电磁场的数学基础

d dz
d dz
d d
e e ez
dV d d dz
x cos y sin zz
x2 y2 tan
zz
1
( 0)
y x
球坐标系( r, , ) S. C. S.
x r sin cos y r sin sin z r cos
cos cos cos sin
பைடு நூலகம் sin
sin cos
0
1.2.2 矢量代数 (Vector Algebra)
A 矢量加、减 (Addition and subtraction of vectors) B 矢量与标量的积(Multiplication of a vector by a scalar)
x
| r | x 2 y 2 z 2 r er |r |
xe r rer x ye y zez
单位矢量
：空间任一矢量与该矢量的模之比，称 为该矢量的单位矢量。单位矢量的含 义在于：单位矢量的模为1，方向与该 矢量的指向一致。
线元矢量
C/m
？
1）如果在一个球面上以1C/m2的密度均匀分布 有自由电荷，问，其总电量有多大？ 2）如果在一个无限大的平面上以 C/m2的 密度分布有自由电荷，问，其总电量有多大？
1 x2 y2
[2] 电流 i（current）
dq i dt
J
(en ) max s
J 体电流密度(简称电流密度) volume current density
方向：正电荷运动的方向 i di A/m 大小： K lim ln 0 l d ln n Current flows with a layer of infinitesimal depth
在一个曲面上流动的面电流密度
B 电流和电流密度 i（current and current density） 3) 电流和电流密度的关系
R. C. S. A B | A || B | cos Ax Bx Ay By Az Bz
应用1：力做功 W F dl
应用2: B dS
S
L
I J ds
S
应用3：判定两个矢量是否垂直（正交）
1.2.2 矢量代数 (Vector Algebra)
1.1.1 场源 两类场源（电荷q、电流i） [1] 电荷q（Charge） e = 1.60217733×10-19 1 C = 6.242×1018 e 1907-1913年 密立根（R.A.Milliken，美国）油滴实验—— 电荷是不连续的。 (C)
取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式： 点电荷分布形式（point charge） （ r ——源点的位矢） qr 体电荷密度（volume charge density）
d q r q r r lim V 0 V dV C/m 3
E
eR
Q ( x, y , z )
R r r
P ( x, y , z )
r
r
origin
面电荷密度（surface charge density） q r dq r r lim C/m 2 S 0 S dS 线电荷密度（line charge density） d q r q r r lim l 0 l dl
：在空间任意一路径的某一点上，任取 一长度微元，线元的大小为微元长 度，方向为路径在这点的切向方向。
dl
线元dl 始端
线元dl 末端
面元矢量
dS
en
：在空间任意曲面的某一点上，任取一 面积微元，面元的大小为面积微元的 面积，方向为该面积微元在这点的法 向方向。
1.2 矢量分析
1.2.1 正交坐标系统 (Orthogonal coordinate system)
矢量加减法
A B
y
Ay A
A B B
B
A B
A
A B
Ax
x
A B A ( B)
1.2.2 矢量代数 (Vector Algebra)
C 矢量的标量积(The scalar (dot) product of two vectors)
[2] 电位移矢量 D （magnetic field induction） 磁场强度 H （ magnetic intensity）
电位移矢量 D E B 磁场强度 H C/m2

