04.1 圆的切线与切线长习题与答案

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切线及切线长定理(解析版)

切线及切线长定理（解析版）【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.要点二、切线的性质和判定定理1．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线判定：过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。

要点三、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.【同步训练】类型一、切线的判定与性质1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．【答案与解析】证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．∵ AD 平分∠BAC，∴ DF＝BD．∴ AC 与⊙D 相切．2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵ AC 是圆 O 的直径，∴ ∠ADC=90°.∴ △CDB 是直角三角形.∵ E 是 BC 的中点，∴ DE=EB=EC，∴ ∠ECD=∠EDC。

圆的切线的判定方法练习题

圆的切线的判定方法练习题
知识要点：
一：切线的定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。

二：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

三：切线的判定：①到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
②经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

例题讲解：
方法一：当条件不能确定直线是否有公共点时，利用“①到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；”证明。

例一：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证：CD与小圆相切。

练习题1如图,PA为⊙O的切线,A为切点,OP平分∠APC,求证:PC是⊙O的切线。

练习题2.如图，AB是⊙O直径，DE切⊙O于C，AD⊥DE，BE⊥DE，求证：以C为圆心，
CD为半径的圆C和AB相切。

练习题3.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且于小圆相交于点A、于大圆相交于点B。

小圆的切线AC于大圆相交于点D，且CO平分∠ACB。

（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=4cm，BC=5cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积。

圆的切线和切线长练习题

练习题1、过圆上一点可以作圆的_______条切线；过圆外一点可以作圆的________条切线；过_____点不存在圆的切线。

2、等腰直角三角形ABC 的腰长为5cm ，D 为斜边AB 的中点，则以D 为圆心，以______cm 为半径的圆经过A 、 B 、C ；以D 为圆心，以_______cm 为半径的圆与直线AC 、BC 相切。

当半径_______cm 时，⊙D 和直线AB 、BC 、AC 都相交。

3、已知圆中最大的弦长为8，一条直线与此圆相交，设圆心到直线的距离为d ，则d 的取值范围为______。

4、在射线OA 上取一点P ，使OP=4cm ，以P 为圆心作直径为4cm 的圆，若⊙P 与射线OB 相交，则锐角AOB 的取值范围为_________。

5、Rt △ABC 的斜边AB 为4，直角边AC=2，若AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径为___________。

6、PA 切⊙O 于A 点，PO 交⊙O 于B ，OB=PB=1，则PA 等于______________。

7、⊙O 的两条切线L 1∥L 2，⊙O 的半径为4，则L 1与L 2的距离为____________。

8、在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为(m ，0)，半径是2，如果⊙M 与y 轴所在的直线相切，那m 等于______，若⊙M 与y 轴所在的直线相交，那么m 的取值范围是__________。

9、OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点(O 除外)，若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，那么⊙P 与OB 的位置关系是（）A 、相离B 、相切C 、相交D 、相交或相切10、菱形对角线交于O 点，以O 为圆心，O 到菱形一边的距离为半径的⊙O 与其他边的位置关系是（）A 、相交B 、相离C 、相切D 、无法确定11、以三角形一边为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形12、平面直角坐标系中有点A （3，4），以A 为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y =－x 与⊙A 的位置关系是（）A 、相离B 、相切C 、相交D 、以上情况都有可能13、已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则以B 为圆心，以6为半径的圆与直线AC 的位置关系是_____。

2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

初三圆的切线试题及答案

初三圆的切线试题及答案一、选择题1. 圆的切线与圆相切于一点，该点称为切点。

圆的切线有以下哪个特征？A. 切线与半径垂直B. 切线与直径平行C. 切线与切点的半径垂直D. 切线与圆心的距离等于半径答案：C2. 已知圆的半径为5，点A到圆心的距离为7，那么点A到圆的切线距离是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A二、填空题1. 圆的切线与圆相切于______，并且切线与该点的半径垂直。

答案：切点2. 如果圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d > r时，点P到圆的切线距离为d - r；当d < r时，点P到圆的切线距离为______。

