南京大学1998--2005考研《量子力学》真题
2005级量子力学试题B答案.
2005级量子力学试题B 答案一．（每题分，共10分）选择题：1×，2×，3√，4√，5√ 二．（每空2分，共16分）1：单值、连续、有限；2厄密；3对易；4有心力场；5束缚定态。
三．1当粒子处于束缚定态n ψ时有()()n n V r T ∇⋅=21若()r V是的次齐次函数，则()()n nV T 2ν=2若()r V 是某一力学量算符Fˆ的本征函数，若任意波函数ψ可按其展开 n n c ψψ∑=则称{}n ψ是完备的。
3若电子通过双缝1、2的态各为21,ψψ，则通过双缝的态为21ψψψ+=，发现电子的概率为2ψ，此时将出现干涉图样。
四.1解:()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0302010000000ˆE E E H ）（, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=**00000ˆb a b a H‘ ()()()()()()()()030120103012'3102012'21'11011E E aE E E H E E H H E E -+=-+-++=()()()03022022E E bE E -+=()()()()()0203201032033E E bE E aE E -+-+=)0(3)0(1)0(1)0(1)0()0(11)0(11E E a E E H m m mm -+=-'+=*≠∑ψψψψ （2分）()()()03022022E E bE E -+=)0(3)0(2)0(2)0(2)0()0(22)0(22E E b E E H mm mm -+=-'+=*≠∑ψψψψ （2分）()()()()()0203201032033E E bE E aE E -+-+=)0(2)0(3)0(1)0(3)0(3)0(3)0()0(33)0(33E E b E E a E E H m m mm -+-+=-'+=∑≠ψψψψ （2分）2解：（1）0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ （2分） 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ （2分）由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T （4分）（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ （2分） 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=-x Ae x x βψ （2分）由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T （3分）3解：取0ˆH 表象，基矢为n n ==21。
量子力学考研真题
一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4） 若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
南京大学2005量子力学考研真题
r
（5 分） （5 分）
一维定态薛定谔方程的解ψ ( x ) 是否也必定是复数？ 3) 以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么： a) b) 4)
ψ (x, t ) 和 e
r r ψ (x, t ) 和
iϕ
ψ ( x , t ) ，其中 ϕ 是实常数。
r
r ψ (x , t ) ，其中 ϕ (x ) 是实函数。
1 µω 2 x 2 x > 0 ， 其中 x > 0 区 V ( x ) 为谐振子势能， 求解基态的能量和归一化 V (x ) = 2 x<0 ∞
波函数。 （20 分） 四、设质子是半径为 R 的薄球壳，其电荷 e 均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所
(1) 受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰， 求氢原子第一激发态能量的一级修正 E 2
六、求两个关在一维无穷深势阱
0 0 < x < a V (x ) = （ a 为正常数） ∞ x < 0, x > a
中，并以接触势 U ( x1 , x 2 ) = dδ ( x1 − x 2 ) （ d << 1 ）相互作用的全同中子系统的零级 近似归一化波函数(不考虑自旋态)；并以接触势为微扰，求准确到 d 的一次方的基态能 量。 （2究生入学考试试题（三小时） 三小时）
考试科目名称及代码： 适 用 专 业 ：
注意： 注意： 1. 所有答案必须写在“南京大学研究生入学考试答题纸”上，写在试卷和其他低上无 效； 2. 本科目允许/不允许使用无字典存储和编程功能的计算器。 3. 本试卷中第一题至第四题为必做题， 第五题和第六题中任选一题， 做六题者按得分 最低的五题计分。 一、问答题： 1) 试述量子态的叠加原理。 （5 分） 讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？为什么？ （5 分） 2) 为什么波函数ψ ( x , t ) 必定是复数？
2005年硕士研究生入学考试及答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
南京大学1998--2005考研《量子力学》真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=0000 在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p nφ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1） i j x i p j x i p e e e 21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f p ip x f p p x x x x = ？式中x i p x ∂∂= ˆ ， （3）系统的哈密顿算符为()r V p H +=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕμϕ ∇⋅=212ˆ2 ？ （五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？注： ()()()()ϕθπim m l lm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-= ()()22213x x P -=南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
南京大学2000年量子力学专业课考研真题试卷
