10. 球函数

• 解：以球坐标的极轴为对称轴，解应当具有如下
∑ 形式：
u(r,θ )
=
∞ l=0
( Al r l
+
Bl r l+1
)
Pl
(cosθ
),
⇓ (Bl = 0)
∞
∑ u(r,θ ) = Alrl Pl (cosθ ). l=0
• 由于球心处的值应当有限，故上式的第二项需舍 弃。
• 需要根据边界条件来确定系数Aℓ的值，有
(1
−
x
2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
1
m2 − x2
]Θ
=
0.
§10.1 轴对称球函数
• （一）勒让德多项式：
m=0，则Φ(φ)=常数，拉普拉斯方程的角向部分简化为
勒让德方程：
(1− x2 ) d 2Θ − 2x dΘ + l(l +1)Θ = 0.
dx 2
dx
• 其中x=cosθ.
dz,
• 其中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。
• （二）连带勒让德函数的正交关系（m相同！）
∫ P +1 m −1 l
( x) Pkm
(
x)dx
=
(
N
m l
)2δ
kl
,
∫π 0
Plm (cosθ )Pkm (cosθ ) sinθdθ
=
(
N
m l
)
2
δ
kl
.
(Nlm )2 =
2(l + m)! . (2l +1)(l − m)!
∫ fl
=
2l +1 2
π 0
f (θ )Pl (cosθ ) sinθdθ.
• 例1. 以勒让德多项式为基，在[-1,1]上把函数 f(x)=2x3+3x+4展开为广义傅里叶级数。P281
• 解：我们可以直接利用一般的展开法计算。但考 虑到函数也是幂次不超过3的多项式，因此可以直 接用P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)的线性组合表示：
• （二）正交关系（对所有的m和ℓ ）
∫∫ ∫ ∫ Ylm (θ ,ϕ)[Ykn (θ ,ϕ)]* sinθdθdϕ =
π 0
Pl m
(cosθ
) Pkn
(cosθ
)
sin
θdθ
2π eimϕ e−inϕ dϕ
0
= (Nlm )2δ klδ mn.
(
N
m l
)2
=
4π (l+ | m |)! .
(2l +1)(l− | m |)!
Pk
(x)
=
P' k +1
(
x)
−
2 xPk'
(x)
+
P' k −1
(
x),
(k ≥ 1)
(2k
+ 1) Pk
(x)
=
P' k +1
(
x)
−
P' k −1
(
x),
(k ≥ 1)
P' k +1
(
x)
=
xPk'
(
x)
+
(k
+ 1) Pk
( x).
• 例7. 计算定积分∫1-1xPk(x)Pℓ(x)dx.（k、ℓ为自然 数） p295
• B. 微分表示：罗德里格斯公式
Plm (x)
=
(1
−
x2
)−
m 2
2l l!
d l+m dx l + m
(x2 −1)l
=
(−1)m
(l (l
+ −
m)! m)!
Pl−m
( x).
• *C. 积分表示：施列夫利积分
∫ Plm (x) =
(1
−
x
2
)
m 2
2πi2l
(l + m)! l!
C
(z2 −1)l (z − x)l+m+1
π
2π 0
f (θ ,ϕ) sin mϕdϕ
⎧
∑ ⎪⎪ Am
⎨
∑ ⎪⎪⎩Bm
(θ (θ
) )
= =
∞
l=m ∞
l=m
Alm Blm
Pl Pl
m m
(cosθ (cosθ
) . )
∞∞
∑ ∑ f (θ ,ϕ) =
[ Alm cos mϕ + Blm sin mϕ]Plm (cosθ ).
m=0 l=m
这个方程可以直接用级数解法进行求解。
• 还可以有更为简洁的办法，因为上述方程就是对勒让德方 程(1-x2)yP’’-2xP’+ ℓ(ℓ+1)P=0逐项求导m次得到的方程， 即： (1-x2) P[m]’’-2(m+1)x P[m]’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)] P[m]=0.
