10. 球函数
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
球体函数公式
探索球体函数的奥秘
球体函数是描述三维球体上每一点属性的函数，它在数学、物
理、计算机图形学等领域中广泛应用。
球体函数最常用的公式为：f(x, y,z)=r，其中r为常数，表示球体的半径。
不同的球体函数需要满足不同的性质，下面我们就来探索一下球体函数的奥秘。
首先，球体函数与球面坐标系有密切关系，经常被用于描述球面
上的点的坐标。
例如，我们可以通过球体函数f(x,y,z)=x^2+y^2 +z^2的值来确定球面上每一点的距离R。
又如，我们可以通过球体函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1的零点，来确定单位球面上的
点的坐标。
其次，球体函数在物理学中也有广泛的应用，例如在描述天体的
引力场、地球的地质构造等方面。
在计算机图形学中，球体函数可以
被用来生成三维模型。
我们可以通过球体函数f(x,y,z)=max(1-R^2, 0)来实现球体的形状变换，例如对球体进行挤压、拉伸等变形操作。
最后，掌握了球体函数的知识，我们可以通过计算机编程语言来
实现球体函数的绘制、变换、切割等操作。
我们可以通过OpenGL、Unity等开发工具，来实现球体函数的可视化效果。
唯有掌握了球体函数的奥秘，我们才能在各个领域都发挥出它的重要作用。
Chap._10 球函数
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式
x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2
2
x x 2 1ei 1
2
x 1
2 2 i
l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2
sphere函数
sphere函数
Spherical函数（也被称为球函数）是一种常见的最小化函数，用
于优化和最小化在多元函数中的结果，以获得最佳结果。
spherical函
数大致是指空间的函数，因为它可以描述在坐标系平面中的点和物体。
该函数的形式为 f（x）=Σi（xi2），其中x是n维空间中的向量，
可以以多种方式来表示它，例如，笛卡尔坐标、极坐标或投影坐标。
例如，当x表示三维空间中的三维向量时，Sphere函数可以写作：f （x）=x12 + x22 + x32。
Sphere函数用于优化和最小化，这意味着它用于在极小值函数中
找到最优结果。
它可以用于找到函数极小值、最大值和其他极值，都
可以应用于微分函数。
sphere函数的优点是它的快速计算可以节省时间，而且它不需要
大量的特定的计算步骤，所以它也可以用于机器学习算法和其他相关
方法。
另外，sphere函数还可以在具有较高维度的数据集上应用，因
为它不受维度的限制，只要有足够的数据，它就可以正常工作。
在实际使用中，sphere函数可以用于很多地方，包括最小二乘法、旋转和矩阵计算和线性回归等。
它也可以用于物体识别、对象跟踪和
人脸检测等。
同时，它也能够有效地处理异常值，以及大数据集的处理，因为它可以处理大量数据而不会受到维度的限制。
总之，sphere函数是一个非常有用的函数，可以用于各种机器学
习算法、数学函数优化和计算机视觉处理等，并且由于它的快速计算
和弹性，还可以用于大数据集的处理。
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
球函数
arccos x,
x cos ,
8
d d dx d sin , d dx d dx
1 d d (sin ) sin d d 1 d d dx 2 ( sin ) sin dx dx d
1 d d 2 ( sin )( sin ) sin dx dx
13
方程的奇点：如果方程中的系数函数 p(z)和q(z)中至少有一
个在某点z0不解析，则点z0就叫作此方程的奇点。
如，Legendre方程
d2y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0, dx dx
在有限远处，x=－1、＋1为方程的奇点。 x=0为常点。
二、常点邻域上的级数解 首先，我们不加证明地介绍下面的定理。。
其应用。
1
第一节 勒让德(Legendre)方程的导出 在解球形域上的三维稳态问题时，常把Laplace方程写成
球坐标形式
1 2 u 1 u 1 2u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0. 2 r r r r sin r sin
根据Taylorห้องสมุดไป่ตู้数展开的唯一性，
ak 2
k (k 1) 2k l (l 1) k (k 1) l (l 1) ak ak . (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
ak 2 (k l )(k l 1) ak . (k 2)(k 1)
3
关于Y的偏微分方程，叫做球函数方程。
d 2 dR (r ) l (l 1) R 0, 对于径向方程 dr dr
d 2R dR 2 r 2r l (l 1) R 0, 2 dr dr
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
大学物理-球函数
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
chapt10-_球谐函数(4学时)解析
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2018/10/16 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! ( z) 2πi
f ( ) C ( z)l 1 d
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2018/10/16
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在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
数学物理方法--球函数
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u(r,,)
rl[ Alm cos m Blm sin m]Plm (cos )
m0 lm
m0
lm
1 r (l1)
[Cl m
cos
m
Dl m
sin
m ]Pl m
(cos
)
1 由于解在内部有限,所以含
xl 2k
4
微分表示
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
展开 1
2l l
!
