a全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的

顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°

（3）OA平分∠BOC

变形：

例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD

∆，连结AE与CD，∆与BCE

证明

（1）DBC

∆

≅

ABE∆

(2)AE与DC之间的夹角为︒

60

(3)BH平分AHC

∠

变式精练1：如图两个等边三角形ABD

∆，连结

∆与BCE

AE与CD，

证明（1）DBC

∆

ABE∆

≅

（2）AE与DC之间的夹角为︒

60

（3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆

(2）AE 与DC 之间的夹角为︒60

(3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立 （2）AG 是否与CE 相等

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠

例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立 （2）AG 是否与CE 相等

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠

例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中

BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，

问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立 （2）AE 是否与CD 相等

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分AHC ∠

例5：如图，点A. B.C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC 和三角形CDE 都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB 的度数

倍长与中点有关的线段 倍长中线类

考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中

线，

倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，

AD 是BC 边中线 使DE=AD ，

连接BE

E

D

A

B

C

方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N，

作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，

连接BE 连接CD

【例1】已知：ABC

∆中，AM是中线．求证：

1

()

2

AM AB AC

<+．

【练1】在△ABC中，59

AB AC

==

，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么

【练2】如图所示，在ABC

∆的AB边上取两点E、F，使AE BF

=，连接CE、CF，求证：AC BC

+>EC FC

+．

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC 延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】如图，已知在ABC

∆中，AD是BC边上的中线，E是

AD上一点，延长BE交AC于F，AF EF

=，求证：

AC BE

=．

【练1】如图，已知在ABC

∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC

=，延长BE交AC于F，求证：AF EF

=

【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD 的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G. 求证：BF=CG.

【练3】如图，在ABC

∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，

EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，

交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线． 【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，

EF AC =．

求证：EF ∥AB

【例3】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若

3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

【练2】如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC 且AD ⊥AC ，则∠BAC=______.

【练3】在ABC ∆中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．

（1）若90A ∠=︒，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形

（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()2221

4

AD AB AC =

+． 【例4】如图，等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的关系.（证角相等方法）

【练1】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .

探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（证角相等方法）