南京大学2000年量子力学专业课考研真题试卷
一.一维谐振子处在状态,,求:
(1)势能的平均值(7分)
(2)动能的几率分布函数(7分)
(3)动能的平均值(7分)
提示:
二.质量为m的粒子在一维势场中运动，求,
(1)决定束缚态能级的方程式(15分)
(2)至少存在一个束缚态的条件(5分)
三.质量为m的粒子在一维势场中运动,其中是小的实常数，试用微扰论求准到一次方的基态能量.(20分)
四.两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量，求的能量本征值和相应的简并度.(20分)
五．
(1)设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场中,不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的分裂情况.(10分)
(2)如果沿z方向不仅有均匀静磁场,还有均匀静电场,再用微扰论求n=2能级的分裂情况.(9分)。
2005中科院量子力学试题
1
试求该体系的能级。 五、（20 分）已知氢原子基态波函数为 r 1 100 exp ， 1 2 a0 a03 试对坐标 x 及动量 px ，求：
x
x 2 x , p
2
2 px px
2
. 由此验证不确定关系。
试题名称：2005 量子力学
试题名称：2005 量子力学
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ˆ 六、（20 分）考虑自旋 s 与角动量 L 的耦合，体系的哈密顿量为 2 ˆ ˆ ˆ 2 V (r ) L H S ， 2 ˆ ˆ ˆ L S 守恒。 是耦合常数，试证该体系的总角动量 J （公式提示：在球坐标系内， 2 1 L r 2 2 f (r ), t n e t dt n ! ） 2 r 2 , f ( r ) 0 r r r r r
试题名称：
量子力学
ˆ (r ) 1 m 2 r 2 中运 二、（20 分）质量为 m 、电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势 V 2 动，同时受到一个沿 x 方向的均匀常电场 E E0 i 作用。求粒子的能量本征值和第一
激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的 表达式。 三、（40 分）一个质量为 m 的粒子在下面的无限深方势阱中运动， x 0, x a V ( x) 0 a x 0 开始时（ t 0 ） ，系统处于状态 x x ，其中 A 为常数。请求出 t 时刻系统： ( x) A sin cos3 2a 2a a. 处于基态的几率； b. 能量平均值； c. 动量平均值； d. 动量均方差根（不确定度） 。 四、 （30 分）两个具有相同质量 m 和频率 的谐振子，哈密顿量为 1 1 2 2 2 m 2 x1 a x2 a ， H0 p12 p2，受到微扰作用 H1 m 2 x1 x2 ,
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解
历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:量子力学的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含南师大物理学专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含南师大考研专业课量子力学各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据南师量子力学各专业考试科目的考试题型（简答题、计算题、证明题、综合题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析：最新真题是南师考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的南师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 未来考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵南师大考研的核心要旨。
part 5 南师大考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列南师大考研专业课量子力学的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓南师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、南师大历年真题与答案详解：整理南师大该科目的1997-2018年考研真题，并配有2010-2018年真题答案详解，本部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
南京师范大学量子力学1998真题
南京师范大学
1998年研究生入学考试试卷
学科专业：理论物理
考试科目：量子力学（548）
擒狐（qinhu）编缉 OICQ:6852428
一、（10分）若要使电子的德布罗意波长达到1米，那么电子的速度应为多少？若将电子换为中子，其速度又为多少？通过计算，你认为宏观尺度上的物质波是否现实？
二、（10分）已知作一维运动的自由粒子的位置与动量之间的测不准关系为，导出其时间与能量之间的测不准关系。
三（15分）（1）计算下列对易关系：。
（2）若算符与它们的对易子都对易，证明：
（3）证明在有心力场中运动的粒子，其角动量守恒。
（不考虑自旋）
四、（10分）一个质量为m的粒子在势阱中运动，求其基态，第一、二激发态的能量。
五、设有5个没有相互作用的质量为μ自旋为1的粒子，在一维谐振子势阱中运动，问其体系的基态能量为多少？若将这5个粒子换成自旋为的粒子（质量仍为μ），则体系的基态能量又为多少？
六、（15分）计算算符的本征值与本征函数，其中为常数，为单位矩阵，为泡利算符。
若，则本征值与本征函数为多少？
七、对于单电子原子，其哈密顿量为
（1）试证明轨道角动量和自旋不是守恒量，总角动量是守恒量。
（2）若自旋—轨道相互作用可当作微扰，计算此系统的能量到一级修正。
（的本征能量为，本征函数：为自旋波函数）
八、现有一两电子体系，已知一个电子处于的本征态，计算：
（1）体系的自旋波函数，
（2）总自旋S的右能值与相应的几率，
（3）和的平均值。
常用物理常数：。
北京大学南京大学量子力学考研试题题库
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参 C)haptcΓ 1 0ri胥 :ins OfQuantum Physics
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2005年研究生量子力学入学试题
