通信原理02第二章 确知信号
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樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(确知信号)【圣才出品】
第2章确知信号思考题2-1 何谓确知信号？答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。
例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。
2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。
答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零。
（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。
2-3 试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。
答：单位冲击函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲。
其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。
2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。
答：如图2-1所示。
图2-12-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。
答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号。
（2）能量信号的频谱密度适用于能量信号。
（3）能量信号的能量谱密度适用于能量信号。
（4）功率信号的功率谱密度适用于功率信号。
2-6 频谱密度S（f）和频谱C（jnω0）的量纲分别是什么？答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。
2-7 自相关函数有哪些性质？答：自相关函数的性质：（1）自相关函数是偶函数；（2）与信号的能谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；（3）当τ＝0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。
2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函数时系统的零状态响应，一般记作h（t）。
（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。
习题2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：（1）s1（t）＝e－t u（t）（2）s2（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）（3）s3（t）＝e－2t解：若0＜E＜∞，而功率P→0，则为能量信号；若能量E→0，而0＜P＜∞，则为功率信号。
第2章确知信号
令T 等于信号的周期T0 ，于是平均功率为
T
T / 2
T / 2
s ( t ) dt
2
1
T0
T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
P 1 T0
T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
n
T0 / 2 T0 / 2
s (t )e
dt
1 T
T0 / 2
T0 / 2
s ( t )[cos( 2 nf 0 t ) j sin( 2 nf 0 t )] dt 1 T
T
T0 / 2
s ( t ) cos( 2 nf 0 t ) dt j
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
j n
s ( t ) dt
Cn Cn e
－双边谱，复振幅 |Cn| －振幅， n－相位
(2.2 － 4)
第2章 确知信号
周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
C n
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
s (t )e
j 2 nf 0 t
2
S ( f ) df
2
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E
G ( f ) df
(2.2-38)
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
第2章 确知信号(简)
例如： s(t ) 5sin(2000t 60),
t
1 2 2 周期为： T0 f0 0 2000
非周期信号
s (t )
T
t
第2章 确知信号
2、按照能量是否有限区分： （1）能量信号 归一化功率——电流在单位电阻（1）上消耗的功率： 能量信号 功率信号
S ( f ) s(t )e j 2ft dt
j 2ft 而S(f)的傅里叶逆变换即为原信号： s(t ) S ( f )e df
第2章 确知信号
2. 能量信号频谱密度S(f)和周期性功率信号频谱Cn的主要区别： S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
T0 / 2
s(t )[cos(2 nf 0t ) j sin(2 nf 0t )]dt
1 T0 / 2 s(t ) cos(2 nf0t )dt j T0
T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
s(t )sin(2 nf 0t )dt
Re(Cn ) j Im(Cn )
第2章 确知信号