答案：r - d三、解答题1. 如图，圆O的半径为3，点P在圆O上，PA是圆O的切线，PA垂直于OP，求PA的长度。

解：由于PA是圆O的切线，根据切线的性质，我们知道PA与OP 垂直，且PA的长度等于OP的长度减去半径的长度。

因此，PA的长度为OP - 3。

由于OP是半径，所以OP = 3。

代入公式得PA = 3 - 3 = 0。

但这个结果显然是错误的，因为PA不可能为0。

这里需要重新审视题目，如果题目没有错误，那么可能是题目本身存在问题。

2. 已知圆的半径为5，点A在圆上，点B在圆外，AB是圆的切线，且AB垂直于过圆心的直线l，求点B到圆心O的距离。

解：由于AB是圆的切线，且AB垂直于过圆心的直线l，我们可以知道OA = 5（半径），并且由于AB垂直于l，根据勾股定理，我们可以计算出OB的长度。

设OB = x，那么根据勾股定理，我们有：\[ x^2 = OA^2 + AB^2 \]由于AB垂直于OA，所以AB的长度等于OA的长度，即AB = 5。

代入公式得：\[ x^2 = 5^2 + 5^2 = 50 \]解得x = √50 ≈ 7.07。

结束语：通过上述试题，我们可以看到圆的切线问题涉及到切线的性质、勾股定理以及几何图形的构造。

解决这类问题需要对圆的性质有深入的理解，并且能够灵活运用几何知识。

圆的切线综合练习题与答案完整版

圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

圆的切线练习题

圆的切线练习题圆是基础几何学中的重要概念之一，掌握圆的性质和相关定理对于解决与圆有关的问题非常重要。

其中，在求解圆的切线问题时，可以遵循一定的方法和步骤。

本文将介绍一些常见的圆的切线练习题，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

题目一：求过给定点的切线已知圆O的半径为r，圆心为C，给定一点A在圆外。

请问如何求解过点A的圆O的切线？解析：连接圆心C和点A，得到斜率为k的直线。

利用勾股定理可以得到斜边CA的长度为√(r^2+k^2)。

由于切线与半径的垂直，因此切线段与半径长相等。

所以，切线段的长度也是√(r^2+k^2)。

因此，可以通过先求解直线CA的斜率k，然后计算切线段长度来求解过点A的圆的切线。

题目二：求圆的切线方程已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。

请问如何求解通过点A的切线的方程？解析：切线与半径的垂直，因此可以利用斜率来求解切线的方程。

先求解直线CA的斜率k，然后通过斜率和点A的坐标来确定切线的方程。

设点A的坐标为(x1, y1)，圆心C的坐标为(x0, y0)，则切线的斜率为k = -(x1 - x0)/(y1 - y0)。

由切线与点A的坐标可以确定方程为(y - y1) = k(x - x1)。

题目三：求两圆的外切线已知圆O1的半径为r1，圆心为C1，圆O2的半径为r2，圆心为C2。

请问如何求解这两个圆的外切线段的长度？解析：连接两个圆心C1和C2，得到直线L。

根据勾股定理可以求得直线L的长度为d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2,y2)分别为圆心C1和C2的坐标。

由于切线与圆心到切点的线段相等（切点为两圆的外切点），所以外切线段的长度等于d - r1 - r2。

题目四：切线和半径的关系已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。

设切线与半径的交点为点B，请问切线AB与半径OC之间存在什么关系？解析：根据圆的性质，切线与半径的垂直。

圆切线练习题(含答案)

圆切线练习题(含答案)XXX∠OAD，又∠OAD＝90°，∴∠XXX°。

又因为CD与半径OD重合，∴CD垂直于过切点D的半径，即CD是⊙O的切线。

例5.证明：由点悟可知，须证OD＝OA。

XXX是⊙O的直径，∴∠OAB＝90°，又∠XXX°，因此O、B、D三点共线。

OBD是直角三角形，∴OD＝OB×sin∠OBD＝r×sin∠OAB＝OA。

又因为OD是⊙O的半径，∴OD＝r。

OA＝r，即AC与⊙O相切。

例6.证明：如图所示。

OA⊥OB，∴∠XXX°，又∠OAD＝∠DPB，∴∠DPB＝90°。

CD是⊙O的切线，∴PC＝CD。

例7.解：如图所示。

O是内心，∴∠BOC＝2∠A＝140°。

答案：∠BOC＝140°。

题目：证明在一个圆中，若一条直径的一端点与圆上一点相连，且与该点相连的两条切线分别与直径所在直线交于不同点，则这两个交点和圆上的该点构成一个等腰三角形。

证明：连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。

由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。

又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。

由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。

在证明中，我们先利用“切线的性质定理”和“全等三角形”的基本图形，构造辅助线OD。

然后利用切线的判定定理，得到CD是圆的切线。

这样就证明了∠COB=∠COD和CD是圆的切线。

接下来，我们连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。

由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。

又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。

由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。

（完整版）圆的切线问题

（完整版）圆的切线问题圆的切线问题1. 自一点引圆的切线的条数（1）若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；（2）若点在圆上，则过此点可以作圆的一条切线，切此点是切点；（3）若点在圆内，则过此点不能作圆的切线。

