4高斯分布
1-4 高斯定理class - 副本
高斯定理 高斯定理的应用
（Gauss’ Law）
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算.
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
例1
均匀带电球壳的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄 球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） 0 r R
高斯定理 8 – 4 电场强度通量 高斯定理
第八章静电场
8 – 4 电场强度通量
高斯定理 续32
第八章静电场
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
r
s2
+ + +
+
S1 +
O
+ + +
R
r
+
+ + +
（2） r
R
Q 2 4π 0R
E
o
R
r
例2：求均匀带电球体的电场分布。已知球体的半径 为R，所带总电量为Q。
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
1
高斯定理
（Gauss’ Law）
5-4 电场强度通量 高斯定理
5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
5-4 电场强度通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
i 1 n
3 高斯定理的讨论 (1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
5-4 电场强度通量
四 高斯定理应用举例 用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
高斯定理
1 Φe E dS ε0 S
q in i
i 1
n
5-4 电场强度通量
高斯定理
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任 意点的电场强度. 解 高斯面：闭合球面 对称性分析：球对称 (1) 0 r R E dS 0 E 0
in ei
E
1 n in SE dS ε0 qi i 1
dS
s
qi
5-4 电场强度通量
高斯定理
2 高斯定理 在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，
4高斯最小拘束原理
n
3
证：将拘束改写为 1 n 1 Z = ( Fi − m i a i ) ⋅ ( Fi − m i a i ) 2 i =1 m i
∑
设真实运动的加速度为 && ，约束允许的可能加速度 r 为 && + δ&& ，则拘束Z的变化： r r
1 n 1 ∆ Z = ∑ {[ Fi − m i ( && + δ &&)] ⋅ [ Fi − m i ( && + δ &&)] − r r r r 2 i =1 m i ( Fi − m i &&) ⋅ ( Fi − m i &&)} r r 1 n 1 = ∑ [ m i2δ && ⋅ δ && − 2 m i ( Fi − m i &&)δ &&] r r r r 2 i =1 m i n 1 n = ∑ m i δ && ⋅ δ && − ∑ ( Fi − m i &&)δ && r r r r 2 i =1 i =1
16
根据高斯原理： ∂Z ∂Z ∂Z & && + && + δZ = δx δy δϕ& = 0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
∂Z ∂Z ∂Z = 0， = 0， =0 && ∂&& x ∂&& y ∂ϕ
即：
∂&&1 x ∂&&2 x m1 ( &&1 − g sin α ) x + m2 ( &&2 − g sin α ) x = 0 (6) ∂&& x ∂&& x ∂&&1 y ∂&&2 y m1 &&1 y y + m2 &&2 = 0 (7) y y ∂&& ∂&& ∂&&1 x ∂&&1 y ∂&&2 x ∂&&2 y m1 ( &&1 − g sin α ) x + m1 &&1 y + m2 ( &&2 − g sin α ) x + m2 &&2 y =0 && && && && ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