2. 周期性功率信号频谱的性质 1 T /2 Cn C (nf0 ) s(t )e j 2nf t dt T0 T / 2
0 0 0
(2.2 1)
（1）离散谱
对于周期性功率信号来说，其频谱函数Cn是离散的，只
在f0的整数倍nf0上才取值。 （2）复振幅
式（2.2-1）中频谱函数Cn是一个复数，代表在频率nf0
Cn
1 1
2
离散性 谐波性 收敛性
nf 0
第2章 确知信号
樊昌信《通信原理》(第6版)(课后习题 确知信号)【圣才出品】
其自相关函数为
2-7 已知一信号 s(t)的自相关函数为
(1)试求其功率谱密度 Ps(f)和功率 P； (2)试画出 RS(τ)和 Pn(f)的曲线。 解：（1）功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换，故
功率
。
（2）自相关函数和功率谱密度随频率的变化曲线如图 2-2 所示：
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又因
PБайду номын сангаас
1 T
T /
T
2 /2
s
2
(
t
)dt
1 ，故
s(t)是功率信号。
该信号周期为 T0 1，基波频率为 f0 1，则其傅里叶级数
即
Cn 1 , n 1
Cn 0 , others
故信号的功率谱密度为
P( f )
Cn 2 ( f nf
) ( f f0 )( f f0 ) 。
n
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图 2-2
2-8 已知一信号 s(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
试求 s(t)的功率谱密度 Pn(f)并画出其曲线。 解：周期性功率信号的功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，则
功率谱密度曲线如图 2-3 所示：
图 2-3
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2-5 试求出 s(t)=Acoswt 的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：（1）根据题意可知，s(t)为周期性功率信号，其自相关函数定义为
其中T0 2 / w 。
（2）由自相关函数的性质可知，平均功率为
。
功率谱密度为
P( f ) R( )e j2 f d A2 cos( 2 )e j2 f d
现代通信原理答案WORD版( 罗新民)指导书 第二章 确定信号分析 习题详解
第二章 确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。
图 E2.1①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。
②求相应的标准正交函数集。
③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：⎩⎨⎧≤≤=为其它值t t t s ,040,1)(④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差： ⎰∑-=-=44231])()([dt t u a t s k k k ε⑤对下面的波形重复（3）和（4）：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=为其它值t t t t s ,044),41cos()(π ⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：①证明：由正交的定义分别计算，得到12()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，23()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，31()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，得证。
②解：424()8,k C u t dt k -== =1,2,3⎰，对应标准正交函数应为()(),1,2,3k k q t t k ==因此标准正交函数集为123123{(),(),()}(),()()}q t q t q t t t t =③解：用标准正交函数集展开的系数为4()(),1,2,3k k a s t q t dt k =⋅ =⎰，由此可以得到4110()()a s t t dt ===⎰4220()()a s t t dt ===⎰4330()()0a s t t dt ==⎰。
所以，121211()()()()()22s t t t u t u t ==-④解：先计算得到312111()()()()()()022k k k t s t a u t s t u t u t ε==-=-+=∑ ⑤解：用标准正交集展开的系数分别为441141()())04a s t t dt t dt π--===⎰⎰，44224011()()cos()cos()044a s t t dt t dt t dt ππ--==-=⎰⎰⎰，433422442()()111cos()))444a s t t dtt dt t dt t dt ππππ----= =-+- =⎰⎰⎰⎰。
通信原理第2章 确知信号
n 1
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
通信原理-第2章
思考问题
(2.1) 为什么能量信号的平均功率为零,举例说明哪 些信号是能量信号，哪些信号是功率信号？
(2.2.1) 周期信号的频谱特性？ (2.2.2) 为什么能量信号用频谱密度来表示它的频
域特性？
2.1 确知信号的类型
❖ 按照周期性区分： ➢ 周期信号：每隔一定时间T，周而复始且无始无终的信 号。
g a (t )
它的傅里叶变换为
1 0
t /2 t /2
Ga ( f )
/2 e j2 ft dt
