第07章 方差分析与试验设计(课堂PPT)
方差分析1132页PPT
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
14
7
8
6
16
8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第讲方差分析ppt-精品.ppt
2.单因素方差分析步骤
（1）给出原假设H0 （2）构造检验的统计量； （3）计算检验统计量的观测值F和相应的概率值P； （4）将概率值P与给定的显著性水平进行比较，做出接受或拒绝原假
设H0的决策。
当遇到两个以上样本均值的比较问题时，这就需要方差分析的 方法。方差分析又称变异数分析（annalysis of variance,ANOVA） 或F检验（F Test），是由R.A.Fister发明的。
一、方差分析的概念
例如： 在现实生活中，影响具体某个事物（例如学生的学习成绩）的
因素（例如教师水平、教学方法、使用的教材、学生的素质、课程 性质等）往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素对学习成绩的 影响是显著的，方差分析是解决这一问题的有效方法 。
• 控制因素
– 因素的不同水平一定会导致不同的实验结果，称为控制变量（例如：教 师水平）
一、方差分析的概念
4.方差分析的用途
①均值差别的显著性检验； ②分析因素间的交互作用； ③方差齐性检验。
一、方差分析的概念
5.方差分析的思想
通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定控制变 量对研究结果影响力的大小。
SPSS提供了以下方差分析的方法： 1.One-Way ANOVA：单因素方差分析 2.Univariate：多因素方差分析 3.Multivariate：多因变量多因素方差分析 4.Repeated Measures：重复测量方差分析 5.Variance Components：方差成分分析
一、方差分析的概念
3. SPSS操作及案例分析
例一：比较不同教学方法（单因素）教学后，学生的学习成绩（结果）是 否存在显著性差异。
方差分析法PPT课件
计算各样本平均数 y 如i 下:
表 6－2
型号
ABCDE F
yi
9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
•5
引言 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
y 1与 y ,2 与y 1 ,…y 3 与 y ,1 与y 6 ,…y ,2 与y 3 ,共有y (5
6.3 显著性检验
利用(6-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给定的显著水
平,可以从F分布表查出临界值
A的值.
F(k1,k(再m根1)据),样本观测值算出F
当 FAF(k1,时k(m ,拒1绝))H0,
当 FAF(k1,,时k(m ,接1 受))H0。
即：如果H0成立，F应等于1；相反应大于1，而且因素的影响越大， F值也越大
m
km
T Tj Yij
•38
j1
作统计假设：6种型号的生产线平均维修时数无显 著差异，即
H0： i=0（i=1,2,…,6）,H1:i不全为零
•37
6.3 显著性检验
计算SA及SE
k
SA
k
m
i1
(Yi
Y)2
Ti2
i1
m
T2 km
k
km
km
Ti2
SE i1
(Yij Yi)2
j1
i1
j1Yij2i1m
m
Ti Yij
j 1
相当于检验假设
H0 : i 0 (i=1,2,…,k) , H1 : αi不全为零
•29
6.3 显著性检验
可以证明当H0为真时,
ST
2
~2(k
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素对实验结果的影响是否显著。
组间变异是指不同组之间的差异，组内变异是指同一组内部的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的差异是由于实验因素的影响，而不是由于随机误差的影响。
二、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括：确定实验因素、选择实验对象、设计实验方案、收集数据、计算方差、进行假设检验和结果解释等。
1. 确定实验因素：首先需要明确研究的目的和问题，确定需要研究的实验因素。
