高中数学必修__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)一.数列得概念与简单表示法知识能否忆起1.数列得定义、分类与通项公式(1)数列得定义:①数列:按照一定顺序排列得一列数.②数列得项:数列中得每一个数.(2)数列得分类:(3)如果数列{a n}得第n项与序号n之间得关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列得通项公式.2.数列得递推公式如果已知数列{a n}得首项(或前几项),且任一项a n与它得前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间得关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列得递推公式.1、对数列概念得理解(1)数列就是按一定“顺序”排列得一列数,一个数列不仅与构成它得“数”有关,而且还与这些“数”得排列顺序有关,这有别于集合中元素得无序性.因此,若组成两个数列得数相同而排列次序不同,那么它们就就是不同得两个数列.(2)数列中得数可以重复出现,而集合中得元素不能重复出现,这也就是数列与数集得区别.2.数列得函数特征数列就是一个定义域为正整数集N*(或它得有限子集{1,2,3,…,n})得特殊函数,数列得通项公式也就就是相应得函数解析式,即f(n)＝a n(n∈N*).3、考点(一)由数列得前几项求数列得通项公式[例1](2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n}:1,2,1,2,1,2,…得通项公式得就是()A.a n ＝1B.a n ＝(－1)n ＋12C.a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D.a n ＝(－1)n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1,a 2＝2, a 3＝1,a 4＝2,…、 [答案] C 由题悟法1.根据数列得前几项求它得一个通项公式,要注意观察每一项得特点,观察出项与n 之间得关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列得通项公式来求.对于正负符号变化,可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整.2.根据数列得前几项写出数列得一个通项公式就是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”得思想以题试法写出下面数列得一个通项公式. (1)3,5,7,9,…; (2)12,34,78,1516,3132,…; (3)3,33,333,3 333,…; (4)－1,32,－13,34,－15,36,…、解:(1)各项减去1后为正偶数,所以a n ＝2n ＋1、(2)每一项得分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以a n ＝2n －12n 、(3)将数列各项改写为93,993,9993,99993,…,分母都就是3,而分子分别就是10－1,102－1,103－1,104－1,…、所以a n ＝13(10n －1).(4)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式得符号为(－1)n ;各项绝对值得分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值得分子组成得数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2－1,偶数项为2＋1,所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn,也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1nn 为正奇数3nn 为正偶数、(二)由a n 与S n 得关系求通项a n已知数列{a n }得前n 项与S n ,求数列得通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用a 1＝S 1求出a 1;(2)用n －1替换S n 中得n 得到一个新得关系,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 得表达式;(3)对n ＝1时得结果进行检验,瞧就是否符合n ≥2时a n 得表达式,如果符合,则可以把数列得通项公式合写;如果不符合,则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.[例2] 已知数列{a n }得前n 项与S n ,根据下列条件分别求它们得通项a n 、 (1)S n ＝2n 2＋3n ;(2)S n ＝3n ＋1、[自主解答] (1)由题可知,当n ＝1时,a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5, 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1、 当n ＝1时,4×1＋1＝5＝a 1,故a n ＝4n ＋1、 (2)当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋1＝4, 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1、 当n ＝1时,2×31－1＝2≠a 1,故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝12×3n －1n ≥2、以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }得前n 项与为S n ,且S n ＝n n ＋1,则1a 5＝( ) A 、56 B 、65C 、130D.30解析:选D 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1),则a 5＝15×6＝130、(三)数列得性质[例3] 已知数列{a n }得通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20、(1)n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值; (2)n 为何值时,该数列得前n 项与最小？[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614,可知对称轴方程为n ＝212＝10、5、又因n ∈N *,故n ＝10或n ＝11时,a n 有最小值,其最小值为112－21×11＋20＝－90、(2)设数列得前n 项与最小,则有a n ≤0,由n 2－21n ＋20≤0,解得1≤n ≤20,故数列{a n }从第21项开始为正数,所以该数列得前19或20项与最小. 由题悟法1.数列中项得最值得求法根据数列与函数之间得对应关系,构造相应得函数a n ＝f (n ),利用求解函数最值得方法求解,但要注意自变量得取值.2.