高二数学(人教A版)《2.1.1椭圆的简单几何性质》导学案1

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人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案第一课时椭圆的简单几何性质

2．2．2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P43～47，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？[新知初探]椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e ＝ca(0<e <1) [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于a ( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35答案：B3．若椭圆x 2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．22D ．52 答案：A4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：32由标准方程研究几何性质[典例] [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35．利用几何性质求标准方程[典例] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝10，a ＝5．又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3， a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝35，焦距为12．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1．(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，则b 2＝a 2－c 2＝64．当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1．求椭圆的离心率[典例] 设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[解析] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．解：在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°， ∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋n sin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22． 2．[变条件，变设问]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2．又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2． ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22．故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．层级一学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |．又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ．∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163．综上，m ＝3或m ＝163．答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1．解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1．答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)．答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2．由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22．又∵0<e <1，∴22<e <1．层级二应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1． 4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ， ∴e ＝c a ＝13．故选A ． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52．因为e >0，所以e ＝5－12．答案：5－12 6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d ≤10．答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3，由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1．于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8．故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ．由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ．在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ．于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ．因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。

高中数学新人教版A版精品教案《椭圆的简单几何性质》

《椭圆的几何性质》教学设计全日制普通高中数学人教版第二册（上）第八章第二节《椭圆的简单几何性质》是人教版内容。

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上。

通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，通过本节课的学习让学生了解、掌握椭圆的几何性质，初步体会利用曲线方程来研究其性质的方法，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。

2、教学目标：（1）通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形。

（2）通过知识的形成培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力，和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。

3、教学重点和难点：重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁圆程度的给出过程。

4、教法分析：本节课以启发、探究式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、及练习法等教学方法。

在椭圆简单几何性质的教学过程中，让学生发现性质，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

5、学法分析：在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到深化6过程2y25400表示什么样的曲线？怎么画它的图2,0),(a A )b线段12,A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于,2b ，a,=21y b 中,a x a b y b二、从图形看椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

2,0),(a A a 12(0,),(0,)b B b225400y和1259x y的长袖长，短轴长，顶点坐标，并画出它的草图。

c a 。

并用几何画板验证猜想22B F O2211b cea ababae22e1>e223611612x y y 与 2229361610x y y 与思路设计。

人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案椭圆的简单几何性质(一)

椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1；（2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。

高二数学2.1.2椭圆及其简单几何性质导学案(3)新人教A版选修1-1

高中数学 2.1.2
椭圆及其简单几何性质（3）导学案
【自主学习】1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为
),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式
子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差
法”。

2、若直线b kx y l :与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则
【合作探究】
例1．过椭圆1416
22y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线
的方程。

2、已知椭圆方程为1222y x
与直线方程21
:x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
【目标检测】
1．过椭圆x2
25＋y2
9＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为_______
2、过椭圆22
24
x y的左焦点作倾斜角为0
30的直线，则弦长 |AB|= _______
3、求以椭圆x2
16
＋
y2
4
＝1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程。

4、已知斜率为1的直线l过椭圆
2
21
4
x
y的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．。

人教版高中数学高二数学《椭圆的几何性质》学案

教学目标：掌握椭圆的简单的几何性质；感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.教学重点：椭圆的简单的几何性质.教学难点：运用方程研究曲线几何性质的思想方法.教学过程：一、课前检测1.椭圆2212520x y +=上的一点P 的横坐标为3，则点P 到椭圆左焦点的距离等于，点P 到右焦点的距离等于 .2.焦距等于4，且过点(3,26)M -的椭圆的标准方程为 .二、问题情境在建立了椭圆标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质，哪么，椭圆有哪些几何性质呢？三、性质研究（一）、范围练习：以22321x y +=为例来说明范围。