大学物理高斯定理
第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。
e4高斯分布的星像点精确模拟及质心计算
第７期王海涌，等：基于高斯分布的星像点精确模拟及质心计算卜２一盯‰ｃ薏，一丢＜（８）Ｉ缸一２－－０，２ｌｎ（堕）一１。
ｇ。
２２即参照公式（７）和（８）的同行（或同列）对称像素，取灰度值较大的一个，一方面可以提高解算精度，另一方面在像点较暗及阈值较高的情况下，避免灰度为零出现奇异值。
最后，根据ｚ。
一△ｚ＋ｚ，，Ｙ。
一△ｊ，＋ｙ，，得到星像点的精确质心估计坐标（ｚ。
，Ｙ。
）。
这种高斯像点质心提取算法是无偏的，参与运算的像元灰度取相对较大的值，信噪比高，这是该新型算法优势所在。
４仿真结果４．１理论仿真选定某一像素对角线上等距排列的２０个点作为某导航星在ＣＣＤ坐标平面上的映射坐标（ｚ。
，Ｙ。
），即ｚ。
和Ｙ。
都以间距０．０５ｐｉｘｅｌ分布在半开区间［一０．５，０．４５）ｐｉｘｅｌ内，仿真条件：Ａ＝５００，盯＝０．６７１，依次按照公式（１）进行４ｐｉｘｅｌ×４ｐｉｘｅｌ灰度扩散分配，加入高斯噪声Ｎ（０，１．２２）后取整，然后依据公式（６）～（８）进行像点质心解算，针对每个映射坐标点做５０次测量，基于真值求其（ａ）两种高斯算法ＲＭＳ值的比较（ａ）ＲＭＳｏｆｔｗｏＧａｕｓｓｍｅｔｈｏｄｓ缈（ｂ）三种算法ＲＭＳ值的比较（ｂ）ＲＭＳｏｆｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓ图４算法标准差的比较Ｆｉｇ．４ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆＲＭＳｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｌｇｏ—ｒｉｔｈｍｓ标准差，并与灰度重心法和加权灰度重心法的运算结果进行标准差的比较。
从以上仿真条件可知，对于Ａｘ和Ａｙ的处理是等价的，因而可以只分析Ａｙ的仿真结果，从图４（ａ）可以看到，当偏差Ａｙ∈［一０．１５，０．１５］时，涉及像元对角线上中心点及左右各３个点，对这７个点的位置进行估计采用第一种算法即公式（６）最好；当Ａｙ（壬［一ｏ．１５，０．１５］时，涉及到上述７个点之外的其它位置点，选用第二种算法即公式（７）和（８）最好，两种算法可以分３段区间合成一个分段函数：ｆｆｏｒｍｕｌａ（６）样一０．１５≤Ａｙｅ０．１５Ｉｆｏｒｍｕｌａ（７）。
静电4-高斯定理 (1)
1) 通过包围点电荷q 的同心球面的电通量都等于q/0 在该场中任取一包围点电荷的闭合球面(如图示)
穿过S的电通量 = 穿过S的电力线条数
Φe S E dS EdS E dS
q 4 0 r
2
4r
2
Φe
q
0
S
q E
E
dS
这一结论是库仑平方反比关系的必然结果 电量为q 的点电荷产生的电力线总条数为： N q / 0 2 4 r 以q为球心、半径为r 的整个 4 4球面度 2 球面对球心张开的立体角为： r 任意闭合曲面对曲面内任一点所张 开的总立体角均为4球面度:
3.3 高斯定理的表述和证明
1.表述： 在真空中的静电场内，通过一个任意闭合曲面 的电通量e等于该闭合面所包围的所有电荷量的代 数和qi 除以0 ，与闭合面外的电荷无关 。
e= E dS
S
q
i
i内
0
闭合面S习惯上 称为高斯面
2.高斯定理的明
库仑定律 + 叠加原理
一般电荷分布的场
3.4 从高斯定理看电力线的性质
看书自学
3.5. 高斯定理在解场方面的应用
E dS
S
q
i
i
0
Q 分布具有某种对称性的情况，高斯定理求 E较方便
步骤
1. 对称分析 2. 选取适当高斯面
3. 计算电通量
4. 让它等于面内自由电荷的
1/ 0
9
常见的电量分布的对称性：
球对称 均匀带电的 轴对称 无限长 柱体 柱面 带电线 面对称 无限大
E
均匀带电球体
E内 0 E外
Q 4 0 r
matlab 高斯分布算概率 -回复
matlab 高斯分布算概率-回复【Matlab 高斯分布算概率】引言：高斯分布，也被称为正态分布，是统计学领域中最常见的一种概率分布。
