高中数学竞赛训练题解答题

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高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分,它不仅需要智力,还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n),求S(n+1)-S(n)的值。

解:S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$,所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=(x^0+5)+(x^1+5)+...+(x^n+5)=(x^0+x^1+...+x^n)+5(n+1),因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x),0≤x≤π/2,求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解:f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4),当0≤x≤π/4时,x+π/4≤π/2,sin(x+π/4)不小于0,因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2,因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n,设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和,Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n,求最小的n。

解:P(n)的范围是2到9×log_10n之间,因此可以枚举P(n)和Q(n),判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时,Q(n)的最大值为9log_10n,因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1,x∈[0,2π],求f(x)的最小值。

解:由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2,因此f(x)的最小值为-1/2,且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n,求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

高中数学竞赛试卷及解答

高中数学竞赛试卷及解答

高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分) 1.定义在实数集R 上的函数y =f(-x)的反函数是y =f -1(-x),则(A)y =f(x)是奇函数 (B)y =f(x)是偶函数(C)y =f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y =f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如右图所示。

记N =|a +b +c|+|2a -b|,M =|a -b +c|+|2a +b|,则(A)M >N (B)M =N (C)M <N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA +sinB)(cosA +cosB)=2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C =90°。

若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2+px +q =0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p =q 21+±且q >21- (B)p =q 21+且q >21-(C)p =-q 21+且q >21- (D)p =-q 21+且0<q ≤216.已知A (-7,0)、B (7,0)、C (2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分)7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为____。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

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高中数学竞赛赛题精选一、选择题(共12题)1.定义在R 上的函数()y f x =的值域为[m,n ],则)1(-=x f y 的值域为( ) A .[m,n ]B .[m-1,n-1]C .[)1(),1(--n f m f ]D .无法确定解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.2.设等差数列{n a }满足13853a a =,且n S a ,01>为其前n 项之和,则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解:设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大,只须n a ≥0,即n ≤20.故应选C.3.方程log 2x=3cosx 共有( )组解.A .1B .2C .3D .4解:画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C .4.已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大,另一个根比1小,则()A.11<<-a B.1-<a 或1>aC.12<<-aD.2-<a 或1>a解:令f(x)= ()2122-+-+a x a x ,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即 ()211122-+⨯-+a a <0,整理得022<-+a a ,解之得12<<-a ,应选C .5.已知βα,为锐角,,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α,则y 与x 的函数关系为( ) A .1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B .1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C .)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D .1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解: 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x , 得)1,53(∈x .故应选A. 6.函数sin y x =的定义域为[],a b ,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a-的最大值是( )A. πB. π2C.34πD. 35π解:如右图,要使函数sin y x =在定义域[],a b 上,值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7.设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根,则的弧度数为 ( )A .6B .12或512C .6或512D .12解:由方程有重根,故14=4cos 2-cot =0,∵ 0<<2,2sin2=1,=12或512.选B . 8.已知M={(x ,y )|x 2+2y 2=3},N={(x ,y )|y=mx+b }.若对于所有的m ∈R ,均有M ∩N ,则b 的取值范围是 ( )A .[-62,62] B .(-62,62) C .(-233,233] D .[-233,233] 解:点(0,b )在椭圆内或椭圆上,2b 2≤3,b ∈[-62,62].选A .9.不等式log 2x -1+12log 12x 3+2>0的解集为A .[2,3)B .(2,3]C .[2,4)D .(2,4] 解:令log 2x=t ≥1时,t -1>32t -2.t ∈[1,2),x ∈[2,4),选C .10.设点O 在ABC 的内部,且有+2+3=,则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A .2B .32C .3D .53解:如图,设AOC=S ,则OC 1D=3S ,OB 1D=OB 1C 1=3S ,AOB=OBD=1.5S .OBC=0.5S ,ABC=3S .选C .11.设三位数n=,若以a ,b ,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( )A .45个B .81个C .165个D .216个 解:⑴等边三角形共9个;⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a ,b ),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b <a <2b .a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-20=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数.选C .12.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB ⊥OB ,垂足为B ,OH ⊥PB ,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )A .53 B .253 C .63 D .263解:AB ⊥OB ,PB ⊥AB ,AB ⊥面POB ,面PAB ⊥面POB .OH ⊥PB ,OH ⊥面PAB ,OH ⊥HC ,OH ⊥PC ,又,PC ⊥OC ,PC ⊥面OCH .PC 是三棱锥P -OCH 的高.PC=OC=2.而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30,OB=PO tan30=263.又解:连线如图,由C 为PA 中点,故V O -PBC =12V B -AOP ,S B 11OABCABPO H C而V O -PHC ∶V O -PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB ).记PO=OA=22=R ,∠AOB=,则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2,V B -PCO =124R 3sin2. PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2.V O -PHC =sin23+cos2112R 3. ∴ 令y=sin23+cos2,y=2cos2(3+cos2)-(-2sin2)sin2(3+cos2)2=0,得cos2=-13,cos =33, ∴ OB=263,选D .二、填空题(共10题)13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若510S =,105S =-,则公差为 解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+,,545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+,,1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21),,它的反函数的图象经过点(28),,则b a +等于 4 .解:由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩,, 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩,解之得 1131a b =⎧⎨=⎩,; 2224.a b =-⎧⎨=-⎩,(舍去). 故a b +等于4.15.已知函数()y f x =的图象如图,则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-, .解: 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>,所以()2lg 6200x x -+<. 于是,由图象可知,2111x x +≤-,即 201x x +≤-,解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-,.16.圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 .解:原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ,即=2|3|2+-y x .所以动点),(y x 到定点(31)-,的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2.故此动点轨迹为双曲线,离心率为2.17.在ABC ∆中,已知3tan =B ,322sin =C ,63=AC ,则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解:在ABC ∆中,由3tan =B 得︒=60B .由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==.因为︒>60322arcsin,所以角C 可取锐角或钝角,从而31cos ±=C .sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <,命题Q : 对任何x ∈R ,都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立,则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解:由a a <2得10<<a .由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立,得04162<-=∆a ,即2121<<-a .因为命题P 、Q 有且仅有一个成立,故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a .19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 . 解:22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =,且对任意的x R ∈,都有1()2f x '<,则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 . 解:令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚-x ,由f '(x ) <1/2得,2f '(x ) -1<0,即'g ﹙x ﹚<0,g(x)在R 上为减函数,且g(1)=2f(1)-1=3,不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3,即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=,(1,0)A ,在圆O 上取一个动点B ,设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=.则P 点的轨迹方程为 .解:设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1),ky),(λ=k1)。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一:代数问题题目:已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根,求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答:根据韦达定理,对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \),其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此,对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \),我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根,我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米,求斜边的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出,公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式,我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \),公差 \( d = 2 \),求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答:等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \),其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式,我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四:组合问题题目:从 10 个不同的球中选取 5 个球,求不同的选取方式有多少种。

竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案试题一:多项式问题题目:已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \),求 \( P(2) \) 的值。

解答:将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中,得到:\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二:几何问题题目:在直角三角形 ABC 中,角 C 是直角,若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \),求斜边 BC 的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算:\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三:数列问题题目:给定数列 \( a_n = 2n - 3 \),求数列的前 5 项。

解答:根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \),我们可以计算出前 5 项:\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为:-1, 1, 3, 5, 7。

试题四:概率问题题目:一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球,随机抽取 2 个球,求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答:首先计算总的可能组合数,即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数:\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数:\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以,抽到一个红球和一个蓝球的概率为:\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五:函数问题题目:若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \),求 \( f(x) \) 的最小值。

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目,12道填空题,3道解答题,所有答案填写在答题纸上,满分150分一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆,则实数m 的取值范围为 。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=,则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}n x满足:11,12n x x x n +==≥,则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1,1,60BC BDC =∠=,则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=,则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直,c 为任意单位向量,且存在(0,1)t ∈,使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直,则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ,成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑,则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈,且3b a ≥或43a b +≤,则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上,椭圆E 的方程为221124x y +=,1F 为E 的左焦点;圆C 的方程为222())x a y b r −+−=( ,A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时,实数r =_____________________。

高中数学竞赛试题附详细答案

高中数学竞赛试题附详细答案

高中数学竞赛试题附详细答案一选择题(每题5分,满分60分)1. 如果a,b,c 都是实数,那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的( )(A )必要而不充分条件 (B )充要条件(C )充分而不必要条件 (D )既不充分也不必要条件2. 某种放射性元素,100年后只剩原来质量的一半,现有这种元素1克,3年后剩下( )。