（二）、对称性练习：（1）方程22321x y -=表示的曲线且有类似椭圆的对称性吗？说明道理。

方程22x y =表示的曲线呢？请再举出几个既是中心对称，又是轴对称图形的例子。

（三）、顶点练习：(1)椭圆22321x y +=的顶点坐标为，长轴长等于，短半轴长等于 .(2) F 1,F 2分别是椭圆的左右焦点，A 1A 2是长轴，A 1离F 1近，则|A 1F 1|+|A 2F 1|=【】，|A 1F 1|=【】, |A 2F 2|=【】 , |A 1F 2|=【】。

A 、a+cB 、a －cC 、bD 、2a（四）、离心率练习：(1) F 是椭圆的一个焦点，点O 为坐标原点，PP 1是短轴，则cos OFP ∠= ，若0160PFP ∠=，则离心率e 的值为（2）椭圆22491x y +=与2212520x y +=中，哪个更接近于圆？四、例题讲解例1、（课本P28例1 ）求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点总第37页（第10课时第1页）坐标，并用描点画出这个椭圆。

性质练习：课本P30 练习1，2例2、（课本P29例2 ）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F 2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，AB 是椭圆的长轴，地球半径约为6371km ，求卫星的轨道方程。

椭圆的简单几何性质(第二课时)学案24-25学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

学案高中课程标准·数学选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、课前回顾1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.设1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，M 为椭圆C 上一点，112MF =，216MF =，213sin 5MF F ∠=，则椭圆C 的离心率e =_________.二、学习目标1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 三、自学指导阅读课本113-114页，解决以下问题与例题问题1：点与椭圆的位置关系点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系: （1）点P 在椭圆上⇔（2）点P 在椭圆内部⇔（3）点P 在椭圆外部⇔做一做：若点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是 .问题2：直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系判断方法:联立{y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y 得一个关于x 的一元二次方程. 位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ) 相交相切相离做一做:直线y=x+1与椭圆x2+y 22=1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定例1：动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹．变式1：点(),M x y 与定点()2,0F 的距离和它到定直线 8x =的距离的比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．例2：如图3.1-13，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？图3.1-13变式2：已知直线m x y +=与椭圆191622=+y x 当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m 的取值范围.例3：已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1）当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围; （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.变式3： (1)已知椭圆205422=+y x 的左焦点为F ,过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于B A ,两点,求弦长AB .(2)椭圆有两个顶点)0,1(),0,1(B A -，过其焦点)1,0(F 的直线l 与椭圆交于D C ,两点,若223=CD ，求直线l 的方程.例4：过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(P 作一条直线交椭圆于B A ,两点，使线段AB 被点P 平分，求此直线的方程.变式4：（1）已知点)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,则直线l 的方程为（2）已知点)2,4(P 是直线082:=-+y x l 被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为 .四、当堂检测1.求下列直线与椭圆的交点坐标：（1）310250x y +-=，221254x y +=；（2）320x y -+=，221164x y +=．2.经过椭圆2212x y +=的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长.五、课后作业1.若直线x+2y=m 与椭圆x 24+y 2=1只有一个交点,则m 的值为( ) A.2√2B.±√2C.±2√2D.±22.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得的弦的中点坐标是( )A.(23,53)B.(43,73) C.(-23,13)D.(-132,172)3.若直线y=x+2与椭圆x2m +y23=1有两个公共点,则m的取值范围是.4.椭圆x23+y2=1被直线x-y+1=0所截得的弦长|AB|=.5.已知焦点坐标分别为(0,5√2)和(0,-5√2)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为12,求此椭圆的方程.6.已知椭圆221259x y+=，直线:45400l x y-+=．椭圆上是否存在一点，使得：（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？7.已知椭圆22149x y+=，一组平行直线的斜率是32．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．。

高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1 (2)

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质（1）导学案新人教A版选修1-1【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．【自主学习】（认真自学课本P37-P39）问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．问题2：类比问题1，回答椭圆221169y x+=的几何性质。

【合作探究】例1．（教材P40例4）求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．【目标检测】1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； ⑷长轴长等到于20，离心率等于35．2．若椭圆2215x y m+=的离心率105e =，则m 的值是（）． A ．3 B ．3或253C ．15D ．15或51533．短轴长为5，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．24学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。

