定比分点的向量公式及应用
定比分点坐标公式在解题中的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)． 综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52． 即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。
巧用平面向量解立体几何问题
=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6 求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题 平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1 如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2 正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3 如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4 如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1 在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。
在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。
在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。
这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。
定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。
通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。
在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。
假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。
当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。
通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。
除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。
在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。
一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。
对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。
定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。
例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。
通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。
此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。
定比分点的向量公式及应用_慕泽刚
１ ｂ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ． ３９９
解 析 二 由 已 知 条 件 得 Ｄ 分 ＡＢ 所 成 的 λ＝
５ ， 则Ｏ!"Ｄ ＝ １ Ｏ!"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ．
４
１＋λ １＋λ ９ ９
评注 用已知向量表示其他向量也是一个热
点， 常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法
则， 而本题利用定比分点的向量公式， 过程相对较
Ｂ!"Ｐ ＝ １ Ｐ!"Ａ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＝ １ ａ，
ｍ
１＋ｍ
１＋ｍ
因为 Ｑ 分!Ａ"Ｄ 的比为 ｎ， 则
人 教 大 纲
专 业Ｓ
精心策划
!Ｂ"Ｑ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＋ ｎ !Ｂ"Ｄ ＝ １ ａ＋ ｎ （ ａ＋ｂ） ＝
１＋ｎ
１＋ｎ
１＋ｎ １＋ｎ
高
ａ＋ ｎ ｂ，
一
１＋ｎ
Ｂ!"Ｒ ＝ １ Ｂ!"Ｐ ＋ λ Ｂ!"Ｃ ＝
在线段
ＡＢ 上 ，
且 ＡＰ ＰＢ
＝ｍ， Ｑ 在 线 段
ＡＤ 上 ，
且
ＡＱ ＱＤ
＝ｎ， ＢＱ 与 ＣＰ 相交于 Ｒ， 求 ＰＲ 的值． ＲＣ
Ａ
Ｑ
Ｄ
ＰＲ
Ｂ
Ｃ
解析 设!Ｂ"Ａ ＝ａ， Ｂ!"Ｃ ＝ｂ， Ｐ!"Ｒ ＝λＲ!"Ｃ ，
所以
ＰＲ ＲＣ
＝λ，
由题意有!Ａ"Ｐ ＝ｍＰ!"Ｂ ， Ａ!"Ｑ ＝ｎＱ!"Ｄ ， 则
１＋λ １＋ｎ
（
ｎ １＋ｍ）（
１＋ｎ）
， 即 ＰＲ ＲＣ
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ DA.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误．．的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0C. D.例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B . C. D.2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ， 使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠bA. (1)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y的值为（ C ）A －41，８ B.41 C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。
高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
平面向量广义定比分点公式_袁微维
○袁微维平面向量广义定比分点公式 在学习平面向量知识时,自然会接触到定比分点的概念及其计算公式,推广线段的定比分点,更有助于使用向量工具处理数学问题.定理:若在■ＡＢＣ中,点Ｅ、Ｆ分别分向量ＡＢ、ＡＣ所成的比为λ、μ,且ＢＦ交ＣＥ于点Ｍ,则Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ证明:如图1,因为点Ｂ、Ｍ、Ｆ共线,所以Ａ=(1-ｔ)Ａ+ｔＡ.同理Ａ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ(这是因为Ｃ、Ｍ、Ｅ三点共线).所以(1-ｔ)Ａ+ｔＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ①因为Ｅ分Ａ所成的比为λ,即Ａ=λＥ,所以ＡＥ=λ1+λＡＢ.②同理Ａ=μ1+μＡ.③(这是因为Ｆ分ＡＣ所成的比为μ)将②、③代入①得(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′λ1+λＡ因为向量Ａ、Ａ不共线所以1-ｔ=ｔ′λ1+λｔμ1+μ=1-ｔ′消去ｔ′可得ｔ=1+μ1+λ+μ.所以ＡＭ=(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡＣ=(1-1+μ1+λ+μ)ＡＢ+1+μ1+λ+μ·μ1+μＡ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ.例1 如图2,已知■ＡＢＣ中,点Ｐ在■ＡＢＣ内,且3ＡＰ+4ＢＰ+5ＣＰ=Ｏ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,设Ａ=,Ａ=,试用、表示ＡＤ.解:由3Ａ+4Ｂ+5Ｃ= 3(Ａ+ＢＰ)+4ＢＰ+5(ＣＢ+ＢＰ)=Ｏ ＢＰ=312ＢＡ+512ＢＣ.设ＣＰ交ＡＢ于点Ｅ,ＢＥ=λＥＡ,ＢＤ=μＤ,根据广义定比分点公式,得λ1+λ+μ=312μ1+λ+μ=512λ=34μ=54从而ＢＤ=54ＤＣ ＡＤ-ＡＢ=54(ＡＣ-Ａ) Ａ=49+59(已知Ａ=,Ａ=),例2 已知■ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ成等差数列,且ａ<ｂ<ｃ,Ｇ为■ＡＢＣ的重心,1为■ＡＢＣ的内心,Ｏ是平面上任一点.·17·数理化学习(高中版)求证:(1)=ａＯＡ+ｂＯＢ+ｃＯＣａ+ｂ+ｃ;(2)ＧＩ∥ＡＣ.证明:(1)如图3,设角Ｂ、Ｃ的平分线ＢＥ、ＣＦ分别交ＡＣ、ＡＢ于点Ｅ、Ｆ,由内角平分线定理知λ=ＡＦＦＢ=ｂａ,μ=ＡＥＥＣ=ｃａ,从而1+λ+μ=ａ+ｂ+ｃａ.