2020年中考数学热点冲刺4 实际应用问题(江苏版)
江苏2020年中考数学必刷试卷04(含解析)
必刷卷04-中考数学必刷试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.计算|−6−2|的结果是()A. −8B. 8C. −4D. 4【答案】B【解析】解：|−6−2|=|−8|=8故选：B．2.下列运算中，正确的是()A. 3x3⋅2x2=6x6B. (−x2x)2=x4xC. (2x2)3=6x6D. x5÷1x=2x42【答案】D【解析】解：A、3x3⋅2x2=6x5，故选项错误；B、(−x2x)2=x4x2，故选项错误；C、(2x2)3=8x6，故选项错误；x=2x4，故选项正确．D、x5÷12故选：D．3.十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为()A. 8×1012B. 8×1013C. 8×1014D. 0.8×1013【答案】B【解析】80万亿=80000000000000， 80000000000000用科学记数法表示为8×1013，∴80万亿用科学记数法表示为故选B．4.−√17+1的小数部分是()A. −√17+5B. −√17+4C. −√17−3D. √17−4【答案】A【解析】∵4<√17<5，∴−√17的整数部分是−5，∴−√17+1的整数是−5+1=−4，∴小数部分是−√17+1+4=−√17+5故选A．5.如图所示的工件的主视图是()A. B.C. D.【答案】B【解析】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B．6.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段x′x′，那么x(−2,5)的对应点x′的坐标是()A. (2,5)B. (5,2)C. (2,−5)D. (5,−2)【答案】B【解析】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段x′x′，∴△xxx≌△x′x′x′，∠xxx′=90°，∴xx=x′x．作xx⊥x轴于C，x′x′⊥x轴于x′，∴∠xxx=∠x′x′x=90°．∵∠xxx′=90°，∴∠xxx′−∠xxx′=∠xxx′−∠xxx′，∴∠xxx=∠x′xx′．在△xxx和△x′x′x中，{∠xxx=∠x′x′x ∠xxx=∠x′xx′xx=x′x，∴△xxx≌△x′x′x(xxx)，∴xx=x′x′，xx=x′x．∵x(−2,5)，∴xx=2，xx=5，∴x′x′=2，xx′=5，∴x′(5,2)．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7.某学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了如图所示的条形统计图，则30名学生参加活动的次数的中位数是______次．【答案】2【解析】解：这组数据按顺序排列后中位数为：2．故答案为：2．8.若式子√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．【答案】x>−2【解析】解：由题意得，x+2>0，解得，x>−2，故答案为x>−2．9.计算：√27⋅√83÷√12=______．【答案】12【解析】解：√27⋅√83÷√12=3√3×√83÷√12=3√3×83×2=12．故答案为：12．10.分解因式：x3−16x=______．【答案】x(x+4)(x−4)【解析】解：x3−16x=x(x2−16)=x(x+4)(x−4)．11.若实数m、n满足|x−2|+√x−4=0，且m，n恰好是等腰△xxx的两条边的边长，则△xxx的周长是______．【答案】10【解析】解：∵|x−2|+√x−4=0，∴x−2=0，x−4=0，解得x=2，x=4，当x=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当x=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故答案为：10．12.设x1，x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值是______ ．【答案】32．【解析】解：∵一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根是x1、x2，∴x1+x2=3，x1⋅x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=32．故答案为：32．13.若关于x的一元二次方程(x−1)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】x>0且x≠1【解析】解：∵原方程是关于x得一元二次方程，∴x−1≠0解得：x≠1，又∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=4+4(x−1)>0，解得：x>0，即k得取值范围是：x>0且x≠1，故答案为：x>0且x≠1．14.若直线x =−3x +x 与双曲线x =2x 在1≤x ≤4范围内有公共点，则b 的取值范围是______． 【答案】5≤x ≤252【解析】解：把x =1和x =4分别代入x =2x 得，x =2和x =12，把当x =1，x =2和当x =4，x =12代入x =−3x +x 得到x =5和x =252所以直线x =−3x +x 与双曲线x =2x 在1≤x ≤4范围内有公共点，则b 的取值范围是：5≤x ≤252， 故答案为5≤x ≤252．15.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，则xx ⏜的长为______． 【答案】815x【解析】解：连接CF ，DF ，则△xxx 是等边三角形，∴∠xxx =60°，∵在正五边形ABCDE 中，∠xxx =108°， ∴∠xxx =48°， ∴xx ⏜的长=48⋅x ×2180=815x ，故答案为：815x .16.如图，边长为1的正方形ABCD 在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了______°，点A 在滚动过程中到出发点的最大距离是______． 【答案】150 √3+√2【解析】解：如图，点A 的运动轨迹是图中红线．延长AE 交红线于H ，线段AH 的长，即为点A 在滚动过程中到出发点的最大距离．易知xx =xx 2=√12+12=√2，在△xxx 中，∵xx =xx =1，∠xxx =120°，∴xx =√3，∴xx =xx +xx =√3+√2．∴点A 在滚动过程中到出发点的最大距离为√3+√2． 故答案为：150，√3+√2三、解答题（本大题共11小题，共88分）17.（1）解方程：4xx2−4−2x−2=1−1x+2．【答案】解：去分母得：4x−2x−4=x2−4−x+2，即x2−3x+2=0，解得：x=1或x=2，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=1．（2）解不等式组{3(x−2)+4<5x 1−x4+x≥2x−1．【答案】解：{3(x−2)+4<5x ①1−x4+x≥2x−1 ②，由①得：x>−1；由②得：x≤1；∴不等式组的解集是−1<x≤1．18.已知x2+x−6=0，求(x−1x2−4x+4+2+x2x−x2)÷4−x2x−12−x的值【答案】解：x=2或x=−3；原式=(x(x−1)x(2−x)2+(2−x)(2+x)x(2−x)2)÷4−x2x−12−x=4−xx(2−x)2⋅2x4−x−12−x=2(2−x)2−2−x(2−x)2=x(x−2)2；当x=2时，原式中分母为零，所以x=2舍去；当x=−3时，原式=−325．19.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______；(2)将条形统计图补充完整；(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．【答案】(1)100；108°；(2)喜欢用短信的人数为：100×5%=5人，喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5=40，补充图形，如图所示：(3)喜欢用微信沟通所占百分比为：40100×100%=40%，∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人，(4)列出树状图，如图所示：所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：39=13．20.一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天．三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，请问甲请了几天假？【答案】解：设甲请了x天假，由题意知，6(115+120)+6−x10=1．解得x=3．答：甲请了3天假．21.从不同角度谈谈你对等式x(x+4)=5的理解．【答案】解：①方程：一元二次方程x2+4x−5=0，两根分别为x1=1，x2=−5；或分式方程x+4−5x=0，两根分别为x1=1，x2=−5；②函数：二次函数x=x2+4x与直线x=5的交点，或一次函数x=x+4与反比例函数x=5的交点；x③图形：边长为x和x+4，面积为5的矩形．22.甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 771.2乙7 b 8 c(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？=7(环)，【答案】解：(1)甲的平均成绩x=5×1+6×2+7×4+8×2+9×11+2+4+2+1∵乙射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，=7.5(环)，∴乙射击成绩的中位数x=7+82×[(3−7)2+(4−7)2+(6−7)2+2×(7−7)2+3×(8−7)2+(9−7)2+(10−其方差x=110×(16+9+1+3+4+9)=4.2；7)2]=110(2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．23.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．(1)求证：xx=xx；(2)若xx=2xx，∠xxx=110°，求∠xxx的度数．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴xx=xx，xx//xx，∴∠xxx=∠x，∠xxx+∠xxx=180°，∵x为AD的中点，∴xx=xx．在△xxx 和△xxx 中，{∠xxx =∠x∠xxx =∠xxx xx =xx，∴△xxx ≌△xxx (xxx )．∴xx =xx ．∴xx =xx ；(2)解：由(1)可知xx =2xx ，xx =xx ， ∵∠xxx =110°，∴∠xxx =180°−110°=70°， ∵xx =2xx ， ∴xx =xx ，∴xx 平分∠xxx ，∴∠xxx =12∠xxx =12×70°=35°．24.如图，一幢居民楼OC 临近山坡AP ，山坡AP 的坡度为x =1：√3，小亮在距山坡坡脚A 处测得楼顶C 的仰角为60°，当从A 处沿坡面行走10米到达P 处时，测得楼顶C 的仰角刚好为45°，点O ，A ，B 在同一直线上，求该居民楼的高度．(结果保留整数，√3≈1.73)【答案】解：如图，过点P 作xx ⊥xx 于点E ，xx ⊥xx 于点F ，∵山坡AP 的坡度为x =1：√3，xx =10， ∴可设xx =x ，则xx =√3x .在xx △xxx 中，x 2+(√3x )2=102， 解得x =5或x =−5(舍去)， ∴xx =5，则xx =5√3． ∵∠xxx =∠xxx =45°， ∴xx =xx ．设xx =xx =x 米，则xx =(x +5)米，xx =(x −5√3)米． 在xx △xxx 中，xxx60°=xxxx =x −5√3， 即x −5√3=√3，解得x =10(√3+1)，∴xx =10(√3+1)+5≈32(米)． 答：该居民楼的高度约为32米．25.已知，AB 是⊙x 的直径，点C 在⊙x 上，点P 是AB 延长线上一点，连接CP ．(1)如图1，若∠xxx =∠x ． ①求证：直线PC 是⊙x 的切线；②若xx =xx ，xx =2，求CP 的长；(2)如图2，若点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，xx ⋅xx =9，求BM 的值．【答案】(1)①证明：如图1中，∵xx=xx，∴∠x=∠xxx，∵∠xxx=∠x，∴∠xxx=∠xxx，∵xx是⊙x的直径，∴∠xxx+∠xxx=90°，∴∠xxx+∠xxx=90°，即xx⊥xx，∵xx是⊙x的半径，∴xx是⊙x的切线．②∵xx=xx，∴∠x=∠x，∴∠xxx=2∠x=2∠x，∵∠xxx=90°，∴∠x=30°，∵xx=xx=2，∴xx=2xx=4，∴xx=√42−22=2√3．(2)解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴xx⏜=xx⏜，∴∠xxx=∠xxx，∵∠xxx=∠xxx，∴△xxx∽△xxx，∴xxxx =xxxx，∴xx2=xx⋅xx，∵xx⋅xx=9，∴xx=3，∴xx=xx=3．26.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本x1(单位：元)、销售价x2(单位：元)与产量x(单位：xx)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的x1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的x 1与x 之间的函数关系式为x 1=x 1x +x 1， ∵x 1=x 1x +x 1的图象过点(0,60)与(90,42)， ∴{x 1=6090x 1+x 1=42，∴{x 1=−0.2x 1=60，∴这个一次函数的表达式为；x 1=−0.2x +60(0≤x ≤90)；(3)设x 2与x 之间的函数关系式为x =x 2x +x 2， ∵经过点(0,120)与(130,42)， ∴{x 2=120130x 2+x 2=42，解得：{x 2=−0.6x 2=120，∴这个一次函数的表达式为x 2=−0.6x +120(0≤x ≤130)， 设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，当0≤x ≤90时，x =x [(−0.6x +120)−(−0.2x +60)]=−0.4(x −75)2+2250， ∴当x =75时，W 的值最大，最大值为2250；当90≤x ≤130时，x =x [(−0.6x +120)−42]=−0.6(x −65)2+2535，由−0.6<0知，当x >65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，x ≤2160， ∴当x =90时，x =−0.6(90−65)2+2535=2160，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．27.如图，已知矩形ABCD 中，xx =4，动点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点E ，设点P 的运动时间为x (x )．(1)若xx =6，P 仅在边AD 运动，求当P ，E ，C 三点在同一直线上时对应的t 的值．(2)在动点P 在射线AD 上运动的过程中，求使点E 到直线BC 的距离等于3时对应的t 的值．【答案】解：(1)设xx=x，则xx=6−x，如图1所示：∵点A、E关于直线BP对称，∴∠xxx=∠xxx，∵xx//xx，∴∠xxx=∠xxx，∵x、E、C共线，∴∠xxx=∠xxx，∴xx=xx=xx=6，在xx△xxx中，xx2+xx2=xx2，即：42+(6−x)2=62，解得：x=6−2√5或6+2√5(不合题意舍去)，∴x=(6−2√5)x时，P、E、C共线；(2)①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作xx⊥xx于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2所示：则xx=3，xx=1，xx=xx=4，四边形ABMN是矩形，在xx△xxx中，xx=xx=√xx2−xx2=√42−32=√7，∵点A、E关于直线BP对称，∴∠xxx=∠xxx=90°，∵∠xxx=∠xxx=∠xxx=90°，∴∠xxx=∠xxx，∴△xxx∽△xxx，∴xxxx =xxxx，即√71=3xx，∴xx=3√77，∴x=xx=xx−xx=√7−3√77=4√77；②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作xx⊥xx的延长线于H，如图3所示：则xx=3，xx=xx=4，xx=xx+xx=7，在xx△xxx中，xx=√xx2−xx2=√42−32=√7，∵∠xxx=∠xxx=90°，xx⊥xx，∴∠xxx+∠xxx=∠xxx+∠xxx=90°，∴∠xxx=∠xxx，∴△xxx∽△xxx，∴xxxx =xxxx，即7xx=√74，解得：x=xx=4√7，综上所述，x=4√7或4√7．7。
2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》(四)
三轮冲刺：《三角形综合》（四）1．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．2．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D，E分别是AB，AC的中点，过点B作直线DE的垂线段BM，垂足为M，点F是直线ED上一动点，作Rt△BFG，使∠BFG ＝90°，∠FGB＝30°，连接GD．【观察猜想】如图（2），当点F与点D重合时，则的值为．【问题探究】如图（1），当点F与点D不重合时，请求出的值及两直线GD、ED夹角锐角的度数，并说明理由．【问题解决】如图（3），当点F、G、A在同一直线上时，请直接写出的值．4．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的高与中线．（1）如图1，求证：AE＝AD；（2）如图2，点F在AD的延长线上，连接BF，CF，若BE＝CF，求证：∠AEB＝∠AFB；（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作BF的平行线交CF于点G，若FG＝6，求BE 的长．5．如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边BC上的高线．（1）求证：AD2＝BD⋅CD；（2）如图2，过A分别作∠BAD，∠DAC的角平分线，交BC于E，M两点，过E作AE的垂线，交AM于F．①当tan C＝时，求的值；②如图3，过C作AF的垂线CG，过G点作GN∥AD交AC于M点，连接MN．若∠EAD＝15°，AB＝1，直接写出MN的长度．6．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE ∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．8．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上9．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．10．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC＝，∠EFA＝∠AFC＝90°，∴EF＝＝＝2，CF＝＝＝，∴EC＝BD＝3，∴BE＝＝＝．（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM＝m，BM＝＝m，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴△ACD≌△MCB（SAS），∴AD＝BM＝m，∴＝＝．2．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．3．解：【观察猜想】如图（2）中，结论：当点F与点D重合时，则的值为2．理由：设BM＝a．∵AE＝EC，AD＝DB，∴DE∥BC，∴∠BDM＝∠ABC＝30°，∵BM⊥EM，∴∠BMD＝90°，∴BD＝2BM＝2a，DM＝BM＝a，在Rt△GDB中，∵∠GDB＝90°，∠G＝30°，∴GD＝BD＝2a，∴＝＝2．故答案为2．【问题探究】如图（1）中，结论：的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．理由：延长GD交BF的延长线于P．在Rt△BDM中，设BM＝a，则BD＝2a，DM＝a，在Rt△BGF中，设BF＝b，则BG＝2b，FG＝，在△BGD与△BFM中，∵BG：BF＝2b：b＝2a：a＝BF：BM，∠DBG＝60°﹣∠FBD＝∠FBM，∴△BGD∽△BFM，∴DG：FM＝BD：BM＝2a：a＝2：1，即的值为2，∵△BGD∽△BFM，∴∠PFD＝∠MFB＝∠BGD，则在△PDF与△PBG中，∠PDF＝∠PBG＝60°．故的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．【问题解决】结论：的值为4+或4﹣．如图（3）﹣1中，当点G在线段AF上时，∵△BDG∽△BMF，∴∠BDG＝∠BMF＝90°，∴GD⊥AB，∵AD＝BD，∴GD垂直平分线段AB，∴GA＝GB，设BF＝x，则BG＝2x＝AG，FG＝，∴BG：AF＝2x：＝4﹣．如图（3）﹣2中，当点G在线段AF的延长线上时，设BF＝x，同法可得：BG＝AG＝2x，GF＝x，∴AF＝2x﹣x，∴BG：AF＝2x：（2x﹣x）＝4+．∴的值为4+或4﹣．4．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝AC，∵BE是△ABC的中线，∴AE＝EC＝AC，∴AD＝AE．（2）证明：如图2中，作BP⊥CA交CA的延长线于P．∵∠P＝90°，∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝CD，∵∠FDC＝∠P＝90°，BE＝CF，BP＝CD，∴Rt△BPE≌Rt△CDF（HL），∴∠BEP＝∠CFD，∵DF⊥BC，CD＝DB，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD，∴∠AEB＝∠AFB．（3）解：如图3中，设AG交BE于H，交BC于M，作CN∥AD交AM的延长线于G．∵AG∥BF，∴∠GAF＝∠AFB，∵∠FAB＝∠AFC，∴∠GAF＝∠AFG，∴GA＝GF＝6，∵CN∥AF，∴∠N＝∠FAG，∠GCN＝∠AFG，∴∠N＝∠GCN，∴CG＝GN，∴CF＝AN＝BE，∵∠ACB＝30°，∠DCN＝90°，∴∠BAE＝∠ACN＝120°，∵∠AEB＝∠AFC＝∠N，∴△BAE≌△ACN（AAS），∴AE＝CN＝AD，∵∠ADM＝∠MCN＝90°，AMD＝∠CMN，∴△ADM≌△NCM（AAS），∴AM＝MN，∵∠N+∠NMG＝90∠NCG+∠MCG＝90°，∴∠GMC＝∠GCM，∴CG＝GM＝GN，∴AG＝3GN＝6，∴CG＝GN＝2，∴BE＝CF＝FG+CG＝6+2＝8．5．（1）证明：如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△ACD，∴＝，∴AD2＝BD•CD．（2）①解：如图2中，作EH⊥AB于H，MG⊥AC于G．∵AD⊥BC，∴∠tan C＝＝，∴可以假设AD＝3k，CD＝4k，则AC＝5k，BD＝k，AB＝k，∵MA平分∠CAD，MD⊥AD，MG⊥AC，∴DM＝MG，∵∠ADM＝∠AGM＝90°，AM＝AM，∴Rt△MAD≌Rt△MAG（HL）∴AD＝AG＝3k，设MD＝MG＝x，则CG＝2k，CM＝4k﹣x，在Rt△CMG中，∵CM2＝MG2+CG2，∴（4k﹣x）2＝x2+（2k）2，∴x＝k，∴DM＝k，同法可得DE＝k，∴＝＝．②如图3中，∵AE平分∠BAD，∠EAD＝15°，∴∠BAD＝30°，∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，∵MA平分∠CAD，∴∠MAC＝∠MAD＝30°，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMB＝∠MAC+∠MCA＝60°＝∠B＝∠BAM，∴MA＝MC，△ABM是等边三角形，∴AM＝BM，∵GN∥AD，∴∠GNC＝∠DAC＝60°，∵CG⊥AG，∴∠AGC＝90°，∴∠ACG＝60°＝∠CNG，∴△CGN是等边三角形，∴NC＝CG，∵AC＝2CG，∴AN＝CN，∵BM＝MC，∴MN＝AB＝．6．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．7．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵PD⊥AC，∴cos A＝＝，∴＝，∴AD＝4t，故答案为4t．（2）如图2中，当点E落在BC上时，∵DE∥AB，PE∥AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∴＝，∴＝，解得t＝1，∴当点E落在BC边上时，t的值为1．（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，∵PE∥AD，∴∠DPE＝∠ADP＝90°，∵DE＝5t，PE＝4t，∴PD＝3t，∴S＝•PD•PE＝×3t×4t＝6t2．②如图3中，当1＜t≤2时，S＝•（MN+PD）•PN＝[3t+3t﹣（10﹣5t）]•（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝．②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，综上所述，满足条件的t的值为或或1．8．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．9．提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∵．∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD＝BC．综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．由（2）得，AD＝BC＝BE＝1．在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°．由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，∴EF＝BE＝1．在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CFB．∴＝，令CE＝x，∴1＝x（x+1）．解得，x＝，∴CF＝．由∠FBC＝∠C，∴BF＝CF．又AF＝BF，∴AC＝2CF＝+1．10．解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：延长FA交BE于H，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACD＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝∠ACF＝135°，又∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠EBA＝∠FAC，∵∠BAF＝∠ABE+∠BHA＝∠BAC+∠CAF，∴∠BAC＝∠BHA＝90°，∴BE⊥AF；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BC，∵四边形ABCE恰为平行四边形，∴AE＝BC＝2AD，AE∥BC，∴∠EAD＝∠ADB＝90°，∴DE＝＝＝AD；（3）如图3，连接BE，过点E作EH⊥AB于H，DN⊥AB于N，由图1可得：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，AD⊥CD，又∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°由图3可得：∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，又∵AD＝BD，DE＝DF，∴△ADF ≌△BDE （SAS ）， ∴BE ＝AF ，∠DFE ＝∠BED ＝45°， ∴∠AEB ＝90°， ∵AE ：AF ＝3：4，∴设AE ＝3a ，AF ＝BE ＝4a ， ∴AB ＝＝＝5a ，∵AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，DN ⊥AB ， ∴DN ＝BN ＝AN ＝a ，∵S △ABE ＝AE ×BE ＝AB ×EH ， ∴EH ＝＝a ，∴AH ＝＝a ，∵∠BED ＝∠AED ＝45°， ∴， ∴BG ＝，AG ＝，∴GH ＝a ，GN ＝a ，∴EG ＝＝a ，DG ＝＝a ，∴＝＝．1、在最软入的时候，你会想起谁。
【2020年中考超凡押题】江苏省苏州市2020年中考数学真题试题(含答案)
2020年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数 学注意事项：1．本试卷共21题，满分130分，考试用时150分钟；2．答题前，考生务必将由己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置上，井认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符合；3．答选择题须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；4.考生答题,必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上无效。
