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． ()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．参考答案1-5 BADBC 6-10 DBBAA11、（-4,1） 12、10 13、1 14、（2，-4） 15、3 16、（1）解：tan tan4tan()41tan tan 4tan 11tan παπαπααα++=-+=- ∵ tan 2α= ∴21tan()34121πα++==-- （2）222222222sin sin cos cos 21sin 1sin cos (cos sin )cos sin cos cos sin sin cos 2cos sin αααααααααααααααααα+--=-+--=-+-+=-+∵sin 22sin cos ααα=∴22222sin cos sin cos -2cos sin 2tan =tan 2tan 221222ααααααααα=+-+⨯==-+原式17、解：（1）（0.002+0.0025+0.005+x +0.0095+0.011+0.0125）⨯20=1∴0.0075x = （2）众数：230中位数：取频率直方图的面积平分线 0.0020.00950.0110.0225110.0252020.0250.02250.00250.0025202202240.0125++=⨯=∴-=⨯+=（3）[220,240):0.01252010025⨯⨯=[240,260):0.00752010015⨯⨯= [260,280):0.0052010010⨯⨯=[280,300):0.0025201005⨯⨯=共计：55户 ∴[220,240)抽取：2511555⨯=户 18、解：（1）∵ 四边形ABCD 为长方形∴BC AD∵BC PDA AD PDA ⊄⊂平面，平面 ∴BC PDA 平面（2）取DC 中点E ，连接PE∵PC=PD ∴ PE ⊥CD∵ 面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD=CD PE ⊂面PCD ，PE ⊥CD ∴ PE ⊥面ABCD 而BC ⊂面ABCD ∴ BC ⊥PE∵ BC ⊥CD ，CD ⋂PE=E ∴ BC ⊥面PCD PD ⊂面PCD ∴ BC ⊥PD（3）由（2）得：PE 为面ABCD 的垂线∴P-ADC ΔACD 1V PE S 3=⨯⨯在等腰三角形PCD中，ACD 11S AD DC 36922∆=⨯⨯=⨯⨯=∴P-ADC 1V 93==设点C 到平面PDA 距离为h∴C-PDA PDA 1V S 3h ∆=⨯⨯而PDA 11S AD PD 34622∆=⨯⨯=⨯⨯=∴163h =⨯⨯∴h =，即：点C 到平面PDA19、解：（1）令n=2,则：43123123112124444348535151244135122155481542374237837371578848S S S S S a a a S a S a a S S S a S =+-=++=++====+=+=∴=⨯+-⨯==∴=-=-=（2）211112211211121321212112114584584584444{44}5344=4-4+1=04244=042=2-42=12-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nS S S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+--++-+++-+++++++++++=+⎧⎨+=+⎩∴+=+∴-+=-+∴-+-+⨯⨯∴-+∴--∴为常数列211211114-2=112-21-12=2-21{-}2n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++∴∴∴（）（）为等比数列（3）由（2）得：11{-}2n n a a +是首相为：2113-=22a a ，公比为12的等边数列111411()()22{}2,411()22=2+4()2121()()221n n n n n n n n n n na aa aan n n a n ++∴-=∴=∴-∴==-为首相公差为的等差数列（+1）=4-24-2 20、（1）解：2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx =设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kx x y x x k x x k x x x x k k ky y k x k k y k x xx x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即29535(,3]13x k ∴=∈+（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()220354303543x y k k k -+=-==--==-的两个极限值：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时：21、解：（1）222(0)||(1)||||f a a a a a a a a a a =+--=+-+=+ 10,21,21020,1,012a a a a a a a a R a a ≥≤≤∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述： （2）22()()(1)()()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩22(12)()()(12)2()x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122a x a a +==+>∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增（3）由（2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-. ①当2a =时，-22()(min ==）f x f ，⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+x x f 时，即)0(4)(>-=x xx f . 因为()f x 在(0,2)上单调递减，所以()(2)2f x f >=- 令xx g 4)(-=，则)(x g 为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，2)2()(-=<g x g ， 所以函数)(x f 与)(x g 在（0，2）无交点. 当2x ≥时，令xx x x f 43)(2-=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x综上所述，当2a =时，xx f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点x=2. ②当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ，0)(2<-=a a a f ， 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=xx g 故判断函数)()(x g x f 与是否有交点，需判断2)(a a a f -=与aa g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以24()f a a a a=-<-,即）a g a f ()(< 所以，当),0(a x ∈时，)()(x g x f 与有一个交点；当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=xx g 恒成立 而令a x 2=时，02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时，有)2()2(a g a f >， 所以当),(+∞∈a x 时，)()(x g x f 与有一个交点； 故当2>a 时，()y f x =与xx g 4)(-=有两个交点.11 综上，当2a =时，4()f x x +有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x+有两个零点.。
(原创)2015广东高考文数解析版
绝密★启用前 试卷类型：B2015年高考真题—文科数学（广东卷）解析版一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-1.解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. {}1=N M ，故选C. 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 2.解析：本题考查复数的乘法运算，属于基础题.i i i i 221)1(22=++=+，故选D 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 3、解析：本题考查函数的奇偶性.对于A ，()()()x x x x x x sin sin sin 222+±≠-=-+-，所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对称.()x x x x cos )cos(22-=---，故为偶函数；对于C, 函数定义域为R ，关于原点对称，因为x x x xx f -+=+=22212)(，所以)(22)(x f x f x x=+=--，故为偶函数； D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且)2sin ()(2sin x x x x +-=-+-，故为奇函数. 故答案为A 。
4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 4、解析：本题考查线性规划问题。
在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（-2，2），（4，-4），（4，-1）组成的三角形。
由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易知当x=4，y=-1时，z=2x+y 取得最大值5。
2015年广东高考文科数学答案解析一
2015年广东高考文科数学答案解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知是虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，故选D．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．考点：线性规划．5.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．考点：余弦定理．6.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交【答案】A【解析】试题分析：若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．考点：古典概型．8.已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B．C．D．【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．10.若集合，，用表示集合中的元素个数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11.不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．【答案】考点：均值的性质．13.若三个正数，，成等比数列，其中，，则．【答案】【解析】试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．【答案】【解析】试题分析：连结，则，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以，即，解得：或（舍去），所以，所以答案应填：．考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得，再分子、分母都除以可得，代入数值，即可得的值．试题解析：（1）（2）考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】（2）月平均用电量的众数是因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离．试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．（1）求的值；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．试题解析：（1）当时，，即，解得：（2）因为（），所以（），即（），因为，所以因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程可得圆的圆心坐标；（2）先设线段的中点的坐标和直线的方程，再由圆的性质可得点满足的方程，进而利用动直线与圆相交可得的取值范围，即可得线段的中点的轨迹的方程；（3）先说明直线的方程和曲线的方程表示的图形，再利用图形可得当直线与曲线只有一个交点时，的取值范围，进而可得存在实数，使得直线与曲线只有一个交点．所以，所以，解得或，又因为，所以.所以满足即的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形，表示的是一段关于X轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，.，解得.在这里暂取，因为，所以结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系. 21．（本小题满分14分）设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．试题解析：（1），因为，所以当时，，显然成立；当，则有，所以.所以综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，，令=0，即（x>0）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点x=2.(ii)当时，，当时，，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图像不难得当，与有两个交点.综上，当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。