前n 项与最值得求法(1)先求出数列得前n 项与S n ,根据S n 得表达式求解最值;(2)根据数列得通项公式,若a m ≥0,且a m ＋1<0,则S m 最大;若a m ≤0,且a m ＋1>0,则S m 最小,这样便可直接利用各项得符号确定最值、 以题试法3.(2012·江西七校联考)数列{a n }得通项a n ＝nn 2＋90,则数列{a n }中得最大值就是( ) A.310 B.19 C 、119D 、1060解析:选C a n ＝1n ＋90n ,由基本不等式得,1n ＋90n ≤1290,由于n ∈N *,易知当n ＝9或10时,a n＝119最大. 二.等差数列及其前n 项与知识能否忆起一、等差数列得有关概念1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它得前一项得差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列得充要条件就是A ＝a ＋b2,其中A 叫做a ,b 得等差中项. 二、等差数列得有关公式 1.通项公式:a n ＝a 1＋(n －1)d 、2.前n 项与公式:S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2、三、等差数列得性质1.若m ,n ,p ,q ∈N *,且m ＋n ＝p ＋q ,{a n }为等差数列,则a m ＋a n ＝a p ＋a q 、2.在等差数列{a n }中,a k ,a 2k ,a 3k ,a 4k ,…仍为等差数列,公差为kd 、3.若{a n }为等差数列,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n ,…仍为等差数列,公差为n 2d 、4.等差数列得增减性:d >0时为递增数列,且当a 1<0时前n 项与S n 有最小值.d <0时为递减数列,且当a 1>0时前n 项与S n 有最大值.5.等差数列{a n }得首项就是a 1,公差为d 、若其前n 项之与可以写成S n ＝An 2＋Bn ,则A ＝d2,B＝a 1－d2,当d ≠0时它表示二次函数,数列{a n }得前n 项与S n ＝An 2＋Bn 就是{a n }成等差数列得充要条件.1、与前n 项与有关得三类问题(1)知三求二:已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中得任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想. (2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A 、 (3)利用二次函数得图象确定S n 得最值时,最高点得纵坐标不一定就是最大值,最低点得纵坐标不一定就是最小值.2.设元与解题得技巧已知三个或四个数组成等差数列得一类问题,要善于设元,若奇数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a －2d ,a －d ,a ,a ＋d ,a ＋2d ,…;若偶数个数成等差数列且与为定值时,可设为…,a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,…,其余各项再依据等差数列得定义进行对称设元.考点等差数列得判断与证明[例1] 在数列{a n }中,a 1＝－3,a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2,且n ∈N *).(1)求a 2,a 3得值;(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *),证明:{b n }就是等差数列.[自主解答] (1)∵a 1＝－3,a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2,且n ∈N *),∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1,a 3＝2a 2＋23＋3＝13、(2)证明:对于任意n ∈N *,∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1,∴数列{b n }就是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0,公差为1得等差数列.由题悟法1.证明{a n }为等差数列得方法:(1)用定义证明:a n －a n －1＝d (d 为常数,n ≥2)⇔{a n }为等差数列; (2)用等差中项证明:2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列; (3)通项法:a n 为n 得一次函数⇔{a n }为等差数列; (4)前n 项与法:S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2、2.用定义证明等差数列时,常采用得两个式子a n ＋1－a n ＝d 与a n －a n －1＝d ,但它们得意义不同,后者必须加上“n ≥2”,否则n ＝1时,a 0无定义.以题试法1.已知数列{a n }得前n 项与S n 就是n 得二次函数,且a 1＝－2,a 2＝2,S 3＝6、 (1)求S n ;(2)证明:数列{a n }就是等差数列. 解:(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0),则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C0＝4A ＋2B ＋C 6＝9A ＋3B ＋C解得A ＝2,B ＝－4,C ＝0、故S n ＝2n 2－4n 、 (2)证明:∵当n ＝1时,a 1＝S 1＝－2、当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6、 ∴a n ＝4n －6(n ∈N *).a n ＋1－a n ＝4, ∴数列{a n }就是等差数列、 等差数列得基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列,且a 1＋a 3＝8,a 2＋a 4＝12、 (1)求{a n }得通项公式;(2)记{a n }得前n 项与为S n ,若a 1,a k ,S k ＋2成等比数列,求正整数k 得值. [自主解答] (1)设数列{a n }得公差为d ,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝82a 1＋4d ＝12解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2、 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n 、 (2)由(1)可得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1).