武汉理工大学武汉理工大学2005年研究生入学考试试题课程代码 816 课程名称 量子力学（共2页，共10题，答题时不必抄题，标明题目序号）1．（15分）判断下列波函数所描述的状态是否为定态（1）t E i t E i ex u e x u t x 21)()(),( --+=ϕ （2）Et i e x u t x-=)(2),(ϕ 2．（20分）设粒子处于二维无限深势阱中⎩⎨⎧∞<<<=其余区域,0,0,0),(b y a y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
3．（20分）利用谐振子波函数的递推关系,)(21)(2)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-x n x n m x x n n n ϕϕωϕ [],)()2)(1()()12()()1(2)(222x n n x n x n n m x x n n n n +-+++++-=ϕϕϕωϕ,212)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-n n n n n m x dx d ϕϕωϕ [],)2)(1()12()1(2)(2222+-++++--=n n n n n n n n n n m x dx d ϕϕϕωϕ 在n ϕ态下，求坐标、动量、能量的平均值及相应的误差。
4．（15分）一质量为m ，电量为q 的粒子在垂直于均匀磁场B 的平面内运动，其能级为.,)21(mB q n E n +=若粒子从3=n 的激发态跃迁到基态，辐射电磁波，试求电磁波的频率。
5．（15分）在波函数x P i e x u x 0)()( =ϕ中，若u(x)为实函数，证明0P P x =6．（20分）证明在分立的能量本征态下动量平均值为零。
7．（15分）不考虑自旋，取Landau 规范，带电粒子在垂直于均匀磁场k B B =的平面内运动的哈密顿量为()[]22ˆˆ21ˆqBx p p H y x -+=μ 若取力学量完全集{}y p Hˆ,ˆ，则它们的共同本征函数可写为 ()()y p i y ex y x φ=ψ,试确定该体系的能级。
量子力学经典题目及解答
2
值; En V0
2
2a2
。
H n1
2
Hn
2nH n1
0，H
n
2nH n1
2.利用厄米多项式的递推关系
证明线x性 n谐(x)振 子1 [波n2函 n数1(x满) 足n下21列 n关1(系x)]： (1)
d dx
n
(
x)
[
n
2
n
1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)]
(2)
证：
x n (x)
N
n
e
1 2
2
x2
ka
4 k k
，其中 k 2E ，k 2（E u0）
h
h
此公式也适用于势阱的透射，只须改定义 k 2（E V0）
即在k′表达式中以-V0替代势垒高度u0。
h
讨论:
(1)V0=0时，k′= k，T=1，此时无势阱。 T=1验证公式正确 (2) V0≠0时，T<1， R2 0粒子不能以100％的几率透过势 阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。
a*bf1*
f ei( ) x 2
ab*
f1
f e* i( ) x 2
a2
f12 (x)
b2
f
2 2
(
x)
[a*be
i
(
)
x
ab*ei( )x ] f1 f2
代入a 2,b i,
4 f12 (x)
f
2 2
(
x)
f1 f
e e i( ) x i( ) x * (2i)
2i
* (2i)
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定（2）中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚 势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示） 。
试题名称：1990 量子力学（实验型） 第1页 共1页
试题名称：1992 量子力学（理论型）
第1页
共1页
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
免费的南大历年《量子力学》的真题
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=μ2ˆˆ2 ，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ∇⋅=212ˆ2？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
1998中科院量子力学试题理论型
三、一个质量为 m 的粒子在一维势场： , x 3a a x 3a 0, V ( x) x a V0 , 0, 3a x a 中运动。 (1) V0 0 时，求粒子的能谱；
(2) V0 0 时，用一级微扰法求基态能量。
四、设有算符 ai 和 ai† 满足如下对易关系（ ai† 是 ai 的厄密共轭， i, j 1, 2 ） ；
中运动。
(2) 求存在且仅存在一个束缚态的条件。
二、自旋为
(1999 年(理论型)第三题)
的带电粒子（电荷为 q ，质量为 m ）受到均匀磁场 B Be y 的作用（ e y 为 y 2 ˆ eB s ˆy 为自旋算符的 y 分量） ˆy 。 方向的单位矢量） ，其哈密顿量为 H （s ，如果 mc t 0 时粒子的自旋指向正 x 轴方向，求粒子自旋平均值的时间演化。(1999 年(理论 型)第四题)
† † † ai a † ai a j a j ai 0, ai† a † j a j ai a † a i a † a a † a 的能谱。 试求哈密顿量 (0 1 0) H 2 2 0 1 1 1 2 2 1 1
† ˆ 化为二个不耦合的谐振子 （提示：仅利用 a1和a2 , a1†和 a2 之间的线性变换，可将 H
的哈密顿量之和。 ） 五、将上题哈密顿量 中与 有关的部分当作微扰，请用定态微扰论求出第一激发态的 修正。 （第一激发态的二度简并的。 ）
试题名称：1998 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1998 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共六道大题，选作五题，每题 20 分。 一、质量为 m 的粒子在一维势场 0, x a (V0 0) V ( x) V0 , x a (1) 求基态能量 E0 满足的方程：
南大普物98-05
考试科目 普通物理 得 分 专 业 物理、天文系各专业一 填充题 （共60分，每题5分）1．一圆锥摆的绳长为l ，绳子的上端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速度ω绕铅直轴线作圆周运动，绳与铅直线的夹角为θ，如图右所示。
在质点旋转一周的过程中：质点所受合外力的冲量I G = ，质点所受张力T 的冲量T I G = 。