• 因此其解就是y(x)=Pℓ[m](x). 对应的本征值ℓ(ℓ+1)完全一样。 • 于是连带勒让德方程的解为 Pℓm(x)=(1-x2)m/2Pℓ[m](x).
• 一般选取最高幂次x ℓ的系数为aℓ=(2 ℓ)!/2 ℓ(ℓ!)2.
•
利用递推公式：
ak +2
=
(k − l)(k + (k + 2)(k
l +1) + 1)
ak
• 可以把其它系数一一求出，p274
• 最终得到ℓ阶勒让德多项式的表达式为：
∑ Pl (x)
=
[l / 2]
(−1)k
k =0
(2l − 2k)! 2l k!(l − k)!(l −
• （三）广义傅里叶级数
• m相同的连带勒让德函数满足正交完备条件，可 以作为广义傅里叶级数的基，把定义在[-1,1]区间 的函数f(x)展开：
∞
∑ f (x) = fl Plm (x), l =0
或
∫ fl
=
2l +1 (l − m)! 2 (l + m)!
+1 −1
f
( x) Pl m
( x)dx,
9 例2. 用(1)的球谐函数把函数
f(θ,φ)=3sin2θcos2φ-1展开. p312
• （四）拉普拉斯方程的非轴对称定解问题
• 例3. 半径为r0的球形区域内部没有电荷，球面上 的电势分布为u0sin2φcosφsinφ，球球形区域内 部的电势分布。p314
• 例4. 在半径为r0的球形区域的外部求解电势分布。 p316
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
+ 1)Y
= 0.
• 其解Y(θφ)称作球（谐）函数。进一步分离变量： Y(θφ)=(Acosmφ+Bsinmφ)Θ(θ)， Θ(θ)满足 连带勒让德方程：(x=cosθ)
§10.2 连带勒让德函数
• （一）连带勒让德的函数满足的方程(m≠0)：
(1
−
x2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
m2 1− x2
]Θ
=
0.
• A. x0=0是方程的常点，可以用常点的级数解法。首先做变 换Θ=(1-x2)m/2y(x)，方程变为：
(1-x2)y’’-2(m+1)xy’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)]y=0.
• 解题说明：由于勒让德多项式是定义在整个球形区域，故 需要对本问题进行偶延拓，即把边界条件补充定义成x的 偶函数。
• *例5. 匀强静电场中的介质球。（课堂练习） p287
• （六）母函数
4πε0
• 球内M点的静电势为：
d
∑ 1 =
d
1
1− 2r cosθ + r 2
≡
∞
( Al r l
l =0
+ Bl / rl+1)Pl (cosθ ).
θr M φ
⇒ Bl = 0.
• 为了求系数Aℓ，可以直接令θ=0，有
勒让德多项 式的母函数
∑ 1
1− r
=
∞ l =0
Al r l
== 1+ r
+ r2
+L+ rl
+L
→ Al = 1. (l = 0,1,2,L)
⇓
∑ 1
1− 2r cosθ + r 2
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
• （三）球面上的函数的广义傅里叶级数 • 以（1）为基展开函数f(θ,φ)，分两步进行：
∞
f (θ ,ϕ) = ∑[ Am (θ ) cos mϕ + Bm (θ ) sin mϕ]. m=0
∫ ⎧
⎪⎪ ⎨
Am
(θ
)
=
1
πδ m
2π f (θ ,ϕ) cos mϕdϕ
0
.
∫ ⎪⎪⎩Bm
(θ
)
=
1
∞
∑ u(r0 ,θ ) = Alr0l Pl (cosθ ) = cos2 θ = x2. l=0
x2
=
1 [1+ 3
2P2 (x)]
=
1 3
P0 (x)
+
2 3
P2 (x).
u(r,θ )
=
1 3
+
2r 2 3r02
P2 (cosθ ).