(A )1005.03⨯克 (B )(1-0.5%)3克 (C )0.925克 (D )100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出,其中t >0,[t ]表示大于或等于t 的最小整数,则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为( )。

(A )5.83元 (B )5.25元 (C )5.56元 (D )5.04元4. 已知函数>0,则的值A 、一定大于零B 、一定小于零C 、等于零D 、正负都有可能 5. 已知数列3,7,11,15,…则113是它的( ) (A )第23项 (B )第24项 (C )第19项 (D )第25项6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零,}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数列,其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于( ) (A) 13--n n(B) 13-+n n(C) 13+-n n(D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4π=x 处取得最小值,则函数)43(x f y -=π是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果A A tan 1tan 1+-= 4+5,那么cot (A +4π)的值等于 ( )A -4-5B 4+5C -541+ D541+9. 已知︱︱=1,︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC =30°,设=m +n (m 、n ∈R ),则nm等于A.31 B.3 C.33 D.3 10. 等边△ABC 的边长为,AD 是BC 边上的高,将△ABD 沿AD 折起,使之与△ACD 所在平面成1200的二面角,这时A 点到BC 的距离是A 、B 、C 、3D 、211. 抛两个各面上分别标有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体玩具,“向上的两个数之和为3”的概率是( )A .31 B .61 C .361 D .181 12. 对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),定义它们之间的一种“距离”:‖AB ‖=︱x 1-x 2︱+︱y 1-y 2︱.给出下列三个命题: ①若点C 在线段AB 上,则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中,若∠C =90°,则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2; ③在△ABC 中,‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3 二填空题:(每题5分,满分30分)13棱锥的底面面积为150cm 2,平行于底面的截面面积为54cm 2底面和截面距离为14cm,则这个棱锥高为_________14函数y=x -2+的最小值是________;最大值是________.15. 若数列{a n }由a 1=2,a n+1=a n +2n(n ≥1)确定,求通项公式a n ==________.16. 有一公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一个时刻,有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ,且)(n P 与时刻t 无关,统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,051,)0()21()(n n P n P n,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P (0)的值是 .17. 定义在N +上的函数f(x),满足f (1 )=1,且f(n+1)=⎪⎩⎪⎨⎧.),(,),(21为奇数 为偶数n n f n n f 则f (22) = .18. 定义在R 上的函数)(x f y =,它同时满足具有下述性质: ①对任何);()(33x f x f R x =∈均有②对任何).()(,,212121x f x f x x R x x ≠≠∈均有则=-++)1()1()0(f f f .三解答题(每题15分,满分60分)19. 三角形ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为,若,求角C 的大小。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b,如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4,那么常数 a 和 b 的值分别是多少?A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中,点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少?A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项,且 a + b + c = 9,那么 a 的值是多少?A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8),那么常数a 和b 的值之和为多少?A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4,公比为 2,前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的?A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层,那么一张纸最多能折成多少层?答案:2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层,那么一张纸最多能折成多少层?答案:3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段,第一段比第二段长 2cm,第二段比第三段长4cm,三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案:第一段:12cm,第二段:14cm,第三段:24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数,并且 a × b = 147,那么 a 和 b 的值分别是多少?答案:a = 1,b = 147 或 a = 147,b = 15. 在平面直角坐标系中,顶点为 (0,0),椭圆的长轴在 x 轴上,短轴在 y 轴上,且长轴长为 8,短轴长为 6。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)1. 下列哪个数不是无理数?A. πB. √2C. √3D. 0.33333(无限循环)答案:D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案:C3. 若a,b,c是三角形的三边长,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案:B4. 一个圆的半径为3,求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案:A5. 已知等差数列的首项a1=2,公差d=3,求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案:A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1,求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案:A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0,求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案:A8. 已知一个等比数列的首项a1=3,公比q=2,求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案:A9. 一个圆的直径为10,求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案:B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0,求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案:A二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分)11. 若一个数列{an}是等差数列,且a3 = 7,a5 = 13,求a7的值。