一、选择题：本大题目共10小题．每小题3分．共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 23的倒数是 A. 32 B. 32- C. 23 D. 23- 2.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007㎜，将0.0007用科学记数法科表示为（）A. 30.710-⨯B. 3710-⨯C. 4710-⨯D. 5710-⨯3.下列运算结果正确的是A. 23a b ab +=B. 22321a a -=C. 248a a a ⋅=D. 2332()()a b a b b -÷=- 4.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第14组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是A.0.1B.0.2C.0.3D.0.45.如图，直线//a b ,直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 做直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1=58°，则∠2的度数为A.58°B.42°C.32°D.28°6.已知点1(2,)A y 、2(4,)B y 都是反比例函数(0)k y k x=<的图像上，则1y 、2y 的大小关系为A. 12y y >B. 12y y <C. 12y y =D.无法比较7.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从20201月1日起对居民生活用水按照新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究性学习小组的同学们用水量（吨）15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5则这30户家庭该月应水量的众数和中位数分别是A.25 ，27.5B.25，25C.30 ，27.5D. 30 ，258.如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60度，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°免责调整后的楼梯AC 的长为 A. 23m B. 26m C. (232)m - D. (262)m -9.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3,4），点D 是OA 的中的，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为A. (3,1)B. 4(3,)3 C. 5(3,)3D. (3,2)10.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=22E 、F 分别是AD 、CD 的中点，连接BE 、BF 、EF.若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为A.2B. 94C. 52D.3 二、填空题：本文题共8小题．每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 12.分解因式：21x -=_________13.当x =________时，分式225x x -+的值为0. 13.要从甲、乙两名运动员中选出一鸣参加“2020里约奥运会”100m 比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05(s),甲的方差为0.024（2s ）,乙的方差为0.008（2s ），则这10次测试成绩比较稳定的是_________运动员。
2020年中考数学必考经典题(江苏版)专题05不等式(组)的解法与应用问题
2020年中考数学必考经典题（江苏版）专题05 不等式（组）的解法与应用问题【方法指导】1.不等式性质：不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．4. 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．5.不等式（组）的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【题型剖析】【类型1】不等式的性质【例1】（2019•昆山市二模）若x y<，则下列结论正确的是()A．1133x y->-B．22x y>C．11x y->-D．22x y<【变式1-1】（2019•滨湖区一模）若m n>，则下列各式中一定成立的是()A．22m n->-B．55m n-<-C．22m n->-D．44m n<【变式1-2】（2019•无锡模拟）下列不等式变形正确的是()A．由a b>，得22a b-<-B．由a b>，得||||a b>C．由a b>，得22a b-<-D．由a b>，得22a b>【变式1-3】（2018•无锡模拟）已知实数a、b，若a b>，则下列结论正确的是() A．55a b-<-B．22a b+<+C．33a b->-D．33a b>【类型2】解一元一次不等式（组）【例2】（2019•建湖县二模）解不等式221123x x+-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【变式2-1】（2019•扬州一模）解不等式：122123x x-+-．【变式2-2】（2019•姑苏区校级二模）解不等式组3811223x xx x-<⎧⎪++⎨⎪⎩【变式2-3】（2019•玄武区二模）如图，在数轴上点A、B、C分别表示1-、23x-+、1x+，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧．（1）求x的取值范围；（2）当2AB BC=时，x的值为．【类型3】：不等式（组）的整数解【例3】（2019•天宁区校级二模）已知关于x的不等式组521xx a--⎧⎨->⎩有3个整数解，则a的取值范围是．【变式3-1】（2019•建邺区校级二模）若关于x的不等式组21312xx m+⎧+>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是7-，则m的取值范围是．【变式3-2】（2019•南召县二模）已知关于x的不等式组321x ax-⎧⎨--⎩的整数解共有5个，则a的取值范围是．【变式3-3】（2018•海门市模拟）关于x的不等式组10x mx-<⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则实数m的取值范围为【类型4】：不等式的应用【例4】（2019•姑苏区校级二模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，若要保证获利不低于1000元，则甲商品最多能购进多少件？【变式4-1】（2019•高邮市二模）某校举办园博会知识竞赛，打算购买A、B两种奖品．如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元．（1）A，B两种奖品每件各多少元？（2）若购买A、B奖品共100件，总费用不超过600元，则A奖品最多购买多少件？【变式4-2】（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：品名价格甲种口罩乙种口罩进价（元/袋）2025售价（元/袋）2635（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？【类型5】：不等式组的应用【例5】（2019•昆山市二模）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．【变式5-1】（2019•常熟市二模）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？【变式5-2】（2019•太仓市模拟）某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【变式5-3】（2018•海州区一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值．（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【达标检测】一．选择题（共8小题）1．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）2．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．74．（2018•无锡）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜95．（2018•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．D．a2＜b26．（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤27．（2019•西藏）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人8．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）9．（2019•淮安）不等式组的解集是．10．（2019•泰州）不等式组的解集为．11．（2018•扬州）不等式组的解集为．12．（2019•丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为．13．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．（2019•玉林）设01，则m，则m的取值范围是．三．解答题（共8小题）15．（2019•南通）解不等式x＞1，并在数轴上表示解集．16．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．18．（2019•盐城）解不等式组：19．（2018•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场．商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？20．（2018•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？22．（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？。
中考数学冲刺全真模拟卷及答题解析(江苏苏州专用)
中考数学冲刺全真模拟卷及答题解析（江苏苏州专用）试卷满分：130分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•香坊区期末）下列实数中是无理数的是（）A．2B．√2C．3.1D．03【解答】解：A、2是分数，属于有理数，故本选项不合题意；3B、√2是无理数，故本选项符合题意；C、3.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；D、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：B．2．（2019•温州二模）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．a•a＝2a C．3a﹣2a＝1D．a+a＝2a【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故原题计算错误；B、a•a＝a2，故原题计算错误；C、3a﹣2a＝a，故原题计算错误；D、a+a＝2a，故原题计算正确；故选：D．3．（2020秋•五常市期末）如图所示左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面一层有2个正方形．故选：D．4．（2020秋•河东区期末）将0.000617用科学记数法表示，正确的是（）A ．6.17×10﹣6B ．6.17×10﹣4C ．6.17×10﹣5D ．6.17×10﹣2【解答】解：0.000617＝6.17×10﹣4． 故选：B ．5．（2020秋•柳州期末）“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数”这个事件是（ ） A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．确定事件【解答】解：“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是偶数，有可能是奇数”， ∴“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数”是随机事件； 故选：C ．6．（2020•高台县一模）不解方程，判别方程2x 2﹣3√2x ＝3的根的情况（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．有一个实数根D ．无实数根【解答】解：方程整理得2x 2﹣3√2x ﹣3＝0， ∵△＝（﹣3√2）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B ．7．（2020•黄石）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点，若EF +CH ＝8，则CH 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点H ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点， ∴EF =12AB ，CH =12AB ，∴EF ＝CH ， ∵EF +CH ＝8， ∴CH ＝EF =12×8＝4， 故选：B ．8．（2020•卧龙区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点F ，若BE ＝6，AB ＝5，则AF 的长为（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：∵AF平分∠BAD，AD∥BC，∴∠BAF＝∠DAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∵AE＝AB，AH＝AH，∴△ABH≌△AEH，∴∠AHB＝∠AHE＝90°，∠ABH＝∠AEH＝∠FBH，BH＝HE＝3，∴Rt△ABH中，AH=2−BH2=4，∴AF＝2AH＝8，故选：C．9．（2019•安徽模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y=b的图象交于点P，点P的纵坐x−b)x+c的图象可能是（）标为2，则一次函数y=(−2baA．B．C．D．【解答】解：如图可知，a＜0，b＜0，c＞0，∵点P的纵坐标为2，∴c＜2，设P点横坐标m，∴2m＝b，2＝am2+bm+c，∴8﹣4c＝（a+2）b2，∴a＞﹣2，∴−2ba −b=−2b+aba=−b(a+2)a＜0，∴y=(−2ba−b)x+c的图象经过第一、二、四象限；故选：C．10．（2019秋•花都区期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则∠ABC'的度数是（）A．45°B．30°C．20°D．15°【解答】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A，∴△ABB′为等边三角形，∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B；在△ABC ′与△B ′BC ′中， {AC ′=B ′C ′AB =B′B BC′=BC′， ∴△ABC ′≌△B ′BC ′（SSS ）， ∴∠MBB ′＝∠MBA ＝30°， 即∠ABC '＝30°； 故选：B ．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．（2020春•江夏区校级月考）若一组数据1，2，x ，4，5，6的唯一众数是2，则这组数据的中位数为 3 ．【解答】解：∵一组数据1，2，x ，4，5，6的唯一众数是2， ∴x ＝2，∴这组数据的中位数是（2+4）÷2＝3； 故答案为：3．12．（2020•徐州）若√x −3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥3 ． 【解答】解：根据题意得x ﹣3≥0， 解得x ≥3． 故答案为：x ≥3．13．（2020秋•河东区期末）已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正 十二 边形．【解答】解：外角是：180°﹣150°＝30°， 360°÷30°＝12．则这个正多边形是正十二边形． 故答案为：十二．14．（2020•唐山二模）若a +b ＝﹣1，ab ＝﹣6，则代数式a 3b +2a 2b 2+ab 3的值为 ﹣6 ． 【解答】解：∵a +b ＝﹣1，ab ＝﹣6， ∴a 3b +2a 2b 2+ab 3 ＝ab （a 2+2ab +b 2） ＝ab （a +b ）2 ＝（﹣6）×（﹣1）2 ＝（﹣6）×1＝﹣6， 故答案为：﹣6．15．（2020•徐州一模）如图，小明在地上画了两个半径分别为2m 和3m 的同心圆．然后在一定距离外向圆内投掷小石子．若未投掷入大圆内则需重新投掷．则小明掷中白色部分的概率为 49 ．【解答】解：∵同心圆的两个半径分别为2m 和3m ， ∵小明掷中白色部分的概率=π×22π×32=49． 故答案为49，16．（2020•吴忠一模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为 45 ．【解答】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝90°，由勾股定理得： AC =√32+42=5， ∴sin ∠BAC =CD AC=45．故答案为：45．17．（2020•盐城模拟）如图，P A 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，点C 是优弧AB 上一点，连接AC 、BC ，如果∠P ＝∠C ，⊙O 的半径为1，则劣弧AB 的长为 π3 ．【解答】解：∵P A切⊙O于点A，∴P A⊥OA，∴∠OAP＝90°，∵∠AOP＝2∠C，∠P＝∠C，∴∠AOP＝2∠P，∵∠AOP+∠P＝90°，∴∠P＝30°，∠AOP＝60°，∴劣弧AB的长为60π×1180=π3；故答案为：π3．18．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，EF⊥AC，交AB、CD于E、F，则AF+CE的最小值是5．【解答】解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG═EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG ∥EF ，且CG ═EF ， ∴四边形CEFG 是平行四边形； ∴EC ∥FG ，EC ═FG ， 又∵点A 、F 、G 三点共线， ∴AF ∥EC ，又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AE ∥DC ，∠D ＝90°， ∴四边形AECF 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OE ＝OF ， 又∵EF ⊥AC ， AF ＝CF ＝4﹣x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得： AD 2+DF 2＝AF 2，又∵AD ＝2，DF ＝x ，则FC ＝4﹣x ， ∴22+x 2＝（4﹣x ）2， 解得：x =32，∴AF =52，在Rt △ADC 中，由勾股定理得： AD 2+DC 2＝AC 2， ∴AC =2√5， ∴AO =√5， 又∵OF ∥CG ， ∴△AOF ∽△ACG ， ∴AO AC =AFAG ， ∴AG ＝5，又∵AG ＝AF +FG ，FG ＝EC ， ∴AF +EC ＝5， 故答案为5．三、解答题：本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 19．（2020•达州）计算：﹣22+（13）﹣2+（π−√5）0+√−1253．【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5 ＝1．20．（2020•漳州模拟）解不等式组：{4(x +1)≤7x +13①x−83＞x −4②，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解．【解答】解：解⊙得：x ≥﹣3， 解⊙得：x ＜2，不等式组的解集为：﹣3≤x ＜2， 则它的所有负整数解为﹣3，﹣2，﹣1． 在数轴上表示：．21．（2020秋•朝阳县期末）先化简，再求值：x x −1÷（1+1x−1），其中x =−23．【解答】解：原式=x (x+1)(x−1)÷x x−1=x(x+1)(x−1)•x−1x=1x+1，当x =−23时，原式＝3．22．（2020秋•新宾县期末）已知，如图，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2＝60°． （1）求证：△ADE ≌△ABC ； （2）求证：AE ＝CE ．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE ＝∠2+∠BAE ， 即∠DAE ＝∠BAC ， 在△ABC 和△ADE 中， {∠BAC =∠DAEAB =AD∠B =∠D，∴△ABC ≌△ADE （ASA ）；（2）证明：由（1）得△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵∠2＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．23．（2020•海南模拟）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？【解答】解：（1）调查的总人数为16÷40%＝40（人），所以合格等级的人数为40﹣12﹣16﹣2＝10（人），合格等级人数所占的百分比=1040×100%＝25%；优秀等级人数所占的百分比=1240×100%＝30%；统计图为：（2）600×（30%+40%）＝420，所以估计成绩达到良好及以上等级的有420名；（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，＝所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率=39=13．24．（2020秋•南岗区期末）某商店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍．（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？【解答】解：（1）设每件A商品的进价为x元，则每件B商品的进价为（x+5）元，由题意得：300x =100x+5×4，解得：x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，则x+5＝20，答：每件A商品的进价为15元，每件B商品的进价为20元；（2）设购进A商品a件，由题意得：5a+20×20%（50﹣a）≥210，解得：a≥10，答：A种商品至少购进10件．25．（2019秋•薛城区期末）已知在平面直角坐标系中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y=kx的图象经过点A，（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B在反比例函数y=kx的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求nm的值．【解答】解：（1）过A 作AC ⊥OB ，交x 轴于点C ，∵OA ＝AB ，∠OAB ＝90°， ∴△AOB 为等腰直角三角形， ∴AC ＝OC ＝BC =12OB ＝2，∴A （2，2），将x ＝2，y ＝2代入反比例解析式得：2=k2，即k ＝4， 则反比例解析式为y =4x ；（2）过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AE ， ∵∠OAB ＝90°， ∴∠OAE +∠BAD ＝90°， ∵∠AOE +∠OAE ＝90°， ∴∠BAD ＝∠AOE ， 在△AOE 和△BAD 中， {∠AOE =∠BAD∠AEO =∠BDA =90°AO =BA， ∴△AOE ≌△BAD （AAS ）， ∴AE ＝BD ＝n ，OE ＝AD ＝m ，∴DE ＝AE ﹣AD ＝n ﹣m ，OE +BD ＝m +n ， 则B （m +n ，n ﹣m ）；（3）由A 与B 都在反比例图象上，得到mn ＝（m +n ）（n ﹣m ）， 整理得：n 2﹣m 2＝mn ，即（mn ）2+mn −1＝0， 这里a ＝1，b ＝1，c ＝﹣1， ∵△＝1+4＝5，∴mn =−1±√52，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，则mn =−1+√52，∴nm =√5+12．26．（2020秋•南京期末）如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵AD̂=AD̂，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴DÊ=BÊ，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴EDEG =EAED，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴OFOA =EFDE，∵BO＝BF＝OA，DE=32，∴21=EF32，∴EF＝3．27．（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出BB′CE的值为√2；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，⊙（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；⊙当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB′E的值．【解答】解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D=180°−30°2=75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴BDDC=√2，同理B′DDE=√2，∴BDDC =B′DDE，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴BB′CE =BDDC=√2．故答案为：等腰直角三角形，BB′CE=√2．（2）⊙两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°−α2，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°−α2，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°−α2−(90°−α2)=45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴DB′DE=√2，∵四边形ABCD是正方形，∴BDCD=√2，∠BDC＝45°，∴BDCD =DB′DE，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴BB′CE =BDCD=√2．⊙BEB′E=3或1．如图3，若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D=√2B'E，由（2）⊙可知△BDB'∽△CDE，且BB'=√2CE．∴BEB′E =B′B+B′EB′E=BB′B′E+1=√2CEB′E+1=√2B′DB′E+1=√2×√2+1＝3．若CD为平行四边形的一边，如图4，点E与点A重合，∴BEB′E=1．综合以上可得BEB′E=3或1．28．（2020秋•沈阳期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N．（1）如图，若此抛物线过点A （3，﹣1），求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线与y 轴交于点B ， ⊙求∠ABO 的度数；⊙连接AB ，点P 为线段AB 上不与点A ，B 重合的一个动点，过点P 作CD ∥x 轴交抛物线在第四象限部分于点C ，交y 轴于点D ，连接PN ，当△BPN ∽△BNA 时，线段CD 的长为 1+2√33．（3）无论k 取何值，抛物线都过定点H ，点M 的坐标为（2，0），当∠MHN ＝90°时，请直接写出k 的值．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入y ＝x 2﹣kx ﹣2k 并解得k ＝2， 故抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣4；（2）⊙对于y ＝x 2﹣2x ﹣4，令x ＝0，则y ＝﹣4，故点B （0，﹣4）， 而点A （3，﹣1），点A 、B 横坐标的差和纵坐标的差相等，AB 与x 轴的夹角为45°， 故∠ABO ＝45°；⊙由抛物线的表达式知，点N （1，﹣5），由点A 、B 、N 的坐标知，BN 2＝12+（﹣5+4）2＝2，AB ＝3√2， ∵△BPN ∽△BNA ， ∴BN BA=BP BN，即BP =BN 2AB=3√2=√23， 由⊙知，∠ABO ＝45°，故△BPD 为等腰直角三角形， 故BD =√22BP =√22×√23=13，故点D （0，−113），当y =−113时，即x 2﹣2x ﹣4=−113， 解得x ＝1±2√33（舍去负值）， 故CD 的长为x ＝1+2√33，故答案为1+2√33；（3）y ＝x 2﹣kx ﹣2k ＝x 2﹣k （x +2），当x ＝﹣2时，y ＝x 2﹣kx ﹣2k ＝4，即点H （﹣2，4），如图，过点H 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点G ，HG 交x 轴于点K ，由抛物线的表达式知，点N （12k ，−k 24−2k ），∵∠NHG +∠MHG ＝90°，∠MHG +∠HMO ＝90°， ∴∠NHG ＝∠HMO ， ∴tan ∠NHG ＝tan ∠HMO ，即GN HG=HK KM，∴−2−12k4+k 24+2k=42+2，解得k ＝﹣4或﹣6，当k ＝﹣4时，点N 的坐标为（﹣2，4）和点H 重合，故舍去k ＝﹣4， 故k ＝﹣6．。
2020年中考数学复习冲刺提分训练： 《方程类应用题》(解析版)
