空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。

所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。

线与面的关系是_____________________，用符号______________。

点与面的关系是_____________________，用符号______________。

2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角）3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。

点，线，面都是抽象的几何概念。

不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。

4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示记法(1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α(2)用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面ABC或平面等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4三，点，线，面的位置关系和表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.文字语言符号语言图形语言A在l上A在l外A在α内A在α外文字语言符号语言图形语言l在α内l与α平行l ，m 相交于Al ，m 都在平面α内且平行l ，m 异面（不同在任何一个平面内，且没有交点）α，β相交于lα，β平行（没有交点）熟悉熟悉：如图所示，平面ABEF 记作平面α，平面ABCD 记作平面β，根据图形填写： (1)A ∈α，B ________α，E ________α，C ________α，D ________α； (2)α∩β＝________；(3)A ∈β，B ________β，C ________β，D ________β，E ________β，F ________β； (4)AB ________α，AB ________β，CD ________α，CD ________β，BF ________α，BF ________β.四，立体几何的公理与定理1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α lBAα B AαC推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面 若A l ∉，则点A 和l 确定平面α推论2：过两条相交直线有且只有一个平面若mn A =，则,m n 确定平面α推论3：过两条平行直线有且只有一个平面若m n ，则,m n 确定平面α公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒公理4作用：证明两直线平行。

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠且与方向相同＝,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反＝ 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6，线面平行的定义与判定1）若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行。

2）线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭lαAlm αAm nαP· αL βa b b a b 'a '方向相反则∠1+∠2＝180°方向相同则∠1＝∠22121a 'b '五，典型例题【例1】下列命题正确的是（ ）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共线的三点确定一个平面 【练习】1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2.下列命题：⑴平面α与平面β相交，他们只有有限个公共点⑵经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. ⑶经过两条相交直线有且仅有一个平面.⑷如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 其中正确的个数为（ ）A.0 B ．1 C ．2 D ．3点金秘笈：此类题可以由公理和定理经过综合判断；也可以利用你手边的一切资源比划比划，不要忘记了变换一下空间位置，或是旋转一下下。

【例2】2如图所示，用符号语言可表达为（ ） A.α∩β=m ，n ⊂α，m∩n=A B.α∩β=m ，n∈α，m∩n=AC.α∩β=m ，n∈α，A∈m，A∈nD.α∩β=m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂n【练习】1.下面推理过程，错误的是（ ） A.αα∉⇒∈A l A l ,//B ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,C. AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,D. βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,ABC DOO 1A 1B 1C 1D 1AEFD BG H C P2.如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 下列命题是否正确? 并说明理由. ①AC 1在平面CC 1B 1B 内;②若O 、O 1分别为面ABCD 、A 1B 1C 1D 1的中心, 则平面AA 1C 1C 与平面B 1BDD 1的交线为OO 1 .③由点A 、O 、C 可以确定平面;④由点A 、C 1、B 1确定的平面与由点A 、C 1、D 确定的平面是同一个平面.点金秘笈：类比集合的知识，通过类比来记忆。

【例3】已知E 、F 、G 、H 分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD 各边AB 、AD 、BC 、CD 上的点, 且直线EF 和GH 交于点P, 求证: B 、D 、P 在同一条直线上.思维点拔：证明多点共线，通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这些点分别在两个平面内。

A BCD D 1C 1B 1A 1EF AB D Clα 【练习】如图, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为AB,AA 1中点，求证CE,D 1F,DA 三条直线交于一点。

注意：证明题的逻辑要清晰而严密，书写要规范而有据。

不能凭想当然，不能混乱。

【例4】已知: 如图l D l C l B l A ∉∈∈∈,,,, 求证: 直线AD 、BD 、CD 共面.思维点拔：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂【练习】如图, 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点, AC ∩BD=P , A 1C 1∩EF=Q , 求证:(1) D 、B 、F 、E 四点共面(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R 三点共线 .点金秘笈：证明共点，共线，共面可以用落入法，也可以用同一法，还可以用反证法。

AB CD D 1 C 1B 1A 1六，课后作业1．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 2．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 3．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 4．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。

（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 5．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条6．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。

7．在空间中，① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。

② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的序号填上）8.已知△ABC 在平面α外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，BC ∩α＝Q ，如图．求证：P 、Q 、R 三点共线．。