(
x
2
1)l
1 2l l !
l k 0
(l
l! k )!k
( x2 )(l k ) (1)k !
再求导L次可得
积分表示
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
R Al rl Bl rl1
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
u l0 Rl (r)Pl (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYknd
n,m l ,k
(
N
m l
)2
d S
2
d
chapt10- 球谐函数(4学时)
(n l ) (n l )
当 n l 时满足
1
1
Pn ( x)Pl ( x) dx 0 ，
(10.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1
1
Pl ( x)dx
2
2 2l 1
(l 0,1, 2,)
(10.2.4)
2012-6-3
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
例10.2.3 以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把
f ( x) 2 x 3x 4
3
展开为广义傅里叶级数．
【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上， f ( x) 是三次多项式（注意 设它表示为
2 x 3 x 4 Cn Pn ( x)
3 n 0 3
f ( x) 既非奇函数，也非偶函数），
（10.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
2012-6-3
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3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
( z)
2πi
C1
C3 7
3
2
1 1
1
1
x P1 ( x)dx
3
3
2
1 1
1
1
x xdx
3
3 5
2 5
2
3
x P3 ( x)dx
3
7
球体的函数
球体的函数什么是球体？它是一种拥有六个平面的立体几何形状，并且它的每一条边都相等。
它是一个完美的立体形状，由于它的六个面都是完全相同的，所以它又称为“正六面体”。
在数学中，我们用函数来描述球体的特征，这就是我们今天要介绍的。
首先，我们介绍球面的参数方程。
球面是一种几何特征，它可以用一种简洁的方法表示：f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=R^2其中，R是球心到表面的距离，也就是球半径，x，y，z分别是坐标轴上的三个坐标值。
这个方程也可以表示为：g(x,y,z)=(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=p^2其中，h，k，l分别是球心的坐标值，p是球半径。
把这两个方程结合在一起，就可以得出球面的参数方程：(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=R^2接下来，我们介绍球面的积分形式。
任何空间图形都可以用曲面积分的方式表示，即在图形的上面绕行若干路线，然后把每条路线上的面积加起来，就可以得出这个图形的整体面积（或者说体积）。
在数学中，球面的上面有无数条轨道，我们用极坐标的方式来描述这些轨道：φ=arctan(y/x),θ=arccos(z/R)把这两个极坐标带入到球面的参数方程中，可以得出积分形式： F=∫∫θ=0~2π,φ=0~π((h+Rcosφcosθ)^2+(k+Rsinφcosθ)^2+(l+Rsinθ)^2)dφdθ这个积分式表示了球面上所有路线的面积之和，也就是球面的整体面积。
最后，我们来介绍一下球面上的距离函数。
球面上任意两点之间的距离是球面上最重要的一个概念，它可以用以下方程表示：L=Rarccos((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z3-z1)^2)其中，r是球半径，x1，y1，z1分别是两点的三维坐标，可以用它来计算球面上任意两点之间的距离。
通过以上的介绍，我们已经了解了球体的函数。
从球面的参数方程到距离函数，它们均可以用数学的方式表达出来。
球体是一种完美的几何形状，由于它的完美和平衡，如此简单的几个函数就能够描述它的全部特征。
数学物理方法课件 第十二章-球函数 -2
§12.3 勒让德多项式的应用举例勒让德多项式在物理学领域中的应用：电磁学：计算静电场分布；热学：计算温度场分布；量子力学：计算粒子的波函数；量子力学计算粒子的波函数原子分子物理：计算原子分子的碰撞截面；等离子体物理：计算电子的能量分布函数；等离子体物理计算电子的能量分布函数核物理：计算中子输运；……如下仅讨论勒让德函数在计算静电场分布中的应用。
