无模型隐含波动率

BS隐含波动率
原理：反解BS公式
不足：
• 依赖于BS模型 • 未来波动率有偏估计 • 不可复制，不可投资
无模型隐含波动率
原理：期权组合市场价格的加权平均 优点：
• 不依赖于BS模型 • 包括不同行权价期权所包含的波动率预测信息 • 可复制、可开发创新产品，更具有投资价值
结论：无模型隐含波动率可复制、可开发创新产品，更具投资价值
远期合约空头部位 非线性高阶部分 特殊期权组合
X ST


ST X

18/22
无模型隐含波动率
在市场风险中性环境下将时间坐标从到期时刻前移至当前时点：
ST S X ,t T ,T X 2 X P S X ,t X C Et ln S E ln S E T t X , t t S X ,t S S E X ,t 2 P C exp rf t ,T ln S X ,t t T t ,T X X S X X ,t S X ,t
无模型隐含波动率——波动率方差互换在风险中性环境下无套利定价的第三种表述形式：

2 t ,T

2
t ,T
2 P C exp rf t ,T ] t ,T X X S X X , t
S S S E E X ,t t T [ln t T S S X ,t X ,t
4/22
波动率指数VIX
总结
是由近月合约和次月合约的无模型隐含波动率关于时间加权而成 反映了30天后市场的波动率水平，市场波动情况的风向标 与标的S&P500的收益率呈负相关 可复制，可投资，可开发新产品
5/23
目 录
一、波动率指数VIX 二、国外波动率指数发展状况 三、 BS隐含波动率 四、无模型隐含波动率




9/22
Vega暴露度达到最大值的条件
行权价锁定为1 标的资产价格锁定为1

对于某个给定的期权
t BS t ,T
2 S exp ( rf ) t ,T 2
t
2 rf ) t ,T X 0, S arg max Vega X exp ( St 0 2 当标的资产运行至到期行权概率为50%的价格位 置时，该期权的价值对于标的资产波动率变动的敏感 性达到最大。
无模型隐含波动率
离散形式
VIX指数
14/22
波动率方差互换
波动率方差互换
标的
2 X 股票收益率的年化波动率方差 ,t
方差互换在市场风险中性环境下的无套利
定价反映了对市场投资者对未来波动率的一
类型 远期合约
2
致预期 结论：无模型隐含波动率实际上是对方差 互换定价。
到期收益 (
2 X ,T
韩国
韩国交易所
KOSPI 200波动率指数
2009年
日本 香港
大阪证券交易所 香港交易所
Nikkei 225波动率指数 恒指波幅指数（VHSI）
2010年 2011年
7/22
目 录
一、波动率指数VIX 二、国外波动率指数发展状况 三、 BS隐含波动率 四、无模型隐含波动率
BS期权定价模型
基于市场风险中性假设与无套利定价方法得到的欧式期权定价BS模型 基本假设：
21/22
广发证券发展研究中心
识 别 风 险，发 现 价 值
Thanks!
谢谢聆听
Identify Risks,Discover Value
波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价的第一种表达
2 2 X ,t t ,T
T 2 d E t t
t ,T
16/22
波动率方差互换定价的第二种表达形式

通过消除时变的标的资产漂移率来复制标的资产的未来波动率：
d St St ( t d t t d Wt ) T T d S ST 2 d 2( ln ) 1 2 t t S St d ln St ( t t )d t t d Wt 2 恒定单位


结论： 标的资产的未来波动率可以用对数远期合约空头来表示。 静态持有标的资产对数远期合约的空头部位，合约的到期交割价格为标的资产的当期价格。
17/22
对数远期合约空头复制
标的
股票价格
St
对数远期合约
交割价格 当期时点 t 时刻的到期交割价格为 S X ,t 到期收益 对数远期合约空头部位的到期收益 VTln S (ln S X ,t ln ST ) N ln S
最接近平价看涨期权
最接近平价看跌期权
BS隐含波动率
BS隐含波动率
缺点
不可复制、不可投资
波动率指数VIX （2003年）
引入无模型隐含波动率
编制原理
2
近月 与 远月 加权平均
X i rT 2 1 F e Q ( X ) ( 1)2 i T i Xi T X0
2004年 VIX期货 2006年 VIX期权
欧洲（欧盟）
欧洲期货交易所
台湾
台湾期货交易所
台指期权波动率指数
2006年
印度
印度国家交易所
India VIX 波动率指数
2008年
没有推出以India VIX指数为标的 的衍生产品
计划于2013年12月16日前推出 VKOSPI期货产品 2012年推出Nikkei 225VI期货 2012年推出恒指波幅指数期货