2. 切线方程的几个重要结论（1）经过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+；（2）经过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+--；（3）经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为0220000=++?++?++F y y E x x D y y x x ；（4）已知圆222r y x =+的切线方程的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y 。

3. 切线长公式过圆外一点),(00y x P 引圆的两条切线，则切线的长为22020002020)()(r b y a x F Ey Dx y x --+-=++++。

4. 切点弦方程过圆222r y x =+外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别是B A 、，则过两切点BA 、的弦所在直线的方程为200r y y x x =+。

（即此弦所在的直线方程的求法为：以圆心)0,0(O 和),(00y x P 的为直径两端点的圆的方程为0)()(00=-+-y y y x x x ，两圆方程联立方程组=-+-=+,0)()( ,00222y y y x x x r y x ，同时消去22y x 、项得直线方程就是切点弦虽在的直线方程。

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圆的切线综合练习题与答案

初三圆的切线练习题及答案

初三圆的切线练习题及答案圆的切线是数学中的重要概念，初三学生需要通过练习来巩固和掌握相关的知识。

下面是一些圆的切线练习题及答案，供初三学生参考。

题目一：已知圆O的半径为6cm，A为圆上一点，B为圆上与A相对应的点，且AB为圆的直径。

点C为圆上任意一点,点D为OC的垂足。

求证：OC是∠ACD的平分线。

（解析）解：首先，连接OD、AD。

由于AB是圆的直径，所以∠BAD为直角。

因为AO、OD都是半径，所以AO=OD。

又因为∠OAD=∠ODA，所以△AOD是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，可知∠DAO=∠DOA。

又因为∠DAB=90°，所以∠ODA+∠DAB=90°。

所以∠ODA+∠DAB=∠DAO+∠DOA。

整理得到∠ODA=∠DAO。

因此，OC是∠ACD的平分线。

已知圆O的半径为8cm，切线AB与半径OC相交于点D，且CD = 14cm。

求证：AD = 2BD。

（解析）解：首先，连接OD、AO、BO。

根据切线与半径的性质，可知∠ODB=90°，∠OAB=90°。

所以△ODB与△OAB共边且有一个角是90°，因此△ODB≌△OAB。

根据等腰三角形的性质，可知OD=OA。

设AD=x，BD=y。

根据勾股定理可得：x²+y²=OD²①由于△ODB≌△OAB，所以AD=2y。

根据勾股定理可得：(2y)²+y²=OA²②由于OD=OA，所以OD²=OA²。

代入上式，得到：化简得到：x²=2y²由于AD=2y，所以x=2y。

所以AD=2BD。

答案一：OC是∠ACD的平分线。

答案二：AD = 2BD。

通过以上的练习题及答案，初三学生可以加强对圆的切线性质的理解与掌握。

希望同学们通过不断地练习与思考，能够熟练运用相关知识解决实际问题。

祝大家学习进步！。

平面几何中的圆的切线与切圆练习题

平面几何中的圆的切线与切圆练习题1. 切线定义在平面几何中，一条直线与圆相交于圆上的一点，并且与圆的切点之间垂直，这条直线就被称为圆的切线。

2. 切线特性（1）切线与半径垂直：圆的切线与从切点处到圆心的半径垂直相交。

（2）切线长度相等：如果两条切线都是从同一个点切入圆，那么这两条切线的长度将相等。

练习题1：已知圆C的半径为r，直线L与圆C相交于点A，且直线L过圆的圆心O。

证明：OA与直线L的垂线为圆C的切线。

解答：由于直线L通过圆心O，所以OA即为半径。

又因为半径和切线垂直相交的特性，可以得出OA与直线L的垂线为圆C的切线。

练习题2：已知圆C的半径为r，直线L与圆C相交于点A，且AB是圆C的切线（B为切点）。

如果AC的长度为r，求直线L与圆的切点B到圆心的距离。

解答：根据题干中的信息，AC的长度为r，即AC与半径垂直，并且长度为半径r。

根据切线特性，切线与半径垂直相交，所以角CAB为直角，即三角形CAB为直角三角形。

由勾股定理可得，（CB)^2 = (CA)^2 - (AB)^2由于AC的长度为r，所以（CB)^2 = r^2 - (AB)^2又因为AB是切线，所以AB的长度为r，可得（CB)^2 = r^2 - r^2 = 0由此可知CB的长度为0，即切点B与圆心O重合。