根据广义定比分点公式=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ =ｂａ+ｂ+ｃＡ+ｃａ+ｂ+ｃＡ Ｏ-Ｏ=ｂａ+ｂ+ｃ(ＯＢ-ＯＡ)+ｃａ+ｂ+ｃ(ＯＣ-ＯＡ)Ｏ=ａＯ+ｂＯ+ｃＯａ+ｂ+ｃ(＊)(2)如图4,设■ＡＢＣ的中线ＢＭ、ＣＮ,则ＢＭ交ＣＮ于点Ｇ,从而λ′=ＡＮＮＢ=1,μ′=ＡＭＭＣ=1.1+λ′+μ′=3.根据广义定比分点公式Ａ=λ′1+λ′+μ′Ａ+μ′1+λ′+μ′Ａ=13Ａ+13Ａ.所以Ｏ-Ｏ=13(ＯＢ-ＯＡ)+13(ＯＣ-Ｏ),所以Ｏ=13Ｏ+13Ｏ+13Ｏ(＊＊)将式(＊)与(＊＊)相减,得ＯＩ-ＯＧ=(ａａ+ｂ+ｃ-13)ＯＡ+(ｂａ+ｂ+ｃ-13)ＯＢ+(ｃａ+ｂ+ｃ-13)ＯＣ.因为ａ<ｂ<ｃ且ａ、ｂ、ｃ成等差数列,所以不妨设公差为ｄ,则ｄ=ｃ-ｂ=ｂ-ａ>0,所以Ｏ-Ｏ=ｄ3ｂ(ＯＣ-ＯＡ),所以ＧＩ=ｄ3ｂＡＣ.显然,内心Ｉ不在ＡＣ上,所以ＧＩ∥ＡＣ,(注:式(＊＊)也可以从重心方程ＧＡ+ＧＢ+ＧＣ=0得到)例3 设Ｄ、Ｅ■ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上,ＤＣ与ＥＢ交于Ｆ,且ＡＤ=ＡＥ,ＦＢ=ＦＣ,求证:ＡＢ=ＡＣ.证明:如图5,设■ＡＢＣ的角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边分别为ａ、ｂ、ｃ,令Ａ=λＤ,Ａ=μＥ,则ＡＤ=λ1+λＡＢ,ＡＥ=μ1+μＡＣ.又已知 Ａ = Ａ ,所以λｃ-μｂ=λμ(ｂ-ｃ).①根据广义定比分点公式得Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ,从而Ｂ=ＢＡ+μＢＣ1+λ+μ,Ｃ=ＣＡ+λＣＢ1+λ+μ.因为已知Ｂ2=ＣＦ2·18·数理化学习(高中版)所以(Ｂ+μＢ)2=(ＣＡ+λＣＢ)2所以ｃ2+μ2ａ2+2μＢ·Ｂ=ｂ2+λ2ａ2+2λＣ·Ｃ.在■ＡＢＣ中,运用余弦定理可得2Ｂ·Ｂ=ａ2+ｃ2-ｂ2,2Ｃ·Ｃ=ａ2+ｂ2-ｃ2,所以ｃ2+μ2ａ2+μ(ａ2+ｃ2-ｂ2)=ｂ2+λ2ａ2+λ(ａ2+ｂ2-ｃ2),所以(1+λ+μ)[(μ-λ)ａ2+(ｃ2-ｂ2)]=0.所以(μ-λ)ａ2=ｂ2-ｃ2②若ｂ>ｃ,则由②知μ>λ,所以μｂ>λｃ.由①可得 λμ(ｂ-ｃ)<0,所以ｂ<ｃ,矛盾.所以ｂ≤ｃ.同理ｃ≤ｂ于是ｂ=ｃ,即ＡＣ=ＡＢ.以上几例充分说明广义定比分点公式是平面向量内容中较重要的向量方程,掌握定比分点推广式有利于提高解题能力.贵州省安顺市双阳中学(561018)○梁克强以正方体为载体研究空间角 正方体的六个面都是正方形,有众多相等的线段和角,还有很多平行和垂直以及对称的条件,这些都为研究空间角提供了有效的依据,只要很好的运用,空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系,只要善于利用,就能将空间角转化为平面角.例1 正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的棱长是1,Ｐ是ＡＤ的中点,求二面角Ａ-ＢＤ1-Ｐ的大小.解:如图1,过Ｐ作ＢＤ1及ＡＤ1的垂线,垂足分别是Ｅ、Ｆ,连结ＥＦ.由ＡＢ⊥平面ＡＤ1,得ＡＢ⊥ＰＦ,又ＰＦ⊥ＡＤ1,所以ＰＦ⊥平面ＡＢＤ1,而ＰＥ⊥ＢＤ1,故ＥＦ⊥ＢＤ1,∠ＰＥＦ为所求二面角平面角.Ｒｔ■ＡＤＤ1∽■ＡＦＰ,利用相似比得ＰＦ=24.在■ＰＢＤ1中,ＰＤ1=ＰＢ=52,因为ＰＥ⊥ＢＤ1,所以ＢＥ=32.在Ｒｔ■ＰＥＢ中,ＰＥ=ＰＢ2-ＢＥ2=22.在Ｒｔ■ＰＦＥ中,ｓｉｎ∠ＰＥＦ=ＰＦＰＥ=12,所以∠ＰＥＦ=π6.例2 如图2,在棱长为1的正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,Ｐ是侧棱ＣＣ1上的一点,ＣＰ=ｍ,试确定ｍ,使得直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角的正切值为32.解:连ＡＣ,设ＡＣ∩ＢＤ=0.ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1交于Ｇ,连ＯＧ,由ＰＣ∥面ＢＤＤ1Ｂ1,得ＯＧ∥ＰＣ,故ＯＧ=12ＰＣ=ｍ2.又ＡＯ⊥ＤＢ,ＡＯ⊥ＢＢ1,从而ＡＯ⊥面ＢＤＤ1Ｂ1,故∠ＡＧＯ为直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角.在Ｒｔ■ＡＯＧ中,ｔａｎ∠ＡＧＯ=2ｍ=32,所以ｍ=13.故当ｍ=13时,ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角正切值为32.二、射影法正方体的六个面都是正方形,有很多对称·19·数理化学习(高中版)。
定比分点
[编辑本段]定比分点定义对于轴上两个已给的点Ｐ，Ｏ，它们的坐标分别为Ｘ１，Ｘ２，在轴上有一点Ｌ，可以使ＰＬ/ＬＯ等于已知常数λ。
即ＰＬ/ＬＯ＝λ，我们就把Ｌ叫做有向线段ＰＯ的定比分点。
若设Ｌ的坐标为Ｘ，则Ｘ＝（Ｘ１+λＸ２）/（１+λ）,Y＝（Y１+λY ２）/（１+λ）[编辑本段]定比分点相关概念1.线段的定比分点及λ：P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。
P点位置与λ的关系以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0）②P与P1重合，λ=0③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）*i. P在P1与原点之间，即P1P＜PP2，λ∈（0，1）*ii. P与原点重合，即P1P=PP2，λ=1*iii. P在原点与P2之间，即P1P＞PP2，λ∈（1，+∞）④P与P2重合，λ∈Φ⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1）2 定比分点公式：若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2即P1P=λPP2由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y）∴（x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）∴定比分点公式为，λ=（x-x1）/（x2-x）λ=（y-y1）/（y2-y）3.定比分点坐标公式：∴λ=（x-x1）/（x2-x）∴λx2-λx=x-x1λx2+x1=λx+x得，x=（λx2+x1）/（λ+1）同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）注：当λ=1时，即中点坐标公式。
定比分点定理目录[隐藏]证明定比分点补充公式补充公式证明已知线段PQ上有一点T,且PT/PQ=a,AB是与PQ无交点的一条线段，则S(AT B)=a*S(ABQ)+(1-a)*S(ABP)其中S(AQB)表示AQB的面积，以此类推。
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
用定比分点向量公式的特点解高考题_高召
图６
λ ３ λ 由于 Ｂ， 所以得１ Ｐ， Ｎ 三点共线， ＝ ＋ ， ２ ４
解得λ＝ ４ ． ５ ４ → ， → → → ， 因此Ａ 从而Ａ Ｐ＝ ＡＭ Ｐ＝ ４ＰＭ ５ 所以 Ａ Ｐ∶ＰＭ ＝ ４ ∶ １ ． 综上可以看出 ， 定比分 点 向 量 公 式 及 其 特 点在解决共线问题时具 有 很 大 的 简 捷 性 ， 而用 好这一公 式 的 关 键 是 如 何 借 助 向 量 运 算 和 已 知条件建 立 共 起 点 且 终 点 共 线 的 三 个 向 量 之 间的关系式 ．
→ → → → －Ｏ Ａ， Ｐ Ｂ＝Ｏ Ｂ－Ｏ Ｐ， → → Ｐ → －Ｏ → → → （ ， 由Ａ Ｐ＝ Ｂ得 Ｏ Ａ＝ Ｏ Ｂ－Ｏ Ｐ） λＰ λ → → → ） 于是 （ １ ＋ Ｏ Ｐ＝Ｏ Ａ＋ Ｏ Ｂ， λ λ → → Ｏ Ａ ＋ Ｏ Ｂ １ → λ λ → 所 以Ｏ Ｐ＝ ＝ Ｏ Ａ＋
例 ５ （ ２ ０ ０ ７年陕 ， 如图６ 平 西省 高 考 题 ）
λ → ３ λ→ Ａ Ｂ＋ ＡＮ ． ２ ４
→ 面 内 有 三 个 向 量Ｏ Ａ、 → → → 其 中 与Ｏ Ｏ Ｂ、 Ｏ Ｃ， Ａ与 → → ， Ｏ Ｂ的 夹 角 为 １ ２ ０ ° Ｏ Ａ → ， 与 且 Ｏ Ｃ的 夹 角 为 ３ ０ ° → → → → Ａ → ， 若Ｏ Ｏ Ａ ＝ Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ Ｃ＝ ３， ｜ ｜ ｜ ｜＝１ ｜ ｜＝２ 槡 λＯ → ， 则λ＋ ＋ Ｂ（ ． λ， μＯ μ∈Ｒ） μ 的值为 ， ， 分析 连结 Ａ 与 交 于 利 用 已 知 Ｂ Ｏ Ｃ Ｄ → Ａ → →、 条件可建立Ｏ 从而 Ｄ与Ｏ Ｏ Ｂ之 间 的 关 系 式 ，