• 例4. 半径为r0的半球，其球面上的温度保持为u0cosθ， 底面绝热，试求这个半球的稳定温度分布。p285
• （四）广义傅里叶级数
• 根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质，勒让德多 项式Pℓ(x)是完备的，因此可以作为广义傅里叶级 数的基，把定义在区间[-1,1]上的函数展开：
∞
∑ f (x) = fl Pl (x), l=0
∫ fl
=
2l +1 2
+1
−1 f (x)Pl (x)dx,
或
∞
∑ f (θ ) = fl Pl (cosθ ), l=0
• 例2. 以勒让德多项式为基，在[-1,1]上把f(x)=|x|展 开为广义傅里叶级数。p282
∑ |
x
|=
1 2
P0
(x)
+
∞ n=1
(−1)n+1
(4n +1)(2n −1)!! (2n −1)(2n + 2)!!P2n
( x).
• （五）拉普拉斯方程的轴对称定解问题
• 例3. 在球r=r0的内部求解Δu=0使满足边界条件 u|r=r0=cos2θ. p284
• 以（2）为基展开函数f(θ,φ) ：
∞l
∑ ∑ f (θ ,ϕ) =
Clm
源自文库
P|m| l
(cos
θ
)eimϕ
l=0 m=−l
∫ ∫ Clm
=
1
(
N
m l
)
2
π 0
2π 0
f (θ ,ϕ)Pl|m| (cosθ )[eimϕ ]* sinθdθdϕ
9 例1. 用(1)的球谐函数把下列函数展开：A. sinθcos φ ； B. sinθsinφ. p312
• 由于Pℓ(x)是ℓ次多项式，因此最多只能求ℓ次导 数，故ℓ≥m，即m=0,1,2,…, ℓ.
• 一些低阶连带勒让德函数：
1. P11(x)=(1-x2)1/2=sinθ, 2. P21(x)=(1-x2)1/2(3x)=3/2sin2θ, 3. P22(x)=3(1-x2) =3sin2θ=3/2(1-cos2θ),…
xl−2k . 2k )!
• [ℓ/2]表示不超过ℓ/2的最大整数。
• 前几个勒让德多项式的曲线见p276:
P0 (x) = 1
P1(x) = x = cosθ
P2 (x)
=
1 2
(3x 2
−1)
=
1 4
(3 cos
2θ
+ 1)
P3
(x)
=
1 2
(5x3
−
3x)
=
1 8
(5cos 3θ
+
3 cos θ
Yl m
(θ
,ϕ
)
=
Pl
m
(cosθ
⎧sin mϕ
)⎨ ⎩cos
mϕ
⎫ ⎬, ⎭
⎜⎜⎝⎛
m = 0,1,2,L,l l = 0,1,2,3,L
⎟⎟⎠⎞LL(1)
=
P|m| l
(cosθ
)eimϕ
⎜⎜⎝⎛
m
= l
−l,−l +1,,L,l = 0,1,2,3,L
⎟⎟⎠⎞LLL(2)
• 球谐函数是拉普拉斯方程的两个角向本征函数的组合。
• 第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解， 通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在x=±1处 发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自 然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇 数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的 解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限 阶，称作ℓ阶勒让德多项式。
=
∞
rl Pl (cosθ ).
l=0
(r < 1)
• 为什么叫母函数？
• *例6. 在点电荷4πε0q的电场中放置半径为a的接地导体 球，球心距点电荷为r1 (r1>a)，求解这个静电场。p291
• （七）勒让德多项式的递推公式
(k +1)Pk+1(x) − (2k +1)xPk (x) + kPk−1(x) = 0,
∞
∑ f (θ ) = fl Plm (cosθ ), l=0
∫ fl
=
2l +1 (l − m)! 2 (l + m)!
π 0
f (θ )Plm (cosθ ) sinθdθ.
• *（四）连带勒让德函数的递推公式：p307
– 对勒让德函数的递推关系球m次导数！
§10.3 球谐函数
• （一） ℓ阶球谐函数
)
• 勒让德多项式的微分表示，罗德里格斯公式：
Pl
(x)
=
1 2l l!
dl dxl
(x2
− 1) l .
• *勒让德多项式的积分表示：施列夫利积分
∫ Pl (x)
=
1
2πi2l
(z2 −1)l C (z − x)l+1 dz,
其中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。
• （二）勒让德多项式的正交关系：