练习题3：已知直线L与圆C相交于点A和B，直线L与圆C的切线于点C。

若直线AC的长度为8cm，切线CB的长度为12cm，求圆C的半径。

解答：设圆C的半径为r。

根据题干中的信息，直线AC的长度为8cm，切线CB的长度为12cm。

根据切线特性可以得知，直线AC与CB都是切入圆C的切线，所以它们的长度应该相等，即AC = CB。

根据题干的条件，可以得出8 = 12，显然不成立。

所以题干中的条件存在矛盾，无法求出圆C的半径。

练习题4：已知圆C的半径为6cm，点A、B、C分别位于圆C上。

直线AB 是圆C的切线，直线AC与BC分别与圆C的切线垂直。

切线长定理练习题

切线长定理练习题切线长定理练习题切线长定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆与其切线之间的关系。

通过理解和应用这个定理，我们可以解决许多与圆相关的问题。

在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对切线长定理的理解。

练习题1：已知一个圆的半径为5 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为12 cm。

求切线的长度。

解答：根据切线长定理，切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 12^2 - 5^2切线长的平方 = 144 - 25切线长的平方 = 119切线长≈ √119 ≈ 10.92 cm所以，切线的长度约为10.92 cm。

练习题2：已知一个圆的直径为10 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为8 cm。

求切线的长度。

解答：由于切线长定理中给出的是切点到圆心的距离，而我们已知的是直径，所以我们需要先求得圆的半径。

圆的半径等于直径的一半，即5 cm。

接下来，我们可以使用切线长定理来求解切线的长度。

切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 8^2 - 5^2切线长的平方 = 64 - 25切线长的平方 = 39切线长≈ √39 ≈ 6.24 cm所以，切线的长度约为6.24 cm。

练习题3：已知一个圆的半径为7 cm，一条切线与圆的切点到圆心的距离为10 cm。

求切线的长度。

解答：同样地，我们可以使用切线长定理来解决这个问题。

切线长的平方等于切点到圆心距离的平方减去圆的半径的平方。

即：切线长的平方 = (切点到圆心距离的平方) - (圆的半径的平方)切线长的平方 = 10^2 - 7^2切线长的平方 = 100 - 49切线长的平方 = 51切线长≈ √51 ≈ 7.14 cm所以，切线的长度约为7.14 cm。

(整理版)圆的切线长练习

圆的切线长练习(1)假设⊙O的切线长和半径相等，那么两条切线所夹角的度数为〔〕°°° D．９0°〔2〕假设AB、AC分别切⊙O于B、C，延长OB到D使BD＝OB，连AD，∠DAC＝78°，那么∠ADO＝〔〕°°° D.78°〔3〕如图7—153，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，假设OB＝6，AO＝10，那么△AEF的周长是〔〕A.10B.12C.14〔4〕如图：AB、AC切⊙O于B、C，BC交OA于D，那么图中的直角三角形共有〔〕A.3B.4〔5〕. 如图：△A BC与⊙O分别切于D、E、F，DE∥BC，AB=8，AD=5，那么BC的长为〔〕A.3B.6C.8D.无法求出二，填空题〔1〕⊙O的半径是4cm，点P和圆心O的距离为8cm，经过点P作⊙O的两条切线，那么两条切线夹角为________度．〔2〕ABCD是⊙O的外切等腰梯形，假设上底CD=4cm，圆的半径是3cm，那么腰长为(3)作一个半径为2 cm的圆，使它与60°角的两边都相切，那么圆心到角的顶点的距离是__________；〔4〕⊙O的半径为2，弦AB＝23，过A、B两点的⊙O的切线相交于点P，PO与圆相交于C，那么C到PA的距离是_______；(5)PA、PC分别切⊙O于A、C两点，B为⊙O上与A、C不重合的点，假设∠P＝50°，那么∠AB C＝_______.〔6〕：PA、PB分别切⊙O于点A和B，C为弧AB上一点，过C与⊙O相切的直线分别交PA、PB于点D和E，假设PA=2cm，∠APB=60°那么(1)△PDE的周长= (2)∠DOE= ．三，解答题1. 如图：在△ABC中，∠ACB=Rt∠，⊙O的O点在BC上，且AB切⊙O于D，假设OC∶CB=1∶3，AD=2．求BE的长．2.如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点．求：△AD E的面积．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝９0°，AB＝８厘米，AD＝2４厘米，BC＝26厘米，AB是⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动．动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：(1)ｔ分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?(2)ｔ分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离?辅助线，如何添，找出规律凭经验。