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步 【微点综述】在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念． 一、定比分点若AP PB λ=，则称点P 为点,A B 的λ定比分点．若0λ>，点P 在线段AB 上，此时称点P 为内分点；若0λ<，点P 在线段AB 的延长线上，此时称点P 为外分点．①点在线段AB 上（()0,1APPBλ=∈） ①点在线段AB 的延长线上（(),1APPBλ=∈-∞-）①点在线段AB 的反向延长线上（()1,0APPBλ=∈-） 补充定义：当1λ=-时，对应的定比分点可以认为是无穷远点. 二、定比点差法原理1．线段定比分点向量公式及坐标公式已知AP PB λ=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,,111x x y y OA OB OP P λλλλλλ+++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭．证明：证法一：设()00,P x y ，()1212,,,,111x x y y OA OB AP PB OP OA OB OP OP P λλλλλλλλ+++⎛⎫=∴-=-∴=∴ ⎪+++⎝⎭.证法二：设()00,P x y ，则()()01010202,,,AP x x y y BP x x y y λλ=--=--，利用对应坐标相等即可推出1212,11,1OA OB O x x y y P P λλλλλλ++⎛⎫⎪+⎭+=+∴+⎝． 2．“定比点差法”的由来（1）若点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ+-+=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅+-⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅--+=①（和定比分点坐标公式形式保持一致）． （2）若点()()1122,,,A x y B x y 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ---=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅--⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅---=①． （3）若点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线()220y px p =>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2112222,2,y px y px ⎧=⎨=⎩于是有()222212122y y p x x λλ-=-，变形得121212121111y y y y x x x x p λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⋅=+ ⎪+-++⎝⎭，即12120011y y x x y p x λλλλ--⎛⎫⋅=+ ⎪-+⎝⎭①． 说明：1.上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当1λ=时，“定比点差法”即为“点差法”． 2.上述表达式①、①、①的形式与()00000022221,1,x x y y x x y yy y p x x a b a b+=-==+的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理. 三、定比点差对称轴轴上点公式对于过轴上的定点(),0m 或()0,m 直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.过定点(),0M m 的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，设()11,,AM MB A x y λ=，()22,B x y ，则有①截距对偶公式：1221212,1,1x x m x x a m y y λλλλλ+⎧=⎪+⎪-⎪=⎨-⎪⎪⎪=-⎩；①坐标公式：221222122,2,a a x m m m m a m a m x m m y yλλλ⎧⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-⎨=++⎪⎪⎪⎪=-⎩； ①拓展公式之1212,x x y y ：44221222224221222112,412.4a a x x m m m m b a a y y m m a m m λλλλ⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩四、定比点差法的应用（一）应用定比点差法求点的坐标 例1．已知12,F F 分别是椭圆2213x y +=的左右焦点，点,A B 在椭圆上，且125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 【答案】()0,1±【解析】如图，延长1AF 交椭圆于点C ，由对称性得12CF F B =，则115AF FC =． 设()()1122,,,A x y C x y ，则1212155,66x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()1,0F，1212550.x x y y ⎧+=-⎪∴⎨+=⎪⎩由点,A C 在椭圆上，则2211222233,257575,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 于是有()()()()121212125535572x x x x y y y y +-++-=-，即)1212572,5x x x x --=-∴-=125x x +=-110,1x y =∴=±，则()0,1A ±．【评注】由向量数乘的几何意义知1F A //2F B 且125F A F B =，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长1AF 交椭圆于点C ，得到12FC F B =，从而得到2,,A F C三点共线，且115AF FC =，于是定点1F 为焦点弦AC 的定比分点，自然想到使用定比点差法．（二）应用定比点差法求离心率例2．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l 、2l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足AM MC λ=，BM MD λ=（其中0λ>且1λ≠），若λ变化时直线AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】D【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，据此可得：131322{1x x y y λλλλ+=++=+，同理可得：242422{1x x y y λλλλ+=++=+，则：()()()()1234123441{21x x x x y y y y λλλλ+++=++++=+，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程做差可得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即：()()222121212212122x x b a y y b x x a y y +-=-⨯⇒+=++，同理可得：()()2234342a y y b x x +=+，两式相加可得()()()()22123412342a y y y y b x x x x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，故：()()()()1234123421y y y y x x x x λλ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，据此可得：22221a b e =⇒=【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ①只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．例3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过其左焦点F,A B两点，若2AF FB =，求椭圆的离心率．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2AF FB =得121222,33x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，由(),0F c -得121223,20.x x c y y +=-⎧⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，则2222221122222222,444,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()22221212121222223b x x x x a y y y y a b +-++-=-，()22221212323,2a b c x x a b x x c∴--=-∴-=，联立1223x x c +=-，得22132a c x c -=，又111y y x c ∴=+2222222232a c b a a b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422441390a a c c -+=，两边都除以4c ，得4291340e e -+=，解得23e =或1e =，又201,3e e <<∴=． 