在很多实际应用中，高斯分布被广泛用于模拟和分析数据。
本文将介绍如何使用Matlab来计算和分析高斯分布概率。
一、高斯分布的定义与特点：高斯分布是一个连续概率分布，其特点是呈钟形曲线，中心对称，两边逐渐向下趋近于零。
高斯分布由两个参数决定：均值μ（表示分布的中心位置）和标准差σ（表示数据分布的离散程度）。
高斯分布的概率密度函数可以用数学公式表示为：p(x) = (1 / sqrt(2π*σ^2)) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，sqrt表示开平方，exp表示指数函数。
二、Matlab中的高斯分布函数：在Matlab中，用于计算高斯分布概率的函数是normpdf(x, μ, σ)，其中x是要计算概率的点，μ是均值，σ是标准差。
通过该函数，我们可以直接计算给定均值和标准差下的概率。
三、使用Matlab计算高斯分布概率：下面我们通过一个具体的例子来演示如何使用Matlab计算高斯分布概率。
例子：假设有一组数据x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，我们希望计算在均值为4，标准差为1的条件下，各个数据点的概率。
以下是具体的计算步骤：1. 打开Matlab，并定义数据x、均值μ和标准差σ：x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];μ= 4;σ= 1;2. 使用normpdf函数计算每个数据点的概率：prob = normpdf(x, μ, σ);3. 输出结果：disp(prob);运行上述代码后，将会得到以下结果：0.2419 0.0539 0.0044 0.0001 0.0044 0.05390.2419 0.3989结果表示在给定均值为4和标准差为1的条件下，各个数据点的概率。
四、Matlab绘制高斯分布曲线：除了计算高斯分布概率，Matlab还提供了绘制高斯分布曲线的功能，通过绘制曲线可以更直观地观察数据分布情况。
高斯简介及主要事迹(3篇)
第1篇一、高斯简介卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日），德国数学家、物理学家、天文学家。
高斯是数学史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”。
他的研究成果涵盖了数学的各个分支，对现代数学的发展产生了深远的影响。
二、高斯的主要事迹1. 数论领域的贡献（1）证明了代数基本定理：高斯在1801年发表的论文《算术研究》中，证明了代数基本定理，即每一个非零的复系数多项式都有至少一个复根。
这一成果为复数理论的发展奠定了基础。
（2）提出了高斯整数：高斯在1801年的论文中，首次提出了高斯整数的概念，即形如a+bi的数，其中a、b为整数，i为虚数单位。
高斯整数在数论研究中具有重要的地位。
（3）解决了二次互反律：高斯在1801年发现了二次互反律，即对于任意的两个整数m和n，当n不等于0且m的奇偶性与n的奇偶性相同时，存在整数x和y，使得m^2 = nx^2 + ny^2。
这一成果为解决丢番图方程奠定了基础。
2. 几何学领域的贡献（1）非欧几何的萌芽：高斯在1827年发表了论文《关于曲面的一般研究》，提出了非欧几何的基本思想。
他认为，几何学的研究对象不仅仅是平面，还包括曲面。
这一观点为后来的非欧几何发展奠定了基础。
（2）最小二乘法：高斯在1795年提出了最小二乘法，这是一种处理数据误差和不确定性问题的数学方法。
最小二乘法在统计学、物理科学等领域有着广泛的应用。
3. 天文学领域的贡献（1）高斯-塞德尔迭代法：高斯在1809年提出了高斯-塞德尔迭代法，这是一种求解线性方程组的迭代方法。
该方法在数值计算中具有重要的地位。
（2）地球椭球形的计算：高斯在1821年计算出了地球椭球形的参数，为后来的地球物理研究和地理信息系统的发展提供了重要的数据基础。
4. 物理学领域的贡献（1）电磁学：高斯在电磁学领域的研究成果为麦克斯韦方程组的建立奠定了基础。
高斯定理1
E
0
R
r
如果是均匀带电球面
0 <r ≤ R
E dS
S
S1
q
i
Q r
R
S1
0i
S1
E1 dS E1dS E1 dS E1 4π r 2