答案:1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x,求其一阶导数dy/dx。

答案:3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2,3,4,求其表面积。

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一:函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \),求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二:解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \),其中\( a > b > 0 \),求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程,已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三:数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \),公差\( d = 2 \),求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和,其中\( b_1 = 1 \),公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四:概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球,求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次,求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品,求从一批产品中随机抽取10个产品,至少有1个是次品的概率。

试题五:组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子,将球分配到盒子中,每个盒子至少有一个球,求不同的分配方法总数。

2. 证明:对于任意的正整数\( n \),\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案一、选择题(本题满分30分,每小题5分)已知关于x 的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根,则实数a 的取值范围(A )(A )(B )(C )(D ) 解.利用数形结合,容易得出实数a 的取值范围a 1故选A 2.当直线所围成的图形的面积是(D)(A) (B)4 (C)9 (D)16解:直线方程可变为(x-1)cos +(y-1)sin =4于是求出点A (1,1)到直线的距离d=,所以当直线=+所围成的图形是以点A 为圆心,以4为半径的圆,从而所围成的图形的面积是16.故选D 3.数列{a n }中,相邻两项a n ,a n+1是方程x 2+3nx+b n =0的两根,已知a 10=-17.则b 51的值等于(B) (A )5800(B )5840(C )5860(D )6000解:∵a n +a n+1=-3n ,∴a n+2-a n =(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n )=-3(n+1)-(-3n)=-3∴a 1,a 3,…,a 2n+1和a 2,a 4,…,a n 都是公差为-3的等差数列,∴{}1≥a a {}11-≤≥a a a 或{}11>-<a a a 或{}10<<a a ≥,取遍全体实数时ϑ)4sin(24sin cos πϑϑϑ++=+y x ππππϑϑ4sin cos 422=+ϑϑ,时R ∈ϑϑϑsin cos y x +4)4sin(2πϑ+πa 52=a 10+21(-3)=-80a 51=a 11+20(-3)∵a 10+a 11=-30∴a 11=-13∴a 51=-73,b 51=a 51·a 52=5840故选B4.已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数,且,,则的值等于(D)(A )2(B )1(C )0(D )解:由题意:, ∴a 、b 是方程的两根,∴,∴∴=.故选D5.设函数f(x)=,如果f()=,那么的值等于(C)(A )3(B )7(C )(D )解:取x=,有f()= 而当=时有x=所以故选C6、已知p,p+14,p+q 都是质数,并且p 有唯一的值和它对应,则q 只能取(A) A40B44C74D86解:q 只能取40。

全国高中生数学竞赛试题

全国高中生数学竞赛试题

全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5,那么x的值为:A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值,且有a>0,b>0,c>0,那么a+b+c的值是:A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm,圆心位于坐标系的原点,那么圆上一点(3,4)到圆心的距离是:A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°?A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列,且abc=8,a+b+c=6,那么b的值是:A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26,首项为2,公差为3,求该等差数列的第四项。

7. 已知一个圆的周长为4πcm,求该圆的面积(π取3.14)。

8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点,求该零点的值。

9. 一个直角三角形的斜边长为10cm,一条直角边长为6cm,求另一条直角边的长度。

10. 一个等比数列的前三项分别是2,6和18,求该数列的公比。

三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35,且第五项是首项的三倍。

求该等差数列的首项和公差。

12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A,且圆心到直线的距离为2√2cm。

若圆的半径为5cm,求圆心的坐标。

13. 证明:若n是正整数,且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数,则n 也是正整数。

14. 一个等腰三角形的底边长为10cm,腰长为x,且周长为30cm。

求x的值。

15. 一个等比数列的前五项之和为31,首项为2,求该等比数列的公比和最后一项的值。

请注意,以上题目仅供参考,实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。

在解答时,考生需要仔细审题,合理运用数学知识和解题技巧,力求准确、高效地完成题目。

数学竞赛高中试题入门及答案

数学竞赛高中试题入门及答案

数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数不是整数?A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \),那么\( f(-1) \)的值是多少?A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3,圆心在原点,那么圆上任意一点到圆心的距离是多少?A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C,且A + B + C = 180°,如果角A = 60°,角B = 50°,那么角C是多少度?A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题(每题5分,共20分)5. 若\( a \),\( b \),\( c \)为三角形的三边,且\( a^2 + b^2 = c^2 \),则该三角形是________。