2015年广东卷文科数学答案解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：集合的交集运算．2. 已知是虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A．考点：函数的奇偶性．4.若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C考点：线性规划．5.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．考点：余弦定理．6. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．考点：古典概型．8.已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．10.若集合，，用表示集合中的元素个数，则（）A．B．C．D．【答案】D考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11.不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．【答案】考点：均值的性质．13.若三个正数，，成等比数列，其中，，则．【答案】【解析】试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．【答案】考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知．求的值；求的值．【答案】（1）；（2）．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．求直方图中的值；求月平均用电量的众数和中位数；在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】试题解析：（1）由得：，所以直方图中的值是考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．证明：平面；证明：；求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.。
2015年广东高考(文科)数学试卷及答案-word版【2】
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
{1,1}M =-，{2,1,0}N =-,则M N ⋂=（ ）A.{0,1}-B.{1}C.{0}D.{1,1}-2.已知i 是虚数单位，则复数2(1)i +=（ ） A.2i B.2i-C.2D.2-3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.sin 2y x x =+ 2B.cos y x x=-1C.22x xy =+2D.sin y x x =+ 4.若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A.2B.5C.8D.10 5.设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A b c <，则b =（ ） A.3B. C.2D.6.若直线1l 与2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）12A.,l l l 与都不相交 12B.,l l l 与都相交12C.,l l l 至多与中的一条相交12D.,l l l 至少与中的一条相交7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A.0.4B.0.6C.0.8D.18.已知椭圆2221025x y m m +=>（）的左焦点为1-F （4,0），则=m （ ） A.2 B.3 C.4D.99.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD 则AD AC（ ）A.5B.4C.3D.2 10.若集合{}(,,,)|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且，{}(,,,)|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=（ ）A.200B.150C.100D.50二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11-13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 .（用区间表示） 12. 已知样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本1221,21,,21n x x x +++的均值为 .13. 若三个正数a,b,c 成等比例，其中526,526a c =+=-，则b = .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过点E 作圆O 的切线，切点为C 过点A 作直线EC 的垂线，垂足为D ，若4,23AB CE ==，则AD = .图1三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知tan 2.（1）求)4tan(πα+的值；（2）求2sin 2sinsin coscos21的值.17.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2，（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3. （1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：BC ⊥PD ；（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本小题满分14分）设数列n a 的前n 项和为*,n S n N ，已知123351,,,24a a a 且当2n 时，211458nn n n S S S S .（1）求4a 的值；（2）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列； （3）求数列n a 的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B.（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a .（1）若1)0(≤f ，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2≥a 时，讨论4()f x x在区间),0(+∞内的零点个数.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）-答案1、【答案】B 【解析】}1{=⋂N M2、【答案】A 【解析】()()i i i i 221122=++=+3、【答案】D 【解析】A 为奇函数，B 和C 为偶函数，D 为非奇非偶函数4、【答案】B 【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域，则目标函数23z x y =+过点（4，-1）时z 取得最大值为max 243(1)5z =⨯+⨯-=5、【答案】C 【解析】由余弦定理得，23344122cos 2222=-+=-+=b b bc a c b A ，化简得0862=+-b b ，解得42或=b ，因为b c <，2b =所以，6、【答案】D7、【答案】B 【解析】设5件产品中2件次品分别标记为A ，B ，剩余的3件合格品分别设为a ，b ，c. 则从5件产品中任取2件，共有10种情况，分别为（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ）、（a ，b ）、（a ，c ）、（b ，c ）、（A ，B ）其中，恰有一件次品的情况有6种，分别是（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ），则其概率为0.6106= 8、【答案】B 【解析】因为椭圆的左焦点为（-4，0），则有4=c ，且椭圆的焦点在x 轴上，所以有916252522=-=-=c m ，因为,0>m 所以3=m9、【答案】A 【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以)1,3()1,2()2,1(-=+-=+=AD AB AC ，则5)1(132=-⨯+⨯=⋅AC AD10、【答案】A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种；当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种； 当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种；当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=.当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种；当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种； 当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种；当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯= 所以()()card card F 100100200E +=+=11、【答案】（-4,1） 【解析】解不等式2340x x --+> 得14<<-x ，所以不等式的解集为（-4，1） 12、【答案】10 【解析】由题意知，当样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =时，样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=13、【答案】1 【解析】由等比中项性质可得，1)62(5)625)(625(222=-=-+==ac b ，由于b 为正数，所以b=114、【答案】（2，-4） 【解析】曲线1C 的直角坐标系方程为2-=+y x ，曲线2C 的直角坐标方程为x y 82=. 联立方程⎩⎨⎧=-=+x y y x 822，解得⎩⎨⎧-==42y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为（2，-4） 15、【答案】3 【解析】由切割线定理得：2CE =BE AE ，所以，BE BE （+4）=12解得：BE=2BE 或=-6(舍去)连结OC ，则OC DE AD DE OC//AD ∴⊥，⊥，OC OE 26=,3AD AE 4OC AE AD OE ⨯∴∴===16、【解析】 （1）tan tan4tan()41tan tan 4tan 11tan παπαπααα++=-+=- ∵ tan 2α= ∴21tan()34121πα++==-- （2）222222222sin sin cos cos 21sin 1sin cos (cos sin )cos sin cos cos sin sin cos 2cos sin αααααααααααααααααα+--=-+--=-+-+=-+∵sin22sin cos ααα=∴22222sin cos sin cos -2cos sin 2tan =tan 2tan 221222ααααααααα=+-+⨯==-+原式17、【解析】 （1）（0.002+0.0025+0.005+x ）⨯20=1∴0.0075x = （2）众数：230中位数：取频率直方图的面积平分线 0.0020.00950.0110.0225110.0252020.0250.02250.00250.0025202202240.0125++=⨯=∴-=⨯+=（3）[220,240):0.01252010025⨯⨯=[240,260):0.00752010015⨯⨯= [260,280):0.0052010010⨯⨯= [280,300):0.0025201005⨯⨯= 共计：55户 ∴[220,240)抽取：2511555⨯=户 18、【解析】（1）∵ 四边形ABCD 为长方形∴BC AD∵BC PDA AD PDA ⊄⊂平面，平面 ∴BC PDA 平面 （2）取DC 中点E ，连接PE∵PC=PD ∴ PE ⊥CD∵ 面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD=CD PE ⊂面PCD ，PE ⊥CD ∴ PE ⊥面ABCD 而BC ⊂面ABCD ∴ BC ⊥PE∵ BC ⊥CD ，CD ⋂PE=E ∴ BC ⊥面PCD PD ⊂面PCD ∴ BC ⊥PD（3）由（2）得：PE 为面ABCD 的垂线∴P-ADC ΔACD 1V PE S 3=⨯⨯在等腰三角形PCD中，ACD 11S AD DC 36922∆=⨯⨯=⨯⨯=∴P-ADC 1V 93==设点C 到平面PDA 距离为h ∴C-PDA PDA 1V S 3h ∆=⨯⨯而PDA 11S AD PD 34622∆=⨯⨯=⨯⨯=∴163h =⨯⨯∴h ，即：点C 到平面PDA19、【解析】（1）令n=2,则：43123123112124444348535151244135122155481542374237837371578848S S S S S a a a S a S a a S S S a S =+-=++=++====+=+=∴=⨯+-⨯==∴=-=-=（2）211112211211121321212112114584584584444{44}5344=4-4+1=04244=042=2-42=12-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nS S S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+--++-+++-+++++++++++=+⎧⎨+=+⎩∴+=+∴-+=-+∴-+-+⨯⨯∴-+∴--∴为常数列211211114-2=112-21-12=12-21{-}2n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++∴∴∴（）（）为等比数列（3）由（2）得：11{-}2n n a a +是首相为：2113-=22a a ，公比为12的等边数列111411()()22{}2,411()22=2+41()2121()()221n n n n n nn n n n na aa aan n n a n ++∴-=∴=∴-∴==-为首相公差为的等差数列（+1）=4-24-2 20、【解析】（1）2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx = 设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kx x y x x k x x k x x x x k k ky y k x k k y k x y xx x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即29535(,3]13x k ∴=∈+（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()220354303543x y k k k -+=-==--=-的两个极限值：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时： 21、【解析】（1）222(0)||(1)||||f a a a a a a a a a a=+--=+-+=+10,21,21020,1,012a a a a a a a a R a a ≥≤≤∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述： （2）22()()(1)()()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩22(12)()()(12)2()x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122a x a a +==+>∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- （3）由（2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-. ①当2a =时，-22()(m in==）f x f ，⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+xx f 时，即)0(4)(>-=x x x f . 