2．一气体云组成的球状孤立天体，绕通过球心的自转轴转动，转动惯量为J 0，角速度为ω0。
由于气体自身的引力作用，气体云沿径向坍缩变为下图所示的形状，此时它的转动动能为原来的三倍。
则此时它的自转角速度ω= ，相对自转轴的转动惯量J= 。
3．两个线振动合成为一个圆运动的条件是 (1) ， （2） ，（3） ， （4） 。
4． 一个人想用长为的竿子打在岩石上的办法把竿子折断，为此，他用手拿住竿子的一端，让竿子绕该端作无位移转动，此人希望当竿子打在岩石的瞬时，手受到的冲击力最小，竿子应在离手 l 远的地方打在岩石上最好。
（不计竿子重力）5. 有N 个同种分子的理想气体，在温度T 1和T 2（T 1> T 2）时的麦克斯韦速率分布情况可分别由图中两曲线（Ⅰ和Ⅱ）表示 (1) 对应温度T 1的速率分布曲线是 ，最可几速率为 ；对应温度T 2的速率分布曲线是 ，最可几速率为 。
(2) 若阴影部分的面积为A，则在两种温度下气体运动的速率小于0ν的分子数之差为 。
waterysun6. 图中MN 为某理想气体的绝热曲线，ABC 是任意过程，箭头表示过程进行的方向。
ABC 过程结束后气体的温度（增加、减小或不变） ，气体所吸收的热量为（正、负或零） 。
7. 下图(a)、(b)、(c)分别表示假想的无电荷区域电场分布示意图，试分析其中肯定不符合静电场规律的图是 ，理由是 。
8．三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P、Q 两点(均为相应正三角形的重心)的电势分别为和，若撤去BC 棒，则P、Q 两点电势为P U Q U ='P U ， ='Q U 。
2005年硕士研究生入学考试及答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
各高校量子力学考研试题汇总
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
南京大学考研量子力学试题2001-2009
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。
求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。
若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。
（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。
在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。
（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。
可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。
晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。
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南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()ax a x x V x V ><<<⎪⎩⎪⎨⎧∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标θ和ϕ确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：()ϕ2cos ˆˆ22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2ˆL 是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1） i j x i p jx i peee21ˆˆˆˆˆˆˆˆ-⋅+⋅⋅⋅=⋅ ？式中i ˆ和j ˆ分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(ˆˆˆˆ,ˆ'x f p ip x f p p x x x x = ？式中x i p x ∂∂= ˆ ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H +=μ2ˆˆ2，设()r n ϕ是归一化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p ϕϕϕμϕ ∇⋅=212ˆ2 ？（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H ˆˆˆ1+= ，其中S L dr dV r c H ls⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=121ˆ22μ ，()Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()ϕθπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-= ()()22213x x P -=专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理(20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在00φφ<<的一段圆弧上运动：⎩⎨⎧<<∞<<=)2()0(0)(00πφφφφφV求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少?(20分) 三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量2223m aπ ，如微扰哈密顿bxy H =1，试求对能量的一级修正(式中b 为常数)。
(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求AS y +BS z 的本征函数和本征值(A 和B 是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是)/exp()exp()(02h x ip x Nx x αϕ-=； ])(exp[)()(200p p b p p c p ---=φ式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,??00=><=><>>t t p x ，（><A ˆ表示力学量算符A ˆ的平均值）。