【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．（三）应用定比点差法求直线方程例4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2，过点2F 作直线与椭圆C 相交于,A B 两点，且①1ABF的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24AB F A =，求直线AB 的方程．【解析】（1）由已知可得22,4c a ==222a c b -=，解得1,a b ==∴所求的椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由24AB F A =，得2213AF F B =．设()()1122,,,A x y B x y ，得1212233,44x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()21,0F ，121234,30.x x y y +=⎧∴⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，得2211222291818,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()()1212121212123323316,4316,34x x x x y y y y x x x x +-++-=∴-=∴-=，联立1234x x +=，解得143x =，又221191818x y +=，解得21141,,,1,333AF y A k ⎛⎫=±∴±∴=±∴⎪⎝⎭直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得2213AF F B =，自然考虑定比点差法（四）应用定比点差法求弦长例5．已知斜率为32的直线l 与抛物线23y x =的交于,A B 两点，与x 轴交于点P ，若3AP PB =，求AB ．【解析】设()()()()112200,,,,,00A x y B x y P x x >，由3AP PB =，得121233,44x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，则由1201234,30.x x x y y +=⎧⎨+=⎩点,A B 在抛物线上，则2112223,927,y x y x ⎧=⎨=⎩于是有()()()1212123339y y y y x x +-=-，则1290x x -=，联立12034x x x +=，得103x x =，又11032y x x =-，则103y x =，由22110001043,99,1,,3y x x x x AP x AB AP =∴=∴=∴=-=∴== 【评注】由已知条件3AP PB =可知该题可使用定比点差法，得到点A 的横坐标103x x =，再利用32AP k =，得到103y y =，利用抛物线方程得到01x =，求出AP ，最后由43AB AP=得出答案．例6．（2022·上海徐汇·三模）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>焦距为⎭，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A ､B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ､D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求实数k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）2.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到12AB x =-=m 的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出,C D 两点坐标，由Q ､C ､D 三点共线得到方程，化简后得到12122y y k x x -==-． 【解析】（1）由题意得：焦距为2222c a b ==-，点坐标⎭代入椭圆方程得：222113a b +=， 222221132a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23a =，21b =， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ABAB ． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 由1112y k x =+，及①221133y x =-，代入可得13171247x x x --=+， 又3111322y y k x x ==++，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,， 同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,42QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4471,42QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为Q ､C ､D 三点共线，所以3443717104242x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．将点C ，D 的坐标代入，通分化简得22112424y x y x -=-，即12122y y k x x -==-． 【评注】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数． 例7.（2022·山西太原·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)P，离心率为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点M （4，1）的动直线与椭圆C 相交于不同的两点A ，B 时，在线段AB 上取点N ，满足MB A N M N B A λλ=-=，求线段PN 长的最小值．【答案】（1）22142x y +=；（2. 【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解；（2）由定比分点公式化简得N 点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.【解析】（1）根据题意，22211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2242a b ==，，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），N （x ，y ）， 由λλAM MB AN NB =-=，，得 12121212λλ41λ1λλλ11λ1λx x x x x y y y y y -+⎧⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩，，①222222121222λλ41λ1λx x y y x y --==--，， 又222211222424x y x y +=+=，，①2244λ4241λx y -+==-，①点N 在直线220x y +-=上，①PN ===最小．【总结】定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”．它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势． 【针对训练】（2018年高考浙江卷）1．已知点P (0，1)，椭圆224x y m += (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的左焦点Fl 与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．（2022·吉林市教育学院模拟预测）4．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=AM mMB ，点N 满足=-AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率． （2022·山东济南·二模）5．