因为()f x 在(0,2)上单调递减，所以()(2)2f x f >=- 令xx g 4)(-=，则)(x g 为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，2)2()(-=<g x g ， 所以函数)(x f 与)(x g 在（0，2）无交点.当2x ≥时，令x x x x f 43)(2-=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x 综上所述，当2a =时，xx f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点x=2. ②当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ，0)(2<-=a a a f ， 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=xx g 故判断函数)()(x g x f 与是否有交点，需判断2)(a a a f -=与a a g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以24()f a a a a=-<-,即）a g a f ()(< 所以，当),0(a x ∈时，)()(x g x f 与有一个交点；当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=xx g 恒成立 而令a x 2=时，02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时，有)2()2(a g a f >，所以当),(+∞∈a x 时，)()(x g x f 与有一个交点；故当2>a 时，()y f x =与x x g 4)(-=有两个交点. 综上，当2a =时，4()f x x +有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x+有两个零点。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)(含答案全解析) (1)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-x+表示直线y=-x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为() A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1答案:B解析:设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P==0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案:B解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=()A.5B.4C.3D.2答案:A解析:=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.200B.150C.100D.50答案:A解析:E中有序数组的要求为s均大于p,q,r,当s取4时,p可取0,1,2,3,q也可取0,1,2,3,r也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s取3时,p,q,r均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s取2时,p,q,r可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s取1时,p,q,r只能都取0,不同数组有1个,因此E中不同元素共有64+27+8+1=100个.F中元素要求为t<u,v<w,当u取4时,t可取0,1,2,3;当u取3时,t可取0,1,2;当u取2时,t可取0,1;当u取1时,t取0,所以t,u的不同组合为10种.同理,v,w不同组合也有10种,故F中元素个数为10×10=100,所以card(E)+card(F)=200.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)答案:(-4,1)解析:不等式可化为x2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1的均值为.答案:11解析:由题意,y i=2x i+1(i=1,2,…,n),则=2+1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=.答案:1解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2)(5-2)=1.又b是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2.由已知得曲线C2的普通方程为y2=8x.由-得y2+8y+16=0,解得y=-4,x=2.所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2则AD=.答案:3解析:由切割线定理得EC2=EB·EA,即12=EB·(EB+4),可求得EB=2.连接OC,则OC⊥DE,所以OC∥AD,所以,即,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan的值;(2)求--的值.解:(1)tan-=--=-3.(2)--=---=-=-=-=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是=230.因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD=PC,所以PE⊥CD.在Rt△PED中,PE=--.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.由(2)知BC⊥平面PDC.由(1)知BC∥AD.所以AD⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,所以S△PDA·h=S△ACD·PE,即h=△△,所以点C到平面PDA的距离是.19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值;(2)证明:-为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.(1)解:当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)证明:因为4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4a n+2+a n=4a n+1(n∈N*).因为-------=--,所以数列-是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列. (3)解:由(2)知数列-是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列,所以a n+1-a n=-,即=4,所以数列是以=2为首项,公差为4的等差数列, 所以=2+(n-1)×4=4n-2,即a n=(4n-2)×=(2n-1)×-.所以数列{a n}的通项公式是a n=(2n-1)×-.20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C,半径r=|OC1|=×3=,其方程为-+y2=,即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以-<2.又x2+y2-3x=0,所以可得x>.易知x≤3,所以<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=0.(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0),斜率为k的直线.结合图形,-表示的是一段关于x轴对称,起点为F-按逆时针方向运动到E的圆弧(不含端点).根据对称性,只需讨论在x轴下方的圆弧.由F-,则k FT=-,而当直线L与轨迹C相切时,-,解得k=±.在这里暂取k=,因为,所以k FT<k.结合图形,可得对于x轴下方的圆弧,当0≤k≤或k=时,直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-≤k<0或k=-时,直线L与x轴上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a≥2时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.解:(1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a.因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1.当a≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a≤1,所以a≤.所以0<a≤.综上所述,a的取值范围是a≤.(2)f(x)=---对于u1=x2-(2a-1)x,其图象的对称轴为x=-=a-<a,开口向上,所以f(x)在[a,+∞)上单调递增;对于u2=x2-(2a+1)x+2a,其图象的对称轴为x==a+>a,开口向上, 所以f(x)在(-∞,a)上单调递减.综上,f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减.(3)由(2)得f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2.①当a=2时,f(x)min=f(2)=-2,f(x)=--令f(x)+=0,即f(x)=-(x>0).因为f(x)在(0,2)上单调递减,所以f(x)>f(2)=-2,而y=-在(0,2)上单调递增,y<f(2)=-2,所以y=f(x)与y=-在(0,2)上无交点.当x≥2时,令f(x)=x2-3x=-,即x3-3x2+4=0,所以x3-2x2-x2+4=0.所以(x-2)2(x+1)=0.因为x≥2,所以x=2,即当a=2时,f(x)+有一个零点x=2.②当a>2时,f(x)min=f(a)=a-a2,当x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,而y=-在x∈(0,a)上单调递增, 当x=a时,y=-.下面比较f(a)=a-a2与-的大小.因为a-a2-----=--<0,所以f(a)=a-a2<-.结合图象不难得当a>2时,y=f(x)与y=-有两个交点.综上,当a=2时,f(x)+有一个零点x=2;当a>2时,y=f(x)与y=-有两个零点.。
2015年广东省高考数学试卷(文科),附答案,最详尽答案
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．105．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．18．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．99．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可退出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选A．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=1．【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2﹣，4）．故答案为：（2，﹣4）．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．因为V C﹣PDA=V P﹣ACD，所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．。
2015年高考广东卷文科数学
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．25、设C ∆A B 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．36、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．18、已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．29、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()c a r d X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13、若三个正数a ，b ，c成等比数列，其中5a =+5c =-b = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C E =，则D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． ()1若()01f ≤，求a 的取值范围；()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数．。
2015年高考文科数学广东卷
15.（几何证明选讲） 如图, AB 为圆 O 的直径, E 为 AB 的延长线上一点,过 E 作 圆 O 的切线,切点为 C ,过 A 作直线 EC 的垂线,垂足为 D . 若 AB 4 , CE 2 3 ,则 AD .
