空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面

一，生活中的问题？

生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．

二，概念明确

1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。

所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。

线与面的关系是_____________________，用符号______________。

点与面的关系是_____________________，用符号______________。

2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角）

3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。

4，平面的画法与表示

描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的

画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用

画出来，如图b所示

记法

(1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α

(2)

用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶

点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD

(3)

用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a

中的平面记为平面ABC或平面等

(4)

用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD

检验检验：

下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一

个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()

A．1B．2C．3D．4

三，点，线，面的位置关系和表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面.

文字语言符号语言图形语言

A在l上

A在l外

A在α内

A在α外

文字语言符号语言图形语言

l在α内

l与α平行

l ，m 相交于A

l ，m 都在平面α内

且平行

l ，m 异面

（不同在任何一个平面内，且没有交点）

α，β相交于l

α，β平行

（没有交点）

熟悉熟悉：如图所示，平面ABEF 记作平面α，平面ABCD 记作平面β，根据图形填写： (1)A ∈α，B ________α，E ________α，C ________α，D ________α； (2)α∩β＝________；

(3)A ∈β，B ________β，C ________β，D ________β，E ________β，F ________β； (4)AB ________α，AB ________β，CD ________α，CD ________β，BF ________α，BF ________β.

四，立体几何的公理与定理

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

,,A l B l

l A B ααα

∈∈⎧⇒⊂⎨

∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α l

B

A

α B A

αC

推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面 若A l ∉，则点A 和l 确定平面α

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若m

n A =，则,m n 确定平面α

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若m n ，则,m n 确定平面α

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒

公理4作用：证明两直线平行。

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠且与方向相同＝

,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反＝ 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6，线面平行的定义与判定

1）若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行。

2）线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

////a b a a b ααα⊄⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⎭

l

α

A

l

m α

A

m n

α

P

· α

L β

a b b a b '

a '方向相反则∠1+∠2＝180°方向相同则∠1＝∠2

212

1

a '

b '