因为a 1,a k ,S k ＋2成等比数列,所以a 2k ＝a 1S k ＋2、 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3),即k 2－5k －6＝0, 解得k ＝6或k ＝－1(舍去),因此k ＝6、由题悟法1.等差数列得通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项与公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程得思想.2.数列得通项公式与前n 项与公式在解题中起到变量代换作用,而a 1与d 就是等差数列得两个基本量,用它们表示已知与未知就是常用方法.以题试法2.(1)在等差数列中,已知a 6＝10,S 5＝5,则S 8＝________、(2)设等差数列{a n }得前n 项与为S n ,若S 412－S 39＝1,则公差为________.解析:(1)∵a 6＝10,S 5＝5,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5、 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3、则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44、(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ,S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ,于就是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1,由此解得d ＝6,即公差为6、 答案:(1)44 (2)6 等差数列得性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中,若a 1＋a 4＋a 7＝39,a 3＋a 6＋a 9＝27,则前9项与S 9等于( ) A.66 B.99 C.144D.297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }得前n 项与S n ,若S 4＝8,S 8＝20,则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A.18B.17C.16D.15[自主解答] (1)由等差数列得性质及a 1＋a 4＋a 7＝39,可得3a 4＝39,所以a 4＝13、同理,由a 3＋a 6＋a 9＝27,可得a 6＝9、所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99、(2)设{a n }得公差为d ,则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12,(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ,解得d ＝14,a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18、 [答案] (1)B (2)A由题悟法1.等差数列得性质就是等差数列得定义、通项公式以及前n 项与公式等基础知识得推广与变形,熟练掌握与灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.2.应用等差数列得性质解答问题得关键就是寻找项得序号之间得关系.以题试法3.(1)(2012·江西高考)设数列{a n },{b n }都就是等差数列,若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________、(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足:a 1＝19,a n ＋1＝a n －3(n ∈N *),则数列{a n }得前n 项与数值最大时,n 得值为( )A.6B.7C.8D.9解析:(1)设两等差数列组成得与数列为{c n },由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7,c 3＝21,则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35、(2)∵a n ＋1－a n ＝－3,∴数列{a n }就是以19为首项,－3为公差得等差数列,∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n 、设前k 项与最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0a k ＋1≤0即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥022－3(k ＋1)≤0解得193≤k ≤223、∵k ∈N *,∴k ＝7、故满足条件得n 得值为7、答案:(1)35 (2)B三.等比数列及其前n 项与[知识能否忆起]1.等比数列得有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它得前一项得比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列得公比,通常用字母q 表示,定义得表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *,q 为非零常数).(2)等比中项:如果a 、G 、b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 得等比中项.即:G 就是a 与b 得等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2＝ab 、2.等比数列得有关公式 (1)通项公式:a n ＝a 1q n －1、(2)前n 项与公式:S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a nq1－q q ≠1、3.等比数列{a n }得常用性质(1)在等比数列{a n }中,若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ,n ,p ,q ,r ∈N *),则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r、 特别地,a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…、(2)在公比为q 得等比数列{a n }中,数列a m ,a m ＋k ,a m ＋2k ,a m ＋3k ,…仍就是等比数列,公比为q k ; 数列S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m ,…仍就是等比数列(此时q ≠－1); a n ＝a m q n－m、1、等比数列得特征(1)从等比数列得定义瞧,等比数列得任意项都就是非零得,公比q 也就是非零常数. (2)由a n ＋1＝qa n ,q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0、2.