圆形切线经典习题

圆形切线经典习题1. 切线定义在数学中，一条切线是一条与圆的曲线相切，且切点与圆心连线垂直的直线。

切线的长度与半径相等。

2. 切线性质- 切线与圆的交点处，切线的斜率是切点处切线的斜率的负倒数。

- 切线与半径在交点处构成直角。

3. 切线计算设圆的方程为 x^2 + y^2 = r^2，圆心为 (a, b)，切线的斜率为 k，则切线方程为：y - b = k(x - a)4. 经典题题1已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 4 和点 P(1, -1) 是圆上的一点，求通过点 P 切圆的切线方程。

题2已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 9 和切点为 A(3, -2)，求通过切点A 切圆的切线方程。

题3已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 25 和切线方程为 y = 2x + 1，求切点坐标。

题4已知圆的方程为 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25，求与圆相切且斜率为 3 的切线方程。

5. 解答题1通过点 P 切圆的切线方程为：y - (-1) = k(x - 1)题2通过切点 A 切圆的切线方程为：y - (-2) = k(x - 3)题3设切点坐标为 (x1, y1)，代入切线方程得：2x1 + 1 = y1代入圆的方程得：x1^2 + y1^2 = 25联立解方程得切点坐标。

题4斜率为 3 的切线方程为：y - 3 = 3(x - 2)解得切点坐标。

以上是圆形切线的经典习题及解答。

通过这些习题的练习，可以加深对圆形切线的理解与掌握。

【专题训练】专题：切线与切线长定理专题训练(含答案)

专题：切线与切线长定理专题训练（含答案）◆基础训练1．如图1，PA 切⊙O 于点A ，该圆的半径为3，PO=5，则PA 的长等于_____．图1 图2 图32．如图2，⊙O 的半径为5，PA 切⊙O 于点A ，∠APO=•30°，则切线长PA•为______．（结果保留根号）3．如图3，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点C ，若∠A=25°，则∠D=___．4．如图4，直线AB 切⊙O 于点C ，∠OAC=∠OBC ，则下列结论错误的是（）A ．OC 是△ABO 中AB 边上的高 B ．OC 所在直线是△ABO 的对称轴 C ．OC 是∠AOB 的平分线D ．AC>BC图4 图5 5．如图5，AB 是⊙O 的切线，P 为切点，若点Q 在直线AB 上，且OQ=5，•OP=•3，•则tan ∠OQP=（）A ．35B ．45C ．43D ．346．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切⊙O 于点C ，交AB•的延长线于点D ，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD ；（2）求⊙O 的半径．7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为点B ，点D 是⊙O 上的一点，且AD ∥OC ，求证：AD ·BC=OB ·BD ．8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O 的切线，交AC 于E ，求证：（1）DE ⊥AC ；（2）BD 2=CE ·CA ．◆提高训练9．如图，⊙M 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心M•的坐标是_______．10．如图，已知PA 切⊙O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O•逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为（） A ．7 B ．372C ．5D ．22 11．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 与⊙O 相切于点A ，过B 点作BC ∥OD 交⊙O•于点C ，连接OC ，AC ，AC 交OD 于点E ．（1）求证：△COE ≌△ABC ；（2）若AB=2，AD=3，求图中阴影部分的面积．12．已知：如图，△ABC 中，CA=CB ，点D 为AC 的中点，以AD 为直径的⊙O 切BC 于点E ，AD=2．（1）求BE 的长；（2）过点D 作DF ∥BC 交⊙O 于点F ，求DF 的长．13．如图，BC 是半圆O 的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于A ，AD ⊥BC 于D ．（1）若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等？请说明理由；（2）求证：PD ·PO=PC ·PB ；（3）若BD ：DC=4：1，且BC=10，求PC 的长．答案:1．4 2．53 3．40° 4．D 5．D 6．（1）略（2）10 7．略 8．略9．（5，4） 10．A 11．（1）略（2）6 －3412．（1）BE=4－22 （2）DF=43213．（1）AB=AP ，•理由略（2）提示：证△PCA ∽△PAB ，得PA 2=PC ·PB ，证△PAD ∽△POA ，得PA=PD ．PO•等量代换（3）PC=103（提示：用（2）的结论列方程解）。