A/m
1.1.3 媒质的电磁性能参数
反映媒质在电场作用下的极化性能——介电常数 (F/m) 反映媒质在电场作用下的导电性能——电导率 (1/m=S/m) 反映媒质在磁场作用下的磁化性能——磁导率 (H/m)
xx xy xz e yx yy yz zx zy zz
一些基本矢量
r 位移矢量 ：通过原点指向空间一点的一条有向线 段。(位矢)
z
r
o x
y
P(x, y, z)
z
y
e r e x cos e y cos e z cos
r x2 y2 z2
( r 0) (0 180 )
cos tan
1
z x2 y2 z2 y x
1
r sin d d
2
r sin drd
rdrd
er e e
dV r 2sin drd d
1.2.2 矢量代数 (Vector Algebra)
a
1.1.2 场量
对应于电场和磁场效应的两个基本场量( E 、B ) E [1] 电场强度（electric field intensity） F r N/C V/m E r lim qt 0 q t
• 试体电荷qt >0 (正电荷)
• 试体电荷几何尺寸很小(“点”特性的描述) • 试体电荷电量很小，不足以影响所研究的电场分布
Ae
Ae e
Ae
( A e )e e
ex ey ez
e
e
ez
0 0
cos sin
0
sin cos
0
1
ex ey ez
er
e
e
sin cos sin sin
cos
I J ds
J
ds
S
S
ds
points out from the surface
？
一个内外半径分别为a和b，长度L（L》b）的同轴电缆， U0 ， 已知，在加有电压U0时，其泄漏电流密度为 J e c b ln 问该电缆的漏电阻有多大？P.120
直角坐标系 cartesian, or rectangular, coordinate system 掌握各坐标系下： 圆柱坐标系 1）位置的表示 cylindrical coordinate system 2）位移矢量 3）线元矢量 球坐标系 4）面元矢量 spherical coordinate system 5）体元 掌握坐标系之间的互换
研究任务 以u、i为基本物理量
1.1 电磁场的物理模型
电磁场问题：
1）场源 2）场量 3）媒质
实际电磁装置中的电磁现象和过程
源量 ~ 场量 （基本规律， 分析计算方法 ，应用问题）
电磁场的物理模型
研究任务 以E、B、D、H 为基本物理量
media(、、 及其几何结构) Sources：(q、i) ( Field )
C
R
L
真空（自由空间）中电磁性能的特征参数
0 4 10-7
H/m
0 8.854 10-12 F/m
c 1
0 0
2.997 924 58 108 3 108
m/s
国际单位制 SI International System of Units MKSA system
线元： de dxe x dye y dze z 面元： dses dydze x dxdze y dxdye z
体元：
dV dxdydz
圆柱坐标系(, , z)
C. C. S.
polar coordinates

P( , )
• 矢量的表示 • 矢量运算
矢量表示 A Ae A
R. C. S.
Ax ex Ay ey Az ez
C. C. S.
A e A e Az ez
S. C. S.
Ar er A e A e
A
A
方向：正电荷运动的方向 i di A/m 2 大小： J lim S n 0 S dS n n
？
如果体电流密度f(x,y) A/m2穿过一个圆形截 面，问穿过该面的总电流有多大？
i
s
f ( x, y ) ds
K 面电流密度 surface current density
直角坐标系(x, y, z) R. C. S.
right-handed x、y、z 轴的正方 向满足右螺旋关系
P ( x, y, z) P: x=1, y=2, z=3 Q: x=2, y=-2, z=1
直角坐标系(x, y, z) R. C. S.
P ( x, y, z) P ( x +dx, y +dy, z+dz)
应用：运动电荷在磁场中的受力
f qv B
第一章 电磁场的数学物理基础
1.1 电磁场的物理模型 1.2 矢量分析 1.3 场论基础 1.4 电磁场方程—数学模型
1.1 电磁场的物理模型
电路问题： 实际的电工技术装置
理想化
“电路模型”
（一种具体的物理模型）
R、L、C Sources
(Circuit, Network)
激励 ~ 响应 （基本规律，分析计 算方法，应用问题）
T, Wb/m
(2) 安培力公式
1820年
dF I dl B


1820年 安培（A.M.Ampere，法国）—— 电流之间的磁效应。
奥斯特（H.C.Oersted，丹麦）—— 电流的磁效应。 1820年
毕奥（J.B.Biot，法国），萨伐尔（F.Savart,法国）—— 线电流之间电磁力公式。
1785年 库仑（C.A.Coulomb，法国）静电力实验—— 电场对静止电荷的作用力。
[2] 磁感应强度（magnetic field induction）B
(1) 洛仑兹力 dF dq v B 定义
B
dF max
dqv
• dF 洛仑兹力 • dF v • dF 方向，由 v B 决定
量 长度 质量 时间 电流 单位 米 千克 秒 安培 缩写 m kg s A
第一章 电磁场的数学物理基础
1.2 电磁场的数学基础—矢量分析
物理量的分类
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量 温度 T 能量 W 距离 L 时间 t
2. 矢量：有大小又有方向的物理量
F
v
B
E
3. 张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量
D 矢量的矢量积(The vector (cross) product of two vectors)
A B an | A || B | sin AB
an
In the direction of advance of a right-handed screw as A is turned into B