S1
ε0
q
i
0i
ε0
0
E1 0
E2 Q r 2 0 4π ε 0r
讨论：
i 一般情况下电场线不是正电 荷在场中运动的轨迹，正电荷 受力方向与电场线方向一致；
F
ii 电场线是人为引入的，电 场中不存在电场线；
3、电场线密度：
dN E dS
dS
电场中某点场强的大小 等于通过该点附近垂直于电 场方向单位面积的电场线条 数，即电场线密度；
n
E
二、电场强度通量的计算：
s
根据高斯定理
E ds
s
q
i
i
0
h E 2rh 0 E 2r 0
(II)柱体内部(r<R)
在柱体内过p点,半径r,做 与带电圆柱同轴高为h的 柱面为高斯面
o
o o
R
p
h
e E ds E 2rh
s
根据高斯定理
E ds
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空 间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合 适的高斯面，利用高斯定理求出 E E(x, y, z)
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
均 匀 带 电
球体 球面 (点电荷)
大学物理5-4 电通量 高斯定理
求 电场强度分布。 解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S e E dS E dS E dS E dS
侧 左底 右底
0
左底
E dS E dS
右底
0 E1S E2 S
• q 在球心处，球面电通量为
dS
e E dS EdS E dS
S
S
S
q 4 π 0r
2
4π r
2
q
q
r
0
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
• q 在任意闭合面内，电通量为 • q 在闭合面外，电通量为
e q / 0
e 0
穿出、穿入闭合面电力线条数相等
5.4 电通量
一、电力线（电场线） E
dN
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密
+
-
dS
dN E dS
• 电力线起始于正电荷
（或无穷远处），终止 于负电荷（或无穷远 处）。 • 电力线不相交。
二、电通量
穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量
E 由所有电荷决定，但 e EdS 与外部电荷无关,只
取决于内部电荷。
0
q1
0
q2
0
q3
1
0
q内
静电场高斯定理
1 e E dS
S
0
q内
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 0
电场强度通量 高斯定理
2、球外
rR
Q 4π 0 R 2
E
Q 4πε0 r 2
r
O
o
R
r
s
Q
电场在带电面两侧有突变。
30
5-4 电场强度通量 高斯定理
例3 静电复印机中光导硒鼓是一个圆筒，在 充电极的作用下，带有均匀的静电荷，由于 反射光的强弱使其电荷分布发生变化，这时 在电场力的吸引下把墨粉末加到光导体表面 上，“硒鼓”上形成深浅层次的墨粉图像， 最后移到复印纸上，复印出文字和图像。
电通量为零。
35
5-4 电场强度通量 高斯定理
利用高斯定理解E
E 2 π rl
内 q i i
R λ
0
i
E
内 q i
2 0l
r
内 i
E
圆柱面内 r R
q
i
0
E0
圆柱面外 r R
q
i
内 i
l
E 2π 0 r
36
5-4 电场强度通量 高斯定理
例5 无限大均匀带电平面，面密度 , 求电场强度分布。 解: 对称性：面对称 闭合面：圆柱面 通过闭合面的电通量为：
e E d S ( E1 E 2 E 3 E 4 ...) d S
S S
E
q6 q5 q3 q1 q7 q4
dS
E1 d S E 2 d S E 3 d S E 4 d S
S S S S
q1
E 2 π rh
‖ 0
E
h
r
+ + +
o
高斯随机变量的均值和方差
高斯随机变量的均值和方差高斯随机变量，也被称为正态分布，是概率论中常见的一种分布。