冲刺提分训练：《方程类应用题》1．巴南区认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个鱼塘，经过一年多的精心养殖，今年10月份从鱼塘里捕捞了草鱼和花鲢共2500千克，在市场上草鱼以每千克16元的价格出售，花鲢以每千克24元的价格出售，这样该贫困户10月份收入52000元，（1）今年10月份从鱼塘里捕捞草鱼和花鲢各多少千克？（2）该贫困户今年12月份再次从鱼塘里捕捞．捕捞数量和销售价格上，草鱼数量比10月份减少了2a千克，销售价格不变；花鲢数量比10月份减少了a%，销售价格比10月份减少了，该贫困户在10月份和12月份两次捕捞中共收入了94040元，真正达到了脱贫致富，求a的值．2．春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？3．李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知．该户型商品房的单价是5000元/m2，面积如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售房部为李老师提供了以下两种优惠方案：方案一：整套房的单价为5000元/m2，其中厨房可免费赠送一半的面积；方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售．（1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；（2）当x＝2时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少元？（3）李老师因现金不够，于2019年10月在建行借了18万元住房贷款，贷款期限为10年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%，每月应还的贷款本金数额为1500元（每月还款数额＝每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息＝上月所剩贷款本金数额×月利率），假设贷款月利率不变，请求出李老师在借款后第n（1≤n≤120，n 是正整数）个月的还款数额．（用n的代数式表示）4．万州区某民营企业生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多150元．（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少元？（2）为促进万州经济持续健康发展，为商家搭建展示平台，为行业创造交流机会，2019年万州区举办了多场商品展销会．外地一经销商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍，恰逢展销会期间该企业正在对甲商品进行降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了a%，该经销商购进甲的数量比原计划增加了2a%，乙的出厂单价没有改变，该经销商购进乙的数量比原计划减少了，结果该经销商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求a的值（a＞0）．5．列方程解应用题：港珠澳大桥是中国中央政府支持香港、澳门和珠三角地区城市快速发展的一项重大举措，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门，止于珠海洪湾，总长55千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程．某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶10千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的．求乘坐甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．6．甲、乙两家体有用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动．甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠盒乒乓球：乙店的优惠办法是：按定价的9折出售某班需购买兵乓球拍4副，乒乓球若干（不少于4盒）．（1）用代数式表示（所填代数式需化简）：当购买兵乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元：（2）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由：（3）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球多少盒时，到两家商店所花费用一样多？（4）若只能选择到一家商店购买，结合（2）（3）的结论，请你回答当购买兵乓球的盒数在什么范围时，到乙商店购买合算．7．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一58 150 0.25 免费方式二88 350 0.19 免费设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：t≤150 150＜t＜350 t＝350 t＞350方式一计费/元58108方式二计费/元88 88 88（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）请根据（Ⅰ）和（Ⅱ）的计算及生活经验，直接写出不同时间段，选用哪种计费方式省钱．8．十一期间，各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示：商场优惠活动甲全场按标价的6折销售乙实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金（如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）丙实行“满100元减50元的优惠”（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元）根据以上活动信息，解决以下问题：（1）三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？（2）黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？（3）丙商场又推出“先打折”，“再满100减50元”的活动．张先生买了一件标价为630元的上衣，张先生发现竟然比没打折前多付了18.5元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？9．某校学生会为积极响应武汉市文明创建活动，组织有关方面的知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了3个参赛者的得分情况．（1）设答对一题记a分，答错一题记b分，则a＝b＝；（2）参赛者E说他得了80分，你认为可能吗，为什么？参赛者答对题数答错题数得分A20 0 100B19 1 94C18 2 8810．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A，B两种型号车的进货和销售价格表：A型车B型车进货价格（元/辆）1100 1400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？11．在“元旦”期间，七（1）班小明，小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票省钱？请说明理由．（3）正要购票时，小明发现七（2）班的小张等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用．12．目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型25 30乙型45 60 （1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？13．为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；（3）在（2）的条件下，若a＝60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？14．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．根据以上信息，解答下列问题：（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？15．如图1，某小区的平面图是一个占地长500米，宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的19%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度．16．为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．参考答案1．解：（1）设今年10月份从鱼塘里捕捞草鱼x千克，则捕捞的花鲢是（2500﹣x）千克，由题意，得16x+（2500﹣x）×24＝52000解得x＝1000所以2500﹣1000＝1500（千克）答：今年10月份从鱼塘里捕捞草鱼1000千克，则捕捞的花鲢是1500千克；（2）由题意，得16（1000﹣2a）+1500（1﹣a%）×24×（1﹣）＝94040﹣52000 解得a＝30．答：a的值是30．2．解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．3．解：（1）该户型商品房的面积为：4×7+3×4+2×4+2x＝48+2x（平方米）．方案一购买一套该户型商品房的总金额为：（4×7+3×4+×2×4+2x）×5000＝220000+10000x（元）．方案二购买一套该户型商品房的总金额为：（4×7+3×4+2×4+2x）×5000×95%＝228000+9500x（元）．（2）当x＝2时，方案一总金额为：220000+10000x＝240000（元）方案二总金额为：228000+9500x＝247000（元）方案一比方案二优惠7000元．（3）根据题意得：李老师在借款后第n（1≤n≤120，n是正整数）个月的还款数额为：1500+[180000﹣1500（n﹣1）]×0.5%＝2407.5﹣7.5n（元）．4．解：（1）设甲商品的出厂单价是x元/件，则乙商品的出厂单价是x元/件，根据题意得：3x﹣2×x＝150，解得：x＝90，∴x＝60．答：甲、乙商品的出厂单价分别是90、60元．（2）由题意得：，解得：a1＝0（舍去），a2＝15．答：a的值为15．5．解：设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要x小时，则乙巴士的行驶时间需要小时，根据题意得：解得：经检验，是原分式方程的解且符合题意答：甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要小时．6．解：（1）甲：20×4+5（x﹣4）＝60+5x（x≥4）；乙：4.5x+72（x≥4）．故答案是：（60+5x）（x≥4）；（4.5x+72）（x≥4）；（2）当x＝10时，甲：60+5x＝60+50＝110（元）乙：4.5x+72＝4.5×10+72＝117（元）由于110＜117，所以，在甲店合适；（3）由题意知，60+5x＝4.5x+72，解得x＝24，即当x＝24时，到两店一样合算；（4）由题意知，60+5x＞4.5x+72，解得x＞24，即当x＞24时，到乙店合算．7．解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t﹣150）＝0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：108+0.25（t﹣350）＝0.25t+20.5；③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t﹣350）＝0.19t+21.5．故答案是：0.25t+20.5；0.25t+20.5；0.19t+21.5；（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）﹣（0.19t+21.5）＝0.06t﹣1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5＝88，解得t＝270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（Ⅲ）当t＜270时，选择方式一省钱；当t＝270时，两种方式收费一样多；当t＞270时，选择方式二省钱．8．解：（1）选甲商城需付费用为（290+270）×0.6＝336（元）；选乙商城需付费用为290+（270﹣200）＝360（元）；选丙商城需付费用为290+270﹣5×50＝310（元）．∵310＜336＜360，∴选择丙商城最实惠．（2）设这条裤子的标价为x元，根据题意得：（380+x）×0.6＝380+x﹣100×3，解得：x＝370，答：这条裤子的标价为370元．（3）设丙商场先打了x折后再参加活动，折后减50n（0≤n＜6且n为整数），根据题意得：（630×﹣50n）﹣（630﹣6×50）＝18.5，整理得63x﹣50n＝348.5，当n＝0时，63x＝348.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝0矛盾，舍去当n＝1时，63x＝398.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝1矛盾，舍去当n＝2时，63x＝448.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝2矛盾，舍去当n＝3时，63x＝498.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝3矛盾，舍去当n＝4时，63x＝548.5，可再优惠5×50＝250元，与n＝4矛盾，舍去当n＝5时，63x＝598.5，满足题意，此时x＝9.5答：丙商场先打了9.5折后再参加活动．9．解：（1）由题意，得，答对一题的得分是：100÷20＝5分，答错一题的扣分为：19×5﹣94＝1分，故答案为：5，﹣1；（2）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意，得，5y﹣（20﹣y）＝80，解得：y＝，∵y为整数，∴参赛者说他得80分，是不可能的．10．解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据题意得＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解．x＝1600时，x+400═2000．答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m，解得：m≥16，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．11．解：（1）设小明他们一共去了x个成人，则去了（12﹣x）个学生，根据题意得：40x+40×0.5（12﹣x）＝400，解得：x＝8，∴12﹣x＝4．答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．（2）40×0.6×16＝384（元），384元＜400元．答：购买16张团体票省钱．（3）①（8+7）×40+（4+10）×20＝880（元），②（17+12）×40×0.6＝696（元），③（8+7+1）×40×0.6+（4+10﹣1）×40×0.5＝644（元）．答：15个大人加上一个学生购买16张团体票，剩下的13名学生购买13张学生票，此时共需644元．12．解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）＝46000解得：x＝400购进乙型节能灯1200﹣x＝1200﹣400＝800只．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．13．解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得2（x+50）＝3x，解得x＝100，x+50＝150．答：每套队服150元，每个足球100元；（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣）＝100a+14000（元），到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a＝80a+15000（元）；（3）在乙商场购买比较合算，理由如下：将a＝60代入，得100a+14000＝100×60+14000＝20000（元）．80a+15000＝80×60+15000＝19800（元），因为20000＞19800，所以在乙商场购买比较合算．14．解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要x天．由题意可列：解得：x ＝40经检验，x ＝40是原方程的解．答：甲队单独完成这项工程需要40天；（2）因为：全程用甲、乙两队合做需要：（3.5+2）×24＝132万元单独用甲队完成这项工程需要：40×3.5＝140万元单独用乙队完成这项工程需要：60×2＝120万元，但60＞50．所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱．15．解：（1）建筑区的面积是500×400×（1﹣19%）＝162000（平方米）． 设建筑区的长度为5x 米，则宽为4x 米．根据题意得：5x •4x ＝162000，整理得 x 2＝8100，解得 x 1＝90，x 2＝﹣90（不合题意），则东西两侧道宽：（500﹣5x ）÷2＝25（米），南北两侧道宽：（400﹣4x ）÷2＝20（米）．答：小区的东西两侧道宽为25米，南北两侧道宽为20米；（2）设小区道路的宽度为z 米，则（20﹣z ）×300+2×（25﹣z ）×200＝5500，解得z ＝15．答：小区道路的宽度是15米．16．解：（1）设钢笔的单价为x 元，则毛笔的单价为（x +6）元， 由题意得：30x +20（x +6）＝1070，解得：x ＝19，则x +6＝25，答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；（2）①设单价为19元的钢笔y 支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y ）支， 根据题意得：19y +25（60﹣y ）＝1322，解得：y＝，不合题意，即张老师肯定搞错了；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意得：19z+25（60﹣z）＝1322﹣a，即6z＝178+a，由a，z都是整数，且178+a应被6整除，经验算当a＝2时，6z＝180，即z＝30，符合题意；当a＝8时，6z＝186，即z＝31，符合题意，则签字笔的单价为2元或8元．故答案为：2或8．。
2020年江苏省镇江市中考数学模拟冲刺卷(解析版)
江苏省镇江市九年级中考模拟测试数学冲刺卷（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）第Ⅰ卷（选择题 共12分）一、选择题（共6小题，每小题2分，计12分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ） A ．46×10﹣7 B ．4.6×10﹣7C ．4.6×10﹣6D ．0.46×10﹣5【答案】C【解析】0.0000046＝4.6×10﹣6． 故选：C ．2.下列运算正确的是( ) A ．2325a a a += B ．232a a a -= C ．325()()a a a --=-gD ．324222(24)(2)2a b ab ab b a -÷-=- 【答案】D【解析】 A 、325a a a +=，故此选项错误； B 、232a a -，无法计算，故此选项错误；C 、325()()a a a --=g ，故此选项错误；D 、324222(24)(2)2a b ab ab b a -÷-=-，正确．故选：D ．3.有理数8-的立方根为( ) A ．2- B ．2C ．2±D ．4±【答案】A【解析】 有理数8-2=-．故选：A ． 4. 下列各数中，小于﹣2的数是（ ） A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣1【答案】A【解析】 比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数， 分析选项可得，﹣＜﹣2＜﹣＜﹣＜﹣1，只有A 符合．故选：A ．5.实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是 A ．a>b B ．|a| < |b| C ．a+b>0 D ．ba <0【答案】D【解析】 a 是负数，b 是正数，异号两数相乘或相除都得负.故选：D6.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF ＝．故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题 共108分）二、填空题（共10小题，每小题2分，计20分）7. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，那么2()a b -的值是 ．【答案】1【解析】 根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即：212ab =，则222()213121a b a ab b -=-+=-=． 故答案为：1．8.数轴上表示﹣3的点到原点的距离是 ． 【答案】3【解析】在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．故答案为：3．9.分解因式：ax2﹣ay2＝．【答案】a（x+y）（x﹣y）【解析】ax2﹣ay2，＝a（x2﹣y2），＝a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．10.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【答案】x≥2【解析】由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．11.已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是．【答案】48°【解析】∵a∥b，∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，故答案为：48°12. 如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为．【答案】3【解析】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A＝90°，AP＝3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．13.某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（80分及以上）的学生有人．【答案】90【解析】由直方图可得，成绩为“优良”（80分及以上）的学生有：60+30＝90（人），故答案为：90．14.a 是方程2x 2＝x +4的一个根，则代数式4a 2﹣2a 的值是 ． 【答案】8【解析】 ∵a 是方程2x 2＝x +4的一个根， ∴2a 2﹣a ＝4，∴4a 2﹣2a ＝2（2a 2﹣a ）＝2×4＝8． 故答案为：8．15. 如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧¶AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若AB =，则O e 的半径为 ．【答案】【解析】 连接OA ，设半径为x ，Q 将劣弧¶AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，23OC x ∴=，OC AB ⊥， 12AC AB ∴=， 222OA OC AC -=Q ，∴222()103x x -=，解得，x =故答案为：16.如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，OD ＝OB ，OA ＝OC ， ∴∠DCB +∠ABC ＝180°， ∵∠ABC ＝60°， ∴∠DCB ＝120°， ∵EC 平分∠DCB ， ∴∠ECB ＝∠DCB ＝60°，∴∠EBC ＝∠BCE ＝∠CEB ＝60°， ∴△ECB 是等边三角形， ∴EB ＝BC ， ∵AB ＝2BC ，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正确，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正确，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，∴BF2＝OF•DF，故④正确，故答案为①③④．三、解答题（共11小题，计88分．解答应写出过程） 17．（7分）化简：(12)2(1)(1)a a a a -++- 【解析】 原式2222(1)a a a =-+- 22222a a a =-+-2a =-18．（7分） 解方程：2121xx x +=+- 【解析】 ab （3a ﹣2b ）+2ab 2 ＝3a 2b ﹣2ab 2+2ab 2 ＝3a 2b ．19.（7分）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD ．请添加一个条件，使得结论“AE ＝CF ”成立，并加以证明．【解析】添加的条件是BE ＝DF （答案不唯一）． 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠ABD＝∠BDC，又∵BE＝DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．20．（8分）如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．【解析】（1）这个班级的学生人数为15÷30%＝50（人），选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），补全图形如下：（2）＝2.2（元），答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；（3）画树状图如下：由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，所以恰好抽到2名班长的概率为＝．21．（7分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．【解析】（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝，∴AF＝2.4，CE＝2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH，∠DCM＝∠BCH＝45°，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝6，∴DM+MG+BG＝12a＝6，∴a＝，∴BG＝，MG＝，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGC∽△NGB，∴＝，∴CG•NG＝BG•MG＝．22．（8分）如图，在Rt ABC∠的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，∆中，90B∠=︒，BAC以AE为直径的Oe经过点D．（1）求证：①BC是Oe的切线；②2=g；CD CE CA（2）若点F是劣弧AD的中点，且3CE=，试求阴影部分的面积．【解析】 （1）①连接OD ，AD Q 是BAC ∠的平分线，DAB DAO ∴∠=∠，OD OA =Q ，DAO ODA ∴∠=∠， DAO ADO ∴∠=∠， //DO AB ∴，而90B ∠=︒，90ODB ∴∠=︒， BC ∴是O e 的切线；②连接DE ，BC Q 是O e 的切线，CDE DAC ∴∠=∠，C C ∠=∠，CDE CAD ∴∆∆∽， 2CD CE CA ∴=g ；（2）连接DE 、OE ，设圆的半径为R ，Q 点F 是劣弧AD 的中点，∴是OF 是DA 中垂线，DF AF ∴=，FDA FAD ∴∠=∠，//DO AB Q ，PDA DAF ∴∠=∠， ADO DAO FDA FAD ∴∠=∠=∠=∠，AF DF OA OD ∴===，OFD ∴∆、OFA ∆是等边三角形，30C ∴∠=︒， 1()2OD OC OE EC ∴==+，而OE OD =，3CE OE R ∴===， 260333602DFO S S ππ==⨯⨯=阴影扇形． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB ，以AB 为边向上作等边三角形ABC ． （1）求点C 的坐标；（2）求线段BC 所在直线的解析式．【解析】 （1）如图，过点B 作BH ⊥x 轴 ∵点A 坐标为（﹣，0），点B 坐标为（，1）∴|AB |＝＝2∵BH ＝1 ∴sin ∠BAH ＝＝∴∠BAH ＝30° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AB ＝AC ＝2∴∠CAB+∠BAH＝90°∴点C的纵坐标为2∴点C的坐标为（，2）（2）由（1）知点C的坐标为（，2），点B的坐标为（，1），设直线BC的解析式为：y ＝kx+b则，解得故直线BC的函数解析式为y＝x+24．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【解析】作CE⊥AB于E，则四边形CDBE 为矩形， ∴CE ＝AB ＝20，CD ＝BE ， 在Rt △ADB 中，∠ADB ＝45°， ∴AB ＝DB ＝20，在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝，∴AE ＝CE •tan ∠ACE ≈20×0.70＝14， ∴CD ＝BE ＝AB ﹣AE ＝6，答：起点拱门CD 的高度约为6米．25．（8分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字-2，-1,0,2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；（2）先随机抽取卡片，其上的数字作为点A 的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A 在直线y=2x 上的概率. 【解析】（1）∵抽取的负数可能为-2，-1，∴抽取出数字为负数的概率为P=2142 （2）列表如下∵共有16种等可能结果，其中点A 在直线y=2x 上的结果有2种 ∴点A 在直线y=2x 上的概率为81162=='P 26．（9分）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝t ﹣刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝﹣（t ﹣h ）2+0.4刻画．（1）求h 的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系：①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．【解析】（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4得，0.3＝﹣（25﹣h）2+0.4，解得：h＝29或h＝21，∵h＞25，∴h＝29；（2）①由表格可知，m是p的一次函数，∴m＝100p﹣20；②当10≤t≤25时，p＝t﹣，∴m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37时，p＝﹣（t﹣h）2+0.4，∴m＝100[﹣（t﹣h）2+0.4]﹣20＝﹣（t﹣29）2+20；（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，由（20，200），（25，300），得w＝20t﹣200，∴增加利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝40t2﹣600t﹣4000，∴当t＝25时，增加的利润的最大值为6000元；（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，增加的利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝900×（﹣）×（t﹣29）2+15000＝﹣（t﹣29）2+15000；∴当t＝29时，增加的利润最大值为15000元，综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．27．（11分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△P AB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1，故点P（﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．。
