a全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连结AE与CD，∆与BCE证明（1）DBC∆≅ABE∆(2)AE与DC之间的夹角为︒60(3)BH平分AHC∠变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆，连结∆与BCEAE与CD，证明（1）DBC∆ABE∆≅（2）AE与DC之间的夹角为︒60（3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆(2）AE 与DC 之间的夹角为︒60(3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立 （2）AG 是否与CE 相等（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立 （2）AG 是否与CE 相等（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立 （2）AE 是否与CD 相等（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分AHC ∠例5：如图，点A. B.C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC 和三角形CDE 都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB 的度数倍长与中点有关的线段 倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BEEDABC方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD【例1】已知：ABC∆中，AM是中线．求证：1()2AM AB AC<+．【练1】在△ABC中，59AB AC==，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么【练2】如图所示，在ABC∆的AB边上取两点E、F，使AE BF=，连接CE、CF，求证：AC BC+>EC FC+．【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC 延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】如图，已知在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF EF=，求证：AC BE=．【练1】如图，已知在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE交AC于F，求证：AF EF=【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD 的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G. 求证：BF=CG.【练3】如图，在ABC∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线． 【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB【例3】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【练2】如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC 且AD ⊥AC ，则∠BAC=______.【练3】在ABC ∆中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．（1）若90A ∠=︒，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+． 【例4】如图，等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆，P 为CE 中点，连接PA 、PD .探究PA 、PD 的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在ABC ∆中，AB CD =，BDA BAD ∠=∠，AE 是BD 边的中线.求证：AE AC 2= 【例5】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．【练1】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =【练2】如图,CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.【例16】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用） 【练1】已知：如图，正方形ABCD 和正方形EBGF ，点M 是线段DF 的中点. ⑴试说明线段ME 与MC 数量关系和关系.⑵如图，若将上题中正方形EBGF 绕点B 顺时针旋转α度数（︒<90α），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的DOEANMDCBA度数说明要求角的度数，进而得到角相等，∆全等)【例10】 如图所示，ABC ∆中，0045,90=∠=∠B C ，AD 平分BAC ∠交BC 于D 。

求证：AB=AC+CD 。

【练1】如图所示，在ABC ∆中，060=∠B ，ABC ∆的角平分线AD 、CE 相交于点O 。

求证：AE+CD=AC 。

【练2】已知ABC ∆中， 60=∠A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【练2】如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，AE 平分∠BAD 交DC 于点E ，连接BE ，且AE ⊥BE ，求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在△ABC 中,∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线。

求证：BC=AB+AD.【练4】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC ．【例11】已知如图所示，在△ABC 中,AD 是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C （不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于点D ．求证：∠DBC ＝21∠BAC ．【例12】如图所示，已知21∠=∠，P 为BN 上一点，且D CBOEDA B21DMBCPNA CEDBCADCBABC PD ⊥于D ，AB+BC=2BD ，求证：0180=∠+∠BCP BAP 。

【练1】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA, AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A【例13】如图所示，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，090=∠BAC ，CBD ABD ∠=∠，CE 垂直于BD 的延长线于E 。

求证：BD=2CE 。

【练1】已知：如图示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．【练2】如图所示，在ABC ∆中，090=∠ABC ，AD 为BAC ∠的平分线，C ∠=300，AD BE ⊥于E 点，求证：AC-AB=2BE 。

【练3】正方形ABCD,E 是BC 上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F ，求证AE=EF【练4】已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知AB BCD ABC ∠∠,探求ED 、AE 和BC 之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、PEDCBACF 之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证：AB-AC ＞PB-PCC【练1】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，垂足为C 、D 。

求证：（1）OC=OD ； （2）DF=CF 。

构造等边三角形1、如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 是CB 延长线上一点,∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.练习1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE ⊥AB 于D,如果AC=3cm,那么AE+DE 等于OA 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、5cm练习2、在△ABC 和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：'''C B A ABC ∆≅∆. （倍长中线）练习3、如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D ，求证：∠2=∠1+∠C练习4、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在A 、E 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E （1）试说明：BD=DE+CE ．（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何请直接写出结果；（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何请直接写出结果，不需说明理由．如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，有过A 的任一条直线AN ，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，求证：DE ＝BD －CE ．（思路：截长补短法）AB C DA'B' C'D'如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60°.（截长补短）1、如图，等腰直角ABC∆，P为CE中点，连接PA、PD.∆与等腰直角BDE探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度数α），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不（︒<90正确，请说明理由.3、已知AM为ABC∆的中线，AMB∠的平分线分别交AB于E、交AC于F．∠，AMC求证：BE CF EF+>．（辅助线的连法都一样）【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt △ADE（AAS）∴∠AED=∠B=90°，DE=DB又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE=EC．∴AC=AE+EC=AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．如图,已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.（1）求证：AM平分∠DAB（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系直接写出结果。