/2
1 (e j f e j f ) sin( f ) Sa( f )
j2 f
f
ga(t) 1
0
t
Ga(f)
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2
性质：
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
功率信号的自相关函数也是偶函数。
2.3.2 功率信号的自相关函数
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V ,
/2 t /2
s(t)
s(t) 0,
/ 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
由式(2.2-1)：
t
V
-T
0
t
T
/2
Cn
1 T
/2 Ve j 2 nf0t dt
矩形脉冲的带宽等于其脉
冲持续时间的倒数，在这里
通信原理-确知信号_2
s(t)
V
0 T
t
其频谱：
Cn
1 T
Ve j 2nf0t dt
0
1 T
V
j 2nf 0
e
j 2nf0t
0
V 1 e j 2nf0 V
1 e j 2n / T
T j2nf0
j 2n
可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是 复函数 。
则其能量谱密度G(f )为：
G(f ) = |S(f )|2
能量——Parseval定理
E
s2 (t)dt
S( f ) 2df
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G( f )df 2 G( f )df
0
例 【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度 。
解
在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：
0
2/
f
评注：矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即 (1/) Hz 。
例 【2-4】试求单位冲激函数 (函数) 的频谱密度。
解 函数的定义：
(t)dt 1 且 (t) 0, t 0
函数的频谱密度：
( f )
(t)e j2ft dt 1
f
)
V
n T
2
Sa2f
(
f
nf0)
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
—— 能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号： s(t) S ( f )e j2ft df
通信原理 第2章(基础知识)
31/59
2.4.3 平稳随机信号通过系统
平稳信号X(t)输入系统，
Y (t) X (t) h(t) X (t u)h(u)du
X(t)与Y(t)是联合平稳的。
1. 输出的概率特性 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程。 2. 输出的功率谱
PY ( f ) PX ( f ) H ( f ) 2
P f
Beq
1 P( f0 )
P(
0f)dfBeqP f0
f
当 P f 为低通信号时， f0 0
0
f0
便于计算信号功率， P 2BeqP f0
2019/11/25
17/59
等效噪声带宽（相对于系统）
equivalent noise bandwidth
Hf 2
(自学)
2019/11/25
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2.1 确知信号
2019/11/25
3/59
2.1.1 信号及其基本参数
信号——某个随时间变化的电子或电气物理量，如v(t) 或i(t)，也常常称为波形。
实际物理波形的特点： 1）实的、连续的、峰值有限的 2）存在于有限的时间段内 3）频谱主要集中在某个频带中
2.2 随机信号
（随机过程）
（Random Signal）
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2.2.6 功率谱密度
1. 功率谱密度与维纳—辛钦定理
功率型信号
P lim 1 T x2 t dt T 2T T
功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。
功率谱密度（PSD）：
通信原理
第2章 基础知识
2确知信号
Cn
第2章 确知信号 章
求图所示周期性方波的频谱。 0 ≤ t ≤τ V , s(t ) = τ <t <T 0,
s(t ) = s(t − T ),
1 T
τ
s(t)
−∞ < t < ∞
-T
V 0 τ
T
τ
t
Cn =
∫
0
Ve
− j 2 π nf 0 t
dt =
1 V − T j 2 π nf
0 0 0 0 0 0
|Cn|
Cn的模偶对称
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(a) 振幅谱
θn
Cn的相位奇对称
-5
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3 4 5
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号 章
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
s (t ) =
n = −∞
∑C
∞
n
e
j 2 π nt / T 0
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
第2章 确知信号 章
δ函数的性质： δ函数可以用抽样函数的极限表示：
δ ( t ) = lim
k
k→∞
因为，可以证明
∫
∞
k
π
sin c ( kt )
−∞
π
sin c ( kt ) dt = 1
t