已知椭圆C 的焦点坐标为()11,0F -和()21,0F ，且椭圆经过点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若()1,1T ，椭圆C 上四点M ，N ，P ，Q 满足3MT TQ =，3NT TP =，求直线MN 的斜率.（2022·重庆南开中学模拟预测） 6．已知0a b>>，直线l 过椭圆22122:1x y C a b+=的右焦点F 且与椭圆1C 交于A 、B 两点，l 与双曲线22222:1x y C a b-=的两条渐近线1l 、2l 分别交于M 、N 两点．(1)若OF =l x ⊥轴时，①MON 的面积为32，求双曲线2C 的方程；(2)如图所示，若椭圆1C 的离心率e =1l l ⊥且()0FA AN λλ=>，求实数λ的值． （2022云南红河·模拟预测）7．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是以原点O 为圆心，半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心，半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ，作MD x ⊥轴于点D ，作NQ MD ⊥于点Q .(1)令MOD α∠=，若4a =，1b =，3πα=，求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(3)设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正负半轴分别交于点1B ，2B ，若点E ､F 分别满足3AE OE =-，243AF OB =，证明直线1B E 和2B F 的交点K 在曲线C 上.（2022重庆·模拟预测）8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N . （1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程. （2022·全国·高三专题练习）9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （①）求椭圆M 的方程； （①）若1k =，求||AB 的最大值；（①）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .参考答案：1．5【分析】方法一：先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=- 因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+= 22224(23)4x y m ∴+-=，即22223()424x m y +-=，与22224x y m +=相减得：234m y +=，所以，()222211(109)54444x m m m =--+=--+≤，当且仅当5m =时取最等号，即5m =时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线AB 的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立221,,4y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440k x kx m +++-=，根据韦达定理得122841k x x k +=-+，由2AP PB =知122x x =-，代入上式解得22841kx k =+，所以228||821414||||k x k k k ==≤=++．此时214k =，又21222442841m x x x k -==-=-+，解得5m =． ［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线AB 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122t t =-．由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++，解得228sin 13sin t αα=+，所以()222222222222222222cos 4sin 64sin cos cos 4sin 13sin 13sin cos 1616413sin 13sin 213sin x t αααααααααααα⎛⎫+ ⎪++===⨯⋅≤⨯= ⎪+++ ⎪⎪⎝⎭，此时22cos 4sin αα=，即222241cos ,sin ,555t αα===，代入12122442,13sin m t t t t α-=-=+，解得5m =．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设()()1122,,,A x y B x y ，因为2AP PB =，所以()()1122,12,1x y x y --=-． 即122x x =- ①，1223y y += ①，又因为22221212,44x x y m y m +=+=，所以222144x y m +=．不妨设20y >，因此12y y ==①式可得(223=．化简整理得22224109(5)16xm m m =-+-=--+．由此可知，当5m =时，上式有最大值16，即点B 横坐标的绝对值有最大值2． 所以5m =．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换112x x y y =⎧⎨=⎩，则2211(1)x y m m +=>为一个圆．根据仿射变换的性质，点B 的横坐标的绝对值最大，等价于点1B 的横坐标的绝对值最大，则11cos 2||cos 2||sin cos B x PB POM PM POM OP POM POM =∠=∠=∠∠||sin2||OP POM OP =⋅∠≤．当π4POM ∠=时等号成立，根据||1OP =易得1OB =5m =． ［方法六］：中点弦性质的应用设()22,B x y ，由2AP PB =可知()22,232A x y --，则AB 中点223,22x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为22AB CM b k k a ⋅=-，所以22223114y y x x --⋅=-，整理得()2222214x y +-=，由于22x ≤，则2max 2x =时，22y =，所以4454m =+=．【整体点评】方法一：由题意中点,A B 的坐标关系，以及点差法可求出点B 的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点B 的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点B 的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；方法四：利用题目条件硬算求出点B 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；方法六：利用中点弦的性质找出点B 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点B 的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法． 2【分析】由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可. 【详解】如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ， 设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OMy b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP bk k a==， 即222b b a a=，解得12b a =，所以c e a ===，【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 3．23【分析】利用点差法，设()11,A x y 、()22,B x y ，代入椭圆方程中，变形后作差，由2AF FB =可得1223x x c +=-，1220y y +=，从而可得2122a x x c-=，求出点A 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率【详解】因为2AF FB =，设()11,A x y 、()22,B x y ，2211222222221444x y a b x y a b ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② ①-①得：()()()()121212122222223x x x x y y y y a b +-+-+=-，1223x x c +=-，1220y y +=， 则2122a x x c-=，得222113322a a c x c c c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，①11y x c =+，①22132a c y c c ⎫-=+=⎪⎭，将A 代入椭圆方程 整理得：422241390a a c c -+=，所以2249a c =或22a c =（舍） 故23c e a ==． 