它的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）可以用如下公式表示：f(x) = (1/√(2πσ²)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ表示均值，σ²表示方差，e表示自然对数的底。
高斯分布有以下几个重要的特点：1.对称性：高斯分布是关于均值对称的，即μ处的概率密度与两侧的对应点相等。
2.唯一性：在所有具有相同均值和方差的连续型随机变量中，高斯分布是具有最大熵（entropy）的分布。
3.中心极限定理：当独立且具有相同分布的随机变量之和越来越多时，它们的分布趋近于高斯分布。
高斯随机变量的均值和方差对于分布的形状和性质有着重要的影响。
均值（μ）代表了高斯分布的中心位置，也是对称轴的位置。
均值越大，分布整体向右平移；均值越小，分布向左平移。
均值为0时，高斯分布在x轴上对称。
方差（σ²）描述了高斯分布中数据点的分散程度。
方差越大，分布越宽，数据点越分散；方差越小，分布越窄，数据点越集中。
方差的平方根称为标准差（σ），标准差越大，数据点越分散；标准差越小，数据点越集中。
在实际应用中，均值和方差是对高斯分布进行建模和分析的重要参数。
例如，在金融领域，均值和方差可以用来描述股票价格的变动趋势和波动性，从而帮助预测未来的价格走势。
对于高斯分布的均值和方差，有以下几个性质值得注意：1.均值的性质：a.均值是一个常数，它是数据的期望值。
b.均值可以通过计算所有数据点的和，再除以数据点的个数来得到。
c.当生成随机样本数据时，均值是对数据点进行平均的结果。
2.方差的性质：a.方差是衡量数据点分散程度的一个指标。
b.方差可通过计算每个数据点与均值之差的平方和的平均值来得到。
c.方差与标准差之间存在关系，即标准差等于方差的平方根。
在实际应用中，我们可以利用样本数据计算出样本的均值和方差，通过这些统计值来估计总体的均值和方差。
正态分布概率4σ
正态分布概率4σ
正态分布是概率统计中常见的分布形式，它的特点是对称、单峰、连续，符合“68-95-99.7”规律。
这个规律指的是在一个正态分布曲线中，约68%的数据位于平均值附近1个标准差范围内，约95%的数
据位于平均值附近2个标准差范围内，约99.7%的数据位于平均值附近3个标准差范围内。
在正态分布中，概率密度函数随着距离平均值的增加而逐渐减小，但永远不会降至0。
因此，正态分布的尾部非常长，导致在极端情况下，即距离平均值4个标准差以上的数据，仍然具有一定的概率出现。
具体来说，距离平均值4个标准差的数据出现的概率大约是0.003%。
这种情况下，我们可以用正态分布表来计算出具体的概率值。
例如，在一个均值为50，标准差为10的正态分布中，距离平均值58
的数据出现的概率可以通过查表得知是0.0136。
同样的，距离平均
值42的数据出现的概率也是0.0136。
这意味着，在一个大样本中，我们可以预期会有约0.0272的数据距离平均值4个标准差。
需要注意的是，在一些特殊的情况下，正态分布可能并不适用。
例如，当数据具有较大的偏态或者存在异常值时，正态分布的假设可能不成立，此时需要使用其他的分布来进行概率计算。
- 1 -。
正态分布的4个特征
正态分布的4个特征正态分布，又称高斯分布或钟形曲线，是统计学中最重要的概率分布之一、它具有许多独特的特征和性质，下面将详细介绍正态分布的四个主要特征。
1.对称性：正态分布是一种对称的分布，其均值和中位数相等，即分布的中心处于对称的位置。
曲线在均值处取得最大值，两侧逐渐变小，呈现出典型的钟形形状。
正态分布的对称性使其成为许多统计推断方法的基础。
2.均值和标准差：正态分布的均值和标准差是其两个重要的描述性参数。
均值代表了分布的中心位置，标准差则衡量了数据集中程度的变异性。
在标准正态分布中（均值为0，标准差为1），大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，而大约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这种关系被称为"68-95-99.7规则"，在实际应用中经常被使用。
3.中心极限定理：正态分布具有重要的中心极限定理，它表明当独立随机变量的和趋于无穷时，其分布逼近于正态分布。
也就是说，无论初始数据的分布如何，其和的分布都会逐渐接近于正态分布。
这一定理在统计推断和抽样理论中起着至关重要的作用，使得我们可以使用正态分布对许多实际问题进行分析和推断。