实验因素是指可能对实验结果产生影响的变量，比如不同处理、不同时间、不同地点等。
2. 选择实验对象：根据实验因素的不同水平，选择适当的实验对象。
实验对象应该具有代表性，能够反映出实验因素对实验结果的影响。
3. 设计实验方案：根据实验因素的不同水平，设计实验方案。
常用的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计、因子设计等。
4. 收集数据：按照实验方案进行实验，收集实验数据。
数据的收集应该准确、全面、可靠。
5. 计算方差：根据收集到的数据，计算组间变异和组内变异的大小。
常用的方差计算方法有单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 进行假设检验：根据计算得到的方差值，进行假设检验。
常用的假设检验方法有F检验、t检验等。
7. 结果解释：根据假设检验的结果，解释实验结果。
如果差异显著，则说明实验因素对实验结果有显著影响；如果差异不显著，则说明实验因素对实验结果没有显著影响。
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
2020/6/19
7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
2020/6/19
7.4 多重比较(multiple comparison)
2020/6/19
7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
2020/6/19
7.2.3 均方期望与统计量F
2020/6/19
7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
第7章 试验设计
因素与水平的选取方法 选择实验因素的原则： ①因素数目要适中 ②因素水平范围适当 ③实验指标要定量
虽然近代工程中，20－50个因素一 起试验并不罕见，但以7－8个因素为 宜，这样可以充分发挥试验设计方法 的效果。
选取因素时要特别注意交互作用： 这些因素同时改变时其效果超过单独 改变某一因素的作用。
只有按照科学的统计方法设计试验 得到的试验数据才能进行科学的分析 统计，得到客观有效的结论。
反之，如果试验设计存在缺点，一 大堆不符合统计学原理的数据可能毫 无作用，降低了研究的价值。
（4）均匀设计——大型试验
方开泰
王元
1978年方开泰研究员和数学家王元共同 提出的，在极多因素、极多水平大型试验中 发挥作用，航天工程、汽车工业、三峡工程 中得到广泛应用，近年来走向国际。
不了解均匀设计是试验研究方法是 不完整的。
方开泰
王元
1978年方开泰研究员和数学家王元共同提
出的，在多因素、多水平试验中发挥作用，航
天工程、汽车工业、三峡工程中得到广泛应用。
近年来走向国际。
D——均匀度偏差，越小表示分散性越好
刘文卿《实验设计》：
*表示两种不同的均匀设计表
*表示两种不同的均匀设计表
选取哪些因素进行试验研究显然需要深 厚的理论基础和丰富的实践经验。
正交试验一般应安排验证试验。
7.3 均匀设计
（极多因素水平的试验设计）
李云雁《试验设计与数据处理》P162
1978年方开泰研究员和数学家王 元共同提出的，在多因素、多水平试 验中发挥作用，航天工程、汽车工业、 三峡工程中得到广泛应用。近年来走 向国际。
李教材P166
错误提法
演示作业：P170第2题
最新七章方差分析与实验设计
X r~N (r, r2) (X r1, ,X r,nr)
方差分析的基本工具： F-检验
X~N(X,2 X) (X1,X2,
,Xn1)
S
2 1
Y~N(Y,Y 2) (Y1,Y2,
,Yn2)
S
2 2
FS S1 2 2 2~F(n11,n21), 若 122 2,X与 Y相 互 独 立
例1：某公司为了研究三种内容的广告宣传对某 大型机械销量的影响，进行调查统计。经广告宣 传后，按寄回的广告上的订购数量计算，一年四 季的销量如下表（大型机械销售与季节无关）。
S12=Q1 / (n-r)
Q2
(r-1) S22=Q2 / (r-1)
x1
x
x2
x3
S12 ：每组观测数据的方差（随机误差和） S22：每个总体的样本均值之间的差异 比较 两种方差的大小： S22 是否明显大于S12
检验统计量： F S S 1 2 2 2 Q Q 1 2 / / n r 1 r 1 ~ 2 F ( r 1 ,n r )
X~N(1, 12)(X1,,Xn1)H0:1 2 ?