2 x t , 线 C1 的极坐标方程为 (cos sin ) 2 ,曲线 C2 的参数方程为 （t 为 y 2 2t , 参数）,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 . 数学试卷 第 2 页（共 4 页）
2.已知 i 是虚数单位,则复数 (1 i)2 A. 2i B. 2i
6.若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 内, l2 在平面 内, l 是平面 与平面 的交线, 则下列命题正确的是 A. l 与 l1 , l2 都不相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 品的概率为 A. 0.4 8.已知椭圆 A. 2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 ( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 ( ) ( )
10. 若 集 合 E {( p, q, r , s ) | 0≤p＜s≤4,0≤q＜s≤4, 0≤r＜s≤4 且 p, q, r , s Ν} , F {
姓名________________
(t , u , v, w) | 0≤t＜u≤4,0≤v＜w≤4 且 t , u , v, w Ν} ,用 card( X ) 表示集合 X 中的元素 个数,则 card( E ) card( F ) ( )
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5.设 △ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 a 2 , c 2 3 , cos A
2015年广东省高考数学试卷文科【精】
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．105．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2 C．2 D．36．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．18．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．99．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1．+2（1）求a4的值；（2）证明：{a n﹣a n}为等比数列；+1（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2 C．2 D．3【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．6．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选：A．【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．12．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．13．（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= 1．【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）== ==1．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．因为V C=V P﹣ACD，﹣PDA所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且+5S n=8S n+1+S n﹣1．当n≥2时，4S n+2（1）求a4的值；﹣a n}为等比数列；（2）证明：{a n+1（3）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得+2到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n （2）证明：∵4S n+2（n≥2），即4a n+a n=4a n+1（n≥2），+2+a n=4a n+1．∵，∴4a n+2∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f （x）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．。
2015年高考广东卷：文科数学+文科综合试卷真题及参考答案 (完整解析版
绝密★启用前 试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号、填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M =|-1, 1|，N =|-2, 1, 0|，则M ∩N = A ．|0, -1| B ．|0| C ．|1| D ．|-1, 1| 2．已知i 是虚数单位，则复数(1+i )2= A ．-2 B ．2 C ．-2i D ．2i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =-C ．D ．sin 2y x x =+4．若变量x ，y 满足约束条件，则23z x y =+的最大值为 A ．10 B ．8C ．5D ．25．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，，且b ＜c ，则b =A ．B ．2C ．D ．36．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 与l 1，l 2都不相交7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为 A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．18．已知椭圆 （0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，，，则 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．若集合E =|(p , q , r , s )| 0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p , q , r , s ∈N |，F =|(t , u , v , w )| 0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t , u , v , w ∈N |，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )+ card(F )=A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】1~5: CDACB 6~10: ABCDD1.C 【解析】考查集合的交集运算。
2015广东文高考数学试题
2015普通高等学校招生全国统一考试(广东文)一、选择题1．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{1} C ．{0} D ．{－1，1} 【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2【解析】(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i ，故选D ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x【解析】函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，故函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原．4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．10 【解析】作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x ＋3y 取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(4，－1)，故z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4，因b ＜c ，故b ＝2，故选B ．6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 【解析】若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选A ．7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0．4B ．0．6C ．0．8D ．1 【解析】5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，设事件A ＝ “恰有一件次品”，则P (A )＝0．6，故选B ．8．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9【解析】由题意得：m 2＝25－16＝9，因m ＞0，故m ＝3，故选C ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．510．若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50 【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64种，当s ＝3时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27种，当s ＝2时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2×2×2＝8种，当s ＝1时，p ，q ，r 都取0，有1种，故card(E ) ＝64＋27＋8＋1＝100，当t ＝0时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当t ＝1时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当t ＝2时，u 取3，4中的一个，有2种，当t ＝3时，u 取4，有1种，故t 、u 的取值有1＋2＋3＋4＝10种，同理，v 、w 的取值也有10种，故card(F )＝10×10＝100，故card(E )＋card(F )＝100＋100＝200，故选D ．二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)【解析】由－x 2－3x ＋4＜0得：－4＜x ＜1，故不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为(－4，1)．12．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．13．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________． 【解析】因三个正数a ，b ，c 成等比数列，故b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因b ＞0，故b ＝1．(二)选做题14．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 【解析】曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：x ＝2，y ＝－4，故C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．三、解答题16．(本小题满分12分)已知tan α＝2．(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【解析】⑴．ta n(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2×1＝－3；⑵．sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1．17．(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【解析】⑴．由(0．002＋0．0095＋0．011＋0．0125＋x ＋0．005＋0．0025)×20＝1得：x ＝0．0075，所以直方图中x 的值是0．0075；⑵．月平均用电量的众数是12(220＋240)＝230，因(0．002＋0．0095＋0．011)×20＝0．45＜0．5，故月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0．002＋0．0095＋0．011)×20＋0．0125×(a －220)＝0．5得：a ＝224，故月平均用电量的中位数是224；⑶．月平均用电量为[220，240)的用户有0．0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240，260)的用户有0．0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260，280)的用户有0．005×20×100＝10户，月平均用电量为[280，300]的用户有0．