4．(1)28y x =；2a = (2)12【分析】(1)由条件列方程求p ，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求a ，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点N 的轨迹，列方程求b ，由此可得离心率.【详解】（1）抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4可得4p =抛物线1C 的方程：28y x =椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的右顶点为(2,0)F ， 所以2a =．（2）①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()()()1122001(1),,,,,,-=-y k x A x y B x y N x y 由()222141x y b y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩得()2222248(1)4(1)40++-+--=b k x k k x k b ， ()222163210∆=+-+>b k k b22121222228(1)4(1)4,44---+=-=++k k k b x x x x b k b k①,==-AM mMB AN mNB①()()12012011,-=--=--x m x x x m x x ，即①10122011--=---x x xx x x ①()212120212244424-++-==+-+x x x x k b x x x k b ，①()22004144-+=-k x b x b又①()0011-=-y k x①()22004144-+=-y b x b ，即①2200440+-=b x y b①N 点轨迹为直线22440+-=b x y b①当直线AB 斜率不存在时，经检验点231,4⎛⎫⎪⎝⎭b N 在直线22440+-=b x y b 上． ①N 点轨迹方程为22440+-=b x y b||ON 最小值即点O 到直线22440+-=b x y b 的距离2125=，即23b = 椭圆2C的离心率为12c e a ==．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．(1)22143x y +=(2)34-【分析】（1）根据题意得到c =1，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程求解；（2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，由3MT TQ =得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，得到()()111122143x y -+-=，同理得()()331122143x y -+-=，两式相减求解. 【详解】（1）解：由题意可知，c =1，设椭圆方程为222211x y a a +=-，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得()()224410a a --=，解得214a =（舍），24a =， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ， 因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩①②，①-①得()()1111424424843x y -⋅+-⋅=， 即()()111122143x y -+-=……①， 又3NT TP =，同理得()()331122143x y -+-=……① ①-①得()()131311043x x y y -+-=， 所以1313134143MNy y k x x --===--.6．(1)2214x y -=；(2)λ=【分析】（1）由题设可得F、||MN =2a b =，由椭圆参数关系求a 、b ，即可写出双曲线方程.（2）由椭圆离心率可得a =，进而可得双曲线渐近线，假设1:b l y x x a ==，写出2l 、l 方程，联立求N 坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A 坐标，根据A 在椭圆上求λ值.【详解】（1）由题设F ，且双曲线22222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±，当l x ⊥轴时，||MN =OF ①MON 的面积为32，所以13||||22OF MN ⋅=，故2a b =，而2223a b c -==，可得224,1a b ==，所以双曲线2C 的方程为2214x y -=.（2）对于椭圆有c e a ==，而222a c b -=，则a =，不妨假设1:b l y x a =，则2:b l y x a =-=且l为)y x c =-，所以(2,)N c ，又(c,0)F ，()0FA AN λλ=>，令(,)A x y，则(,),(2,)FA x c y AN c x y =-=--，故(2))x c c x y y λλ-=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，所以211x c y λλ+⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，而A 在椭圆22122:12x y C c c +=上，则2222222(21)2(21)412(1)(1)2(1)λλλλλλλ++++==+++，整理得261λ=，综上，可得λ=. 7．(1)2,Q ⎛± ⎝⎭ (2)()222210x y a b a b+=>> (3)证明见解析【分析】（1）根据数形结合直接可得点Q 坐标；（2）由题意列出点Q 轨迹的参数方程，进而可得点Q 轨迹的普通方程； （3）由题意写出直线1B E 和2B F 方程，进而可得交点K 的坐标，进而得证.【详解】（1）解：设(),Q x y，则由题知4cos 23sin 3M Nx x y y ππ==±=±=⎧⎪⎪⎨=±=⎪⎪⎩因此2,Q ⎛± ⎝⎭； （2）解：设MOD α∠=及(),Q x y ，则由题知cos sin x a y b αα=±⎧⎨=±⎩，则点Q 的轨迹C 为椭圆，方程为：()222210x y a b a b+=>>；（3）设(),K x y ，由知，()10,B b ，,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()20,B b -，3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1:14B E x yl a b +=，即4bx ay ab +=， 2:34B F y b xl a b b +=-+，即44bx ay ab -=， 联列上述直线方程，解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222222281511717x y a b 2+=+=，因此交点K 在椭圆C 上. 8．（1）22154x y +=；（2）22132x y +=. 【分析】（1）由AF FM =结合椭圆的对称性知AM x ⊥轴，从而得出点,,A B M 的坐标，再由2BF FN =得出点N 的坐标，代入椭圆方程可得答案.（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，设FM AF λ=，FN BF μ=，表示出点M N ，的坐标，代入椭圆方程，结合点,A B 在椭圆上分别得到0x 与,λμ的式子，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得0x 关于,λμ的式子，从而可得答案.【详解】解：（1）由AF FM =，根据椭圆的对称性知AM x ⊥轴，AM 过右焦点()1,0F所以21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()21,2N N b BF FN x y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，，，由2BF FN =，可得()22212N Nx b y a⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得22,2b N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得42224114b a b a +⋅=，解得22164b a +=，所以221164a a -+=，即25a =，所以2224b a c =-=，故椭圆方程为22154x y +=； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，令()00=1,FM AF x y λλ=--，则()001,M x y λλλ+--，代入椭圆方程得()()22002211x y a b λλλ+--+=，即()()22222000221211x x y a bλλλλλ+-+++=，又2200221x y a b +=，所以()()20221211x a λλλλ+-++=，化简得到()()20121x a λλλ+-=- ① 同理：令FN BF μ=，同理解得()001,N x y μμμ++，代入椭圆方程同理可得()()20121x a μμμ++=- ①由题知()()()()000000211M N M N y y y y yx x x x x λμλλμμ---==⋅-+--++，解得()()02x λμλμ+=-，①①-①得()()()202x a λμλμμλ--+=-，将①式代入得()()()24a λμλμμλ---=-，故23a =，故椭圆方程为22132x y +=. 