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越 小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。 和下式比较：
0, u (t ) = 1, 当 t < 0, 当t ≥ 0
第2章 确知信号 章
求图所示周期性方波的频谱。 0 ≤ t ≤τ V , s(t ) = τ <t <T 0,
s(t ) = s(t − T ),
1 T
τ
s(t)
−∞ < t < ∞
-T
V 0 τ
T
τ
t
Cn =
∫
0
Ve
− j 2 π nf 0 t
dt =
1 V − T j 2 π nf
0 0 0 0 0 0
|Cn|
Cn的模偶对称
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(a) 振幅谱
θn
Cn的相位奇对称
-5
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3 4 5
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号 章
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
s (t ) =
n = −∞
∑C
∞
n
e
j 2 π nt / T 0
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
第2章 确知信号 章
δ函数的性质： δ函数可以用抽样函数的极限表示：
δ ( t ) = lim
k
k→∞
因为，可以证明
∫
∞
k
π
sin c ( kt )
−∞
π
sin c ( kt ) dt = 1
t
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越 小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。 和下式比较：
0, u (t ) = 1, 当 t < 0, 当t ≥ 0
通信原理教程第二章 信号
P(X xn) = 1
∵P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi),
∴
0
FX
(x)
i
pk
k1
1
x x1 x1 x xi1
x xn
性质：
FX(- ) = 0
FX(+) = 1
若x1 < x2，则有: FX(x1) FX(x2) ，
随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此
X为一呼叫次数是一个
随机变量。 随机变量的分布函数：
定义：FX(x) = P(X x) 性质： ∵ P(a < X b) + P(X a) = P(X b),
f(t)sin t)( 0t1
f(t)f(t1)
求频谱：
t
C ( jn 0 ) T 1 0 T T 0 0 // 2 2 s ( t ) e j n 0 td 0 1 t si t ) e n j2 n d ( t t ( 4 n 2 2 1 )
解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：
(t)dt 1 (t) 0
t 0
(t)的频谱密度： (f)(t)e j td 1 t(t)d 1 t
7
Sa(t)及其频谱密度的曲线：
(f)
(t)
1
0
t
0
f
函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。
将上式两端求导，得到其概率密度：
性质：
n
pX(x) pi(xxi) i1
通信原理课件第2章确知信号
测试信号
用于系统性能测试和故障诊断，如误码率测试和信号质量评估等。
THANKS
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确知信号的应用
在通信系统中，确知信号常被用作载 波信号或调制信号，以传递信息。
可以用确定的数学函数来表示确知信 号，例如正弦波、余弦波、方波等。
确知信号的分类
周期信号和非周期信号
根据信号波形重复性的不同，可以将确知信号分为周期信号和非周期信号。周 期信号的波形在时间上重复出现，而非周期信号则没有这种重复性。
确定性
确知信号的波形是确定的 ，不受外界干扰的影响， 因此其取值是确定的，不 具有随机性。
02
CATALOGUE
确知信号的频域分析
频域分析的基本概念
频域
在信号处理中，频域是描述信号 频率特性的一个抽象空间，通过 将信号分解为不同频率的正弦波
分量来研究信号的频率特性。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究信号在频域中 的性质和行为的一种数学工具， 通过将信号表示为正弦波的叠加 ，可以分析信号的频率成分和频
能量信号与功率信号
能量信号是指能量有限的信号，其能量值在时间上可变；功率信号是指功率有限的信号， 其功率值在时间上可变。能量信号和功率信号的时域波形和频域特性有所不同。
确知信号的时域运算
信号的加法与减法
将两个同频率、同相位的信号相加或相减，可以得到一个新的信号。新信号的幅度和相位可以通过简单的代数运算得 到。
率变化。
频谱
频谱是信号在频域中的表示形式 ，通过将信号的幅度或功率随频 率变化的规律绘制成图，可以直
观地了解信号的频率特性。
确知信号的频谱
确定性信号
确知信号也称为确定性信号，是 指信号在时间上是确定的，即对 于任意给定的时间，信号都有一
用于系统性能测试和故障诊断，如误码率测试和信号质量评估等。
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确知信号的应用
在通信系统中，确知信号常被用作载 波信号或调制信号，以传递信息。
可以用确定的数学函数来表示确知信 号，例如正弦波、余弦波、方波等。
确知信号的分类
周期信号和非周期信号
根据信号波形重复性的不同，可以将确知信号分为周期信号和非周期信号。周 期信号的波形在时间上重复出现，而非周期信号则没有这种重复性。
确定性