Y~N(2,
22) (Y1,,Yn2
)
在方差分析中，我们常常同时关注几个总体的均值是 否相等的问题：
X 1~N (1, X 2~N (2,
2 1 2 2)) ((X X 1 2,,1 1 ,,X X 1 1 n n 1 2)) H 0: 12 r ?
i r 1 j n i 1 X i jX 2 i r 1 j n i 1 X i jX i2 i r 1 n iX i X 2
总变差 = 随机抽样误差 + 系统变差
（组内变差平方和）+（组间变差平方和）
第七章 方差分析 《试验设计与统计分析》PPT课件
否定 H0
:
2 t
2，接
e
受H
A
:
2 t
2 e
;
• 即品种间变异在0.01水平上显著大于品种内
(即误差)变异，说明不同品种的单株鲜重在
0.01水平上有显著差异(P＝2.05×10－)5。
• 在统计分析过程中，一般将自由度和平方 和分解及F检验结果，归纳整理成方差分析 表，并在F值右上角用“*”、“**”分别 标注=0.05和=0.01的显著性，如表7.3所示。
表7.3 不同饲草品种单株鲜重的方差分析表
变异来源 DF SS
MS
显著标准
P
F
F0.05(4,10) F0.01(4,10)
品种间
4 116010.3 29002.57 28.06** 3.48
品种内(误差) 10 10335.3 1033.53
总的
14 126345.6
5.99 2.05×10－5
|
t (dfe
)
亦即t t (dfe )
• 所以， FPLSD法实质上仍是t检验。
• 其中t，为显著水平为时，误差项自由度dfe 下的t临界值。
• 在t检验中，
• s x1 x2 为平均数差数的标准误，且
• 当n1=n2=n时，
s x1 x2
2se2 ； n
S 2 SS1 SS2 e df1 df2
第七章 方差分析
第一节 方差分析的意义
• 3个以上平均数间的差异进行显著性检验， 若仍采用t检验法两两检验，将存在以下三 方面的缺陷：
• 其一，检验过程非常烦琐。 • 其二，不能充分利用试验资料的全部信息，
精度不高。
• 其三，随着k的增大，犯第一类错误的概率 也将增加。
第七章方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA）
第七章方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)7.1 方差分析概述7.2 单因素方差分析7.3 无重复双因素方差分析7.4 可重复双因素方差分析7.5 案例研究7.6 试验设计初步7-17.1 方差分析概述⒈方差分析的概念⒉方差分析中的基本术语⒊ANOVA：对比多个总体的均值⒋方差分析中的基本假定7-27-3方差分析的概念方差分析：通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
解决：①A 、B 、C 是否Y 的重要影响因素；②如果为重要影响因素，最优水平？研究系统A B C分类型自变量Y数值型因变量A （a 1，a 2，a 3，…）B （b 1，b 2，b 3，…）C （c 1，c 2，c 3，…）7-4方差分析中的基本术语第1周第9周第14周第2周第7周第16周第4周第12周第17周第5周第10周第13周第3周第8周第18周第6周第11周第15周AB品牌底部中部顶部货架位置因素因素水平实验单元：“一周”响应变量：“每周销售量”处理：品牌—货架位置组合随机安排试验例：一项市场营销研究。
考察品牌和货架位置对咖啡周销售量的影响。
试验单元（experiment unit ）、响应变量（responsevariable ）、因素（factor ）、因素水平（factor level ）、处理（treatment ）。
ANOVA：对比多个总体的均值佣金固定薪金佣金加固定薪金165120140981151561309022021012611219510713418715523524080总平均样本均值175.00113.29166.17151.48三类报酬构成的推销人员的月销售额（千美元）问题：（1）三种报酬类型销售人员的销售业绩是否存在显著差异？（2）如果存在差异，哪类销售人员的业绩最佳？三个总体的均值是否相等？7-57-6散点图佣金固定薪金佣金+固定薪金50100150200250300分类型自变量销售业绩均值差异分析：（1）同一总体内部的差异（随机差异）？（2）不同总体之间的差异（随机差异+系统差异）？（3）两类差异大小分析？7-71x 2x 3x ()f x x31x 2x 3x ()f x x2 1 H 0为真时，样本均值的抽样分布H 0为假时，样本均值的抽样分布方差分析中的基本假定•基本假定：•（1）每个总体均服从正态分布；•（2）每个总体的方差相等；•（3）来自每一总体的样本都是独立随机样本三个总体均值是否相等？012311::H H 23,,不全相等7.2 单因素方差分析（One-way Analysis of Variance）⒈基本概念与数据结构表⒉ANOVA：k个总体均值的检验⒊ANOVA表：单因素方差分析⒋最佳方案的选择7-87-9基本概念与数据结构研究一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《
Chap 07-5
什么是方差分析?(例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表
观测值
消费者对四个行业的投诉次数
行业
零售业
旅游业
航空公司
家电制造业
1
57
68
31
44
2
66
39
49
51
3
▪ 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 ▪ 系统误差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 ▪ 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异
▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由
于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素
造成的，称为系统误差
《
Chap 07-14
《
Chap 07-4
什么是方差分析?