思考题：一个半径为r=a 的导体球壳，球面上的电势分布：0 0/2(,)u u a θπθ<<⎧=⎨−求球壳内任一点的电势分布。
0 /2u πθπ<<⎩例3 设一个半径为a 的均匀介质球，其介电常数为ε 。
在离球心为 b 的地方放置个电量为求在介质球内外的电势分布方放置一个电量为q 的点电荷( b>a )。
求在介质球内外的电势分布。
rθ分析：（1）取介质球的球心为坐标原点，z 轴通过点电荷所在的位置见右图显然该问ozbq a通过点电荷所在的位置，见右图。
显然该问题具有轴对称性，与方位角度无关，即具有轴对称性。
（2）点电荷的存在将在球面上产生极化电荷，但这种极化电荷只存在球面上，因此极化电荷产生的电势满足拉普拉斯方程：)()()∞⎧2(,)0p u r θ∇=01(,(cos l p l l l l u r A r P r a θθ=∞−−=<⎪⎪⎨⎪=∑0(,)(cos )()p l ll u r D r P r a θθ=>⎪⎩∑1. 球函数的定义：实数形式的球函数：⎧cos (,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)sin mml l m Y P m l l m ϕθϕθϕ⎫===⎨⎬⎩⎭记号{}表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其一。
记号{ } 表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其。
||(,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)m m im l l Y P e m l l ϕθϕθ==±±±±=复数形式的球函数：可见：对于给定的l 值，共有2l+1个线性无关的球函数。
10.3球函数
m
（2）复数形式的球函数： 线性独立的l阶球函数共有2l＋1个， 对应m 0, 有一个球函数Pl (cos ) Pl m (cos ) sin m m 1, 2,...l , 有2个球函数： m P l (cos ) cos m cos m i sin m eim 由欧拉公式， cos m i sin m e im m l , l 1,...0,1, 2,...l 可重新组合为：Yl m ( , ) Pl |m| (cos )eim , l 0,1, 2,3... | m | 表示m既可取正整数，也可取负整数
[Clm cos m Dlm sin m ]Pl m (cos )
m l ,当m l的项为零 l m，l m, m 1, m 2,...
例：半径为r0的球形区域内部没有电荷，球面上的电势为 u0 sin 2 cos sin , u0为常数，求球形区域内部的电势分布。 解：这是静电场电势分布问题
m
u 0在球坐标下的解为：ul ,m (Cl r l Dl
1
l 1
)Y ( , )
l 称为球函数的阶。
一般情况下，球函数方程的分离变数形式的解为 sin m m 0,1, 2,...l Y ( , ) Pl (cos ) ， cos m l 0,1, 2,3...
球体函数(经典难题)
球体函数(经典难题)
简介
球体函数，也被称为球形函数或球函数，是数学中的一个经典难题。
该问题涉及球形函数的定义、性质以及在数学和物理学中的应用。
定义与性质
球体函数是一种函数，其定义域是球面上的点集。
通常，球体函数被用来描述球面上的某种量，比如温度、压强、位移等。
这些函数具有一些特定的性质，比如在球面上的点对应着特定的函数取值，球面上的连续路径对应着连续的函数值变化等。
数学应用
球体函数在数学中有广泛的应用。
例如，在微分几何和拓扑学中，球体函数被用来描述球面的性质和变化。
在球体测度理论中，球体函数经常用于描述球体上的测度分布。
此外，球体函数还在球谐函数、球体映射等领域发挥重要作用。
物理应用
球体函数在物理学中也有重要的应用。
比如，在天文学中，球体函数可以用来描述天体的形状和分布。
在电磁学中，球体函数用于描述电荷分布的球对称性特征。
在量子力学中，球体函数被用来描述粒子的波函数等。
总结
综上所述，球体函数是一个具有重要数学和物理应用的经典难题。
其在球面上的定义和性质使它在各个领域得到广泛的应用。
对球体函数的研究不仅可以深化对数学和物理学的理解，还可以推动相关领域的发展和应用。
10. 球函数
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
我们发现对于奇数和偶数次幂的级数解只有一个能满足自然边界条件的解它要求?必须为整数从而使无穷级数截断为有限阶称作?阶勒让德多项式
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
§10.2 连带勒让德函数
• （一）连带勒让德的函数满足的方程(m≠0)：
(1
−
x2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
m2 1− x2
]Θ
=
0.