确知信号的波形是确定的 ，不受外界干扰的影响， 因此其取值是确定的，不 具有随机性。
02
CATALOGUE
确知信号的频域分析
频域分析的基本概念
频域
在信号处理中，频域是描述信号 频率特性的一个抽象空间，通过 将信号分解为不同频率的正弦波
分量来研究信号的频率特性。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究信号在频域中 的性质和行为的一种数学工具， 通过将信号表示为正弦波的叠加 ，可以分析信号的频率成分和频
能量信号与功率信号
能量信号是指能量有限的信号，其能量值在时间上可变；功率信号是指功率有限的信号， 其功率值在时间上可变。能量信号和功率信号的时域波形和频域特性有所不同。
确知信号的时域运算
信号的加法与减法
将两个同频率、同相位的信号相加或相减，可以得到一个新的信号。新信号的幅度和相位可以通过简单的代数运算得 到。
率变化。
频谱
频谱是信号在频域中的表示形式 ，通过将信号的幅度或功率随频 率变化的规律绘制成图，可以直
观地了解信号的频率特性。
确知信号的频谱
确定性信号
确知信号也称为确定性信号，是 指信号在时间上是确定的，即对 于任意给定的时间，信号都有一
通信原理(第二版)第2章确知信号与随机信号分析
通信原理(第二版)第 2章确知信号与随机
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。
通信原理第2章
(
)
lim
T
1 T
T /2
T / 2 f1(t) f2 (t )dt
对周期功率信号f 1(t)和f 2(t)，其互相关函数定义为
R12
(
)
1 T0
T0 / 2 f1(t) f2 (t )dt
T0 / 2
2. 互相关函数的物理意义 设f 1(t)和f 2(t)是两个矩形信号，
2． 冲激信号
(t)
, 0,
t 0 t0
且 (t)dt 1
直流信号占功率，频率为零。
3． 升余弦脉冲信号
f
(t)
A 2
1
cos
2
t
0
t
2 其它
其频谱为： F ( f ) f (t)e j2 ftdt
思考： 周期信号是什么信号？非周期信号呢？
通信信号f(t)的能量(消耗在1Ω电阻上)E为
E f 2 (t)dt
其平均功率P为
P f 2 (t) lim 1 T/ 2 f 2 (t)dt T T -T/ 2
2.1.2 常用系统的分类
1. 线性系统和非线性系统
kr(t)=g［kf(t)］ r1(t)+r2(t)=g［f1(t)+f2(t)］
T0 2
An
2 T0
Tt
是周期信号f(t)的第n次余弦波的振幅
2 T0 2
Bn T0
f (t)sin 2πnf0tdt 是周期信号f(t)的第n次正弦波的振幅；
T0 2
f0
1 T0
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对于物理可实现的实信号，由式（2.2－1）有
1
Cn T0
T0 / 2 T0 / 2
s(t)e
dt j 2nf0t
1
T0
T0 / T0
2 /2
s(t
)e
j
2nf0t
dt
Cn*
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cnn|
Cn的模相是位偶为对奇称对称
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
例2.3 试求下图中周期波形的频谱。
s(t) 1
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t
解： s(t) sin(t) 0 t 1
s(t) f (t 1) t
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
注意：针对能量信号讨论问题时，常把频谱密度简称为频谱。
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第二节 确知信号的频域分析
Southwestern University
（2.2－5）代入式（2.2－2），得到
s(t)
C e j2nt /T0 n
C0
an cos2nt /T0 bn sin 2nt /T0
n
n1
C0 an2 bn2 cos2nt / T0 n1
式中 tan 1 bn / an
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/2
Cn
1 T
/ 2Ve j 2nf0t dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e
j
2nf0t
/ 2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf 0T
2、计算： 常用信号的傅里叶变换；傅里叶变换的尺度变换特性、
频移特性、卷积定理的应用；能量和功率的计算；相关函数 与谱密度的互求。
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学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
难点
1、信号类型的区别与关系。 2、狄利克雷条件。 3、傅里叶级数的物理意义——频谱。 4、周期信号频谱的特点。 5、周期信号频谱Cn 的意义。 6、傅里叶变换及其性质的意义。 7、频谱密度和频谱的区别。 8、双边谱和单边谱的概念。 9、冲激函数及其常用性质。
含弘光大 继往开来
通信原理
主讲教师：高 渤 gaobo@
西南大学电子信息工程学院 通信教研室
学习内容
通信原理【 第二章 确知信号】
第二章 确知信号 Southwestern University
1 信号的分类和特性 2 确知信号的频域分析 3 确知信号的时域分析
5
西南大学电子信息工程学院
式中，f0称为基频， nf0称为n次谐波频率。
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
Southwestern University
C0
1 T0
T0 / 2 s(t)dt ，直流分量（n＝0）。