6. 一个数的平方根是4,那么这个数是________。

7. 一个圆的面积为28.26平方厘米,那么它的半径是________厘米。

8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \),第5项的值是________。

三、解答题(每题15分,共30分)9. 证明:如果\( a \),\( b \),\( c \)是正实数,且\( a + b +c = 1 \),那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。

10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米,求斜边的长度。

(使用勾股定理)四、证明题(每题15分,共15分)11. 证明:对于任意正整数\( n \),\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台,通过这些题目,学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3,直线l2过点(1,5)且与l1垂直,则l2的方程是:A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案:C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2},则A的值是: A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案:D二、填空题1.若a、b满足a+b=5,且ab=6,则a和b的值分别是____。

答案:2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V,且V>0,则该几何体的体积V的值为____。

答案:1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2 = an + 2n,求数列的通项公式。

解答:首先给出数列的前几项: a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到,第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2,求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答:对于任意x,有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0,可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6,当x = 1时,f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2,取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么?如何判断一个数列的极限存在?答:数列的极限是指当项数趋向无穷大时,数列的项的值趋向的一个确定的数。

数学奥林匹克高中训练题(附答案)

数学奥林匹克高中训练题(附答案)

数学奥林匹克高中训练题_46学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题二、填空题三、解答题13.在△ABC 中,实数x 满足2222sec x csc A csc B csc C =++,求证:的定圆P 的圆心上一动点,Q 与P 相外切,Q 交l 于N 两点.对于任意直径使得△MAN 求△MAN 的度数..设函数f(x)、g(x)定义为()f x ()()11?2000,n f a b ==,2000的最小正.上的O 与其他三边都相切,)0nn i i x b x ==∑的所有根的平方的相反数是f(x)=0的全部根.求证:参考答案:【详解】0,4a π⎛∈ ⎝()tanacota <)(cotatana <34t t <<.【详解】1 022≤3.3arccot arc≤1 arccos2,a b a ≥∴(222a x a +1,?4y 又≥∴22 4.x y ∴+≤满足22x y +≤其面积为1··3π3((0011821122sina sin a b a β<<≤<=-即()26a -【详解】(a b c ++项,但(a )nc +的展开式中不同的项数为)(nd a ⎡+=⎣=AB AC∴⊥SD BC∴⊥面BC于是SA与2.当两条较长棱相邻时,不妨设2sec x csc=2∴=tan x2=+cot A(cotA cotB=+60【详解】以l为r,h).△Q2222rh r k r +3,tan MAN ∠223r k r r nhr +-=)223nh k r r -=±+-两边平方,得2m 对于任意实数r≥1223,m k =-另一方面,用数学归纳法可证明:()281n n a b +>当n=1时,()31223181128n n a b a b +>=>.假设式(1)在n=k 时成立,即28k k a b +>.当n=k+1时,()()2883112121282000820008k k k k k b ba b b k k a b +++=>=>⨯>⨯=. 所以,式(1)对所有n 成立.由式(1)得1998199820008b b a ≤<.1998m ∴>.综上所述,m=1999.16.2或7【详解】1当p=7m -5(m 为自然数,下同)时,()123721p p m =+=-.当m >1时,1p 为合数.当m=1时,p=2.此时123456711,19,29,31,101p p p p p p ======,均为质数,所以p 可为2.2当p=7m -6时,()243743p p m =+=-.当m=1时,p=1与p 为质数相矛盾.当m>1时,2p 为合数.3当p=7m -3时,()383783p p m =+=-为合数.4当p=7m -2时,()41637165p p m =-=-为合数.5当p=7m -4时,()5323373223p p m =-=-为合数.6当p=7m -1时,()6642776413p p m =-=-为合数.7 当p=7m 时,因p 为质数,则p=7.当p=7时,1234561731,59,109,191,421p p p p p p ======,均为质数.AB AD =即OA OB +1sina sin ∴+11sin sin a +sin 2αβ+2cos α⎛∴ ⎝4sin sin 2a ⋅202β+<22αϕ+∴即2αϕ+亦即BAD ∠则AB//CD。