▪ 检验多个总体均值是否相等
▪ 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等
▪ 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个定类尺度的自变量
两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
一个定距或定比尺度的因变量
▪ 有单因素方差分析和双因素方差分析
单因素方差分析：涉及一个定类的自变量 双因素方差分析：涉及两个定类的自变量
49
29
21
65
4
40
45
34
77
5
34
56
40
58
6
53
51
7
44
《
Chap 07-6
什么是方差分析? (例题分析)
▪ 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异， 也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显 著影响
▪ 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投 诉次数的均值是否相等
▪ 若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次 数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显 著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对 投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显 著差异
释 掌握试验设计的基本原理和方法
《
Chap 07-2ຫໍສະໝຸດ 第7章 方差分析与试验设计
7.1 方差分析引论 7.2 单因素方差分析 7.3 方差分析中的多重比较 7.4 双因素方差分析 7.5 试验设计初步
《
Chap 07-3
7.1 方差分析引论
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4
方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析中的基本假定 问题的一般提法
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比如，四个行业被投诉次数之间的方差 ▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
《
Chap 07-15
方差分析的基本思想和原理 (方差的比较)
▪ 若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随 机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过 平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1
▪ 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析
所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差
这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分 析时，需要考察数据误差的来源
《
Chap 07-12
▪ 若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随 机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的 数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就 会大于1
《
Chap 07-7
方差分析中的有关术语
▪ 因素或因子(factor)
▪ 所要检验的对象
▪ 要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因
素或因子
▪ 水平或处理(treatment)
▪ 因子的不同表现 ▪ 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水
平
▪ 观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本数据 ▪ 每个行业被投诉的次数就是观察值
方差分析的基本思想和原理 (两类方差)
▪ 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方差 ▪ 组内方差(within groups)
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，零售业被投诉次数的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
▪ 组间方差(between groups)
方差分析的基本思想和原理
▪ 比较两类误差，以检验均值是否相等 ▪ 比较的基础是方差比 ▪ 如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差，则
均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 ▪ 误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的
《
Chap 07-13
方差分析的基本思想和原理 (两类误差)
▪ 随机误差
▪ 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的
应用统计学
第七章 方差分析与试验设计 Analysis of Variance and Experimental Design
《
Chap 07-1
本章学习目标
通过本章的学习，你应该能够:
识别何种场合适合使用方差分析 理解方差分析的原理 掌握单因素方差分析的步骤，并对结果做出合理的解
释 理解多重比较的意义 掌握双因素方差分析的步骤，并对结果做出合理的解
《
Chap 07-8
方差分析中的有关术语
▪ 试验
▪ 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试
验
▪ 总体
▪ 因素的每一个水平可以看作是一个总体 ▪ 比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以
看作是四个总体
▪ 样本数据
▪ 被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本
数据
《
Chap 07-9
方差分析的基本思想和原理 (图形分析)
▪ 行业与被投诉次数之间有一定的关系
如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们 被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈 现的模式也就应该很接近
《
Chap 07-11
方差分析的基本思想和原理
▪ 仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异
这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的
80
60
被投诉次数
40
20
0
0
零1 售业 2旅游业 3航空公司 4 家电制造 5
《
不同行业被投诉次数的散点图
行业
Chap 07-10
方差分析的基本思想和原理 (图形分析)
▪ 从散点图上可以看出
不同行业被投诉的次数是有明显差异的
同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的 次数较低