T0 / 2
傅立叶系数Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值， 因此，称Cn为信号的频谱。 Cn一般表示为复数形式。
V
t
-T
0
T
解：
V ,
s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
t
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
二、能量信号的频谱密度
1、频谱密度（frequency spectrum density）的定义：
能量信号S（t）的傅里叶变换：S( f ) s(t)e j2ft dt
S（f）的逆傅里叶变换就是原信号： s(t) S( f )e j2ft df
能量信号频谱密度S（f）和功率信号频谱Cn的主要区别： 1）S（f）是连续谱；Cn是离散谱； 2）S（f）的单位是V/Hz；而Cn的单位是V。
第二章 确知信号 Southwestern University
1 信号的分类和特性 2 确知信号的频域分析 3 确知信号的时域分析
5
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
一、功率信号的频谱 通过傅立叶级数和傅立叶变换来进行分析。
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学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
学习要点
1、信号的分类及其特征； 2、信号的频域分析法和频谱的概念； 3、傅里叶级数的物理意义； 4、傅里叶变换及其基本性质； 5、函数及其常用性质； 6、信号的能量谱和功率谱； 7、相关函数的定义和性质； 8、相关函数与谱密度的关系。
s(t ) sin(
2nf 0 t )dt
0
所以Cn为实函数，即： 傅立叶级数展开式中只含有直流项和余弦项。
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
例2.1 试求下图所示周期性方波的频谱。
s（t）
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-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相振位幅谱
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
3、周期实信号的另一种展开形式：三角形式的傅立叶级数。 利用频谱正、负频率存在“负数共轭”的关系，将式
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第一节 信号的分类和特性
通信原理【 第二章 确知信号】
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2、按照能量区分： 1）能量信号：
能量有限信号，其振幅和持续时间均有限，非周期性。
0 E s2 (t)dt
2）功率信号：功率有限，信号的持续时间无限。
，
Cn
1 2
an2 bn2
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
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上式（2.2－8）表明：
1、实信号可以表示成包含直流分量C0、基波（n = 1时）和各 次谐波（n = 1, 2, 3, …）。
因为信号波形为偶函数，因此其频谱Cn是实函数，故波形的 傅立叶级数展开式为：
s(t) 2
1
e j 2nt
n 4n 2 1
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
归一化功率：P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
平均功率P为有限正值： P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于 。
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学习内容
通信原理【 第二章 确知信号】
V
t
-T
0
T
解：
s(t)
V , 0,
0t tT
s(t) s(t T ),
t
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
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第二节 确知信号的频域分析
通信原理【 第二章 确知信号】
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学习目标
通信原理【 第二章 确ity
重点
1、概念： 信号的分类与特征；频谱的概念；周期信号频谱的特点
和意义；傅里叶变换特性的物理内涵；相关函数的定义和性 质函数。
Cn Cn e jn
|Cn|——振幅（谱），n——相位（谱）； Cn信号分量的复振幅，双边谱（物理上没有负频率）。
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第二节 确知信号的频域分析
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通信原理【 第二章 确知信号】
2、周期性功率信号的频谱性质
1、周期性功率信号频谱（函数）的定义
周期功率信号的指数型傅立叶级数（Fourier series）：
s(t)
C e j 2nt /T0 n
n
其中，傅立叶级数的系数（频谱函数的定义）为：
Cn
C(nf0 )
1 T0
T0 / 2 s(t )e j 2nf0t dt
T0 / 2
第一节 信号的分类和特性
通信原理【 第二章 确知信号】
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