【点睛】关键点睛：本题考查向量在椭圆中的应用以及直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是设FM AF λ=，得出()001,M x y λλλ+--代入椭圆方程可得()()20121x a λλλ+-=-，同理设FN BF μ=，可得()()20121x a μμμ++=-，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得()()02x λμλμ+=-，联立可得解，属于难题. 9．（①）2213x y +=；（①；（①）1.【分析】（①）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（①）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（①）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（①）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=； （①）设直线AB 的方程为y x m =+， 由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m=时，max ||ABAB ；（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将点,C D 的坐标代入化简可得12121y yx x -=-，即1k =．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。
(完整版)向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量定点分比定理
向量定点分比定理
向量定点分比定理是指平面内一条向量在某个点P上被分成两
个比例相同的部分，那么这个点P必然在这条向量上的中垂线上。
具体来说，设向量$vec{AB}$在点P处被分成两部分$vec{AP}$和$vec{PB}$，且$dfrac{AP}{AB}=dfrac{PB}{AB}$，那么点P必然在向量$vec{AB}$的垂线上。
这个定理可以用于解决一些几何问题，例如确定平面内三角形的垂心位置。
同时，这个定理也可以推广到空间向量中。
同时，我们也可以用向量的内积来证明该定理。
具体证明过程如下：
设向量$vec{AP}=kvec{AB}$，则向量$vec{PB}=(1-k)vec{AB}$。
由于向量$vec{AP}$与向量$vec{PB}$垂直，则有：
$vec{AP}cdotvec{PB}=0$
$(kvec{AB})cdot((1-k)vec{AB})=0$
$k(1-k)|vec{AB}|^2=0$
因为$|vec{AB}|^2
eq0$，所以有$k(1-k)=0$，即$k=0$或$k=1$，即点P位于向量$vec{AB}$的端点之一或在中点上。
因此，点P必然在向量
$vec{AB}$的垂线上。
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(完整版)向量公式大全
向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的定比分点公式运用
向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。
那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。
下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。
1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。
假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。
若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。
2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。
令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。
3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。
可以使用向量的定比分点公式求解。
假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。
其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。
这样可以求得平均向量v_avg的坐标。
4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。
将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。
5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。
根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。
我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。
线段的定比分点公式及应用
线段的定比分点公式及应用河北 史彩玉向量代数中，关于线段的定比分点问题，具有严格的定义，定比分点公式实际上有三种形式，一个定义式；一个坐标式；一个向量式。
教材中只给出了定义式和坐标式。
其实，在解决一些几何问题时，向量式有时很方便。
关于定比分点公式三种形式的简述如下：1、定义式：设P 1与P 2为直线l 上的两点，点P 为直线l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使得12PP PP λ=，λ叫做P 分有向线段12PP 所成的比。
当λ＞0时，P 为内分点；当λ＜0时，P 为外分点；特别地当λ=12时，P 为P 1P 2的中点。
2、坐标式：若设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P (x ，y)，将坐标代入12PP PP λ=中得到定比分点公式121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩。
特例当λ=12时， 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩。
3、向量式：如图1所示，若设1OP =a ，2OP =b ，由于12PP PP λ=，则OP －1OP =λ（2OP －OP ）即OP －a =λ（b －OP ），整理得定比分点公式11OP λ=+a+1λλ+b 。
典例剖析如下： 一、定义式的运用例1 （1）已知点P 分AB 所成的比为13，则点B 分AP 所成的比为___________。
（2）若|12PP |=3，点P 在12PP 的延长线上，且2||PP =2，则点P 分12PP 所成的比为_______。
OabP 1P 2P图1（3）点P 在12PP 所在直线上，且12||2||PP PP =，则点P 分12PP 所成的比为_______。
解析：作出示意，解析：观察图形，根据定义得：（1）点B 分AP 所成的比为43-；（2）点P 分12PP 所成的比为52-； （3）若点P 为12PP 的内分点，则2λ=；若点P 为12PP 的外分点，则λ=－2。
线段的定比分点
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方
向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
y P2
A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
A
D
E
G
B
C
P P
P1
P1
O
x
O
x
(2)
5.5 线段的定比分点
直线l上两点 P1 、P2 ，在l上取不同于 P1 、P2的任一点P，则 P点与 P1P2 的位置有哪几种情形？
P在之间 P1P2，P在 P1P2 的延长线上， P在P2 P1的延长线上.
