2011年江苏专转本高等数学真题答案
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2011年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1、C
2、B
3、A
4、B
5、D
6、D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7、－１
8、2ln 22+
9、32 10、dx 41
11、
2
π
12、[)11，-
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13、原式=4lim
22)
)((2lim
)
(lim
22
=-=+-=--→--→-→x
e
e x
e
e e
e x
e
e x
x x x
x x
x x x
x
x
14、)
12)(1(2121
2++=++==t e t t e t
dt
dx dt dy dx dy
y
y 15、原式=⎰⎰⎰
+
-=+=
+x xd x dx x x x dx x
x
x x x sin
cos 2)cos sin
2(cos sin 22
=C x x x ++-sin cos 16、令
t x =+1，则原式=⎰
⎰
=
-=
+-2
1
2
2
1
2
3
5)22(211 dt t t tdt t
t
17、设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax .
因为该平面经过x 轴，所以0==D A ；又该平面经过已知直线，所以法向量互相垂直，
即03=+C B .综上，所求平面方程为03=-Bz By ，即03=-z y .
18、
'-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅'+-⋅'⋅+⋅=∂∂12210)(1f x y f f x y f x f x z
"
-"-'=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅"+⋅"⋅+'⋅⋅-⋅'+⋅'=∂∂∂12112212111212
)11(11)11(f x y f x y f f x f y f x f x f y x z
19、原式=⎰
⎰=
2
2
4
32
3
2sin dr r d θθπ
π
20、由已知可得x
x x x e x e x e x e x f )13()1(2)1()(+=++++=，特征方程：
0232
=++r r ，齐次方程的通解为x x e
C e C Y 221--+=.令特解为x e B Ax y )(+=*， 代入原方程得：43656+=++x B A Ax ，有待定系数法得：
⎩⎨⎧=+=46536B A A ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧
==4121B A ，所以通解为x x x e x e C e C Y )4121(22
1+++=--. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21、令012)1ln()(,2)1ln()(2
22
2
>++
+='-+=x
x
x x f x x x f 则，所以)(x f 单调递增.
又025ln 2)2(,02)0(>-=<-=f f ，所以由零点定理可知命题得证.
22、设20112011)(,20112010)(20102011-='-+=x x f x x x f 则，令0)(='x f 得驻点
1=x ，又02010
2011)1(20102011)(2009>⋅=''⋅=''f x x f ，所以，因此由判定极值的
第二充分条件可知0)1(=f 为极小值，并由单峰原理可知0)1(=f 也为函数)(x f 的最小值，即0)(≥x f ，也即原不等式成立.
五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23、2
22
2
lim 1
lim arctan 1lim
2
20
2
2
2
-=
-=---=----
-
-
→→→a e
a x ax x e
x
x ax x e
ax
x ax
x ax
x
2
2
lim 21
lim 2sin 1
lim 0
a ae
x
e
x
e
ax x ax
x ax
x =
=-=--
+
+
→→→
（1）依题意有
2
2
22
a a =
-，解得21=-=a a 或，又1)0(=f ，所以2=a .
（2）左右极限必须相等，且不能等于函数值，所以1-=a . （3）依题意有
2
2
22
a a ≠
-，解得21≠-≠a a 且.
24、（1）将原方程化为一阶线性微分方程得)1()(2)(+-=-
'a x f x
x f ，所以
x a Cx C x a x C dx e a e
x f dx x dx
x
)1()1()1()(2
22
2++=++=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰+-⎰
=⎰--
-
代入x a ax x f a C f )1()(1)1(2
++-=-==，即，得 由此作出平面图形D ，并求出其面积[]
3
26
3)1(10
2
=
+=
++-=
⎰a dx x a ax
S