高中数学竞赛试题及解答

高中数学竞赛试题及解答

高中数学竞赛试题及解答试题(一)一、 过圆的直径AB 上一定点C 作任意弦DE ,过B 作圆的切线L ,并设直线AD 与直线AE 分别与L 交于F 、G 。

若4,AB = 3,AC =求BF BG ⋅。

(12分)二、 证明x 的三次方程式3210x x π--=只有一个正实根。

(12分)三、 试证明2009不能表示成三个正整数的立方和。

(12分)四、有各张分别标有1, 2,, n 的一叠n 张卡片。

洗过卡片后,重复进行以下操作:若最上面一张卡片的标号是k ,则将前k 张卡片的顺序颠倒;例如,若4n =且卡片排列成3124,则操作一次后的卡片将排列成2134。

证明:经过有限次操作后,标号为1的卡片会在最上面。

(13分)试题(二)一、求2222(1.1)(1.2)(1.3)(3.1)++++。

(3分)二、设, , x y z 为实数且满足222 1x y z ++=,求xy yz zx ++的最小值。

(3分)三、空间中一四面体的四个顶点分别为(0, 0, 1), (2, 4, 0), (0, 0, 0),A B C (4, 2, 0)D ,平面E 通过A 点与BD 中点且与BC 有交点。

若平面E 将此四面体分成两块,其中一块的体积为原四面体的13,求E 的方程式。

(3分)四、求n ∞=,其中[]x 表示小于或等于x 的最大整数,例如[1.2]1=。

(4分)五、假设有5根电线杆,其中有2根会漏电,以致于停在它们上面的小鸟会立刻被电昏而摔落地面。

今有5只小鸟各自独立的随机选择其中一根电线杆逗留休息,试计算只有2根电线杆上有小鸟的机率。

(4分)试题(一)解答一、 【解】过C 作HI //FG ,与AF , AG 分别交I 和H ,连结BE , BH 。

因90BEH ∠=, 90BCH ∠=,所以四边形CBEH 是圆内接四边形BEC BHC ∠=∠而BED BAD ∠=∠BHI BAD ∴∠=∠由此可知,B , H , A , I 共圆 CI CH AC CB ∴⋅=⋅ (1)ACI ABF ∆∝∆ ::AC AB CI BF =又 ACH ABG ∆∝∆::AC AB CH BG ∴=22::AC AB CI CH BF BG ∴=⋅⋅ (2)由(1), (2), 22::AC AB AC CB BF BG =⋅⋅22AC CB AC BF BG AB ⋅=⋅, 2222()()4311633AB AC CB BF BG AC ⋅⋅⋅⋅===.二、 【证】令 32()1f x x x π=--则 (0)1f =-, (100)0f >由堪根定理,0与100之间有一个根r令 2()()()f x x r x ax b =-++32()()x a r x b ra x rb =+-+--得 a r π-=-b ra -= 1rb = (2)由(2) 0b >由(1) 0a => ,a b ∴皆为正数 20x ax b ∴++> for 0x ≥()f x ∴没有第二个正根。

数学竞赛高中试题及答案

数学竞赛高中试题及答案

数学竞赛高中试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1,那么f(2)的值是多少?A. 1B. 3C. 5D. 7答案:B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7,求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案:A3. 一个圆的直径为10cm,那么它的半径是多少?A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案:A4. 在直角坐标系中,点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少?A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 计算:\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。

答案:56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm,那么它的周长是_______cm。

答案:187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求g(2)的值。

答案:-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17,设这个数为n,则n的值为______。

答案:3或-4三、解答题(每题10分,共60分)9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,求函数的零点。

答案:函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且a > b > c,求证:长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。

答案:证明略。

11. 已知数列{bn}满足:b1 = 2,bn+1 = 2bn + 1,求数列的前五项。

答案:2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上,且三角形的周长为12cm,求圆的半径。

答案:2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9,求函数的最小值。

答案:函数的最小值为0。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案试题(一)一、 ABC ∆为等边三角形,P 为其内一动点,且120APC ∠=。

AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。

求BMN ∆外心O 的轨迹。

(12分)二、 任意选24个相异且小于88的正奇数,试证:其中必有两个数它们的和是90。

(12分)三、 试证:对实数,,,0a b c d ≥,()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。

(12分) 四、定义:设A 是二阶整系数方阵,若存在二阶整系数方阵B ,使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦,则称A 可逆。