04.1 圆的切线与切线长习题与答案

圆的切线1 一、切线切线长定理中的基本图形：如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：(1)两个等腰三角形(,)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB 和∠AOB)；(3)三个垂直关系(OA PA, OB , OP AB)。

1．遇到有切线时常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。

(图1)图1 图2 图32．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

(图2) （2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

(图3)图4 图53.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。

(图1)4．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

(图4)遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。

(图5)一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）例1.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求∠A的度数。

解：连结OP，设∠A的度数为x。

∵PA=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。

又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠A=30°。

例2：如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B.求证：PB是⊙O的切线.证明：连接OA、OB.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OPB=∠OAP=90°.∴PB是⊙O的切线.ABCDEPO例3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD 和过C 点的切线垂直,垂足为D ，求证∠1=∠2。

切线长定理练习题

切线长定理练习题切线长定理，又称垂径定理，是几何学中的一条重要定理。

它描述了一个圆和一条切线之间的关系。

在本篇文章中，我们将探讨一些切线长定理的练习题，帮助读者更好地理解和应用这一定理。

练习题一：已知一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，求切线的长度。

解答一：根据切线长定理，切线的长度等于圆的半径和切线与半径的长度的乘积的平方根。

因此，我们可以得出以下公式：切线长= √(r * x)练习题二：一个圆的半径为5cm，切线与半径的长度为12cm，求切线的长度。

解答二：根据练习题一的公式，我们可以得出：切线长= √(5 * 12) = √60 ≈ 7.746cm练习题三：一个圆的半径为10cm，切线的长度为15cm，求切线与半径的长度。

解答三：我们可以反过来使用切线长定理的公式来求切线与半径的长度。

将已知的切线长度和圆的半径代入公式，得到以下方程：15 = √(10 * x)对方程两边进行平方，解得：225 = 10 * x因此，切线与半径的长度为22.5cm。

练习题四：一个圆的半径为8cm，切线与半径的长度为6cm，求切线的长度和切线与半径的长度的乘积。

解答四：根据切线长定理的公式，我们可以得到切线的长度：切线长= √(8 * 6) = √48 ≈ 6.93cm而切线与半径的长度的乘积可以计算得出：切线与半径的长度的乘积 = 6 * 8 = 48练习题五：一个圆的半径为r，切线与半径的长度为x，切线的长度为y，求y 与x的关系。

解答五：根据切线长定理的公式，我们可以得到：切线长= √(r * x)将切线长用y表示，则得到以下方程：y = √(r * x)对方程两边进行平方，整理得到：y² = r * x通过此方程，我们可以得出y与x的关系。

总结：通过练习题的探讨，我们进一步理解了切线长定理的应用。

切线长定理在几何学中具有重要的意义，它不仅有助于解决实际问题，也可以帮助我们更好地理解圆和切线之间的关系。

圆的切线综合练习题与答案

切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 60 12. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD ＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