2020年江苏省中考数学黄金冲刺预测试题(附答案)
江苏省中考数学黄金冲刺预测试题注意事项： 1．本卷满分130分．考试时间为120分钟．2．本测试分试卷和答题卷两部分，所有答案一律写在答题卷上．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 1． －2的绝对值是 ……………………………………………………………………………… （ ▲ ） A ．2 B ．－2C ．12D ．－122． 计算(－x )2·x 3的结果是 ………………………………………………………………………（ ▲ ） A ．x 5 B ．－x 5C ． x 6D ．－x 63． 下列图案不是轴对称图形的是…………………………………………………………………（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．4．方程2x －1＝3x ＋2的解为 ……………………………………………………………………（ ▲ ）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－35．二次函数y ＝x 2＋2x －5有 ………………………………………………………………………（ ▲ ） A ．最大值－5 B ．最小值－5 C ．最大值－6 D ．最小值－66．若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积为 ……………………………（ ▲ ） A ．12π B ．21π C ．24π D ．42π7．如图是由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，则………………… （ ▲ ） A ．主视图改变，俯视图改变 B ．主视图不变，俯视图改变 C ．主视图不变，俯视图不变 D ．主视图改变，俯视图不变8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为 …………………………………………………………………………………… （ ▲ ）A ．(－3，3)B ． (3，2)C ． (0，3)D ． (1，3)9. 对于每个正整数n ，抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴交于n n B A ,两点，以n n B A 表示该两点间的距离，则201620162211......B A B A B A +++的值是 ····················································· （ ▲ ）A ．20162015B ．20162017C ．20172015D ．2017201610. 如图，A 、B 、C 是反比例函数图象上三点，作直线l ，使A 、B 、C 到直线l 的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l 共有（▲ ） A ． 4条 B ． 3条 C ． 2条D ． 1条二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡相A A图① 图② 第7题图 第8题图第10题C AB DOH（第16题）应的位置上．）11． 分解因式： x 2－16＝ ▲ ．12． 函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．13．今年清明假期全国铁路发送旅客约41 000 000人次，将41 000 000用科学记数法表示为 ▲ ． 14．一次函数y ＝－2x ＋3的图像与x 轴的交点坐标为 ▲ ． 15．命题“对顶角相等”的逆命题．．．是 ▲ 命题．（填“真”或“假”） 16．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，OH ＝8，则菱形ABCD 的周长等于 ▲ ．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元／千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元／千克，且1810≤≤x )之间的函数关系如图所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x 方程是 ▲ . (不需化简和解方程) 18．在平面直角坐标系中，点A （5-，0），以OA 为直径在第二象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连结OB 、AB ，作点A 关于点B 的对称点D ，过点D 作x 轴垂线，分别交直线OB 、x 轴于点E 、F ，点F 为垂足.当DF ＝4时，线段EF ＝ ▲ . 三、解答题：（本大题共10小题，共84分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．）19.（本题8分）计算与化简：（1）tan 60º－(a 2＋1)0 ＋|－9| （2）m −1m ÷m 2－1m 2＋m20.（本题8分）解方程与不等式组：（1）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －2y ＝5. （2）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＜2(x ＋2)，－x 3≤5x3＋2.21．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ＝OF ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若BD ＝EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．OCBAD FE(元每千A BCE O22．（本题8分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ． (1)求证：CD 为⊙O 的切线．(2)若圆心O 到弦DB 的距离为1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)23．（本题6分）国家规定体质健康状况分为优秀、良好、合格和不合格四种等级．为了了解某地区10000名初中学生的体质健康状况，某校数学兴趣小组从该地区七、八、九年级随机抽取了共500名学生数据进行整理分析，他们对其中体质健康为优．秀．的人数做了以下分析：（1）写出本次随机抽取的七年级人数m ＝ ▲ ； （2）补全条形统计图；（3）根据抽样调查的结果，估计该地区10000名初中学生体质健康状况为优秀的人数．某地区七、八、九年级随机抽取学生 体质健康优秀率的折线统计图体质健康优秀率 某地区七、八、九年级随机抽取学生 体质健康优秀的人数的条形统计图体质健康优秀的人数 204060 80 024．（本题8分）甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍． ⑴ 求乙盒中蓝球的个数；⑵ 从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.25．（本题8分）无锡某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x 的取值范围； （2）当售价x （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？26．（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为d (M ，N )．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0． (1) 如图1，⊙O 的半径为2，①点A (0，1)，B (4，3)，则d (A ，⊙O )＝ ，d (B ，⊙O )＝ ． ②已知直线l ： y =34x +b 与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝65，求b 的值．(2) 如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线y ＝－33x +433与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C )< 12．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．27．(本题10分)如图，直线b x y +=()0>b 与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，点C (1,0),过点C 作垂直于x 轴的直线l ．在直线l 上取一点P ，满足P A=PB ．点A 关于直线l 的对称点为点D ，以D 为圆心，DP 为半径作⊙D ．⑴ 直接写出点A 、D 的坐标；（用含b 的式子表示）⑵ 求点P 的坐标；⑶ 试说明：直线BP 与⊙D 相切. .图2图128．(本题10分)已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2）．点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点(M 在N 的左侧).⑴ 求此二次函数的表达式；⑵ 当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN 的长；⑶ 当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标.备用图备用图答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 1.A 2.A 3.D 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡相应的位置上．）11．(x+4)(x −4) 12.x ≥2 13.4.1×107 14.(32 ,0) 15.假 16. 64 17. (x −10)(−2x+60) 18.32或6三、解答题：（本大题共10小题，共84分．解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上．）19.（本题8分）计算与化简：（1）＝ 3 −1＋9 ……3分 （2）=m −1m ·m (m +1)(m +1)(m −1) ……3分＝ 3 ＋8 ……4分 =1 ……4分 20.（本题8分）解方程与不等式组：（1）⎩⎨⎧x =1，y =−2…… 4分 （2）由（1）得 x ＜3 ……1分 ；由（2）得x ≥−1 ……3分∴ −1≤x ＜3……4分21. （本题8分）（1）证明正确……3分 (2)四边形EBFD 是矩形…4分 证明正确……8分 22. （本题8分）（1）证明正确…………… 4分；（2）43π－ 3 …………… 8分23. （本题6分）（1）m ＝200.…………………………………… 2分（2）统计图正确. （抽测中九年级体质健康优秀人数56人）…………… 4分 （4）38＋26＋56500×10000＝2400人.……………………………………… 5分答：估计该地区10000名初中学生体质健康状况优秀人数是2400人． …… 6分24．（本题8分）⑴ 列方程 -------------------------------------------------------------------------- 2分解出结果 3 -------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ⑵ 乙甲白黄 黄 蓝 蓝 蓝 白 白白 白黄白黄 白蓝 白蓝 白蓝 白 白白 白黄 白黄 白蓝 白蓝 白蓝 黄 黄白 黄黄 黄黄 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 蓝白蓝黄蓝黄蓝蓝蓝蓝蓝蓝----- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 6分从两个盒子里各摸出一球共有24种情况，其中两个都是篮球的有3种，所以概率为81．……8分 25．（本题8分）（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式：y =200+50×400－x10， 化简得：y=﹣5x+2200；……………2分供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则⎩⎨⎧x ≥300，−5x ＋2200≥450 ，解得：300≤x ≤350． ……………4分 ∴y 与x 之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x ≤350）； （2）W=（x ﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x ﹣320）2+72000．……………6分 ∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000， ……………7分 即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w 最大，最大利润是72000元．…8分 26．（本题10分）解：(1) ①d (A ，⊙O )＝1，d (B ，⊙O )＝3． …………………………2分②如图，设直线l ：y =34 x +b 与x 轴，y 轴分别交于点P∴P (－43 b ，0)，Q (0，b )．过点O 作OH ⊥l 于点H ，OH 交⊙O 于点G ， 当b ＞0时，OQ ＝b ，PQ ＝53b ，sin ∠OPQ ＝OQ PQ ＝35， ∴OH ＝OP •sin ∠OPQ ＝43 b ×35 ＝45 b ．∵ d (l ，⊙O )＝GH ＝65，∴OH ＝OG ＋GH ＝2＋65 ＝165，即45 b ＝165， ∴b =4． ………………………5分 当0<b 时，同理可得4－=b ．∴b =±4． ………………………7分 （3）2111<<m ． ………………………10分 27．（本题10分）（1）A(−b,0) D(b+2,0) ………………………2分(2)P(1,−1) ………………………6分(3)略 ………………………10分 28.（本题10分）（1）y=14x 2−x ＋1………………………2分(2)MN=4 ………………………4分(3)M(0,0)，M(2 2 ,0),M(−2 2 ,0) ………………………10分。
2020届中考数学冲刺同步练习题：二元一次方程组实际应用(含答案)
2020届中考数学冲刺同步练习题：二元一次方程组实际应用1．文峰超市花10000元购进了甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少10，甲、乙两种商品的进价和售价如表：甲乙进价（元/件）120 80售价（元/件）160 130 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）销售完该批商品的利润为多少元？2．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．3．现有36卷相同的布料做工作服，每卷布料可制作成上衣25件，或者制作成裤子40件，一件上衣和两件裤子组成一套，问，用多少卷布料制作上衣，多少卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套？4．小李在某商场购买A，B两种商品若干次（每次A，B都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A，B两种商品同时打折，三次购买A，B商品和费用如表所示：购买A商品的数量购买B商品的数量购买总费用第一次 6 5 960第二次 3 7 940第三次9 8 912 （1）求A，B商品的标价各多少元？（2）若小李第三次购买时，A，B商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？（3）在（2）的条件下打折，若小李第四次购买A，B商品共花去960元，则小李购买方案可能有哪几种？5．据农业农村部消息，国内受猪瘟与猪周期叠加影响，生猪供应量大幅减少，从今年6月起猪肉价格连续上涨．一品生鲜超市在6月1日若售出3kg五花肉和5kg排骨，销售额为366元；若售出1kg五花肉和3kg排骨，销售额为186元．（1）6月1日每千克五花肉和排骨的价格各是多少元？（2）6月1日五花肉和排骨的销售量分别为410kg、240kg．由于猪肉价格持续上涨，11月1日五花肉的销售价格在6月1日的基础上增长了2m%，销售量减少了110kg；排骨的销售价格在6月1日的基础上增加了m元，销售量下降了25%，结果11月1日的销售额比6月1日的销售额多5100元，求m的值．6．根据小亮与小丽的一段对话，求一支笔与一本笔记本的单价分别是多少元．7．越来越多的人用微信聊天、转账、付款等．把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现．每个微信账户有1000元的免费提现额度，当累计提现超过这个额度时，超出的部分需要付0.1%的手续费．（1）小明的妈妈从未提现过，此时想把微信零钱里的15000元提现，那么将收取手续费元；（2）小亮用自己的微信账户共提现3次，3次提现金额和手续费分别如下：第一次提现第二次提现第三次提现提现金额（元）a b3a+2b手续费（元）0 0.4 3.4①用二元一次方程组的相关知识求表中a、b的值；②小明3次提现金额共计元．8．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B 两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：A B价格（万元/台）a b 节省的油量（万升/年•台） 2.4 2经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元（1）请求出a和b的值；（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？9．云南民族村位于云南省昆明市西南郊的滇池之畔，是反映和展示云南25个少数民族社会文化风情的窗口．某校为让学生了解家乡，热爱家乡，亲近自然，增强学生集体观念和团体意识，特组织七年级师生春游云南民族村，已知师生共有762人，准备了49座和37座两种客车共18辆，刚好满座，求49座和37座客车各有几辆？10．某校八年级师生共368人准备参加社会实践活动，现已预备了A、B两种型号的客车，除司机外A型号客车有49个座，B型号客车有37个座，两种客车共8辆，刚好坐满，求A、B两种型号的客车各用了多少辆？11．2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？12．（1）某校组织初一年级师生共720人出去春游，学校打算租用旅游公司的大巴车接送，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车满载）车型甲乙丙汽车运载量（人/辆）30 48 60汽车运费（元/辆）400 500 600（1）若只租用甲、乙两种车型来接送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与接送，已知它们的总辆为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？13．滨江区各学校积极参加“给贫困山区献爱心”活动，教育局筹集了120吨的衣物书籍等物品运往山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆） 5 8 10汽车运费（元/辆）200 250 300（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5量，丙型车辆来运送．（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（3）为了节省运费，教育局打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？14．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔都按零售价销售．（1）如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售．现要一次性购买A型毛笔a支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．15．亲亲学校初中部组织一起外出活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且空出30个座位没人坐．已知45座客车租金为每辆450元，60座客车租金为每辆560元，问：（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？16．小明同学本周日上午先乘坐出租车到图书馆，乘坐了5千米，打车费14元．然后吃好中饭后乘坐出租车到电影院和同学一起看电影，乘坐了8千米，打车费18.5元．看完电影后再乘坐出租车回家．出租车费用为3千米以内为起步a元，超过3千米每千米b元．（1）请求出a和b的值．（2）小明家离电影院有7千米，他有15元，请问他的钱够吗？如果不够，还差多少．17．在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．（1）你能求出甲、乙两人的速度吗？（2）若甲乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲乙前方多少米？丙的速度是多少？18．如图，长为60cm，宽为xcm的大长方形被分割为10块，除A、B两块外，其余8块是形状、大小完全一样的小长方形，其较短一边长为acm．（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是cm．（用含a的代数式表示）（2）求图中A、B两块的周长和为多少？（3）分别用含a、x和代数式表示A、B两块的面积，并求a为何值时这两块面积相等19．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：自来水销售价格每户每月用水量单位：元/吨15吨及以下a超过15吨但不超过25吨的部分b超过25吨的部分 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（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费元；（用a，b的代数式表示）（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．20．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价5万元/件，乙种产品售价3万元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，要求甲种产品比乙种产品多生产15件，如何安排甲、乙两种产品，使总产值是131.7万元．参考答案1．解：（1）设该超市购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，依题意，得：，解得：．答：该超市购进甲种商品60件，购进乙种商品35件．（2）（160﹣120）×60+（130﹣80）×35＝4150（元）．答：销售完该批商品的利润为4150元．2．解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：，解得：．答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：25m+10n＝200，∴m＝8﹣n．∵m，n均为正整数，∴n为5的倍数，∴，，，∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．3．解：设用x卷布料制作上衣，y卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套，依题意，得：，解得：．答：用16卷布料制作上衣，20卷布料制作裤子可以使上衣和裤子正好配套．4．解：（1）设A商品的标价为x元，B商品的标价为y元，依题意，得：，解得：．答：A商品的标价为80元，B商品的标价为100元．（2）设商场是打m折出售这两种商品，依题意，得：（80×9+100×8）×＝912，解得：m＝6．答：商场是打6折出售这两种商品．（3）设可以购买A商品a件，B商品b件，依题意，得：（80a+100b）×0.6＝912，∴a＝19﹣b．又∵a，b均为正整数，∴，，，∴共有3种购买方案，方案1：购买A商品14件，B商品4件；方案2：购买A商品9件，B商品8件；方案3：购买A商品4件，B商品12件．5．解：（1）设6月1日每千克五花肉的价格为x元，每千克排骨的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：6月1日每千克五花肉的价格为42元，每千克排骨的价格为48元．（2）依题意，得：42（1+2m%）×（410﹣110）+（48+m）×240×（1﹣25%）＝42×410+48×240+5100，整理，得：12600+252m+8640+168m＝33840，解得：m＝30．答：m的值为30．6．解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元．7．解：（1）（15000﹣1000）×0.1%＝14（元）．故答案为：14．（2）①依题意，得：，解得：，∴a的值为600，b的值为800．②a+b+（3a+2b）＝600+800+（3×600+2×800）＝4800．故答案为：4800．8．解：（1）根据题意得：解得：．（2）设购买A型车x台，B型车y台，根据题意得：解得：∴120×6+100×4＝1120（万元）答：购买这批混合动力公交车需要1120万元．9．解：设49座客车有x辆，37座客车有y辆，依题意，得：，解得：．答：49座客车有8辆，37座客车有10辆．10．解：设A型号客车用了x辆，B型号客车用了y辆，依题意，得：，解得：．答：A型号客车用了6辆，B型号客车用了2辆．11．解：（1）设每箱井冈蜜柚需要x元，每箱井冈板栗需要y元，依题意，得：，解得：．答：每箱井冈蜜柚需要80元，每箱井冈板栗需要120元．（2）200+1040﹣80×0.6×（4+1）﹣120×0.8×（6+1）＝328（元）．答：李先生比预计的付款少付了328元．12．解：（1）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据题意得：，解得：．答：需要甲种车型8辆，乙种车型10辆．（2）设需要甲种车型m辆，乙种车型n辆，则需要丙种车型（14﹣m﹣n）辆，根据题意得：30m+48n+60（14﹣m﹣n）＝720，∴m＝4﹣n．∵m、n为正整数，∴当n＝5时，m＝2，14﹣m﹣n＝7，此时运费为400×2+500×5+600×7＝7500（元）；当n＝10时，m＝0，不合题意舍去．答：安排的三种车型的辆数为甲种车型2辆，乙种车型5辆，丙种车型7辆，此时的运费是7500元．13．解：（1）根据题意得：（120﹣5×8﹣5×8）÷10＝4（辆），答：丙型车需4辆来运送．故答案为：4．（2）设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：，解得：，答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆．（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120，即a＝4﹣b，∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7，∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，则需运费200×2+250×5+300×7＝3750（元），答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元．14．解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，由题意得：，解得：，答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元；（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元则m＝20×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）＝1.6a+8，如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元．则n＝a×2×90%＝1.8a，于是n﹣m＝1.8a﹣（1.6a+8）＝0.2a﹣8，①当a≤20时，显然按新的销售方法购买花钱少；②∵20＜a＜40，∴0.2a＜8，∴n﹣m＜0，∴当20＜a＜40时，按新的销售方法购买花钱少；③∵a＝40，∴n﹣m＝0，∴当a＝40时，两种销售方法购买花钱一样多；④∵a＞40，∴0.2a＞8，∴n﹣m＞0，∴当a＞40时，按原来的销售方法购买花钱少．15．解：（1）设这批游客有x人，原计划租用y辆45座客车，依题意，得：，解得：．答：这批游客共有330人，原计划租用7辆45座客车．（2）由（1）可知需租用45座客车8辆或租用60座客车6辆．450×8＝3600（元），560×6＝3360（元），∵3600＞3360，∴租用6辆60座客车更合算．16．解：（1）依题意，得：，解得：．答：a的值为11，b的值为1.5．（2）11+（7﹣3）×1.5＝17（元），17＞15，17﹣15＝2（元）．答：小明带的钱不够，还差2元．17．解：（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；根据题意得，，解得：，答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒；（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意得，，解得：，答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒．18．解：（1）每个小长方形较长一边长是（60﹣4a）cm．故答案为（60﹣4a）；（2）∵A的长+B的宽＝x，A的宽+B的长＝x，∴A、B的周长和＝2（A的长+A的宽）+2（B的长+B的宽）＝2（A的长+B的宽）+2（B的长+A的宽）＝2x+2x＝4x；（3）∵S A＝（60﹣4a）×（x﹣4a）＝，S B＝4a（x﹣60+4a），∵A、B两块的面积相等，∴（60﹣4a）×（x﹣4a）＝4a（x﹣60+4a），（60﹣4a）x﹣4a（60﹣4a）＝4ax﹣4a（60﹣4a），（60﹣4a）x＝4ax，（60﹣4a）x﹣4ax＝0，（60﹣8a）x＝0，60﹣8a＝0，解得：a＝．19．解：（1）∵小王家今年3月份用水20吨，要交水费为15a+5b，故答案为：（15a+5b）；（2）根据题意得，，解得：；（3）设a上调了x元，b的值上调了y元，根据题意得，15x+6y＝9.6，∴5x+2y＝3.2，∵x，y为整数角钱（没超过1元），∴当x＝0.6元时，y＝0.1元，当x＝0.4元时，y＝0.6元，∴a的值上调了0.6元或0.4元，b的值上调了0.1元或0.6元．20．解：（1）设应安排生产x件甲种产品，y件乙种产品，依题意，得：，解得：，所以 5x+3y＝135．答：应安排生产15件甲种产品，20件乙种产品，才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元．（2）设生产乙种产品m件，则生产甲种产品（m+15）件，依题意，得：5×（1+10%）（m+15）+3×（1﹣10%）m＝131.7，解得：m＝6，∴m+15＝21（件）．答：生产乙种产品6件，则生产甲种产品21件，使总产值是131.7万元．。