• A. x0=0是方程的常点，可以用常点的级数解法。首先做变 换Θ=(1-x2)m/2y(x)，方程变为：
(1-x2)y’’-2(m+1)xy’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)]y=0.
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
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• 由于Pℓ(x)是ℓ次多项式，因此最多只能求ℓ次导 数，故ℓ≥m，即m=0,1,2,…, ℓ.
• 一些低阶连带勒让德函数：
1. P11(x)=(1-x2)1/2=sinθ, 2. P21(x)=(1-x2)1/2(3x)=3/2sin2θ, 3. P22(x)=3(1-x2) =3sin2θ=3/2(1-cos2θ),…
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
π
2π 0
f (θ ,ϕ) sin mϕdϕ
⎧
∑ ⎪⎪ Am
⎨
∑ ⎪⎪⎩Bm
(θ (θ
) )
= =
∞
l=m ∞
l=m
Alm Blm
Pl Pl
m m
(cosθ (cosθ
) . )
∞∞
∑ ∑ f (θ ,ϕ) =
[ Alm cos mϕ + Blm sin mϕ]Plm (cosθ ).
m=0 l=m
• 解：以球坐标的极轴为对称轴，解应当具有如下
∑ 形式：
u(r,θ )
=
∞ l=0
( Al r l
+
Bl r l+1
)
Pl
(cosθ
),
⇓ (Bl = 0)
∞
∑ u(r,θ ) = Alrl Pl (cosθ ). l=0
• 由于球心处的值应当有限，故上式的第二项需舍 弃。
• 需要根据边界条件来确定系数Aℓ的值，有
• （二）正交关系（对所有的m和ℓ ）
∫∫ ∫ ∫ Ylm (θ ,ϕ)[Ykn (θ ,ϕ)]* sinθdθdϕ =
π 0
Pl m
(cosθ
) Pkn
(cosθ
)
sin
θdθ
2π eimϕ e−inϕ dϕ
0
= (Nlm )2δ klδ mn.
(
N
m l
)2
=
4π (l+ | m |)! .
(2l +1)(l− | m |)!
这个方程可以直接用级数解法进行求解。
• 还可以有更为简洁的办法，因为上述方程就是对勒让德方 程(1-x2)yP’’-2xP’+ ℓ(ℓ+1)P=0逐项求导m次得到的方程， 即： (1-x2) P[m]’’-2(m+1)x P[m]’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)] P[m]=0.
• 因此其解就是y(x)=Pℓ[m](x). 对应的本征值ℓ(ℓ+1)完全一样。 • 于是连带勒让德方程的解为 Pℓm(x)=(1-x2)m/2Pℓ[m](x).
• 例2. 以勒让德多项式为基，在[-1,1]上把f(x)=|x|展 开为广义傅里叶级数。p282
∑ |
x
|=
1 2
P0
(x)
+
∞ n=1
(−1)n+1
(4n +1)(2n −1)!! (2n −1)(2n + 2)!!P2n
( x).
• （五）拉普拉斯方程的轴对称定解问题
• 例3. 在球r=r0的内部求解Δu=0使满足边界条件 u|r=r0=cos2θ. p284
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
+ 1)Y
= 0.