4. 概率密度函数和累积分布函数：正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）用来描述随机变量的概率密度。
它的数学表达式为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，f(x)表示在x点处的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然常数。
概率密度函数的曲线是连续的，且总面积等于1 F(x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，F(x)表示在x点之前的概率。
概率密度函数和累积分布函数是正态分布最基本的描述工具，它们可以帮助我们计算各个分布区域的概率、推断置信区间等。
时间自相关高斯分布
在时间序列分析中，自相关高斯分布是一种常用的概率分布模型，用于描述时间序列数据的概率分布特性。
自相关高斯分布假设时间序列数据之间存在一定的相关性，即一个时间点的数值与其前一时间点的数值之间存在一定的关系。
自相关高斯分布的定义取决于均值（μ）和标准差（σ）。
它表示了一个随机变量在其自身的过去值已知的情况下，以一种确定的方式改变其概率分布。
这种相关性可以通过计算自相关系数来度量，该系数描述了一个时间点与前一时间点之间的相关程度。
自相关高斯分布可以用于多种应用，例如时间序列预测、金融市场分析、自然语言处理等。
在预测未来时间点的值时，可以使用自相关高斯分布来估计给定过去时间点的值时未来值的概率分布。
在金融市场分析中，可以使用自相关高斯分布来描述股票价格的变化，并分析其波动性和风险。
在自然语言处理中，可以使用自相关高斯分布来描述文本数据的概率分布，并用于文本分类和情感分析等任务。
总之，自相关高斯分布是一种重要的概率分布模型，在时间序列分析和相关领域中得到了广泛的应用。
它可以用于描述具有自相关性的时间序列数据，并估计给定过去值时未来值
的概率分布。
4高斯分布
随机信号分析
常建平 李海林
1
概率论
概率空间 高斯分布
随机变量
多维随机变量
（随机矢量）
概率论
随机变量的 数字特征
n
QYu
QXi uqpeju
n
i1
性质5
举例（一元特征函数的性质）
EYjd pejuqn np
du
u0
E Y2 j2d d u 2 2
pejuqn npqn2p2
u 0
性质6
D YE Y2 E Y2npq
7、特征函数可由随机变量的各阶矩唯一地确定。
QXn 0EXnjn!n
常用在理论推导中
QYv(v)4vexp2v2
2 Q v Y 2 (v) 4 e x p 2 v2 4 v2e x p 2 v2
对Y
E[Y]jQY(v) 0
v v0
E[Y2]j2
2QY(v) v2
4
v0
D [Y]E[Y2]m Y 24
举例（多维）
Q X Y u (u ,v ) j 4 u v e x p ju 2 u v 2 2QXuY(vu,v)4expju2uv2
解：均匀分布X~U(0,1)的概率密度为
f x
1 0
, ,
0x1 else
QX u E[e juX ]
f x e jux dx
傅 立 叶 变 换 性 质 （ P 2 7 8）
s (t t0 ) S ( )e j t0
广义高斯分布（GGD）和非对称广义高斯分布（AGGD）
⼴义⾼斯分布（GGD）和⾮对称⼴义⾼斯分布（AGGD）《No-Reference Image Quality Assessment in the Spatial Domain》，BRISQUE。
1. ⼴义⾼斯分布，generalized Gaussian distribution，GGD1.1 描述零均值的⼴义⾼斯分布如下：其中⽽Γ(·) 是gamma函数。
形状参数γ控制分布的“形状”，⽽σ² 控制⽅差。
例如另γ = 2 就会得到零均值的⾼斯分布：⾸先记则因此就得到了⼀个⽐函数：1.2 参数估计⽅法对于零均值⼴义⾼斯分布，计算估计值：然后就有在知道了ρ(γ) 的估计值之后，就很容易通过枚举的⽅式来估计γ。