2020年江苏中考数学考前压轴题冲刺练习(含参考答案解析)
2020年江苏中考数学考前压轴题冲刺练习一、选择题（共6题）1．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+1 D．y＝x+2．如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD 交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（）A．S1+S2＝CP2B．AF＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝3．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD 绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．B．C．﹣1 D．2﹣5．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°6．如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，AQ＝OA＝1，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR．则线段OR的最大值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题（共6题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是（只填序号）．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P 是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．第3题第4题4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．5．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为．第5题第6题6．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题（共6题）1．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx与x轴交于点A（10，0），点B （1，2）是抛物线上点，点M为射线OB上点（不含O，B两点），且MH⊥x轴于点H．（1）求直线OB及抛物线解析式；（2）如图1，过点M作MC∥x轴，且与抛物线交于C，D两点（D位于C左边），若MC＝MH，点Q为直线BC上方的抛物线上点，求△BCQ面积的最大值，并求出此时点Q的坐标；（3）如图2，过点B作BE∥x轴，且与抛物线交于E，在线段OA上有点P，在点H从左向右运动时始终有AP＝2OH，过点P作PN⊥x轴，且PN与直线OB交于点N，当M 与N重合时停止运动，试判断在此运动过程中△MNE与△BME能否全等，若能请求出全等时的HP长度，若不能请说明理由．3．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s 的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．4．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接P A，点P在运动过程中，P A﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．6．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14；求出CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有7＝×（3﹣）×（+1），即可求k；【解答】解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），∴AC＝7，DO＝3，∴四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14，可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，∴直线CD与该直线的交点为（，），直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（，0），∴7＝×（3﹣）×（+1），∴k＝或k＝0（舍去），∴k＝，∴直线解析式为y＝x+；故选：D．【点评】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．2．【分析】根据勾股定理可判断A；连接CF，作FG⊥EC于G，易证得△FGC是等腰直角三角形，设EG＝x，则FG＝2x，利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG＝2x，CF＝2x，EC＝3x，BC＝x，FD＝x，即可证得3FD＝AD，可判断B；根据平行线分线段成比例定理可判断C；求得cos∠HCD可判断D．【解答】解：∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，∴S1＝CD2，S2＝PD2，在Rt△PCD中，PC2＝CD2+PD2，∴S1+S2＝CP2，故A结论正确；连接CF，∵点H与B关于CE对称，∴CH＝CB，∠BCE＝∠ECH，在△BCE和△HCE中，∴△BCE≌△HCE（SAS），∴BE＝EH，∠EHC＝∠B＝90°，∠BEC＝∠HEC，∴CH＝CD，在Rt△FCH和Rt△FCD中∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），∴∠FCH＝∠FCD，FH＝FD，∴∠ECH+∠FCH＝∠BCD＝45°，即∠ECF＝45°，作FG⊥EC于G，∴△CFG是等腰直角三角形，∴FG＝CG，∵∠BEC＝∠HEC，∠B＝∠FGE＝90°，∴△FEG∽△CEB，∴＝＝，∴FG＝2EG，设EG＝x，则FG＝2x，∴CG＝2x，CF＝2x，∴EC＝3x，∵EB2+BC2＝EC2，∴BC2＝9x2，∴BC2＝x2，∴BC＝x，在Rt△FDC中，FD＝＝＝x，∴3FD＝AD，∴AF＝2FD，故B结论正确；∵AB∥CN，∴＝，∵PD＝ND，AE＝CD，∴CD＝4PD，故C结论正确；∵EG＝x，FG＝2x，∴EF＝x，∵FH＝FD＝x，∵BC＝x，∴AE＝x，作HQ⊥AD于Q，HS⊥CD于S，∴HQ∥AB，∴＝，即＝，∴HQ＝x，∴CS＝CD﹣HQ＝x﹣x＝x∴cos∠HCD＝＝＝，故结论D错误，故选：D．3．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．4．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣故选：D．5．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．6．【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2，由直角三角形的性质可得EO＝RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP ＝3，即可求解．【解答】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2∴EO＝RO，∵EO≤PO+EP＝3∴RO≤3∴OR的最大值＝故选：A．二、填空题1．【分析】连接CD．证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB；在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED＝DF，故①正确；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②错误，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正确，∵AE＝CF，AC＝BC，∴EC＝BF，∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，∵EF2＝2DE2，∴AE2+BF2＝2ED2，故④正确．故答案为①③④．2．【分析】方法1、过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论；方法2、先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．【解答】方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴，∴＝×PE∵＝＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故答案为3．方法2、解：如图，过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴，∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴，∴BE最大时，最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝5，∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴，∴，∴BH＝，CH＝，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，∴△BHG∽△BAD，∴＝，∴，∴HG＝，BG＝，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，∴GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，∴BF＝FG﹣BG＝8，∴最大值为1+＝3，故答案为：3．3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG 都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，∴B′H＝OE＝2.5，∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故答案为：4．4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴P A+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，5．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，∵CG＝DG，CF＝FB，∴GF＝BD＝，∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°，∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，∴＝，∴＝，∴b2＝2a2，∵a＞0．b＞0，∴b＝a，在Rt△GCF中，3a2＝，∴a＝，∴AB＝2b＝2．故答案为2．6．【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC 为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．三、解答题1．【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．2．【分析】（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，可求y＝﹣x2+x，直线OB的解析式为y＝2x；（2）设M（m，2m），由已知可求C（3m，2m），将点C代入抛物线解析式可得m＝，即可求BC的直线解析为y＝x+，设Q（n，﹣n2+n），过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），QT＝|n2﹣8n+7|，当QT最大时，则△BCQ的面积最大；（3）函数对称轴x＝5，E（9，2），设P（t，0），则依次可求N（t，2t），H（5﹣t，0），M（5﹣t，10﹣t），BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，此时△BEN是等腰三角形，M是BN的中点，BN⊥ME，t+1＝10﹣t，，此时不成立；当BE＝MN，BM＝EN时，t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，由于△＜0，t不存在．【解答】解：（1）将点A（10，0），点B（1，2）代入y＝ax2+bx中，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x，直线OB的解析式为y＝2x；（2）设M（m，2m），∵MC＝MH，∴C（3m，2m），∴2m＝﹣×9m2+×3m，∴m＝，∴C（7，），M（，），∴BC的直线解析为y＝x+，设Q（n，﹣n2+n），∴过点Q与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x﹣n2+n，则两直线的交点为T（﹣n2+n﹣，n2+n﹣），∴QT＝|n2﹣8n+7|，∴当n＝4时，△BCQ面积的最大值，∴Q（4，）；（3）函数对称轴x＝5，∴E（9，2），设P（t，0），∴N（t，2t），∵AP＝2OH，∴H（5﹣t，0），∴M（5﹣t，10﹣t），∴BM2＝t2﹣8t+32，ME2＝t2﹣11t+89，NE2＝5t2﹣26t+85，MN2＝t2﹣75t+125，当BM＝MN，BE＝EN时，此时△BEN是等腰三角形，M是BN的中点，BN⊥ME，∴t+1＝10﹣t，，∴t＝，t＝，∴此时不成立；当BE＝MN，BM＝EN时，t2﹣8t+32＝5t2﹣26t+85，∴△＜0，∴t不存在；综上所述：在此运动过程中△MNE与△BME不能全等．3．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B＝BC、A′B＝A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形AP A′D为平行四边形，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC，∵AP＝5x，∴A′P＝AD＝4x，PC＝4﹣5x，∵∠A′PD＝∠ADP，∴A′P∥AB，∴△A′PC∽△ABC，∴，即＝，解得：x＝，∴当点A′落在边BC上时，x＝；（2）当A′B＝BC时，（5﹣8x）2+（3x）2＝32，解得：．∵x≤，∴；当A′B＝A′C时，x＝．（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，∴DH＝P A'＝AD，HE＝B′Q＝EB，∵AB＝2AD+2EB＝2×4x+2×3x＝5，∴x＝，∴A′B′＝QE﹣PD＝x＝；Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，∴B′E＝5x，DE＝5﹣7x，∴cos B＝，∴x＝，∴A′B′＝B′D﹣A′D＝；Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，由（1）有，x＝，∴A′B′＝P A′sin A＝；当A′B′⊥AB时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥BC时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥AC时，x＝，A′B′＝．4．【分析】（1）①由∠ABO＝90°和DB⊥PB可得∠DBA＝∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB＝90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB＝90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长，③由△ADB∽△OPB可知，可求AD＝，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案．（2）在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，构造△BOP～△POB′，可得＝P A﹣PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值．【解答】解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP～△POB′，∴，∴＝P A﹣PB′≤AB'，∴∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，P A﹣有最大值为，5．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设CD＝k，BC＝2k，根据勾股定理得到BD＝＝k＝10，求得＝2，BC＝AC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠F AC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．6．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．。
2020年江苏省苏州市中考数学考前冲刺试卷附解析
2020年江苏省苏州市中考数学考前冲刺试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点B ，取ABD= 145°，BD= 500 米，D= 55°. 要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点 E 离点D 的距离是（ ）A ．0500sin55米B ．500cos55o 米C ．500tan55o 米D ．500cot55o 米2．2008年8月8日，五环会旗将在“鸟巢”高高飘扬，会旗上的五环（如图）间的位置关系有（ ） A ．相交或相切B ．相交或内含C ．相交或相离D ．相切或相离3．某电视台庆“六一”文艺晚会接到热线电话4000 个，现要从中抽取“幸运观众”10 名，小刚同学拨通了一次热线电话，他能成为“幸运观众”的概率是（ ） A ．14000B ．1400C ．12000D ．12004．点A 、C 是反比例函数(0)k y k x=>图象上的两点，AB ⊥x 轴于点 B ，CD ⊥x 轴于点D. 若设 Rt △AOB 和 Rt △GOD 的面积分别为 S 1、S 2, 则（ ） A ． S 1>S 2 B ． S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法确定5．关于x 的一元二次方程22(3)60a x x a a -++--=的一个根是 0，则a 的值为（ ） A ．2- B ．3 C ．-2 或 3 D ．-1或 6 6．正方形的面积为 4，则正方形的对角线长为（ ）A 2B ．22C ．32D ． 4 7．已知等腰三角形一腰上的高线等于底边的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（ ） A ．120°B ．90°C ． 60°D ．30°8．下列多项式中，含有因式1y +的多项式是（ ） A ．2223y xy x --B ．22(1)(1)y y +--C ．22(1)(1)y y +-- D ． 2(1)2(1)1y y ++++9．一道含有 A ，B ，C ，D 四个选项，某同学不会做，随手写了 A ，B ，C ，D 四个签，抽签决定选项，他恰好选对的概率是（ ）A ．12B ．14C ．1D ．1310．如果方程213x +=和203a x--=的解相同，则a 的值是（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．0 11．若-2减去-个有理数的差是-5，则-2与这个有理数相乘的积是（ ）A ．10B ．-10C ． 6D ．-6二、填空题12．两圆有多种位置关系，如图中不存在的位置关系是________．13．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．14． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点,那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是___________________． 有两个不相等的实数根15．下表是食品营养成分表的一部分．(每100g 食品中部分营养成分的含量) 蔬菜种类 绿豆芽 白菜 油菜 卷心菜 菠菜 韭菜 胡萝卜(红) 碳水化合物(g)4344247在表中提供的碳水化合物的克数所组成的数据中，中位数是 ，平均数是 ． 16．已知△ABC 中，AB=AC ，①当它的两个边长分别为8 cm 和3 cm 时，它的周长为 cm ；②如果它的周长为18 cm ，一边的长为4 cm ，则腰长为 cm.17．己公路全长为 s(km)，骑自行车 t(h)到达，为了提前 1 h 到达，自行车每小时应多走 km.18．某商场降价销售一批服装，打八折后售价为 120 元，则原售价是 元.19．元旦联欢会上，七(4)的50名同学围坐在一起做击鼓传花的游戏，其中26 名男生和 24 名女生的座位是随意安排的，若花在每个同学手中的停留时间相同，则花落在男生手中的机会是手中的机会是 ，落在女生的机会是 ．20．如图所示，已知AB=DE ，BE=CF ，AC=DF ．请说明∠A=∠D 的理由，并完成说理过程． 解：∵BE=CF( )．∴BE+EC=CF+ ，即 = ． 在△ABC 与△DEF 中，AB=DE( )，= (已证)， = (已知)，∴△ABC ≌△DEF( )． ∴∠A=∠D( )．21．如图，0D ⊥AB ，垂足为点O ，∠DOC ：∠AOC=2：1，则∠BOC= ．三、解答题22．如图，在某建筑物 AC 上，挂着宣传条幅BC ，小明站在点 F 处，看条帽顶端 B ，测得 仰角为 30°；再往条幅方向前行 20m 到达点E 处，看条幅顶点 B ，测得仰角为 60°，求 宣传条幅 BC 的长. (小明的身高忽略不计，结果精确到0.1 m)23．Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=32,求a:b:c 等于多少？24．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC •的中点，EF 与BD 相交于点M ． (1）求证：△EDM ∽△FBM ；（2）若DB ＝9，求BM ．25．圆锥的体积 V=13Sh(S 表示圆锥的底面积，h 表示圆锥的高). 要求体积保持不变制作一系列圆锥模型，测得其中一个已做成的圆锥模型的底面半径为20㎝，高为30㎝．(1)求这一系列圆锥模型的底面积 S(cm2)关于高 h(cm)的函数解析式；(2)当底面积 S大小限定为 100(cm2)≤S<200(cm2)，求高的取值范围.26．如图．在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠C=∠D=120°，求∠AOB的度数．27．如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）28．如图所示，CD⊥AB，垂足为 D，点 F 是BC 上任意一点，FE⊥AB，垂足为 E，且∠ 1 =∠2 ，∠3 = 80°，求∠BCA 的度数．29．平面上有5条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现9个交点，有可能吗?请作图验证．30．先化简，再求值：3232122354733x x x x x x -+++-+，其中x=0.1.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．B4．B5．A6．B7．A8．C9．B10．A11．D二、填空题 12． 相交13． 1314． 15． 4g ，4g16．19cm ，7cm17．2st t-18． 15019．1325，122520．已知，EC ，BC ，EF ，已知，BC ，EF ，AC ，DF ，SSS ，全等三角形对应角相等21．150°三、解答题 22．∵∠BFC=30°,∠BEC=60°,∠BCF=90°,∴∠EBF=∠EBC=30°,∴BE= EF=20 ,在 Rt △BCE 中，060BC BE Sin =⋅2017.3=≈(m) 答：宣传条幅 BC 的长约为 1．3m.23．3:5:2．24．（1）略（2）3．25．(1) 21133V sh r h π==⋅，当20r π=cm ，h = 30cm 时，220()302003l V ππ=⋅⋅=， ∵V 不变，∴3600V s h h==； (2)∵ 图象在第一象限，∴S 随h 的增大而减小，当 S=100 时，h=6；当 S=200 时，h=3. 当 100(cm 2)≤S<200(cm 2)时，3 (cm) ＜h ＜6(cm) .26．60°27．如图所示（答案不唯一）．28．80°29．有可能，图略30．327x x x +++，7.111。
2020年九年级数学中考三轮冲刺 ：《不等式和不等式组实际应用》 练习