0025×20×100＝5户，抽取比例为11÷(25＋15＋10＋5)＝15，故月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5户．18．(本小题满分14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．【解析】⑴．因四边形ABCD 是长方形，故BC ∥AD ，因BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，故BC ∥平面PDA ；⑵．因四边形ABCD 是长方形，故BC ⊥CD ，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，故BC ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故BC ⊥PD ；⑶．取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因PD ＝PC ，故PE ⊥CD ，在RtΔPED 中，PE ＝7，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，由⑵知：BC ⊥平面PDC ，由⑴知：BC ∥AD ，故AD ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥PD ，设点C 到平面PDA 的距离为h ，因V C －PDA ＝V P －ACD ，故13S ΔPDA ·h ＝13S ΔACD ·PE ，即h ＝(S ΔACD ·PE )/ S ΔPDA＝327，故点C 到平面PDA 的距离是327． 19．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1．(1)求a 4的值；(2)证明：{a n ＋1－12a n }为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 【解析】⑴．当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(1＋32＋54＋a 4)＋5(1＋32)＝8(1＋32＋54)＋1，解得：a 4＝78；⑵．因4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，故4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即 4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，故4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，因a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，故数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列；⑶．由⑵知：数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列，故a n ＋1－12a n ＝(12)n －1，即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，故a n⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，即a n ＝(4n －2)×(12)n ＝(2n －1)×(12)n －1，故数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)(12)n －1．20．(本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】⑴．由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)； ⑵．设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ，则k C 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·y x ＝－1，整理得，(x －32)2＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53．所以此时M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ＜3)．②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子(x －32)2＋y 2＝94．综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ≤3)；⑶．由⑵知，点M 的轨迹是以C (32，0)为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝⎛⎭⎫53，253，F ⎝⎛⎭⎫53，－253．又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF ＝－0－⎝⎛⎭⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈{－34，34}∪[－257，257]时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 21．(本小题满分14分)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2－a (a －1)＋|x －a |． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．【解析】⑴．f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因f (0)≤1，故|a |＋a ≤1，当a ≤0时，0≤1，显然成立；当a ＞0，则有2a ≤1，故a ≤12．故0＜a ≤12．综上所述，a 的取值范围是a ≤12．⑵．()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22，对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝a －12＜a ，开口向上，故f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝a ＋12＞a ，开口向上，故f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．⑶．由⑵得，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，故f (x )min ＝f (a )＝a －a 2．(i)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f ，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x ＞0)．因f (x )在(0，2)上单调递减，故f (x )＞f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y ＜f (2)＝－2，故y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，故x 3－2x 2－x 2＋4＝0，故(x －2)2(x ＋1)＝0，因x ≥2，故x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2．(ii)当a ＞2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a ＞4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a ．下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因a －a 2－(－4a )＝－1a (a－2)(a 2＋a ＋2)＜0，故f (a )＝a －a 2＜－4a．结合图像不难得当a ＞2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点．综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a ＞2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．2015普通高等学校招生全国统一考试(广东理)一．选择题1．若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，集合N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝A ．∅B ．{－1，－4}C ．{0}D ． {1，4} 【解析】M ＝{－1，－4}，N ＝{1，4}，故M ∩N ＝∅．2．若复数z ＝i(3 – 2i) (i 是虚数单位)，则z －＝A ．3－2iB ．3＋2iC ．2＋3iD ． 2－3i【解析】z ＝2＋3i ，z －＝2－3i ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋1【解析】设f (x )＝x ＋e x ，其定义域为R ，f (－x )＝－x ＋e －x ，而－f (x )＝－x －e x ，故f (－x )不恒等于－f (x )，也不恒等于－f (x )，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数，而B ，C ，D 三个选项中的函数依次为奇函数，偶函数，偶函数．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1B ．1121C ．1021D ．521【解析】所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0【解析】设所求直线的方程为2x ＋y ＋a ＝0，依题意得，|c |5＝5，故|c |＝5，即c ＝±5．6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则z ＝3x ＋2y 的最小值为A ．531 B ．6 C ．235 D ．4【解析】可行域为一五边形及其内部(含边界)，该五边形的五个顶点分别为A (1，2)，B (3，2)，C (3，0)，D (2，0)，E (1，45)，易知当目标函数过点E (1，45)时取到最小值，此时z ＝3×1＋2×45＝235．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1【解析】∵e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5B ． 等于5C ． 至多等于4D ． 至多等于3 提示：显然当以A ，B ，C ，D 四点为顶点构成正四面体时，这四点两两的距离都相等，以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A ，B ，C ，D ，E 五个点两两距离都相等，三棱锥A －BCD 和三棱锥E －BCD 是两个全等的正四面体，从而AE ＝263AB ＞AB ，这与这五点的距离两两相等矛盾．(注：AE 的长度为三棱锥A －BCD 的高的二倍) ，故最多四个点两两距离相等．二．填空题(一)必做题(9～13题)9．在(x －1)4的展开式中，x 的系数为 ．【解析】T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4x 2－12r ，令2－12r ＝1得，r ＝2，故展开式中的x 的系数为(－1)2 C 24＝6．10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝ ． 【解析】a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5 a 5＝25，故a 5＝5，从而a 2＋a 8＝2 a 5＝10．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ ．【解析】因sin B ＝12，且B ∈(0，π)，故B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，故B ≠5π6，从而B ＝π6，故a ＝2b cosπ6，即3＝3b ，故b ＝1． 12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．(用数字做答)【解析】由题意，全班同学共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言． 13．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，V (X )＝20，则p ＝ ． 【解析】因X ～B (n ，p )，故E (X )＝np ＝30，V (X )＝np (1－p )＝20，故1－p ＝23，故p ＝13．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ－π4)＝2，点A 的极坐标为A (22，7π4)，则点A 到直线l 的距离为 ．【解析】2ρsin(θ－π4)＝2，即2ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，即l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，22cos 7π4＝2，22sin 7π4＝－2，故点A 的直角坐标为(2，－2)，从而点A 到直线l 的距离为522．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π2)． ⑴．