• 其解Y(θφ)称作球（谐）函数。进一步分离变量： Y(θφ)=(Acosmφ+Bsinmφ)Θ(θ)， Θ(θ)满足 连带勒让德方程：(x=cosθ)
dz,
• 其中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。
• （二）连带勒让德函数的正交关系（m相同！）
∫ P +1 m −1 l
( x) Pkm
(
x)dx
=
(
N
m l
)2δ
kl
,
∫π 0
Plm (cosθ )Pkm (cosθ ) sinθdθ
=
(
N
m l
)
2
δ
kl
.
(Nlm )2 =
2(l + m)! . (2l +1)(l − m)!
∞
∑ f (θ ) = fl Plm (cosθ ), l=0
∫ fl
=
2l +1 (l − m)! 2 (l + m)!
π 0
f (θ )Plm (cosθ ) sinθdθ.
• *（四）连带勒让德函数的递推公式：p307
– 对勒让德函数的递推关系球m次导数！
§10.3 球谐函数
• （一） ℓ阶球谐函数
+ Bl / rl+1)Pl (cosθ ).
θr M φ
⇒ Bl = 0.
• 为了求系数Aℓ，可以直接令θ=0，有
勒让德多项 式的母函数
∑ 1
1− r
=
∞ l =0
Al r l
== 1+ r
+ r2
+L+ rl
+L
→ Al = 1. (l = 0,1,2,L)
⇓
∑ 1
1− 2r cosθ + r 2
• 解题说明：由于勒让德多项式是定义在整个球形区域，故 需要对本问题进行偶延拓，即把边界条件补充定义成x的 偶函数。
• *例5. 匀强静电场中的介质球。（课堂练习） p287
• （六）母函数
4πε0
• 球内M点的静电势为：
d
∑ 1 =
d
1
1− 2r cosθ + r 2
≡
∞
( Al r l
l =0
• （四）广义傅里叶级数
• 根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质，勒让德多 项式Pℓ(x)是完备的，因此可以作为广义傅里叶级 数的基，把定义在区间[-1,1]上的函数展开：
∞
∑ f (x) = fl Pl (x), l=0
∫ fl
=
2l +1 2
+1
−1 f (x)Pl (x)dx,
或
∞
∑ f (θ ) = fl Pl (cosθ ), l=0
• （三）球面上的函数的广义傅里叶级数 • 以（1）为基展开函数f(θ,φ)，分两步进行：
∞
f (θ ,ϕ) = ∑[ Am (θ ) cos mϕ + Bm (θ ) sin mϕ]. m=0
∫ ⎧
⎪⎪ ⎨
Am
(θ
)
=
1
πδ m
2π f (θ ,ϕ) cos mϕdϕ
0
.
∫ ⎪⎪⎩Bm
(θ
)
=
1
=
∞
rl Pl (cosθ ).
l=0
(r < 1)
• 为什么叫母函数？
• *例6. 在点电荷4πε0q的电场中放置半径为a的接地导体 球，球心距点电荷为r1 (r1>a)，求解这个静电场。p291
• （七）勒让德多项式的递推公式
(k +1)Pk+1(x) − (2k +1)xPk (x) + kPk−1(x) = 0,
xl−2k . 2k )!
• [ℓ/2]表示不超过ℓ/2的最大整数。
• 前几个勒让德多项式的曲线见p276:
P0 (x) = 1
P1(x) = x = cosθ
P2 (x)
=
1 2
(3x 2
−1)
=
1 4
(3 cos
2θ
+ 1)
P3
(x)
=
1 2
(5x3
−
3x)
=
1 8
(5cos 3θ
+
3 cos θ
(1
−
x
2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
1
m2 − x2
]Θ
=
0.
§10.1 轴对称球函数
• （一）勒让德多项式：
m=0，则Φ(φ)=常数，拉普拉斯方程的角向部分简化为
勒让德方程：
(1− x2 ) d 2Θ − 2x dΘ + l(l +1)Θ = 0.
dx 2
dx
• 其中x=cosθ.
• B. 微分表示：罗德里格斯公式
Plm (x)
=
(1
−
x2
)−
m 2
2l l!
d l+m dx l + m
(x2 −1)l
=
(−1)m
(l (l
+ −
m)! m)!
Pl−m
( x).
• *C. 积分表示：施列夫利积分
∫ Plm (x) =
(1
−
x
2