中考三轮冲刺复习：《不等式与不等式组实际应用》练习1．某学校在疫情期间利用网络组织了一次防“新冠病毒”知识竞赛，评出特等奖10人，优秀奖20人．学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．（1）（列方程组解应用题）若特等奖和优秀奖的奖品分别是口罩和温度计，口罩单价的2倍与温度计单价的3倍相等，购买这两种奖品一共花费700元，求口罩和温度计的单价各是多少元？（2）（利用不等式或不等式组解应用题）若两种奖品的单价都是整数，且要求特等奖单价比优秀奖单价多20元．在总费用不少于440而少于500元的前提下，购买这两种奖品时它们的单价有几种情况，请分别求出每种情况特等奖和优秀奖奖品的单价．2．列方程组或不等式解决实际问题：某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元．（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？3．A市准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍．（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案．4．最近，受气温变暖趋势及频繁的大风影响，全球正在进人新一轮的森林火灾高发期，3月30日西昌泸山森林突发火灾，火势迅速向四周蔓延．直接威胁马道街道办事处和西昌城区安全有关部门紧急部署，疏散附近居民．并且组织了一批救灾帐篷和食品以备居民使用．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件．（1）求帐篷和食品各多少件．（2）现计划租用A，B两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，请设计一下，共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，A种货车每辆需运费800元，B种货车每辆需运费720元，怎样租车才能使总运费最少？最少运费是多少元？5．新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元．（1）求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？（2）该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；（3）若销售一箱甲型口罩，利润率为40%，乙型口罩的售价为每箱1280元．为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．6．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次 3 4 29第二次 2 6 31 （1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；（2）目前有46.4吨物资要运输到武汉，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？7．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．如果购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个键子共需120元．（1）求跳绳和毽子的售价分别是多少元？（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．8．九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同．（1）求A、B两种相册的单价分别是多少元？（2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的，如果设买A种相册x册．①有多少种不同的购买方案？②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．9．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为255人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为150人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分別为多少人？（2）某学校组织460名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为480元，每辆乙种客车的租金为400元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．10．商场正在销售帐篷和棉被两种防寒商品，已知购买I顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元．（1）求1顶帐篷和1床棉被的价格各是多少元？（2）某部门准备购买这两种防寒商品共80件，要求每种商品都要购买，且帐篷的数量多于40顶，但因为资金不足，购买总金额不能超过8500元，请问共有几种购买方案？（要求写出具体的购买方案）．11．有大小两种货车，1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货1.5吨．目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问安排车辆有哪几种方案？货运公司应如何安排车辆最节省费用？12．某中学在今年4月23日的“世界读书日”开展“人人喜爱阅读，争当阅读能手”活动，同学们积极响应，涌现出大批的阅读能手，为了激励同学们的阅读热情，养成每天阅读的好习惯，学校对阅读能手进行了奖励表彰，计划用2500元来购买甲、乙、丙三种书籍共100本作为奖品，已知甲乙丙三种书的价格比为2：2：3，甲种书每本20元．（1）若学校购买甲种书的数量是一种书的1.5倍，恰好用完计划资金，求甲种书买了多少本．（2）若又增加了300元的购书款，求丙种书最多可以买多少本．（3）七（1）班阅读氛围浓厚，同伴之间交换书籍，共享阅读已知甲种书籍共270页，小明同学阅读甲种书籍每天21页，阅读5天后，发现同伴比他看的快，为了和同伴及时交换书籍，接下来小明每天读多读了a页（20＜a＜40）．结果再用了b天读完，求小明读完整本书共用了多少天？13．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万元/台）12 10月污水处理能力（吨/月）200 160经预算，企业最多支出95万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？（2）哪种方案更省钱，说明理由．14．本学期第三周周末，七年级27班在人美心善的范老师的带领下开展了大型“绿水青山都是金山银山”的植树活动．全班一起种植许愿树和发财树．已知购买1棵许愿树和2棵发财树需要42元，购买2棵许愿树和1棵发财树需要48元．（1）你来算一算许愿树、发财树每棵各多少钱？（2）范老师传达最高指示：全班种植许原树和发财树共20棵，且许愿树的数量不少于发财树的数量，但由于班费资金紧张，范老师还要求两种树的总成本不得高于312元．聪明的同学们，你们知道共有哪几种种植方案吗？15．我市某蔬菜种植农户购买白菜苗和西红柿苗共1000株，其中白菜苗每株3元，西红柿苗每株5元．已知该农户打算用不少于3600元但不多于3800元的资金购买两种蔬菜．（1）求该农户可以购买白菜苗株数的最大值和最小值；（2）该农户按（1）中购买白菜苗株数的最小值的方案购买两种蔬菜苗，经过农户的精心培育，两种蔬菜苗全成活．根据以往的数据分析，平均一株白菜苗可长成2千克白菜，平均一株西红柿苗可结3千克西红柿．农户计划采用直接销售和生态采摘销售两种方式进行销售，其中直接销售白菜的售价为每千克4元，直接销售西红柿的售价为每千克5元；生态采摘销售时两种蔬菜的售价一样，都比直接销售白菜的售价高a%，但生态采摘过程中会有10%的损耗．当白菜和西红柿各直接销售一半后、剩下的全部采用生态采摘销售时，该农户可获得8080元的利润．求a的值．16．某市环保局决定购买A、B两种型号的扫地车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫．已知1辆A型扫地车和2辆B型扫地车每周可以处理地面垃圾100吨，2辆A型扫地车和1辆B型扫地车每周可以处理垃圾110吨．（1）求A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾多少吨？（2）已知A型扫地车每辆价格为25万元，B型扫地车每辆价格为20万元，要想使环保局购买扫地车的资金不超过910万元，但每周处理垃圾的量又不低于1400吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金是多少？17．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需资金4600元．（1）求甲、乙型号手机每部进价多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进甲、乙型号手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20部，请问有几种进货方案？（3）若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一部乙型号手机，返还顾客现金a元；而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求a的值．参考答案1．解：（1）设口罩的单价是y元，温度计的单价是z元，根据题意得，解得．答：口罩的单价是45元，温度计的单价是30元．（2）设优秀奖单价为x元，则特等奖的单价为（x+20）元．根据题意得440≤10（x+20）+20x＜500，解得8≤x＜10．因为两种奖品的单价都是整数，所以x＝8或x＝9．当x＝8时，x+20＝28；当x＝9时，x+20＝29．答：购买两种奖品时它们的单价有它们的单价有两种情况：第一种情况中：优秀奖单价为8元，特等奖的单价为28元；第二种情况中：优秀奖单价为9元，则特等奖的单价为29元．2．解：（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，依题意，得：，解得：，答：每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元．（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，依题意，得：，解得：3.5≥m≥2．∵m为整数，∴m＝2或3，答：有2种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆．3．解：（1）设提示牌单价是x元，垃圾箱单价y元，由题意得：，解得：，答：提示牌单价是50元，垃圾箱单价150元；（2）设购买提示牌m个，则购买垃圾箱（100﹣m）个，由题意得：，解得：50≤m≤52，∵m为非负整数，∴m＝50或51或52，答：购买方案有3种，①购买提示牌50个，则购买垃圾箱50个；②购买提示牌51个，则购买垃圾箱49个；③购买提示牌52个，则购买垃圾箱48个．4．解：（1）设帐篷有x件，食品有y件．则，解得．答：帐篷有440件，食品有240件（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16﹣a）辆，则，解得6≤a≤8．故有3种方案：A种车分别为6，7，8辆，B种车对应为10，9，8辆（3）设总费用为W元，则W＝800a+720（16﹣a）＝80a+11520，k＝80＞0，W随a的增大而增大，所以当a＝6时，即租用A种货车6辆，B种货车10辆，总运费最少，最少运费是12000元．5．解：（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，依题意，得：，解得：．答：甲型口罩每箱的进价为1000元，乙型口罩每箱的进价为800元．（2）设购进a箱甲型口罩，则购进（20﹣a）箱乙型口罩，依题意，得：，解得：7≤a≤10．∵a为正整数，∴a可取7、8、9、10．∴共有4种进货方案，方案1：购进7箱甲型口罩，13箱乙型口罩；方案2：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案3：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案4：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩．（3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，依题意，得：w＝1000×40%a+（1280﹣800﹣m）（20﹣a）＝（m﹣80）a+9600﹣20m．∵（2）中所有方案获利相同，即w的值与a无关，∴m﹣80＝0，∴m＝80．6．解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据题意得，，解得，，答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资；（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意得，5z+3.5（10﹣z）≥46.4，解得，z≥7.6，∵x为整数，∴x＝8或9或10，设总运费为w元，根据题意得，w＝500z+300（10﹣z）＝200z+3000，∵200＞0，∴w随z的增大而增大，∴当z＝8时，w的值最小为w＝200×8+3000＝4600，答：该公司应如何甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用．7．解：（1）设跳绳的售价为x元，毽子的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：跳绳的售价为20元，毽子的售价为16元．（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，依题意，得：，解得：300≤m≤310．设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，则w＝20×0.8m+16×0.75（400﹣m）＝4m+4800，∵4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝300时，w取最小值，此时400﹣m＝100．∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．8．解：（1）设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，依题意，得：，解得：．答：A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元．（2）①依题意，得：，解得：12≤x＜18．又∵x为正整数，∴x可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案．②设购买总费用为w元，依题意，得：w＝（50﹣a）x+（40﹣b）（42﹣x）＝（10﹣a+b）x+42（40﹣b）．∵购买所需的总费用与购买的方案无关，则w的值与x无关，∴10﹣a+b＝0，∴b＝a﹣10，∴w＝42（40﹣b）＝42[40﹣（a﹣10）]＝﹣42a+2100．∵﹣42＜0，∴w随a的增大而减小．又∵12≤a≤18，∴当a＝18时，w取得最小值．答：当总费用最少时，a的值为18．9．解：（1）设1辆甲种客车的载客量为x人，1辆乙种客车的载客量为y人，依题意有，解得：．答：1辆甲种客车的载客量为60人，1辆乙种客车的载客量为45人；（2）设租用甲种客车a辆，依题意有：，解得：≤a＜8，因为a取整数，所以a＝7，∵7×480+1×400＝3760（元）．答：租用甲种客车7辆，乙种客车1辆，租车费用最低为3760元．10．解：（1）设1顶帐篷的价格是x元，1床棉被的价格是y元，依题意，得：，解得：．答：1顶帐篷的价格是120元，1床棉被的价格是90元．（2）设购买m顶帐篷，则购买（80﹣m）床棉被，依题意，得：，解得：40＜m≤43．又∵m为正整数，∴m＝41，42，43，∴共有三种购买方案，方案1：购买41顶帐篷，39床棉被；方案2：购买42顶帐篷，38床棉被；方案3：购买43顶帐篷，37床棉被．11．解：设安排x辆大货车，则安排（10﹣x）辆小货车，依题意，得：，解得：7≤x≤10，∵x为整数，∴x＝8，9，10，∴共有3种安排方案，方案1：安排8辆大货车、2辆小货车；方案2：安排9辆大货车、1辆小货车；方案3：安排10辆大货车．方案1所需运费为130×8+100×2＝1240（元）；方案2所需运费为130×9+100＝1270（元）；方案3所需运费为130×10＝1300（元）．∵1240＜1270＜1300，∴货运公司安排8辆大货车、2辆小货车最节省费用．12．解：（1）∵甲乙丙三种书的价格比为2：2：3，甲种书每本20元，∴乙种图书每本20元，丙图书每本30元．设乙种图书购买x本，则甲图书购买1.5x本，丙图书购买（100﹣2.5x）本，根据题意得20x+20×1.5x+30（100﹣2.5x）＝2500解得x＝201.5x＝30答：甲种图书买了30本；（2）设丙图书买n本，甲乙两种图书共买（100﹣n）本，根据题意得20（100﹣n）+30n≤2800n≤80，答：丙图书最多买80本；（3）∵21×5+（21+a）b≥270，∴b≥，∵20＜a＜40，∴，∴b＝3、4，所以共用了8天、或9天．13．解：（1）设该企业购进A型设备x台，则购进B型设备（8﹣x）台，依题意，得：，解得：≤x≤．∵x为非负整数，∴x＝3，4，5，6，7．∴该企业有5种购买方案．（2）设该企业购进A型设备x台，购买总费用为y元，依题意，得：y＝12x+10（8﹣x）＝2x+80，∵2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为86．∴该企业购进A型设备3台、B型设备5台时，购买总费用最低，最低值为86万元．14．解：（1）设许愿树每棵x元，发财树每棵y元，根据题意可得：，解得：，答：许愿树、发财树每棵各18元，12元；（2）设许愿树为a棵，则发财树为（20﹣a）棵，根据题意可得：，解得：10≤a≤12，∴a＝10，11，12；所以有三种方案，方案一，10棵许愿树、10棵发财树；方案二，11棵许愿树、9棵发财树；方案三，12棵许愿树、8棵发财树．15．解：（1）设该农户购买白菜苗x株，则购买西红柿苗（1000﹣x）株，根据题意得：，解得：600≤x≤700．答：该农户最多可以购买白菜苗700株，最少可以购买白菜苗600株．（2）根据题意得：600××2×4+（1000﹣600）××3×5+600××2×（1﹣10%）×4（1+a%）+（1000﹣600）××3×（1﹣10%）×4（1+a%）﹣3800＝8080，整理得：43.2a﹣2160＝0，解得：a＝50．答：a的值为50．16．解：（1）设A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾a吨、b吨，，解得，，答：A、B两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾40吨，30吨；（2）设购买A型扫地车m辆，B型扫地车（40﹣m）辆，所需资金为y元，，解得，20≤m≤22，∵m为整数，∴m＝20，21，22，∴共有三种购买方案，方案一：购买A型扫地车20辆，B型扫地车20辆；方案二：购买A型扫地车21辆，B型扫地车19辆；方案三：购买A型扫地车22辆，B型扫地车18辆；∵y＝25m+20（40﹣m）＝5m+800，∴当m＝20时，y取得最小值，此时y＝900，答：方案一：购买A型扫地车20辆，B型扫地车20辆所需资金最少，最少资金是900万元．17．解：（1）设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意，得：，解得：，答：甲型号手机的每部进价为1000元，乙型号手机的每部进价为800元；（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机（20﹣a）部，根据题意，得：，解得：8≤a≤10，∵a为整数，∴a＝8或9或10，则进货方案有如下三种：方案一：购进甲型号手机8部，购进乙型号手机12部；方案二：购进甲型号手机9部，购进乙型号手机11部；方案三：购进甲型号手机10部，购进乙型号手机10部．（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，则W＝（1500﹣1000）m+（1400﹣800﹣a）（20﹣m），W＝（a﹣100）m+12000﹣20a．所以当a＝100时，（2）中所有的方案获利相同．。
江苏省2020年九年级中考数学压轴题 考前冲刺 练习 5(含解析)
2020年中考数学压轴题周末强化训练一、选择题1．如图，是反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，点P在x轴上．则点P从左到右的运动过程中，△APB的面积是（）A．10 B．4 C．5 D．从小变大再变小第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是（）A．△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心4．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．B．C．D．5．如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1 B．C．D．﹣26．如图，已知AB＝12，点C、D在AB上，且AC＝DB＝2，点P从点C沿线段CD向点D 运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，则下列说法中正确的有（）①△EFP的外接圆的圆心为点G；②△EFP的外接圆与AB相切；③四边形AEFB的面积不变；④EF的中点G移动的路径长为4．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．第1题第2题2．如图，点P为双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OP并延长到点A，使P A＝PO，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C．当AC＝AP时，连接PC，将△APC 沿直线PC进行翻折，则翻折后的△A′PC与四边形BOPC的重叠部分（图中阴影部分）的面积是．3．如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，则△ECD′的面积是．4．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥P A，则点P在线段ON 上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．5．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为：°．第3题第4题6．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE＝1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为．三、解答题1．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．3．如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG ∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．（1）求证：四边形ECDG是菱形；（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．4．如图，已知△BAC为圆O内接三角形，AB＝AC，D为⊙O上一点，连接CD、BD，BD 与AC交于点E，且BC2＝AC•CE①求证：∠CDB＝∠CBD；②若∠D＝30°，且⊙O的半径为3+，I为△BCD内心，求OI的长．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若tan∠BCP＝，AD•BC＝4m2（m＞0），求⊙O的半径；（用含m的代数式表示）（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF ＝5，求线段PE的长．6．如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2（1）求出抛物线C2的函数表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义即可得到答案．【解答】解：∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B，∴AB⊥y轴，∵点A、B在反比例函数y＝和y＝﹣在x轴上方的图象上，∴S△P AB＝S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（3+7）＝5，故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．2．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴E在y轴上，当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，∵OA＝3，∴OE＝3，设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，解得x＝2，∴EQ＝AQ＝PQ＝2，∴OQ＝，由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，∴DQ＝m﹣，CD＝m，∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴＝，即＝，解得m＝+2，当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，故选：D．3．【分析】连接OB、OC，根据AB＝AC，AO平分∠BAC，∠BAC＝50°，可得AO是BC 的垂直平分线，∠BAO＝∠CAO＝25°，得OB＝OC，根据折叠可证明∠OAC＝∠OCA ＝25°，得OA＝OC，进而OA＝OB＝OC，可得点O是三角形ABC的外心．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵AB＝AC，AO平分∠BAC，∴AO是BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵∠BAC＝50°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝25°，根据折叠可知：CF＝OF，∠OFE＝∠CFE＝50°，∴∠OFC＝100°，∴∠FCO＝（180°﹣100°）＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠OCA＝∠ACB﹣∠FCO＝65°﹣40°＝25°，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．故选：B．4．【分析】过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC，构造直角△EFN，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，根据相似三角形的对应边成比例，求得NE＝CD＝，运用正方形性质，可得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【解答】解：如图，过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC．∵DE的中点为G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴DE：EF＝2：1．∵∠DCE＝∠ENF＝90°，∠DEC+∠NEF＝90°，∠NEF+∠EFN＝90°，∴∠DEC＝∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∴CE：FN＝DE：EF＝DC：NE＝2：1，∴CE＝2NF，NE＝CD＝．∵∠ACB＝45°，∴当∠NCF＝45°时，A、C、F在一条直线上．则△CNF是等腰直角三角形，∴CN＝NF，∴CE＝2CN，∴CE＝NE＝×＝，∴CE＝时，A、C、F在一条直线上．故选：D．5．【分析】过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，由“ASA”可证△DHM≌△DEN，可得S△DHM＝S△DNE，可求DH＝DE＝，由△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC，可得AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC，可求点A坐标，即可求k的值．【解答】解：如图，过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，∴四边形DHOE是矩形∵∠ADC＝∠HDE＝90°∴∠ADC﹣∠FDC＝∠HDE﹣∠FDC∴∠ADF＝∠CDE，∵点D在第一象限直线y＝x的图象上，∴DH＝DE，且∠ADF＝∠CDE，∠DHM＝∠DEN∴△DHM≌△DEN（ASA）∴S△DHM＝S△DNE，∴＝S四边形DHOE＝DH×DE∴DH＝DE＝同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC∴AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC∴OC＝HD＝＝AF＝BG∴CH＝∴AG＝＝BO∴GO＝∴点A坐标（﹣，）∴k＝﹣×＝﹣故选：B．6．【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可确定④正确；又由G为EF的中点，∠EPF＝90°，可知②错误．故可求得答案．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，∴∠A＝∠FPB＝45°，∠B＝∠EP A＝45°，∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF＝180°﹣∠EP A﹣∠FPB＝90°，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G也为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．∵CD＝12﹣2﹣2＝8，∴MN＝4，即G的移动路径长为4．故④EF的中点G移动的路径长为4，正确；∵G为EF的中点，∠EPF＝90°，∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确．∴①④正确．连接PG，若GP与PF相等，△EFP的外接圆与一定与AB相交，只有当P是AB中点，此时GP ⊥AB时，△EFP的外接圆与AB才相切，所以错误，故②错误；∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF＝90°，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp＝x，则四边形面积S＝∴AP不断增大，∴四边形的面积S也会随之变化，故③错误．故选：B．二、填空题1．【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．2．【分析】连接OC，BP，根据折叠性质得四边形ACA'P为菱形，进而得A'C∥AO，A'P∥AB，由反比例函数的比例系数的几何意义和相似三角形的性质求出△OPD，△OAB，△BCE的面积，进而结合边的比例关系求出△ACP的面积，最后便可求得阴影部分面积．【解答】解：连接OC，BP，则，∴，∵AP＝AC，将△APC沿直线PC进行翻折得△A′PC，∴AP＝AC＝A'C＝A'P，∴四边形ACA'P为菱形，∴P A'∥AB，A'C∥OA，∵AB⊥x轴，∴P A'⊥x轴，∴＝4，∴，∴OB•BC＝OD•PD，∵AP＝OP，PD∥AB，∴OD＝BD，∴PD＝，OD＝OB，∵CE∥OA，∴∠CEB＝∠POD，∵∠CBE＝∠PDO＝90°，∴△BCE∽△DPO，∴，∵OB•BC＝OD•PD，OD＝OB，∴BC＝PD＝AB，∴，，∴，∴，∵DP∥AB，∴△OPD∽△OAB，∴，∴，∵OP＝AP，∴，∴，∴．3．【分析】作A'F⊥BC于F，则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，A'F＝AB＝2，得出∠D'＝∠A'BC＝30°，得出BF＝A'F＝2，由矩形和平行四边形的性质得出BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，得出CD⊥A'D'，得出A'F∥CD，证出四边形A'ECF是矩形，得出CE＝A'F＝2，A'E＝CF，证出DE ＝BF＝2，即可得出答案．【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝2，∴∠D'＝∠A'BC＝30°，∴BF＝A'F＝2，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝2，A'E＝CF，∴DE＝BF＝2，∴△ECD的面积＝DE×CE＝×2×2＝2；故答案为2．4．【分析】首先，需要证明线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹），如图1所示．利用相似三角形可以证明；其次，证明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的长．【解答】解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，BB i，∵AO⊥AB1，AP⊥AB i，∴∠OAP＝∠B1AB i，又∵AB1＝AO•tan30°，AB i＝AP•tan30°，∴AB1：AO＝AB i：AP，∴△AB1B i∽△AOP，∴∠B1B i＝∠AOP．同理得△AB1B2∽△AON，∴∠AB1B2＝∠AOP，∴∠AB1B i＝∠AB1B2，∴点B i在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，∴，Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，∴＝，∴，∵∠P AB1＝∠NAB2＝90°，∴∠P AN＝∠B1AB2，∴△APN∽△AB1B2，∴＝＝，∵ON：y＝﹣x，∴△OMN是等腰直角三角形，∴OM＝MN＝，∴PN＝，∴B1B2＝，综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．