若m ⊥n ，求tan x 的值； ⑵．若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【解析】⑴．若m ⊥n ，则m ·n ＝0．由向量数量积的坐标公式得，22sin x －22cos x ＝0，故tan x ＝1．(2)因m 与n 的夹角为π3，故m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，故sin(x －π4)＝12．又x ∈(0，π2)，故x －π4∈(－π4，π4)，故x －π4＝π6，即x ＝5π12． 17．(本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 943183627423639⑴．用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；⑵．计算⑴中样本的平均值x －和方差s 2；⑶．36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01％)？ 【解析】⑴．各分段工人的编号依次为1~4，5~8，…，33~36，依题意，第一分段里抽到的年龄为44，即抽到的是编号为2的工人，从而所得样本的编号依次为2，6，10，14，18，22，26，30，34，即样本的年龄数据依次为44，40，36，43，36，37，44，43，37．⑵．x －＝19(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40＋19(4＋0－4＋3－4－3＋4＋3－3) ＝40，故s 2＝19[42＋02＋(－4)2＋32＋(－4)2＋(－3)2＋42＋32＋(－3)2]＝19(4×42＋4×32)＝1009．⑶．s ＝103，故x －－s ＝40－103＝3623，x －＋s ＝40＋103＝4313，易得36人中，年龄位于3623与4313之间的有23人，23/36≈0．6389%，即36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有23人，所占的百分比是63．89%．18．如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB ．(1)证明：PE ⊥FG ；(2) 求二面角P – AD – C 的正切值； (3) 求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值．【解析】⑴．因PD ＝PC 且点E 为CD 的中点，故PE ⊥CD ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，故PE ⊥FG ；⑵．因ABCD 是矩形，故AD ⊥DC ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，故AD ⊥平面PDC ，又CD 、PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥CD ，AD ⊥PD ，故∠PDC 即为二面角P – AD – C 的平面角，在Rt ΔPDE 中，PD ＝4，DE ＝12AB ＝3，PE ＝7，故tan ∠PDC ＝PE /DE ＝73，即二面角P – AD – C 的正切值为73；⑶．如下图所示，连接AC ，因AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，即AF /FB ＝CG /GB ＝2，故AC ∥FG ，故∠P AC 为直线P A 与直线FG 所成角或其补角，在ΔP AC 中，P A ＝5，AC ＝35，PABC DEFGPABCDEFG由余弦定理可得cos ∠P AC ＝9255，故直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9255． 19．设1a >，函数2()(1)xf x x e a =+-． ⑴．求f (x )的单调区间；⑵．证明：()y f x =在(,)-∞+∞上仅有一个零点；⑶．若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：321m a e≤--． 【解】⑴．'2()(1)0xf x e x =+≥，故()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数；⑵．因1a >，故(0)10f a =-<，且22()(1)10af a a e a a a =+->+->，故f (x )在(0,)a 上有零点，又由⑴知，f (x )在(,)-∞+∞上是单调递增，故()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点； ⑶．由⑴知，令'()0f x =得，1x =-，又2(1)f a e -=-，即2(1,)P a e --，故2OP k a e=-，又'2()(1)m f m e m =+，故22(1)m e m a e+=-，令()1m g m e m =--，则'()1m g m e =-，由'()0g m >得，0m >，由'()0g m <得，0m <，故函数()g m 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故min ()(0)0g m g ==，即()0g m ≥在R 上恒成立，故1m e m ≥+，故232(1)(1)m a e m m e-=+≥+，即321a m e -≥+，故321m a e ≤--．20．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．⑴．求圆C 1的圆心坐标；⑵．求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；⑶．是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】⑴．由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)； ⑵．设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，①当线段AB 不在x 轴上时，有C 1M ⊥AB ，则k C 1M ·k AB ＝－1，即y x －3·y x ＝－1，整理得，(x －32)2＋y 2＝94，又当直线l 与圆C 1相切时，易求得切点的横坐标为53．所以此时M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ＜3)．②当线段AB 在x 轴上时，点M 的坐标为(3，0)，也满足式子(x －32)2＋y 2＝94．综上，线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x －32)2＋y 2＝94(53＜x ≤3)；⑶．由⑵知由(2)知点M 的轨迹是以C (32，0)为圆心，r ＝32为半径的部分圆弧EF (如图所示，不包括两端点)，且E ⎝⎛⎭⎫53，253，F ⎝⎛⎭⎫53，－253．又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4，0)，当直线L 与圆C 相切时，由⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫32－4－0k 2＋（－1）2＝32，得k ＝±34，又k DE ＝－k DF ＝－0－⎝⎛⎭⎫－2534－53＝－257，结合如图可知当k ∈{－34，34}∪[－257，257]时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点． 21．数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *．⑴．求a 3的值；⑵．求数列{a n }前n 项和T n ；⑶．令b 1＝a 1，b n ＝1n T n －1＋(1＋12＋13＋…＋1n )a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n＜2＋2ln n ．【解】⑴．a 1＝1，1＋2a 2＝4－2＝2，故a 2＝12，1＋1＋3a 3＝4－54，故a 3＝14；⑵．当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－(n ＋1)(12)n －2，从而na n ＝n 2n －1，故a n ＝12n －1(n ≥2)，又a 1＝1＝(12)0，故a n ＝12n －1(n ∈N *)，故数列{a n }是1为首项，12为公比的等比数列，从而T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1；⑶．b 1＝a 1，b 2＝12a 1＋(1＋12)a 2，b 3＝13(a 1＋a 2)＋(1＋12＋13)a 3，b n ＝1n T n －1＋(1＋12＋13＋…＋1n )a n ，故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋12＋13＋…＋1n )(a 1＋a 2＋…＋a n )＝(1＋12＋13＋…＋1n )T n ＝(1＋12＋13＋…＋1n )(2－12n －1)＜2(1＋12＋13＋…＋1n )，记函数f (x )＝1x －1＋ln x (x ＞1)，则f ′(x )＝x －1x 2＞0，故当x ＞1时，f (x )为增函数，从而当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝0，因当k ∈N *，且k ≥2时，k k －1＞1，故f (k k －1)＞0，即ln k k －1＞1k ，故12＜ln 2，13＜ln 32，…，1n ＜ln [n /(n －1)]，故1＋12＋13＋…＋1n ＜ln 2＋ln 32＋…＋ln[n /(n －1)]＝ln n ，故2(1＋12＋13＋…＋1n )＝2＋2 (12＋13＋…＋1n )＜2＋2ln n ，综上，S n ＜2(1＋12＋13＋…＋1n)＜2＋2ln n ． 2015普通高等学校招生全国统一考试(福建文)一、选择题1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3，2 C ．3，－3 D ．－1，4 【解析】由已知得，3－2i ＝a ＋b i ，故a ＝3，b ＝－2，选A ．2．若集合M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0，1，2} D ．{0，1} 3．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x【解】函数y ＝x 和y ＝e x 是非奇非偶函数；y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数，故选D ．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( ) A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【解】由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则f (1)＝9－1＝8，故选C ．5．若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，于是tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 7．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．328．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A ．16B ．14C ．38D ．12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1，0)，故C 点坐标为(1，2)，D 点坐标为(－2，2)，A 点坐标为(－2，0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2 C ．14＋2 2 D ．15【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为2×12×3＝3，侧面积为则其表面积为2＋2＋4＋22＝8＋22，故该几何体的表面积为11＋22，故选B ．10．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC【解析】将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当m ≤0时，不满足题意；当m ＞0时，画出可行域，如图所示，其中22(,)2121mB m m --．显然O (0，0)不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得m ＝1，故选C ．11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A ．(0，32]B ．(0，34]C ．[32，1)D ．[34，1)12．“对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x ＜x ⇔∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k ＜2x sin2x ，令f (x )＝2x －sin2x ．故f ′(x )＝2－2cos2x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，故f (x )＞f (0)＝0．故2x ＞sin2x ，故2x sin2x ＞1，故k ≤1． 