高二数学选修1-1-《椭圆的简单几何性质》导学案

2.1.2 椭圆的简单几何性质学习目标：1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义；2.通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的；3.初步利用椭圆的几何性质解决问题.学习重点：椭圆的几何性质学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系思想方法：数形结合的方法、分类讨论的思想一、复习1 、椭圆的定义____________________________________________________2 、椭圆的标准方程焦点在x 轴上时：_________________，焦点在y 轴上时：__________3、椭圆中a,b,c 的关系是___________________二、新授课探究一观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________. 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22by ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线__________和__________围成的矩形里.2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称（2）在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称，因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做___________3 、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点，分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , )（2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________a 和b 分别叫做椭圆的________和___________及时反馈：（1）椭圆16422=+y x 的长轴长是：________短轴长是;_______焦距是：_______焦点坐标是：__________顶点坐标是：__________（2）在下列方程表示的曲线中，关于x, y 轴都对称的是（）A. y x =2B. 022=++y xy xC. x y x 5422=-D. 4922=+y x探究二圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4 、椭圆的离心率（1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率，用____表示，即____________=（2）由于a>c>0，所以离心率e 的取值范围是_____________（3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______.若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于_______.及时反馈：下列两个椭圆中，哪一个更接近于圆？369422=+y x 与 1202522=+y x 下面把焦点在x 轴和在y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：三、综合跃升例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）一焦点坐标为（-3，0），一顶点坐标为（0，5）;（2）长轴长等于20，离心率为53.例2 .若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，求k 的值.四、小结自测题：1椭圆192522=+y x 上点p(x,y)的横坐标的范围为_____________. 2若点p(2,4)在椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 上，下列在椭圆上的点有： (1) p ( -2, 4 )(2) p ( -4, 2 )(3) p ( -2, -4 )(4) p ( 2, -4 )3求中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6的椭圆方程.4写出椭圆16422=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，顶点和焦点坐标.。

高二数学(人教A版)《2.1.1椭圆的简单几何性质》导学案3

§2.1.1椭圆的简单几何性质(第 3课时)[自学目标]: 掌握直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.[重点]: 直线与椭圆实际问题[难点]: 直线和椭圆的位置关系，相关弦长、中点等问题．[教材助读]:1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=[预习自测]1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长.待课堂上与老师和同学探究解决。

[合作探究展示点评]探究一：点差法例1、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

探究二：弦长问题例2、斜率为2的直线l 被椭圆22132x y +=截得的弦长为7，求直线l 的方程。

[当堂检测]1．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017D ．7 2、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线，则弦长 |AB|= _______1、求以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。

4、已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．[拓展提升]★1．已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。

高二数学教案：《椭圆的简单几何性质》(人教A版选修)

§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。

【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。

②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。

2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。

【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案。

高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)导学案人教A版选修2-1

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．【重点】根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形【难点】根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图一、自主学习1.预习教材P43～ P46, 找出疑惑之处复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．2.导学提纲问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记c e a=，且01e <<．试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？图形：范围： x ： y ：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率： c e a== ．反思：b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？二、典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：三、拓展探究1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =； ⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：五、课后巩固1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（）．A ．3B ．3或253C 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。

高二数学(人教A版)选修1-1导学案：2.1.2椭圆的几何性质(无答案)