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= 360°- 50°- 90°-90° = 130°
∴ ∠BPC = ∠BOC =
65°
?
例 5、已知：MN 切⊙O 于 A 点，PC 是直径，PB ⊥
分析：
= PB ·PC
MN 于 B 点，求证：
= PB ·PC
=
PAB ∽ PCA
证明：连结 AC、AP
∵ PC 是⊙O 的直径 ∴ ∠CAP = 90 °
∵ PB ⊥ MN
∴ ∠PBA = 90 °
∴ ∠CAP = ∠PBA
)
∵ MN 是⊙0 的切线
∴ ∠BAP = ∠ ACP
∴ PAB ∽ PCD
=
= PB ·PC
在解决有关切线问题时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角关系，
使问题得以解决。
二、无公共点，利用圆心“作垂直，证半径”判定切线
例 4、如图，AB、AC 与⊙O 相切有与 B、C 点，∠A = 50°，点 P 优弧 BC 的一个动点，求∠BPC 的度数。
解：连结 OB、 OC ，
∵ AB、AC 是⊙O 的切线
!
∴ AB⊥OB， AC⊥OC，
∴∠ABO = ∠ACO = 90°
在四边形 ABOC 中，∠A = 50°
∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO
(1)、求证：∠A= ∠BDC； (2)、若 CM 平分∠ACD，且分别交 AD，BD 于点 M，N，
.
当 DM =1 时，求 MN 的长。
利用切线的性质解与特殊四边形综合问题 3、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC= ，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点 D，连接 CD 并延长 AB 的延长线于点 F。
(1)、求证：CF 是⊙O 的切线， (2)、若∠F = ，EB =4，求图中阴影部分的面积。（结果可保留根号和）
答案：习题一
1、6 ;
2、115 ; 3、
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; 4、 ;
习题二 1、(2)12;
2、（2）
； 3、 (2)4 -
圆的切线 1
一、切线
切线长定理中的基本图形：
如图，PA，PB 为⊙O 的切线，A，B 分别为切点，则有：
(1)两个等腰三角形(
,
)；
(2)一条特殊的角平分线(OP 平分∠APB 和 ∠AOB)；
(3)三个垂直关系(OA PA, OB , OP AB)。
1．遇到有切线时
;
常添加过切点的半径（连结圆心和切点）。(图 1)
1、如图，在 Rt
∠ABC = ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，
以点 D 为圆心，DB 长为半径作⊙O。求证： AC 与圆 D 相切。
2、已知：□ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O 点，BC 切⊙O 于 E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.
&
习题一
题1
A
D
O
B
E
题C2
1、如图，P 是⊙O 外一点，PA、PB 分别和⊙O 切于 A、B，C 是弧 AB 上任意一点，过 C 作⊙O 的切线分别交 PA、 PB 于 D、E，若△PDE 的周长为 12，则 PA 长为______________。
度数。
解：连结 OP，设∠A 的度数为 x。 ∵PA=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M， ∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。又∵AP 切⊙O 于点 P， ∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即 x+2x=90°，解之得 x=30°， ∴∠A=30°。
!
例 2：如图，PA 是⊙O 的切线，切点是 A，过点 A 作 AH⊥OP 于点 H，交⊙O 于点 B.求证：PB 是⊙O 的切线. 证明：连接 OA、OB.
】
A
D
O
C
P
BE
题1
题2
题3
2、如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=
。
3、如图，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切 AC，BC，AB 于 D，E，F，求 Rt△ABC 的内心 I 与外心
O 之间的距离。
4、如图，A 是半径为 1 的圆 O 外的一点，OA=2，AB 是圆 O 的切线，B 是切点，弦 BC∥OA，连结 AC，求阴影部分
的圆周角得两角相等。
(图 1)
4．遇到三角形的内切圆时
!
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
(图 4)
遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点。
(图 5)
一、圆中有切线，常作过切点的半径（有点，过圆心作切线的垂线）
例 1.如图，已知 MN 为⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，P 为切点，点 A 在 MN 的延长线上，若 PA=PM，求∠A 的
A D
O
C
P
BE
图1
图2
图3
2．遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
(图 2)
,
（2）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。(图 3)
图4
图5
3.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°.
∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP. ∴∠OPB=∠OAP=90°. ∴PB 是⊙O 的切线.
*
例 3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD 和过 C 点的切线垂直,垂足为 D，求证∠1=∠2。证明：连结 OC。 ∵DC 切⊙O 于点 C，∴OC⊥DC。又∵AD⊥DC，∴OC∥AD， ∴∠1=∠3。∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。
的面积。
/
C
B
A O
题4
题5
5、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连 AC 交⊙O 于 D，过 D 作⊙O 的切线 EF，交 BC 于 E 点.求
证：OE
习题二
有公共点，利用公共点”连半径，证垂直”判定切线
1、如图，在 Rt
∠C = ， BD 是角平分线，点 O 在 AB 上
.
以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E。 (1)、求证：AC 是⊙O 的切线。 (2)、若 OB =10， CD = 8，求 BE 的长。
利用切线的性质解边角问题 2、如图，在⊙O 中，点 C 是直径 AB 的延长线上一点，过点 C 作⊙O 的切线，切点为 D，连接 BD。