故答案为：．5．【分析】先由正方形的性质得出CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，根据SAS证出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC＝∠BEC＝70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝∠DEB＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故答案是65°．6．【分析】H经过的路径是以OE为直径的弧，连接OE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用长公式即可求解．【解答】解：连接OE．当点P与点F重合时，S△OPE＝××7＝，在直角△OEA中，OE＝＝＝＝5，PE＝＝，∵S△OPE＝PE•OH，即×OH＝，∴OH＝5，∴在直角△OEH中，sin∠OEH＝＝＝，∴∠OEH＝45°，点H的运动路径长是：＝π．故答案是：π．三、解答题1．【分析】（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．2．【分析】（1）由题意先把OA、OB的值算出来，再根据相似三角形的性质列出等量关系，求出t即可；（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，证明CN ＝CM及△CND≌△CMO．再把∠COD求出来，即可证明OM+ON＝OC；②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，先证明△CDO为等腰直角三角形，再证明△CDN≌△COM（SAS），按照全等三角形的性质及OD＝OC即可求得答案．【解答】解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴ON﹣OM＝OC．3．【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2＝OC•AC，可求AC的长，GC的长，通过证明△ADC∽△CHG 可得GH的长，即可求EH的值．【解答】解：（1）由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．∵EG∥CD，∴∠DCG＝∠EGC，∴∠EGC＝∠ECG，∴EG＝EC，∴EG＝DC，且EG∥CD∴四边形ECDG是平行四边形．∵EG＝EC，∴平行四边形ECDG是菱形（2）如图，连接ED交AC于点O，∵四边形ECDG是菱形，∴ED⊥AC，，CD＝GE＝6＝DG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝OC•AC，设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x+，∴36＝x（2x+），解得（不合题意，舍去）∴，∵EG∥CD，CD⊥BC，∴EG⊥BC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，且∠GHC＝∠ADC＝90°∴△ADC∽△CHG∴∴GH＝∵EH＝EG﹣GH∴EH＝6﹣＝4．【分析】①先求出＝，然后求出△BCE和△ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A＝∠CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB，然后求出∠CDB＝∠CBD；②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC＝60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI＝OC﹣CI计算即可得解．【解答】①证明：∵BC2＝AC•CE，∴＝，又∵∠BCE＝∠ACB∴△BCE∽△ACB，∴∠CBD＝∠A，∵∠A＝∠CDB，∴∠CDB＝∠CBD．②解：连接OB、OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝2×30°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵CD＝CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF＝BC×sin30°＝BC，BF＝BC•cos30°＝BC，所以，BD＝2BF＝2×BC＝BC，设△BCD内切圆的半径为r，则S△BCD＝BD•CF＝（BD+CD+BC）•r，即•BC•BC＝（BC+BC+BC）•r，解得r＝BC＝BC，即IF＝BC，所以，CI＝CF﹣IF＝BC﹣BC＝（2﹣）BC，OI＝OC﹣CI＝BC﹣（2﹣）BC＝（﹣1）BC，∵⊙O的半径为3+，∴BC＝3+，∴OI＝（﹣1）（3+）＝3+3﹣3﹣＝2．5．【分析】（1）连接OC，则OA＝OC，则∠OAC＝∠OCA＝α，而∠CAD＝∠CAB＝α，故∠DAC＝∠OCA＝α，即可求解；（2）证明△ADC∽△ABC，设圆的半径为R，则AC＝AB cosα＝2R×＝，CD＝AC sinα＝，故AD•BC＝AC•CD＝＝4m2，即可求解；（3）证明PC＝PE，BF＝5＝R，则R＝5，利用CO∥AD，则，即，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连接OC，则OA＝OC，则∠OAC＝∠OCA＝α，而∠CAD＝∠CAB＝α，故∠DAC＝∠OCA＝α，∴AD∥CO，而CD⊥AD，∴CO⊥BD，故PC是⊙O的切线；（2）PC是⊙O的切线，则∠BCP＝∠CAB＝α，即tan，则sin，cos，∵∠DAC＝∠CAB＝α，∴△ADC∽△ABC，设圆的半径为R，则AC＝AB cosα＝2R×＝，CD＝AC sinα＝，故AD•BC＝AC•CD＝＝4m2，故R＝m；（3）连接OF、OC，CF平分∠ACB，则FO⊥AB，∵∠ECP＝90°﹣∠OCE，∠CEP＝90°﹣∠OFC，而∠OCE＝∠OFC，∴∠ECP＝∠CEP，∴PC＝PE，BF＝5＝R，则R＝5，AD＝AC cosα＝×＝8，同理CD＝4，∵CO∥AD，∴，即，解得：PC＝＝PE．6．【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，a互为相反数；（2）连接AN，NE，EM，MA，M，N关于原点O对称OM＝ON，A，E关于原点O对称OA＝OE，判断四边形ANEM为平行四边形；若AM2+ME2＝AE2，解得m＝3，即可求解；【解答】解：（1）∵抛物线C1的顶点为（0，4），∴沿x轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4），∴抛物线C2的函数表达式为y＝x2﹣4；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（﹣m，4），N（m，﹣4），∴M，N关于原点O对称OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝22+42＝20，ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，若AM2+ME2＝AE2，∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，解得m＝3，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．。
培优冲刺04 几何最值问题综合(解析版)-2024年中考数学
培优冲刺04几何最值问题综合1、将军饮马类几何最值2、辅助圆类几何最值3、瓜豆原理类几何最值4、其他类几何最值1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移（往靠近对方的方向）、最后连接；后续同上。
同侧型异侧型②异侧型→先水平平移（往靠近对方的方向）、再连接；后续同上。
【中考真题练】1．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是．【分析】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出的值即可．【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，∴PE＝PE'，∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，∴当PE+PF取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，过点F作FG⊥AB交AC于点G，则∠GFA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，∴GF＝AF，∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，∴AE'＝AE＝EF＝FB，∴GC＝AC，，∴AG＝AC，，∴AP'＝AG＝AC＝AC，∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，∴＝，故答案为：．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．3．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．【中考模拟练】1．（2024•衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是（）A．3B．C．D．【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP 交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，MN+MP+NP ＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP 的最小值为线段EF的长；先求出点A（2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，再由点P（1，0）得OP＝1，则OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，证△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，则PF＝，再证△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，则ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝0时，x＝2，∴点A（2，0），点B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，又∵点P（1，0），∴OP＝1，∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，由勾股定理得：AB＝＝，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA＝90°，∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，又∵∠PAC＝∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，即，∴PC＝，∴FC＝PC＝，∴PF＝FC+PC＝，∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，即，∴FD＝，PD＝，∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，在Rt△EFD中，ED＝，FD＝，由勾股定理得：EF＝＝．故选：C．2．（2023•龙马潭区二模）如图，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为﹣3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值．【分析】先求出点A（﹣4，0），点D（﹣3，4），作点D关于y轴对称的点T，则点T（3，4），连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长，然后可在Rt△ATH中由勾股定理求出TA，进而可得TN，据此可得出答案．【解答】解：对于y＝﹣x2﹣3x+4，当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴点A的坐标为（﹣4，0），对于y＝﹣x2﹣3x+4，当x＝﹣3时，y＝4，∴点D的坐标为（﹣3，4），作点D关于y轴对称的点T，则点T（3，4），连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，根据轴对称的性质可知：DE＝TE，∴DE+EF＝TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF＞AT，即：TE+EF+AF＞TN+AN，∵AF＝AN＝2，∴TE+EF＞TN，即：DE+EF＞TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T（3，4），A（﹣4，0），∴OH＝3，TH＝4，OA＝4，∴AH＝OA+OH＝7，在Rt△ATH中，AH＝7，TH＝4，由勾股定理得：，∴．即DE+EF为最小值为．故答案为：．3．（2024•碑林区校级一模）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值；（2）如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB＝200米，BC＝400米．根据实际情况，需要在边DC的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点P开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q，在以Q为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南门．线段PM、NE是要修的两条道路．为了节约成本，希望PM+NE 最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．【分析】（1）作点D关于BC的对称点D′，连接D′Q、AP，过点D′作D′E⊥AB交AB的延长线于E，则QD＝QD′，DK＝D′K，当A、P、Q、D′在同一条直线上时，PQ+QD＝AD′﹣AP取得最小值，由DK∥AB，可得△CDK∽△CAB，运用相似三角形性质可得DK＝3，CK＝4，再由勾股定理即可求得答案；（2）连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A′，将E向左平移10米得到点E′，过点E′作E′L∥AB，过点A′作A′L⊥E′L于L，连接A′M、A′E′、E′M，由题意得随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为5的直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值＝A′E﹣AP＝（20﹣10）米；设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK ⊥MN于K，由E′L∥AA′，可得△E′MT∽△A′MG，即可求得BQ的值．【解答】解：（1）如图①，作点D关于BC的对称点D′，连接D′Q、AP，过点D′作D′E⊥AB 交AB的延长线于E，则QD＝QD′，DK＝D′K，∴PQ+QD＝PQ+QD′＝AQ﹣AP+QD′，当A、P、Q、D′在同一条直线上时，PQ+QD＝AD′﹣AP取得最小值，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵点D是边AC的中点，∴CD＝AC＝5，∵DK∥AB，∴△CDK∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，∴DK＝3，CK＝4，∴D′K＝3，BK＝4，∵∠E＝∠EBK＝∠BKD′＝90°，∴四边形BED′K是矩形，∴D′E＝BK＝4，BE＝D′K＝3，∴AE＝AB+BE＝6+3＝9，∴AD′＝＝＝，∵AP＝2，∴PQ+QD的最小值＝﹣2；（2）如图②，连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A′，将E向左平移10米得到点E′，过点E′作E′L∥AB，过点A′作A′L⊥E′L于L，连接A′M、A′E′、E′M，∵M、N是半圆Q的三等分点，且半径为10，∴△QMN为等边三角形，且MN∥BC，MN＝10，∵QK⊥MN，QM＝10米，∴QK＝5米，∴随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为5的直线上运动，∵EE′∥MN且EE′＝MN＝10米，∴四边形EE′MN是平行四边形，∴NE＝ME′，∴PM+NE＝PM+ME′≥AM﹣AP+ME′＝AM+ME′﹣10，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝100，∴E′L＝AA′﹣DE＝2（AB﹣QK）﹣DE＝2×（200﹣5）﹣100＝290（米），A′L＝BC﹣E′E＝400﹣10＝390（米），在Rt△A′E′L中，A′E′＝＝＝20，∴PM+NE最小值＝A′E﹣AP＝（20﹣10）米；此时△MNQ在如图③的△M′N′Q位置，设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，′∵∠CBG＝∠BGK＝∠GKQ＝90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ＝GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，∴＝，∵MT＝390﹣MG，E′T＝EH＝100﹣5＝95（米），A′G＝AG＝200﹣5＝195（米），GT＝390米，∴＝，∴MG＝（米），∴GK＝GM+MK＝+5＝（米），∴BQ＝GK＝米，∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为米．4．（2023•卧龙区二模）综合与实践问题提出（1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；思维转换（2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN＝6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用（3）如图③，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE＝AF，分别过点E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值．【分析】（1）作点A的对称点，由两点之间线段最短解题即可；（2）将M、N看作定点，E看作动点，由（1）作法可解；（3）由相似得出MN为定值，再根据（2）作法求出AM+AN的最值，即可解答．【解答】解：（1）如图①，则点P为所求．做法：作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，由对称得AP＝A′P，∴AP+BP＝A′P+BP，∵两点之间线段最短，∴A′P+BP最短，即PA+PB的和最小．（2）如图②，过点E作直线l1∥l，作点N关于l1的对称点N′，连接MN′，交l1于点P，则PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵点E到直线l的距离为4，∵NN′＝8，∵MN＝6，∴MN′＝＝10，∴PM+PN＝10，即ME+NE的最小值为10．（3）如图③，过A作l∥BD，AH⊥BD于点H，作点M关于l的对称点M′，连接M′N，由（2）得M′N为AM+AN的最小值，′∵AB＝，AD＝2，∴BD＝＝5，∴AH＝＝2，∴MM′＝4，设ME＝x，由△ABD∽△BME得，BM＝2x，BE＝x，∴AF＝x，∴DF＝2﹣x，由△DNF∽△ABD得，DN＝4﹣2x，∴MN＝5﹣2x﹣（4﹣2x）＝1，∵l∥BD，MM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N＝＝，∴△AMN周长的最小值为+1．题型二：辅助圆类几何最值动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：1、定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）2、定边对直角——若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）3．定边对定角——若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）【中考真题练】1．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC 绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．【中考模拟练】1．（2023•永寿县二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2．【分析】因为同弧所对的圆外角小于圆周角，因此过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，当点P运动到点P'处时，∠AP'M的度数最大，记AM的中点为N，可以证出四边形OP'DN是矩形，在Rt△MON中，利用勾股定理求出ON，从而得出DP'的长，进而求出CP的长．【解答】解：过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，记PM与⊙O交于点Q，连接AP′，MP′，OM，OP′，AQ，则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP′D＝90°，∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大，作ON⊥AD于点N，则MN＝AN＝，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴四边形OP'DN是矩形，∵AB＝4，M是AD的中点，∴AM＝DM＝2，MN＝1，∴OM＝OP'＝DN＝DM+MN＝3，在Rt△MON中，ON＝＝＝2，∴DP'＝ON＝2，∴CP'＝DC﹣DP'＝4﹣2，∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2．故答案为：4﹣2．2．（2023•营口一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．【分析】分析题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值M′N＝AN+AM′＝AN+AM．【解答】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．故答案为：．3．（2023•定远县校级一模）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．【解答】解：∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的圆上运动，以AC为直径画半圆AC，连接OA，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，∵点G为OD的中点，∴OG＝OD＝OA＝2，∵OG⊥AB，∴∠AOG＝60°，AG＝2，∵OA＝OC，∴∠ACG＝30°，∴AC＝2AG＝4，∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，∴的长为，故答案为：．4．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），AE为△ABD的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM＝AC；②∠MDA+∠DAB＝180°；【类比探究】（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上运动（AD＞AB），直线AE与直线CF相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG存在最大值．若AB＝4，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△MDE，可得AB＝DM，再结合AB＝AC，即可证得DM＝AC；由全等三角形性质可得∠BAE＝∠DME，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA+∠DAB＝180°；（2）延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．利用SAS证得△ACF≌△DMA，可得CF＝AM，再由AE＝AM，可证得AE＝CF；（3）延长DA至M，使AM＝AD，设AM交CF于N，连接BM交CF于K，取AC中点P，连接GP，可证得△ACF≌△ABM（SAS），利用三角形中位线定理可得AE∥BM，即AG∥BM，利用直角三角形性质可得GP＝AC＝AB＝2，得出点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P 于G′，可得BG′的长为BG的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①∵AE为△ABD的中线，∴BE＝DE，在△ABE和△MDE中，，∴△ABE≌△MDE（SAS），∴AB＝DM，∵AB＝AC，∴DM＝AC；②由①知△ABE≌△MDE，∴∠BAE＝∠DME，∴AB∥DM，∴∠MDA+∠DAB＝180°；（2）证明：延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM．由旋转得：AF＝AD，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF＝360°，∴∠BAD+∠CAF＝180°，由（1）②得：∠MDA+∠DAB＝180°，DM＝AB＝AC，∴∠CAF＝∠MDA，在△ACF和△DMA中，，∴△ACF≌△DMA（SAS），∴CF＝AM，∵AE＝AM，∴AE＝CF；（3）如图3，延长DA至M，使AM＝AD，设AM交CF于N，连接BM交CF于K，取AC中点P，连接GP，由旋转得：AF＝AD，∠DAF＝90°，∴AF＝AM，∠MAF＝180°﹣90°＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠MAF+∠CAM＝∠BAC+∠CAM，即∠CAF＝∠BAM，在△ACF和△ABM中，，∴△ACF≌△ABM（SAS），∴∠AFC＝∠AMB，即∠AFN＝∠KMN，∵∠ANF＝∠KNM，∴∠FAN＝∠MKN＝90°，∴BM⊥CF，∵E、A分别是DB、DM的中点，∴AE是△BDM的中位线，∴AE∥BM，即AG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC＝90°，∵点P是AC的中点，∴GP＝AC＝AB＝2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在Rt△ABP中，BP＝＝＝2，∴BG′＝BP+PG′＝2+2，∴BG的最大值为2+2．题型三：瓜豆原理类几何最值大概动点问题符合瓜豆原理的模型时，也可以和几何最值结合【中考真题练】1．（2022•沈阳）【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO 的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是AD＝BC；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是8+3；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．【分析】（1）证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（2）利用旋转性质可证得∠BOC＝∠AOD，再证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，先证得△ABC∽△TBD，得出DT＝3，即点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，可证得△BAC∽△BTD，得出DT＝AC＝×3＝，再求出DH、AH，即可求得AD；如图5，在AB下方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，可证得△BAC∽△BTD，得出DE＝，再由勾股定理即可求得AD．【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（2）AD＝BC仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+α，即∠BOC＝∠AOD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC；（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，∴△ABC∽△TBD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝3，∵AT＝AB＝8，DT＝3，∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作TH⊥AD于点H，∵＝＝cos30°＝，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，∴＝＝，∴DT＝AC＝×3＝，在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，∵TH⊥AD，∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2，在Rt△DTH中，DH＝＝＝，∴AD＝AH+DH＝2+；如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，则＝＝cos30°＝，∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，∴＝＝，∴DE＝AC＝×3＝，∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8×＝4，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AD＝＝＝；综上所述，AD的值为2+或．【中考模拟练】1．（2023•金平区三模）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为．