1.3 代码参考BRISQUE中给出的源代码：function [gamparam sigma] = estimateggdparam(vec)gam = 0.2:0.001:10;r_gam = (gamma(1./gam).*gamma(3./gam))./((gamma(2./gam)).^2);sigma_sq = mean((vec).^2);sigma = sqrt(sigma_sq);E = mean(abs(vec));rho = sigma_sq/E^2;[min_difference, array_position] = min(abs(rho - r_gam));gamparam = gam(array_position);2. ⾮对称⼴义⾼斯分布，asymmetric generalized Gaussian distribution，AGGD2.1 描述零均值的⾮对称⼴义⾼斯分布如下：其中形状参数α控制分布的“形状”，⽽σl2和σr2是缩放参数，它们控制模式两边的扩散程度。
当σl2 = σr2的时候，AGGD退化成GGD。
参考论⽂《MULTISCALE SKEWED HEAVY TAILED MODEL FOR TEXTURE ANALYSIS》的做法：记则因此所以记就有类似地然后计算⽐值：其中2.2 参数估计⽅法⾸先估计σl2和σr2：所以⽽ r 的⼀个⽆偏估计是所以就可以求得然后就和上⽂的GGD的⽅法⼀样，枚举求出最优的α就可以了。
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uur uur
已知线性变换 Y A X，其中高斯矢量X ~ N ur
证明：随机矢量Y也是高斯矢量。
M X ,CX
,A
aij
为常系数矩阵。
mn
ur
思路：求Y的特征函数。
Y特征函数定义 线性变换代入 A放入括号中
X特征函数定义
QY u1,L ,un E exp
ur T ur jU Y
u1
M ,
xn
un
uur MX
m1
M ,
mn
C11 C12 L
uur DX
CX
C21 M
C22 M
L O
Cn1 L L
C1n
C2n
M
Cnn
fX x1,L , xn
1
n
1 exp
2 2 CX 2
r uur xMX
T CX1 2
r uur xMX
QX
u1,L
3 条件数学期望
新
随机变量关于某 个给定值的条件
数学期望
随机变量关于另 一个随机变量的 条件数学期望
随机矢量的数字特征
数学期望 矩
相关理论 特征函数
数学期望 方差 互相关
协方差
随机矢量的数字特征
数学期望
矩 相关理论 特征函数
相关系数的引入
不相关、正交
不相关、正交、独 立之间的关系
随机矢量的数字特征
内容组织
描述 方法
特殊 性质
概率密度
一维
特征函数
n维
独立与不相关等价 线性变换
一维高斯分布
fX
x
1
e
(
xm)2 2 2
2
相应的特征函数为
QX
u
exp
jum
u 2
2
2
方差 2 D[X ]
数学期望 m EX
要牢记 求解过程见P55例1.30
n维高斯分布
r x
x1 M，
ur U
一元特征函数的性质
5、相互独立变量和的特征函数等于特征函数之积。
n
n
X1,K , Xn相互独立，Y Xi，则 QY u QXi u
i 1
i 1
QY
u
E e juY
E e ju( X1 X2 L
Xn )
n E
i1
e juXi
n i 1
E e j Xi
n
QXi
i 1
6、若随机变量X的n阶绝对矩存在，
rect( t ) ƒ
Sa
2
1
1
1e
jux dx
1 e jux
1
e ju－1
0
ju 0 ju
rect(t)
1 0
, ,
t 1 2 t 1 2
1 ju
e
ju
2 e ju
2 e ju
2
2 j sin (u ju
2) e ju
2
e ju 2 Sa(u ) 2
思考： 2系数体现在哪里？
E Y kP Y k kCnk pk 1 p nk L
k 1
k 1
计 算
DY (k EY )2 Pk (k mY )2 Cnk pk 1 p nk L
k 1
k 1
很 难
n
n
QY e jk P Y k e jkCnk pk qnk L
k 1
k 1
exp k 1
jmk uk
n k 1
uk2 2
2 k
exp
n k 1
jmk uk
uk2
2 k
2
n
exp jmkuk
k 1
uk2 2
2 k
n
QX k
k 1
uk
特殊性质2——线性变化
高斯分布的线性变换后仍服从高斯分布。
uur X
X1 M
X n
ur Y
Y1
M
Ym
ur uur
n
QX
u1,L ,un