(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。

试证:A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。

(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵,且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆,试证:5A B +亦可逆。

试题(二) 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭,试求A 。

(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。

求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。

(5分)三、设a 和b 为实数,且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根,对所有这种数对(,)a b ,求出22a b +的最小可能值。

(6分)四、令N 为自然数集,若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =,求(54)f 。

(5分)试题(一)解答一、 【解】令G 为ABC ∆的外心。

因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补,P 在BMN ∆的外接圆上。

因120APC AGC ∠=∠=,A 、P 、G 、C 共圆,且30CPG CAG ∠=∠=。

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高中数学竞赛训练题—解答题1.b a ,是两个不相等的正数,且满足2233b a b a -=-,求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.2.已知不等式24131...312111an n n n >++++++++对一切正整数a 均成立,求正整数a 的最大值,并证明你的结论。

3.设{}n a 为14a =的单调递增数列,且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++,求{n a }的通项公式。

4.(1)设,0,0>>y x 求证:;432yx y x x -≥+ (2)设,0,0,0>>>z y x求证:.2333zxyz xy x z z z y y y x x ++≥+++++5. 设数列ΛΛΛ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -,问:(1)这个数列第2010项的值是多少;(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少.6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。

现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

7.已知数列{}n a 满足1a a =(0,1a a ≠≠且),前n 项和为n S ,且(1)1n n aS a a=--,记lg ||n n n b a a =(n *∈N ),当a =时,问是否存在正整数m ,使得对于任意正整数n ,都有m n b b ≥?如果存在,求出m 的值;如果不存在,说明理由.8. 在ABC ∆中,已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u rg ,又ABC ∆的面积等于6. (Ⅰ)求ABC ∆的三边之长;(Ⅱ)设P 是ABC ∆(含边界)内一点,P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ,求123d d d ++的取值范围.9.在数列{}n a 中,1a ,2a 是给定的非零整数,21n n n a a a ++=-. (1)若152a =,161a =-,求2008a ;(2)证明:从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.10. 已知椭圆)1(1222>=+a y ax ,Rt ABC ∆以A (0,1)为直角顶点,边AB 、BC 与椭圆交于两点B 、C 。

若△ABC 面积的最大值为278,求a 的值。

11. 如图,椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>,1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C 的顶点.(Ⅰ)设点)0,(0x M ,若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时, ||PM 取得最大值与最小值,求0x 的取值范围;(Ⅱ)若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3,最小值为1,且与直线:l y kx m =+相交于A ,B 两点(A B ,不是椭圆的左右顶点),并满足22BA AA ⊥.试研究:直线l 是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由.12.如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面SAD 为正三角形,且垂直于底面ABCD .(1)求四棱锥ABCD S -的体积;(2)在边CD 上是否存在一点E ,使得AE SB ⊥?请说明理由.13.(本小题满分15分) 关于y x 、的方程C :04222=+--+m y x y x .(1)若方程C 表示圆,求实数m 的取值范围;(2)在方程C 表示圆时,若该圆与直线l :042=-+y x 相交于N M 、两点,且554||=MN ,求实数m 的值; (3)在(2)的条件下,若定点A 的坐标为(1,0),点P 是线段MN 上的动点,求直线AP 的斜率的取值范围.S A B CDBACEA 1B 1C 1P nP n+114.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >≥),其离心率为45,两准线之间的距离为252。

(1)求,a b 之值;(2)设点A 坐标为(6, 0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角△ABP (字母A ,B ,P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程。