【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．首先证明∠ETG ＝90°，推出点G的在射线TG上运动，推出当CG⊥TG时，CG的值最小．【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•苍溪县一模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD 长的最大值为2+1．【分析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP ＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值为2+1，故答案为．3．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，N满足PM＝PN且∠MPN＝90°，则称点P是图形W的关联点．已知点A（﹣2，0），B（0，2）．（1）在点P1（﹣，﹣1），P2（﹣，3），P3（﹣2，﹣2）中，P1，P2是线段AB的关联点；（2）⊙T是以点T（t，0）为圆心，r为半径的圆．①当t＝0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r 的最小值．【分析】（1）根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；（2）①根据题意推得三角形PMN为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O到点P的最大距离为，最小距离为，推得⊙O的所有关联点在以O为圆心，和为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r的取值范围；②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．【解答】解：（1）∵∠MPN＝90°，∴△MPN为直角三角形，∴满足MN2＝PM2+PN2，根据勾股定理可得：，，，；，，；P3A＝2，，，∵，且，∴是线段AB的关联点；∵，且，∴是线段AB的关联点；∵，且，∴∠BAO＝30°，P3A⊥OA，∴∠P3AB＝90°+30°＝120°，∴对于线段AB上的任意两点M、N，当时，∠P 3NM＞90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，∴不是线段AB的关联点；故答案为：P1，P2．（2）①由（1）可得：∵∠MPN＝90°，∴△MPN为直角三角形，∴MN2＝PM2+PN2＝4PN2，即MN＝2PN，即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上一定点，且MN＝2PN，∠PNM＝60°，则点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹为圆R，如图：当M，O，N三点共线，P，R，N三点共线时，∠PNM＝60°，∴，，则点O到点P的最大距离为，最小距离为，当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，则⊙R扫过的区域为和r为半径围成的圆，即⊙O的所有关联点在以O为圆心，和为半径的两个圆构成的圆环中，∴当线段AB与半径为交于点A时，r最小，如图：则，解得，当线段AB与半径为的圆相切时，r最大，过点O作OH⊥AB，如图：则，即，解得，则，解得，∴②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上，所有区域叠加一起为：由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，∵∠GBA＝30°，∠G＝90°，∠OBA＝60°，∠O＝90°，∴四边形AOBG为矩形，∴，则，即，解得（负值舍去）；综上，r的最小值为．4．（2024•昆山市一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．【分析】（1）将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；＝10，再由题意可得S△AMB＝6＝×4×（﹣m2+6m （2）设M（m，m2﹣6m+5），先求AB＝4，则S△ABC﹣5），即可求M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB（SAS），则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'（1，﹣4），F（7，0），则B'F＝2，所以DF 的最大值为+2，DF的最小值为﹣2，即可求2﹣2≤DF≤2+2．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，∴C（0，5），令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，得，∴，∴y＝x2﹣6x+5；（2）设M（m，m2﹣6m+5），令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，解得x＝5或x＝1，∴B（5，0），∴AB＝4，＝×4×5＝10，∴S△ABC∵△ABM的面积等于△ABC面积的，＝6＝×4×（﹣m2+6m﹣5），∴S△AMB解得m＝2或m＝4，∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，∴∠B'AD＝∠PAB，∵AB＝AB'，PA＝AD，∴△ADB'≌△APB（SAS），∴BP＝B'D，∵PB＝2，∴B'D＝2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B（5，0），A（1，0），∴B'（1，﹣4），∵BF＝2，∴F（7，0），∴B'F＝2，∴DF的最大值为2+2，DF的最小值为2﹣2，∴2﹣2≤DF≤2+2．题型四：其他类几何最值除了常见的模型与几何最值结合外，还有一些几何问题，应用直接的最值原理，比如：点到直线的距离垂线段最短等【中考真题练】1．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+AP的最小值是．【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．【解答】理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝∠CAB＝30°，过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF＝30°，∴PN＝AP，∴CP+AP＝CP+PN＝CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN＝60°，AC＝4，∴，∴CN＝sin60°×AC＝＝，∴CP+AP＝CP+PN＝CN＝，故答案为：．2．（2023•德阳）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，点M为AC 的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于．【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．【解答】解：如图1，将三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，∴CM＝AC＝＝，∴BM＝CM+BC＝3，在Rt△MBB1中，由勾股定理得：B1M＝＝，如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE＝60°，∴ME＝AM•sin60°＝×＝，AE＝AM•cos60°＝，∴MF＝ME+EF＝+2＝，B1F＝A1B1﹣A1F＝，在Rt△MFB1中，由勾股定理得：B1M＝＝，如图3，连接B1M，交A1C1于点N，则B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°，∴NB1＝A1B1•sin60°＝3，∴B1M＝NB1+MN＝5，∵＜5＜，∴小虫爬行的最短路程为．故答案为：．3．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延长线上的一点，CD＝2．M 是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是．．【分析】先根据题意确定点P的运动轨迹，即可确定MP的最大值和最小值，从而解答．【解答】解：∵AB＝AC＝4，∴AD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CNMD是平行四边形，∴DN∥BC，DN＝BC，CD∥MN，CD＝MN，∴∠ADN＝∠ACB＝45°＝∠ABC＝∠CMN，当M与B重合时，如图M1，N1，P1，∠ABN1＝90°，∴AN1＝＝2，∵P1是中点，∴MP1＝AN1＝，当MP⊥BC时，如图P2，M2，N2，∵P1，P，P2是中点，∴P的运动轨迹为平行于BC的线段，交AC于H，∴CH＝3﹣2＝1，∵∠ACB＝45°，∴PH与BC间的距离为P2M2＝CH＝，∵M不与B、C重合，∴．【中考模拟练】1．（2024•济南一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为1．【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG＝A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D＝AD＝BC，即可求解．【解答】解：如图，连接A1B，BD，∵F、G分别为A1C、BC的中点，∴FG＝A1B，当FG的最小时，即A1B最小，∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝3，∴AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵△ADE沿DE折叠，∴A1D＝AD＝3，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，∴A1B≥BD﹣A1D，。
2020年江苏省盐城市中考数学考前冲刺试卷附解析
2020年江苏省盐城市中考数学考前冲刺试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1． 有一个窗子是田字形，阳光倾斜照射进窗户，地面上便呈现出它的影子，在下图中你认为对的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．小明和五名女同学和另四名男同学玩丢手帕游戏，小明随意将手帕丢在一名同学的后面，那么这名同学是女生的概率是（ ）A ．59B ．49C ．12D ． 453．AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，再以O 为圆心，OC 为半径作圆，称作小⊙O ，点P 是AB 上异于A 、B 、C 的任意一点，则点 P 的位置是（ ）A ．在大⊙O 上B ．在大⊙O 的外部C ．在小⊙O 的内部D ．在小⊙O 外在大⊙O 内 4．已知抛物线2232y mx x m m =-+-经过原点，则 m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0 或2D ．不能确定5．若点 （x 1,y 1）、（x 2,y 2）和 （x 3，y 3）分别在反比例函数2y x=-的图象上，且1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y <<6．如图，设P 为□ABCD 内的一点，△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，则有（ ）A ．14S S = 1234S S S S +=+ C ．1324S S S S +=+ D ． 以上都不对7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕A 逆时针旋转后，能够与△ACP′重合，如果AP=3，那么2PP'等于（）A．9 B．12 C．15 D．l88．如图，下列推理中，错误的是（）A．因为 AB∥CD，所以∠ABC +∠LC = 180°B．因为∠1=∠2，所以AD∥BCC．因为 AD∥BC，所以∠3 =∠4D．因为∠A +∠ADC = l80°，所以 AB∥CD9．如图，宽为 50 cm的矩形图案由 10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）A．400cm2 B．500 cm2 C．600 cm2 D．4000 cm210．计算248⨯+++的结果为（）3(21)(21)(21)A．841-D．3221--C．1621-B．642111．用计算器求0．35×15时，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．以上都不正确二、填空题12．在体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标，小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145, 155, 140, 162, 164. 则他在该次预测中达标的概率是__________．13．已知在一个样本中，50个数据分别在5个组内，第一，二，三，五组数据的个数分别为2，8，15，5，则第四组的频数为．14．若一次函数y x a=+与一次函数y x b=-+的图象的交点坐标为(m，4)，则a b+= . 15．在等腰三角形ABC 中，腰AB的长为l2cm，底边BC的长为6cm，D为BC边的中点，动点P 从点B 出发，以每钞 lcm 的速度沿B A C →→的方向运动，当动点P 重新回到点B 位置时，停止运动. 设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中的一部分是另一部分的 2倍.解答题16． 如图，将等腰直角三角形ABC 沿DE 对折后，直角顶点A 恰好落在斜边的中点F 处，则得到的图形(实线部分)中有 个等腰直角三角形.17．在△ABC 中，∠A=48°，∠B=66°，AB=2．7 cm ，则AC= cm ．18．用有45°直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 ．19．已知312x y z ==，则222225x y z xy yz zx-+++= . 20．如图，若OP 平分∠DOB ，∠DOP=35°，则∠AOC= ，∠BOC= ．三、解答题21．已知二次函数y ＝－x 2＋4x ．(1）用配方法把该函数化为y ＝a （x －h ）2＋k （其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2）求这个函数图象与x 轴的交点坐标．22．如图，已知 AB 是的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为点 E ，BF ⊥CD ，垂足为点 F ，且AE= 3 cm ，BF= 5 cm ，若⊙O 的半径为 5 cm ，求 CD 的长．23．已知直线y=2x-1．(1)求已知直线与x 轴、y 轴交点A 、B 的坐标；(2)若直线y=kx+b 与已知直线关于x 轴对称，求其解析式，并在同一坐标系内画出两条直线的图象．24．解不等式组3043326x x x ->⎧⎪⎨+>-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．25．如图，在△DEF 中，已知DE=17cm ，EF=30 cm ，EF 边上的中线DG=8 cm ，试说明△DEF 是等腰三角形．26．金金让银银做这样一道题：“当4x =时，求2233113312x 1x x x x x -+-÷⋅--++的值”. 银银一看：“直接代入计算太复杂了，怎么算呢？”你能帮助金金解这道题吗？请写出具体过程.27．如果在一个半径为 a 的圆内，挖去一个半径为b (b a <)的圆.(1)写出剩余部分面积的代数表达式，并将它因式分解；(2)当 a=12.75cm ，b=7.25cm ，π取 3时，求剩下部分面积.28．计算： (1)1031()( 3.14)(2)2π-----；(2)3123(3)(3)(3)---÷-÷-；(3）510()()()x y x y x y -÷-÷-；29．某校九年级(1)、(2)班联合举行毕业晚会. 组织者为了使晚会气氛热烈、有趣，策划时计划整场晚会以转盘游戏的方式进行：每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字 1，2，3 和 4，5，6，7 的两个转盘(如图)设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时，(1)班代表胜，否则(2)班代表胜. 你认为该方案对双方是否公平？为什么？30．把下列各数的序号填在相应的数集内：① 1；②35-；③) + 3. 2； ④0；⑤13；⑥-5；⑦+ l08；⑧)- 6.5； ⑨467． (1)正整数集{ }(2)正分数集{ }(3)负分数集{ }(4)有理数集{ }【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．D4．B5．B6．C7．D8．C9．A10．C11．B二、填空题12． 52 13． 2014．815．7或l716．317．2.718．22°19．1136 20． 70°，ll0°三、解答题21．（1）4)2(2+--=x y ，对称轴直线2=x ，顶点坐标（2,4）（2）)0,4(),0,0(． 22．过点O 作OG ⊥CD 于G ，连结 OC ．∵OG 平分 CD ，即OG=GD ，∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，OG ⊥CD ，∴AE ∥OG ∥BF ，∴OG 是梯形 AEFB 的中位线，11()(35)422OG AE BF =+=+=cm ，∴在 Rt △OCG 中，22543GC =-=， ∴CD= 2CG= 2×3 = 6cm.23．(1)A(12，0)，B(0，-l)；(2)y=-2x+1，图象略 24．-l<x<325．说明DG 是EF 是中垂线26．化简结果为4x -，当4x =时，原式=0 27．(1)()()a b a b π+- (2) 330cm 228．(1)9；(2)-9 ；（3)61()x y - 29．公平， (1)班胜的概率是1612P =；(2)班胜的概率是2612P =，所以公平 30．(1)①⑦ (2）③⑤ (3）②⑧⑨ (4)全部。
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热点专题4实际应用问题考向1一次方程（组）的实际应用1. (2019 江苏省宿迁市)下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为．【解析】设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意得：，解得：，△第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10；故答案为：10．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；设出未知数，根据题意列出方程组是解题的关键．2. (2019 江苏省淮安市)某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？【解析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，△，△每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；点评本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．3. (2019 江苏省盐城市)体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？【解析】（1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：，解得：，答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；（2）△现有A型球、B型球的质量共17千克，△设A型球1个，设B型球a个，则3+4a＝17，解得：a＝（不合题意舍去），设A型球2个，设B型球b个，则6+4b＝17，解得：b＝（不合题意舍去），设A型球3个，设B型球c个，则9+4c＝17，解得：c＝2，设A型球4个，设B型球d个，则12+4d＝17，解得：d＝（不合题意舍去），设A型球5个，设B型球e个，则15+4e＝17，解得：a＝（不合题意舍去），综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键．考向2分式方程的实际应用1. (2019 江苏省苏州市)小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ）A ．15243x x =+B ．15243x x =-C ．15243x x =+D ．15243x x=- 【解析】 找到等量关系为两人买的笔记本数量15243x x ∴=+ 故选A2. (2019 江苏省常州市)甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【解析】 设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，由题意得：＝，解得：x ＝18，经检验：x ＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．3. (2019 江苏省扬州市) “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？【解析】设甲工程队每天修x 米，则乙工程队每天修（1500﹣x ）米，根据题意可得：＝，解得：x ＝900，经检验得：x＝900是原方程的根，故1500﹣900＝600（m），答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．考向3函数的实际运用1. (2019 江苏省连云港市)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中△C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m2【解析】如图，过点C作CE△AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，△DCE＝△CEB＝90°，则△BCE＝△BCD﹣△DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，△△CEB＝90°，△BE＝BC＝6﹣x，△AD＝CE＝BE＝6﹣x，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝x+6，△梯形ABCD面积S＝（CD+AB）•CE＝（x+x+6）•（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24，△当x＝4时，S最大＝24．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C．【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．2. (2019 江苏省淮安市)快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x 之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．【解析】（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；（2）由题意可得，点E的横坐标为：2+1.5＝3.5，则点E的坐标为（3.5，180），快车从点E到点C用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时），则点C的坐标为（5.5，360），设线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝kx+b，，得，即线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝90x﹣135；（3）设点F的横坐标为a，则60a＝90a﹣135，解得，a＝4.5，则60a＝270，即点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．3. (2019 江苏省连云港市)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【解析】（1）y＝0.3x+0.4（2500﹣x）＝﹣0.1x+1000因此y与x之间的函数表达式为：y＝﹣0.1x+1000．（2）由题意得：△1000≤x≤2500又△k＝﹣0.1＜0△y随x的增大而减少△当x＝1000时，y最大，此时2500﹣x＝1500，因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．【点评】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．4. (2019 江苏省泰州市)小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系．（1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？【解析】（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得，解得，△线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣0.01x+6（100≤x≤300）；（2）设小李共批发水果m吨，则单价为﹣0.01m+6，根据题意得：﹣0.01m+6＝，解得m＝200或400，经检验，x＝200，x＝400（不合题意，舍去）都是原方程的根．答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．5. (2019 江苏省宿迁市)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？【解析】（1）根据题意得，y＝﹣x+50；（2）根据题意得，（40+x）（﹣x+50）＝2250，解得：x1＝50，x2＝10，△每件利润不能超过60元，△x＝10，答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；（3）根据题意得，w＝（40+x）（﹣x+50）＝﹣x2+30x+2000＝﹣（x﹣30）2+2450，△a＝﹣＜0，△当x＜30时，w随x的增大而增大，△当x＝20时，w增大＝2400，答：当x为20时w最大，最大值是2400元．【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．6. (2019 江苏省镇江市)学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B 之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．观察△观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；△若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；发现设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．△a＝；△分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；拓展设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．（直接写出结果）【解析】观察△△相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，△相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，设机器人甲的速度为v，△机器人乙的速度为v＝4v，△机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，△设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），△m＝90，故答案为：90；△△相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，△相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，设机器人甲的速度为v，△机器人乙的速度为v＝v，△机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，△设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），△m＝120，故答案为：120；发现△当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意知，x+150＝（150﹣x），△x＝50，经检验：x＝50是分式方程的根，即：a＝50，故答案为：50；△当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，△线段OP的表达式为y＝3x，当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），△y＝﹣3x+300，即：y＝，补全图形如图2所示，拓展如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），△y＝﹣5x+300，△第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，△﹣5x+300≤60，△x≥48，△x＜75，△48≤x＜75，故答案为48≤x＜75．【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．考向4不等式的实际运用1. (2019 江苏省无锡市)某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为() A．10B．9C．8D．7【解析】设原计划m天完成，开工n天后有人外出，则15am＝2160，am＝144，15an＋12(a＋2)(m－n)＜2160，化简可得：an＋4am＋8m－8n＜720，将am＝144 代入得an＋8m－8n＜144，an＋8m－8n＜am，a(n－m)＜8(n－m)，其中n－m＜0，a＞8,至少为9 ，因此本题选B。