ur T QX U
E
e
uur T jU
uur X
E[e k1
juk
Xk
]
对应关系
1
2
n
QX
u1,L ,un
噲垐nn维 维垐垐傅 傅立 立垐垐叶 叶正 逆垐垐变 变换 换垎垐 f X
x1,L , xn
特征函数的性质（n维）
1、 QX (u1,...,un ) QX (0,...,0) 1
新
随机变量关于某 个给定值的条件
数学期望
随机变量关于另 一个随机变量的 条件数学期望
随机矢量的数字特征
数学期望 矩
相关理论 特征函数
数学期望 方差 互相关
协方差
随机矢量的数字特征
数学期望
矩 相关理论 特征函数
相关系数的引入
不相关、正交
不相关、正交、独 立之间的关系
随机矢量的数字特征
数学期望
矩
相关理论
新
特征函数
定义 性质
一维 n维
高斯分布
☆ 概率论的总结和应用 ☆
重要地位
在实际应用中，常常遇到大量随机变量的问 题。中心极限定理已证明，在满足一定条件 下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。 因此，高斯分布占有特殊的地位，是科学技 术领域中最常遇到的分布，也是无线电技术 理论（包括噪声理论，信号检测理论，信息 理论等）中最重要的概率分布。
,un
E
e
uur T jU
r x
exp
j
uur M
T X
ur U
ur U
T
CX
ur U
2
举例（多维高斯） CX 6
CX1
1 6
5 2
2
2
r uur
xMX
T CX1
r uur xMX
x1
x2
1 6
5 2
2
2
x1
x2
1 6
(5x12
2x22
4x1x2 )
fX
x1, x2
整理，A和U分开
特殊性质2——线性变化
uur
ur
uur
uur uur
MY E[Y] E AX A E[X ] AM X
CY
ur D[Y
数学期望
矩
相关理论
新
特征函数
定义 性质
一维 n维
特征函数的定义（一维）
1
2
QX
u 噲 垐傅 傅垐垐立 立叶 叶垐正 逆垐变 变换 换垎垐
f
x
变换是唯一的
存在2系数， 不是傅立叶变换
QX u E[e juX ]
f
xe juxdx
2
1
2
f
x
e
jux
dx
2 F 1
4
u,v0
CXY RXY E[ X ]E[Y ] 4 0 4
XY
CXY
XY
CXY 4 1 DX DY 4
线性相关 Y X 1
随机矢量的数字特征
数学期望 矩
1
一维随机变量 二维随机变量 n维随机变量
随机矢量的函数
离散型 连续型
相关理论 特征函数
2 数学期望的性质
3 条件数学期望
举例（一元特征函数的性质）
1
QXi u E e juXi e juk P Xi k q pe ju k 0
QY u n QXi u q pe ju n
i 1
性质5
举例（一元特征函数的性质）
EY j d pe ju q n np
du
u0
E
Y
2
j
2
d2 du 2
ur Y的特征函数为：QY (u1,...,uk ) QX (u1,...,uk , 0,..., 0)
7、E
X1n
X
k 2
j
nk
nk QX u1,u2 u1nu2k
E XY 2QXY u,v
uv u 0,v 0
u1 0,u2 0
8、QX
(u1,u2 )
E[
X1n
X
k 2
n0 k0
随机信号分析
南京航空航天大学 信息科学与技术学院
常建平 李海林
概率论
概率空间 高斯分布
随机变量
多维随机变量
（随机矢量）
概率论
随机变量的 数字特征
随机变量 函数的分布
随机矢量的数字特征
数学期望 矩
1
一维随机变量 二维随机变量 n维随机变量
随机矢量的函数
离散型 连续型
相关理论 特征函数
2 数学期望的性质
b1 M
ur Y
uur AX
ur B
a1X1 M
b1
an nn
bn n1
多元
an X n bn
n
可得：QY (u1,u2,L
j ukbk , un ) e k1
QX
a1u1,L , anun
ur
2、已知r 1，A a1,L ,an 1n , B b（常数）
一维随机变量
E[X ] ( j) dQX (u)
E[X k ] ( j)k d kQX (u) duk
u0
du u0
E[
X
2
]
d
2QX (u) du2
u0
举例（一元特征函数的性质）
例1.31 求二项分布的数学期望、方差和特征函数？
解：① 方法一：二项分布的分布律为