*aa dx e x ax π4122=-∞⎰专业:理论物理,凝聚态物理,光学等一. 一维谐振子处在22212/1)(x e x απα-=ψ状态, ωαm =, 求: (1) 势能的平均值 (7分)(2) 动能的几率分布函数 (7分) (3) 动能的平均值 (7分) 提示:πβ=⎰+∞∞---dx ei x 2)(二. 质量为m 的粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧∞=00)(V x V a x a x x ><<<00中运动,求,(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)三. 质量为m 的粒子在一维势场⎩⎨⎧∞=cx x V )( a x ax x <<><0,0中运动,其中c 是小的实常数，试用微扰论求准到c 一次方的基态能量. (20分)四. 两个自旋21的非全同粒子系的哈密顿量)]2(ˆ)1(ˆ[ˆS S J H s⋅-= 0>J求s H ˆ的能量本征值和相应的简并度. (20分)五．(1) 设氢原子处于沿z 方向的均匀静磁场B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的分裂情况. (10分)(2) 如果沿z 方向不仅有均匀静磁场B ,还有均匀静电场E, 再用微扰论求n=2能级的分裂情况. (9分)提示:a z 3210200-=专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax ax x x 0),(;0,0ψ描述。
求： （20分）1.归一化常数A;2. 粒子能量的平均值；3. t=0时刻，粒子能量的几率分布；4.人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。
若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。
（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。
在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。
（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。
可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。
晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。
（20分）提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量yS ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。
（20分）一、 一维自由粒子的状态由波函数()kx kx x cos 21sin 2+=ψ描述。
求粒子的动量平均值和动能平均值。
（20分） 二、 粒子被约束在半径为r 的圆周上运动1）设立“路障”进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动，即()⎩⎨⎧<<∞<<=πϕϕϕϕϕ2,0,000V ，求解粒子的能量本征值和本征函数；2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？ （20分）提示：在柱坐标系下22222211zu u u u ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇ϕρρρρρ 三、 设算符ˆˆˆNa a +=且ˆˆ,1a a +⎡⎤=⎣⎦，证明：如果ψ是N ˆ的本征函数，对应的本征值为λ，那么，波函数ψ=ψa ˆ1也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1-λ，而波函数ψ=ψ+a ˆ2也是N ˆ的本征函数，对应的本征值为1+λ。
（20分）四、 一个粒子在二维无限深势阱()⎩⎨⎧∞<<=elsewh ere ay x x V ,,0,0中运动，设加上微扰xy H λ=1()a y x <<,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）五、 若电子处于z S ˆ的本征态，试证在此态中，y S ˆ取值为2-或2的几率各为21。
（20分）南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专 业: 理论物理,凝聚态物理一、一个质量为μ的粒子处于一维谐振子势()2212V x x μω=中运动，ω为谐振子的本征振动频率。
如果0t =时，该粒子处于态()()()02,0x x c x ψψ=+，其中()0x ψ和()2x ψ分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c 为待定常数且0c >。
1） 根据归一化条件，求待定常数c ；（5分） 2） 求t 时刻粒子所处的状态(),x t ψ；（5分）3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； （10分）4） 求粒子能量的平均值； （5分） 5） 若在t τ=时刻，粒子所处的势场突然变为()'2213Vx x μω=，求粒子在τ时刻处于新的势场()'V x 的第一激发态的几率。
（5分）二、一根长为l 的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m 。
在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，1） 写出质点运动的哈密顿量； （10分） 2） 在小角近似下求系统的能级； （10分）3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。
（10分）提示：质量为m ，本征频率为ω的一维谐振子的基态波函数为()2201exp 2x C x ψα⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中C 是归一化常数，α=；()2exp x dx +∞-∞-=⎰三、质量为μ的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a ，高度为0V 的一维势垒()00 ||/2||/2x a V x V x a >⎧=⎨<⎩。
设粒子的能量0E V >。
试求发生共振透射（即透射系数为1）的条件。
（30分）四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量()1212z z H A S S BS S =++ 描述，其中1S和分别是两个粒子的自旋，而1z S 和2z S 则分别是这两个粒子自旋的z 分量，A 和B 是实常数。
求该哈密顿量的所有能级。
（30分）五、一个质量为μ，带电荷为q 的粒子，束缚在宽度为a 的一维无限深势阱()0 ||/2||/2x a V x x a <⎧=⎨∞>⎩中运动。
如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。