采用静态复制方法复制对数远期合约空头部位的到期收益：
V N
ln S T ln S
特殊期权组合
ln S X ,t ln ST ST S X ,t
S X ,t
2 P C t ,T X X S X ,t X
d X d X 2 2 0 S X , t S X ,t X X 看跌期权多头组合 看涨期权多头组合 线性部分
全球主要波动率指数概况
国家/地区
美国
交易所
芝加哥期权交易所
波动率指数
VIX指数 STOXX 50波动率指数
发布时间
1993年 2005年
相关衍生产品
2004年推出VIX期货，2006年推 出VIX期权
2009年推出VSTOXX期货 （FVS），2012年推出VSTOXX 期权 没有推出以台湾VIX指数为标的 的衍生产品
标的资产价格服从几何布朗运动，漂移率与波动率均为已知常数。 标的资产在剩余期限内无现金流出。 剩余期限内市场无风险利率为已知常数，投资者可按市场无风险利率无限借贷，标的资产可无 限卖空。 标的资产可连续交易且标的资产的价格变动也是连续的。 市场光滑无摩擦，即标的资产与期权合约均无交易成本。 期权合约仅能到期行权。
0
标的资产价格或者行权价
•Vega是指期权价格对波动率的导数，代表期权对波动率变化的敏感程度。Vega越大，期权对波动率越敏感。 •结论：在股价一定时，平价期权隐含的波动率信息最多的。
数据来源：Wind资讯、广发证券发展研究中心
10/22
无模型隐含波动率与BS隐含波动率的比较
反映未来波动率有效信息
优点
可复制，可投资，可开发新产品
3/22
2001年以来VIX波动率指数与S&P500指数的表现
雷曼兄弟倒闭
911恐怖袭击事件
欧债危机爆发 欧债危机升级
次贷危机爆发
波动率指数(VIX)能及时有效地反映市场情绪，又被形象地称为“投资者恐慌指标”（The Investor Fear Gauge ） 从VIX指数看出S&P500指数变盘征兆 从长期时间的实证检验来看，VIX与S&P500指数收益率呈负相关关系
Vega
1
X exp ( rf ) t ,T 2
2

对于某个给定的标的资产
2 BS S 0, X arg max Vega S exp ( rf ) t ,T t t ,T t X 0 2 在一组同一标的资产且到期时间相同的期权中， 能够使得Delta的绝对值最接近于0.5的期权，其价值 对于标的资产波动率的变动最为敏感。
平价期权和价外期权的交易更为活跃，对于未来波动率预期的反映更加真实
结论： 对于基准行权价的取值应当尽可能接近标的资产在市场风险中性环境下的无套利远期价格
无模型隐含波动率的简化形式：

2 t ,T
2
exp rf t ,T
t ,T
2 P S X C t ,T X X E t T
X
)N
2
15/22
波动率方差互换定价第一种形式
波动率方差互换定价
假设
标的资产价格波动 d St St (t d t t d Wt )
波动率方差互换多头部位的到期收益在市场风险中性环境下的现值
2 V t ,T
T 2 d 2 2 exp r ( t N E X t f t ,T ,t ) t ,T
基于BS期权定价模型的看涨期权与看跌期权的定价形式：
S d X d ) CtBS exp r ( E , T f t , T t T t ,T t ,T t ,T BS P t ,T exp rf t ,T ( X t ,T dt ,T Et ST dt ,T )
19/22
美国波动率指数VIX
2
X i rT 2 1 F e Q( X i ) ( 1)2 T i Xi T X0
香港恒生波幅指数
2
X i rT 2 e Q( X i ) T i Xi
两者的行权基准价不同
20/22
基准行权价的取值
基准行权价选取：
在无模型隐含波动率的计算中，而构建特殊期权组合的基准行权价S X ,t 却是可以任意给定
市值持仓 对数远期 合约空头

波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价的第二种表示形式：

2 t ,T

2
t ,T
[rf t ,T
ST Et ln St
2 S E ln S ] ] [ln E t T t T t ,T
从VIX到无模型(Model Free)隐含波动率刻画
赵月涓 广发证券发展研究中心 2013年3月6日
目 录
一、波动率指数VIX 二、国外波动率指数发展状况 三、 BS隐含波动率 四、无模型隐含波动率
VIX波动率指数发展概况
波动率指数VXO （1993年）
平价期权隐含波动率加权
4个近月、次近月
加权平均 4个近月、次近月
利用基准行权价价的 导数分之一份的远期 合约空头
剩余期限波动率方差 可源自文库用远期对数合约 空头来复制
波动率方差互换在风 险中性下的无套利定 价第二种表达形式
对数合约静态 复制（到期收 益复制）
＋
低于基准行权价的看 跌期权组合
＋
高于行权价的看涨期 权组合
波动率方差互换在风 险中性下的无套利定 价第三种表达形式
11/22
目 录
一、波动率指数VIX 二、国外波动率指数发展状况 三、 BS隐含波动率 四、无模型隐含波动率
基于方差互换定价 无模型隐含波动率 数学角度
复制方差互换合约
光滑函数基于Dirac Delta函数的分解
13/22
波动率方差互换
合约简介
波动率方差互换定价
无模型隐含波动率
波动率方差互换在风 险中性下的无套利定 价第一种表达形式