二、填空题13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．【解析】由题意得抽样比例为45：900＝120，故应抽取的男生人数为500×120＝25．14．若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________．【解析】由题意得，B ＝180°－A －C ＝60°．由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，则BC ＝AC ·sin Asin B ，故BC＝2．15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．【解析】由f (1＋x )＝f (1－x )得函数f (x )关于x ＝1对称，故a ＝1，则f (x )＝2|x －1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，＋∞)递增，故m ≥1，故实数m 的最小值等于1．16．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________． 三、解答题17．(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 【解】⑴．设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2．18．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组 频数 1 [4，5) 2 2 [5，6) 8 3 [6，7) 7 4 [7，8] 3(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个．故所求的概率P ＝910．(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5．5×820＋6．5×720＋7．5×320＝6．05．解法二：（I ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个．故所求的概率P ＝1－110＝910．（II ）同解法一．19．(本小题满分12分)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3．(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解析】解法一：⑴．由抛物线的定义得AF ＝2＋p 2．因AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．⑵．因点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，故m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x 得，x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1，0)，故k AG ＝223，k BG ＝－223，故k AG ＋k BG ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．因点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，故m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y＋22＝0，从而r ＝41734．又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，故点F 到直线GB 的距离d＝41734＝r ．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 20．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1．(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P -ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．【解析一】⑴．在ΔAOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，故AC ⊥OD ．又OP 垂直于圆O 所在的平面，故OP ⊥AC ．因DO ∩OP ＝O ，故AC ⊥平面PDO ．⑵．因为点C 在圆O 上，故当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又AB ＝2，故ΔABC 面积的最大值为12×2×1＝1．又因为三棱锥P －ABC 的高OP ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13． ⑶．在ΔPOB 中，OP ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，故∠OPB ＝45°，所以PB ＝2．同理PC ＝2，故PB ＝PC ＝BC ．在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕BP 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．又OP ＝OB ，C ′P ＝BC ′，故OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而OC ′＝OE ＋EC ′＝12(6＋2)，亦即CE ＋OE 的最小值为12(6＋2)．解法二：⑴．⑵．同解法一．⑶．在ΔPOB 中，OP ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，故∠OPB ＝45°，所以PB ＝2．同理PC ＝2．故PB ＝PC ＝BC ，故∠CPB ＝60°．在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．故在ΔOC ′P 中，由余弦定理得：OC ′2＝1＋2－2×1×2cos(45°＋60°)＝1＋2－22×22(12－32)＝2＋3．从而OC ′＝12(6＋2)．故CE ＋OE 的最小值为12(6＋2)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0． 【解析】⑴．因f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2＝5＋53sin x ＋5cos x ＝5＋10sin(x ＋π6)．故函数f (x )的最小正周期T ＝2π．⑵．①．将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝5＋10sin x 的图象，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝5－a ＋10sin x 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，故10＋5－a ＝2，解得a ＝13．故g (x )＝－8＋10sin x ．②．要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得－8＋10sin x 0＞0，即sin x 0＞45．由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45．由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45．因为y ＝sin x 的周期为2π，故当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)时，均有sin x ＞45．因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，故对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)，使得sin x k ＞45．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－12(x －1)2＋ln x ．⑴．求函数f (x )的单调递增区间； ⑵．证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；⑶．确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 【解】⑴．f ′(x )＝－1x (x 2－x －1)，x ＞0，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜5＋12，故f (x )的单调递增区间是(0，5＋12)； ⑵．令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ＞0，则F ′(x )＝－1x (x 2－1)．当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，故F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1；⑶．由⑵知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令g (x )＝f (x )－k (x －1)，x ＞0，则g ′(x )＝－1x [x 2＋(k －1)x －1]．由g ′(x )＝0得，x 2＋(k －1)x －1＝0，解得，211(1)402k k x ---+=<，221(1)412k k x -+-+=>．当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＞0，故g (x )在(1，x 2)内单调递增．从而当x∈(1，x 2)时，g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。
2015年全国高考文科数学试题及答案-广东卷
绝密★启用前 试卷类型：B一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C【解析】试题分析：{}1M N =，故选C ．考点：集合的交集运算．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+【答案】A【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ． 考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2【答案】C中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题/gaokaoshiti 考点：线性规划．5. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a=，c =，cos A =b c <，则b =（ ）AB ．2C ．D ．3【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1【答案】B【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型． 8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．考点：椭圆的简单几何性质．9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且， (){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题 /gaokaoshiti考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的均值5x =，则样本数据121x +，221x+，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．【答案】11考点：均值的性质．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-，则b = ．【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题 /gaokaoshiti 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075中国校长网教学资源频道 历年全国高考试题 /gaokaoshiti 考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【解析】试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为DP ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，PE ===DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V-P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． ()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．中国校长网教学资源频道考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.历年全国高考试题/gaokaoshiti。
100教育：2015高考试题——文数(广东卷)含答案