文华高中高二数学选修1-1§2.1《椭圆的几何性质》导学案学习目标1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法重点难点重点：椭圆的几何性质难点：椭圆的几何性质学习方法类比，数形结合情感态度与价值观通过坐标系把数与形有机联系起来，通过研究椭圆等圆锥曲线的方程得到圆锥曲线的几何性质，形成研究曲线的一般方法学习过程焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：，对称中心：离心率2.离心率的作用:当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆. 二、例题探究例1.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）2212516x y += （2）221925x y +=例2.求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标：(1)221625400x y += （40P 例4） (2)22981x y +=三、合作探究例3．已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值．四、课堂展示1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点(8,0)-、(0,6)； ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)；⑶焦距是8，离心率等于45.2.短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 .3.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________.4.已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2五、课堂小结1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2.利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3.求离心率e 时，注意方程思想的运用.本节课我最大的收获是我存在的疑惑有：文华高中高二数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上2.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0，±10)C.(0，±13)D.(0，±69) 3.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )A.32B.34C.22D.234.过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.135.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( )A.14B.12C.2D.4 6.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0，a >0，b >0)具有( )A.相同的顶点B.相同的离心率C.相同的焦点D.相同的长轴和短轴7.点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹椭圆第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比，等于常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆。

人教新课标版数学高二选修1-1导学案 2.1.2椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2椭圆的简单几何性质(一)【教学目标】1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.1.2椭圆的简单几何性质(一)》课件“新课导入”部分，带着问题思考与互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)三、合作探究问题1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．问题2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．问题3如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．探究点1由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．探究点2 椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．解依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1. 反思与感悟确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．探究点3 椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．解依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc 2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2. 由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1. 反思与感悟求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．四、当堂测试1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6答案 B解析把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10,2b ＝6，c a＝0.8. 2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°答案 B解析由椭圆的定义得|PF 2|＝2，因为|F 1F 2|＝29－2＝27，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．答案 x 225＋y 216＝1 解析据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．答案 [4－23，4＋23]解析因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。

人教版高中数学高二数学《椭圆的几何性质》教案1

3、顶点：椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
注：焦点是在长轴上的。
4、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比2c/2a＝c/a＝e。椭圆离心率e的范围是0＜e＜1
注：e越接近1，椭圆就越扁；e越接近0，椭圆就越接近于圆。
三、数学应用：
例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。
教学参考
教师用书鼎尖教案
授课ห้องสมุดไป่ตู้法
启发引导探究
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、复习回顾1、椭圆的标准方程是
2、由标准方程如何判断焦点的位置及其坐标。
问题：1观察椭圆，你能看出椭圆的哪些性质？
2你能根据方程研究那些性质吗？
二、数学建构：
1、范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
2、对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
分析：将方程化为标准方程即可求解
学生回顾并口答
师生共同讨论、探究
长轴
短轴
长半长轴长
短半轴长
1、你能求出顶点的坐标吗？
2、找出字母a、b、C的线段表示
练习：P33 1
教学过程设计
教
学
二次备课
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑴分析一：设方程为mx2＋ny2＝1，将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
备课时间
2012年11月7日
主备人：李学习
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
椭圆的简单几何性质1
总课时数

(新课程)高中数学《2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)》导学案新人教A版选修21

2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．4346，文P 37~ P 40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是．二、新课导学※ 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为离心率，记ce a =，且01e <<．试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率： ce a == ．反思：ba 或cb 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※ 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升※学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※ 知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（）．A ．3B ．3或253C 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（）． A ．34 B ．23 C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。

椭圆的简单几何性质导学案——高二上学期数学人教A版选修2-1

椭圆的简单几何性质(导学案)一、学习目标1.掌握椭圆的范围，对称性、顶点、离心率等几何性质；2.明确椭圆标准方程中a,b以及c,e的几何意义，a,b,c,e之间的相互关系；3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.二、教学重难点1、椭圆标准方程和离心率的求解；2利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.【学习过程】第一环节：自学(课前)椭圆的简单几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b第二环节：展评(课堂) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()2．做一做(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3,45B．10,6,45C．5,3,35D．10,6,35(2)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．探究1椭圆的简单几何性质例1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．【跟踪训练1】求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22(2) 已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．第三环节：总结1.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．3.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．课堂练习1．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距2．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2<a< 2 B．a<－2或a>2 C．－2<a<2 D．－1<a<13．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.52 B.33 C.12 D.134. 过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________。