南京大学1998--2005考研《量子力学》真题
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南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()a
x a x x V x V ><<<⎪⎩⎪
⎨⎧∞=000
在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H
+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2
p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1） i j x i p j
x i p
e
e
e
2
1ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f p i
p x f p p x x x x = ？式中x i p x ∂∂= ˆ ，
（3）系统的哈密顿算符为()r V p H +=μ
2ˆˆ2
，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：
(
)n n n n r V r p ϕϕϕμϕ ∇⋅=2
12ˆ2 ？
（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为B
ls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121
ˆ22μ ，()
Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函
数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕ
θπim m
l
lm e m l m l l Y P cos !!
412+-+=
()x x P =0
1；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2
/121213-= ()()22
213x x P -=
专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2
kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几
率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在00φφ<<的一段圆弧上运动：
⎩⎨
⎧<<∞
<<=)
2()0(0
)(00πφφφφφV
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
(20分) 三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量2
2
23m a
π ，如微扰哈密顿bxy H =1，试求对能量的一级修正(式中b 为常数)。
(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求AS y +BS z 的本征函数和本
征值(A 和B 是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
)/exp()exp()(02h x ip x Nx x αϕ-=； ])(exp[)()(200p p b p p c p ---=φ
式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,??