试卷类型： B2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合 M1,1，N2,1,0 ，则（）A． 0,1 B ． 0 C ． 1 D．1,12、已知i是虚数单位，则复数2（）1 iA ．2B ．2C ． 2i D．2i3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ． y x2sin xB ． y x2cosxC ．y2x12x D．y x sin 2xx 2 y24、若变量 x ，y满足约束条件x y 0，则 z 2x 3 y 的最大值为（）x4A．10 B ． 8 C ． 5 D．2、设C的内角，， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a 2 ，c 2 3，5cos 3，且 b c ，则 b（）2A． 3B．2C．2 2D． 36、若直线 l1和 l 2是异面直线， l1在平面内， l2在平面内， l 是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A． l 至少与 l1， l2中的一条相交B． l 与 l1， l 2都相交C． l 至多与 l1， l2中的一条相交D． l 与 l1， l 2都不相交7、已知 5 件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A． 0.4B． 0.6C． 0.8 D．18、已知椭圆x2y2（ m0 ）的左焦点为 F14,0，则 m（）25m21A ． 9B ．4C ． 3 D．29、在平面直角坐标系x y 中，已知四边形CD 是平行四边形，1, 2，D2,1 ，则 D C（）A ．2B ． 3C ．4 D．510、若集合p, q, r , s 0p s4,0q s4,0r s 4且 p, q, r , s，F t,u, v, w 0t u4,0v w4且 t, u, v, w，用 card表示集合中的元素个数，则 card card F（）A ．50B．100C．150 D． 2005 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．）二、填空题（本大题共（一）必做题（ 11~13题）11、不等式x23x 40 的解集为．（用区间表示）12、已知样本数据 x1，x2，，x n的均值 x 5 ，则样本数据 2x1 1 ，2x21，，2 x n 1的均值为．13、若三个正数 a ， b ， c 成等比数列，其中 a 5 2 6 ， c 5 2 6 ，则b．（二）选做题（ 14、15 题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C1的极坐标方程为cos sinx t 22 ，曲线 C2的参数方程为（ t 为参数），则 C1与 C2交y 2 2t点的直角坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图1，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为 C ，过作直线 C 的垂线，垂足为D．若 4 ，C23 ，则D．三、解答题（本大题共 6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12 分）已知 tan 2 ．1 求tan4的值；2求sin 2的值．sin cos cos 2sin 2117、（本小题满分12 分）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180 ， 180,200 ， 200,220 ， 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300分组的频率分布直方图如图 2 ．1求直方图中 x 的值；2求月平均用电量的众数和中位数；3在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？3，三角形DC 所在的平面与长方形CD 所在的18、（本小题满分14 分）如图平面垂直，D C 4 ， 6 ， C 3 ．1证明：C//平面D；2证明：C D ；3求点 C 到平面D的距离．19、（本小题满分 14 分）设数列 a n的前 n 项和为 S n，n．已知 a1 1 ，a2 3 ，5，且当 n 2a3 2 时， 4S n 2 5S n8S n 1 S n 1．41求 a4的值；2证明： a n 11a n为等比数列；23求数列 a n的通项公式．20、（本小题满分14 分）已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2y26x 5 0 相交于不同的两点，．1求圆 C1的圆心坐标；2求线段的中点的轨迹 C 的方程；3是否存在实数 k ，使得直线 L: y k x 4 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分 14 分）设 a 为实数，函数2．f xx ax a a a 11 若 f 01，求 a 的取值范围；2讨论 f x 的单调性；3当 a 2 时，讨论f x 4在区间 0,内的零点个数．x2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D10.D二、填空题4,111.【答案】12.【答案】1113.【答案】 114. 【答案】2, 415. 【答案】 316. 【答案】（ 1） 3；（ 2） 1．17. 【答案】（ 1）0.0075；（ 2）230， 224 ；（ 3） 5．3 718. 【答案】（ 1）证明见解析； （ 2）证明见解析； （ 3） 2．（ 1）因为四边形CD是长方形，所以C//D，因为C平面 D ， D 平面D ，所以C//平面 D（2）因为四边形CD是长方形，所以CCD，因为平面DC平面CD，平面DC 平面 CDCD ， C 平面 CD，所以C平面DC，因为D平面DC ，所以CD（3）取CD的中点，连结和，因为DC，所以CD ，在 RtD中，D 2 D 242327，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD ，平面 DC，所以平面CD，由（ 2）知： C平面DC，由（ 1）知：C// D ，所以D平面 DC ，因为 D平面DC ，所以 DD ，设点 C 到平面 D的距1h1离 为h， 因 为V三棱锥CV三棱锥， 所 以S DSCD， 即DCD33S13 673 7CD2hS D1 3 423 72，所以点C到平面D 的距离是27n1a n2n1119. 【答案】（ 1）82；（ 2）证明见解析； （ 3）．S 4 5S 2 8S 3 S 1 ,即 4 3 5 a 4 38 13 5 1145 124(1) 当 n=2 时， 422a 47解得： 8（2）因为4S n 2 5S n 8S n 1 S n 1 n 2 , 所以4S n 24S n 1 S nS n 14Sn 14S n n 2 , 即4a n 2 a n 4a n 1 n 2 ,因为4a 3 a 14×5an 21 an 1 4a n 2 2a n 12a n 1 a n 1a n2 1 6 4a 2 ,所以 4a n 2 4a n 1,因为14a n 1 2a n 2 2a n 1a n 24an 12ana n 1 1 a n 是以 a 2 1a 1 1为首项，公比为 1 的等比数列，所以数列2 2 2a n 1111（3）由2a n是以a22 a 1 12 的等比数列，所以知：数列2为首项，公比为1a nn 1an 1122a n 1a n4a na 12n 1nn1111即22，所以数列2是以 2为首项， 公差为 4 的等差数列， 所以a n2 n 1 4 4n 2nn 1n11a n 4n 2122n 1， 即2 2，所以 数列a n的通项公式是n 11a n2n 12329 5 25 2 5y23,0xx 3k20. 【答案】（ 1） ；（2）24 3；（ 3）存在，77k4或3 ．（1）圆 C 1: x 2 y 2 6x 5 0化为 x 3 2 y 2 4, 所以圆 C 1的圆心坐标为 3,0（2）设线段 AB 的中点 M x o , y o , 由圆的性质可得 C 1M 垂直于直线 l设直线l的方 程为y mx(已知直线 l 的斜率存在），所以 k cm m1, y 0 mx 0 , 所以y 0 y 0291,23x 0 20即x 03 2 x 0 3 x 0x 0y 0 2y 04所以3m4因为动直线 l 与圆C 1相交，所以m21 <2，所以 m2< 5；所以y22 24 x 2 , 所以 3xx 2 4 x 2 , 解得 x53,所以m x 0 <5<50 0> 3或x 0<0, 又因为 0<x 053 <x3.3 29 5M x 0 , y 0x 0y 02x 3 . 所以满足24 3 即3 29 5xy 2x 3 .24 3（3）由题意知直线 l 表示过定点 T 4,0,斜率为 k 的直线结合图形，3 29 55 ， 2 5x 0y 0 2x 0 3 表示的是一段关于 x 轴对称，起点为24 33 3按逆时针方向运动到圆弧。
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绝密★启用前 试卷类型：B
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）
A ．{}0,1-
B ．{}0
C ．{}1
D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()2
1i +=（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2i -
D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．1
22
x x y =+
D ．sin 2y x x =+ 4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．2 5、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =
，c =
，cos 2
A =且b c <，则b =（ ）
A
B ．2 C
． D ．3
6、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 与1l ，2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
8、已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s
E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，
(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）
A ．50
B ．100
C ．150
D ．200
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）
11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）
12、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．
13、若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数
方程为2
22x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若
4AB =，C 23E =，则D A = ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．
()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
()2求2
sin 2sin sin cos cos 21α
αααα+--的值． 17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，
[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直
方图如图2．
()1求直方图中x 的值；
()2求月平均用电量的众数和中位数；
()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？
18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． ()1证明：C//B 平面D P A ；
()2证明：C D B ⊥P ；
()3求点C 到平面D P A 的距离．
19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，35
4
a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
()1求4a 的值；
()2证明：112n n a a +⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭
为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．
20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的
两点A ，B ．
()1求圆1C 的圆心坐标；
()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的
取值范围；若不存在，说明理由．
21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---．
()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4
f x x
+
在区间()0,+∞内的零点个数．。