15. 如图,正三棱柱111ABC A B C -中,E 是AC 中点. (Ⅰ)求证:1AB //平面1BEC ; (Ⅱ)若12,2AB AA =A 到平面1BEC 的距离; (Ⅲ)当ABA A 1为何值时,二面角E —BC 1—C 的正弦值为510?16.(本小题满分15分)在xoy 平面上有一系列点),,(),,(222111y x P y x P …,Λ),,(n n n y x P .对每个正整数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上.以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切,且⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切.若11=x ,且n n x x <+1 (*N n ∈).(1)求证:数列}1{nx 是等差数列; (2)设⊙n P 的面积为n S ,n n S S S T +⋅⋅⋅++=21,求证:对任意*N n ∈,均有23π<n T .17. (本小题满分18分)二次函数r qx px x f ++=2)(中,实数r q p 、、满足mrm q m p ++++12=0,其中0>m . 求证: (1)0)1(<+m mpf ;(2)方程0)(=x f 在(0,1)内恒有解18.如图,斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为a , 侧面⊥CB C B 11底面ABC ,且BC AC ⊥1. (1) 求异面直线1AA 与11C B 间的距离;(2) 求侧面BA B A 11与底面ABC 所成二面角的度数.19.设向量,为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量y x ++=2(,y x +-=2(,且a b ||-||=2r r.(1)求满足上述条件的点),(y x P 的轨迹方程; (2)设(1,0),(2,0)A F -,问是否存在常数)0(>λλ,使得PAF PFA ∠=∠λ恒成立?证明你的结论.20.已知抛物线2128y x x =-+-和111(,)48A 。

过11(,)48F -任作直线,交抛物线于B 、C 两点。

⑴求△ABC重心的轨迹方程,并表示成()y f x =形式;⑵数列{}k x 中,1102x <<,且满足1()k k x f x +=。

试证:1135nkk k x +=<∑21.椭圆C :2222b y a x += 1 ( a >b >0 )的两个焦点为F 1 ( – c , 0 ),M 是椭圆上一点,且满足M F M F 21⋅= 0。

(Ⅰ)求离心率e 的取值范围;(Ⅱ)设斜率为k ( k ≠ 0 )的直线l 与椭圆C相于不同的两点A 、B ,Q 为AB 的中点,问A 、B 两点能否关于过点P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,0、Q 的直线对称?若能,求出k 的范围,若不能,请说明理由。

22.已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足:(1)21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+(12,x x ∈R ,a 为常数);(2)(0)()14f f π==; (3)当0,4x π∈[]时,()f x ≤2.求:(Ⅰ)函数()f x 的解析式; (Ⅱ)常数a 的取值范围.ABC1A1B 1C23.把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表:1 3 5 7 9 11— — — —— — — — —设*)(N j i a ij ∈,是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数。

(I ) 若a mn =2005,求m n ,的值; (II )已知函数f x ()的反函数为fx x n -=138() ()x >0,若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ,求数列{()}f b n 的前n 项和S n 。

24.若a 、b 、+∈R c ,且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++,求k 的最大值。

25. 设定义在[0,2]上的函数()f x 满足下列条件:①对于[0,2]x ∈,总有(2)()f x f x -=,且()1f x ≥,(1)3f =; ②对于,[1,2]x y ∈,若3x y +≥,则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+. 证明:(1)12()133n nf ≤+(*n N ∈);(2)[1,2]x ∈时,1()136f x x ≤≤-.2611x ≥--。

27.设非负等差数列{}n a 的公差0d ≠,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,证明: (1)若*,,m n p N ∈,且2m n p +=,则112m n pS S S +≥; (2)若5031,1005a ≤则2007112008n nS =>∑。

28.已知数列{}n a 满足411=a ,()),2(2111N n n a a a n nn n∈≥--=--.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)设21nna b=,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(Ⅲ)设2)12(sin π-=n a c nn ,数列{}n c 的前n 项和为n T .求证:对任意的*∈N n ,74<n T .高中数学竞赛训练题答案—解答题部分1.b a ,是两个不相等的正数,且满足2233b a b a -=-,求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.1.解:由2233b a b a -=-得b a b ab a +=++22,所以0)()(2>+-+=b a b a ab ,由此得到1>+b a .又因为)()()(4122b a b a ab b a +-+=>+,故341<+<b a .………………………4分 又因为)()(2b a b a ab +-+=, 令 )34,1(∈+=b a t 则t t ab -=2.……………6分当1t ≥时,2t t -关于t 单调递增,所以409ab <<,094ab <<.因此 c 可以取1,2,3. …………………………………………………………………10分2:先证f(n)= 131...312111++++++++n n n n 单调递增,则f(1)=1213最小 故1213>25,26,24=<a a a 所以即.3解:22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++2111()8()164n n n n n n a a a a a a +++⇔+-++=211(4)4n n n n a a a a ++⇔+-=14n n a a +⇔+-=)24⇔=2⇔=因此,2n =。

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