P1
P
P2
P1 P2
P
0
1
P
P1 P2
1 0
存在一个实数λ，使 P1P PP2，λ叫做点P分有向线
向量定理七个公式
向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
空间向量定比分点公式及应用共54页
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，若21PP P P λ=，则b a OP λλλ+++=111。
特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有b a OP 2121+=。
用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。
下面举几例说明。
一、求定比λ的值：例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB 的比λ。
解：设),(y x P ，则由PB AP λ=，得)11,131()1,3(1)1,2(11),(λλλλλλλ+-++=-+++=y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λλλλ， ∴31=λ。
例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且DC k BD =，E 为AD 上的一点，且EA l DE =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段CA 所成的比λ。
解：∵FA CF λ=，∴BA BC BF λλλ+++=111， 又EA l DE =，∴BA l lBD l BE +++=111，而BC kkDC k BD +==1， ∴BA llBC k l k BE ++++=1)1)(1(，∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA tBC t BF t λλλ+++=11 ∴BA tBC t BA l l BC k l k λλλ+++=++++111)1)(1(FEDCBA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。
二、求直线上点的坐标例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且BC AC 5-=，求C 点的坐标。
分析：先求出C 点分AB 的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。
解：∵BC AC 5-=，∴5==CBAC λ，利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。
∴C 点的坐标为)4,23(。
例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 31=，AB AD 3=，求点C ，D 的坐标。
分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。
解：设),(11y x C ，),(22y x D ， ∵AB AC 31=，∴211==CB λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 211111λλλ+++=， ∴)311,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121)3,2(2111),(11=-⨯+⨯=-⨯++⨯+=y x同理由AB AD 3=得232-==DBλ，∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 211111λλλ+++=， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(23123)3,2(2311),(22-=-⨯+⨯-=-⨯+-+⨯-=y x∴点C 的坐标为)311,1(，D 点的坐标为)9,7(-。
三、证明三点共线例5：已知点),(c b a A +，),(a c b B +，),(b a c C +，求证：A 、B 、C 三点共线。
证明：设),(/y c C 在AB 上，/C 分AB 的比为λ，则),(1),(11111/a c b c b a OB OA OC +++++=+++=λλλλλλ)1,1(λλλλλ++++++=c c b a b a∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++=λλλλλ11c c b a y b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+=--=b a y b c c a λ∴),(/y c C 与),(b a c C +重合， 由题设知C 在AB 上， ∴A 、B 、C 三点共线。
四、求字母系数范围例6：已知点)3,3(A ，)5,1(-B ，一次函数1+=kx y 的图象与线段AB 有公共点，求实数k 的取值范围。
解：设),(y x P 为一次函数图象与线段AB 的交点，把P 看作AB 的定比分点，其定比为λ，则有0≥λ，由定比分点公式有)153,13()5,1(1)3,3(11111λλλλλλλλλλ+++-=-+++=+++=OB OA OP ， 而P 点在函数1+=kx y 图象上，∴113153++-⋅=++λλλλk ， 解得423+-=k k λ，∴0423≥+-k k ，即32≥k 或4-<k ， 而当P 点与B 重合时，4-=k 也适合。
∴4-≤k 或32≥k 。
例7：若直线2--=ax y 与连接)1,2(-P ，)2,3(Q 两点的线段有公共点，求实数a 的取值范围。
解：当直线过P 点时，23=a ，直线过Q 点时，34-=a ， 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时，设这个交点),(y x M 分PQ 的比为λ， 由定比分点公式有)121,132()2,3(1)1,2(11111λλλλλλλλλλ++++-=++-+=+++=OQ OP OM ， ∴M 点的坐标为)121,132(λλλλ++++-，又∵直线过点M ，∴2132121-++-⨯-=++λλλλa ， ∴4332+-=a a λ，又∵点M 在线段PQ 上知0>λ， ∴04332>+-a a ，解得34-<a 或23>a ， ∴34-≤a 或23≥a 。
五、解决平面几何问题：例8：如图所示，在平行四边形ABCD 中，P 点在线段AB 上，且m PBAP=，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于R ，求RCPR的值。
分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。
解：设a BA =，b BC =，RC PR λ=，∴λ=RCPR ， 由题意有PB m AP =，QD n AQ =，则a m BA m PA m BP 11111+=+==， b nna b a n n a n BD n n BA n BQ ++=++++=+++=1)(111111，b a m BC BP BR λλλλλλ++++=+++=1)1)(1(1111， 又B 、R 、Q 三点共线，∴存在实数t 使BR t BQ =， ∴b nna b t a m t ++=++++11)1)(1(λλλ，RQ PDCB A∴1)1)(1(=++m t λ，且nnt +=+11λλ。
∴)1)(1(n m n ++=λ，即)1)(1(n m nRC PR ++=。
例9：设直角三角形AOB斜边的三等分点为D 、E 。
求证2222||32||||||AB DE OE OD =++。
分析：以O 为原点，OA 为x 轴正向建立直角坐标系，设)0,(a OA =，),0(b OB =，用a ，b 表示相关线段的长度，从而证明命题。
证明：以直角顶点O 为原点，直角边OA 、OB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，如图设点)0,(a A ，点),0(b B ，),(y x D 则D 分AB 的比为21=λ， ∴由定比分点的向量公式得)31,32(),0(21121)0,(2111111b a b a OB OA OD =+++=+++=λλλ∴点D 坐标为)31,32(b a同理点E 坐标为)32,31(b a ，由两点间距离公式，得994||222b a OD +=，949||222b a OE +=， 99||222b a DE +=，∴)(323232||||||2222222b a b a DE OE OD +=+=++， 而222||AB b a =+，∴2222||32||||||AB DE OE OD =++。
例10：如图，已知ABC ∆，求证：ABC ∆的三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ，且32===CF CG BE BG AD AG 。
分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为Y XE DBAOG FEDCBA向量，可以在平面内任取一点O 为向量的始点，将OA 、OB 、OC 设出。
证明：如图，在平面内任取一点O ，设a OA =，b OB =，c OC =，又设1G 为AD 上一点，且D G AG 112=，则OD OA OG 2122111+++=OD a OD OA 32313231+=+= ∵D 为BC 中点，∴)(21c b OD +=，∴)(31)(2132311c b a c b a OG ++=+⨯+=，同样，若设E G BG 222=，F G CG 332=，则可证得)(312c b a OG ++=,)(313c b a OG ++=∴321OG OG OG == ∴1G 、2G 、3G 三点重合。
设交点为G ，则有32===CF CG BE BG AD AG 。
O G FEDCB A。