等比数列得前n 项与S n(1)等比数列得前n 项与S n 就是用错位相减法求得得,注意这种思想方法在数列求与中得运用.(2)在运用等比数列得前n 项与公式时,必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列得判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }得前n 项与为S n ,且a n ＋S n ＝n 、 (1)设c n ＝a n －1,求证:{c n }就是等比数列; (2)求数列{a n }得通项公式.[自主解答] (1)证明:∵a n ＋S n ＝n ,① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1、② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1, ∴2a n ＋1＝a n ＋1,∴2(a n ＋1－1)＝a n －1, ∴a n ＋1－1a n －1＝12、∵首项c 1＝a 1－1,又a 1＋a 1＝1, ∴a 1＝12,c 1＝－12、又c n ＝a n －1,故{c n }就是以－12为首项,12为公比得等比数列.(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n , ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n、在本例条件下,若数列{b n }满足b 1＝a 1,b n ＝a n －a n －1(n ≥2),证明{b n }就是等比数列. 证明:∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n , ∴当n ≥2时,b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n 、又b 1＝a 1＝12也符合上式,∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n 、 ∵b n ＋1b n ＝12,∴数列{b n }就是等比数列.由题悟法等比数列得判定方法(1)定义法:若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数,n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2,n ∈N *),则{a n }就是等比数列.(2)等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *),则数列{a n }就是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ,q 均就是不为0得常数,n ∈N *),则{a n }就是等比数列.以题试法1. (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ,且所有项为正数得无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2,则数列{a n }( )A.一定就是等比数列B.一定就是等差数列C.既就是等差数列又就是等比数列D.既不就是等差数列又不就是等比数列 解析:选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2,得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2,故a n ＋1a n＝a 2、又a >0且a ≠1,所以数列{a n }为等比数列.等比数列得基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列,求下列各值: (1)a 6－a 4＝24,a 3a 5＝64,求a n ;(2)已知a 2·a 8＝36,a 3＋a 7＝15,求公比q 、 解:(1)设数列{a n }得公比为q,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24 ①a 3a 5＝a 1q 32＝64、 ②由②得a 1q 3＝±8,将a 1q 3＝－8代入①中,得q 2＝－2(舍去). 将a 1q 3＝8代入①中,得q 2＝4,q ＝±2、当q ＝2时,a 1＝1,∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1、当q ＝－2时,a 1＝－1,∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1、∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1、(2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7,而a 3＋a 7＝15,∴⎩⎨⎧a 3＝3a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12a 7＝3、∴q 4＝a 7a 3＝4或14、∴q ＝±2或q ＝±22、 由题悟法1.等比数列基本量得运算就是等比数列中得一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.2.在使用等比数列得前n 项与公式时,应根据公比q 得情况进行分类讨论,切不可忽视q 得取值而盲目用求与公式.以题试法2.(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }就是公差不为零得等差数列,a 1＝2,且a 2,a 4,a 8成等比数列.(1)求数列{a n }得通项公式; (2)求数列{3a n }得前n 项与.解:(1)设等差数列{a n }得公差为d (d ≠0). 因为a 2,a 4,a 8成等比数列, 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d ), 解得d ＝2、 所以a n ＝2n (n ∈N *).(2)由(1)知3a n ＝32n ,设数列{3a n }得前n 项与为S n , 则S n＝32＋34＋…＋32n ＝9(1－9n )1－9＝98(9n －1). 等比数列得性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成得等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5＝3π,则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)得值为( )A 、12B 、32C.1D.－32(2)设等比数列{a n }得前n 项与为S n ,若S 6∶S 3＝1∶2,则S 9∶S 3等于( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4D.1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34,所以a 4＝3π3、 log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3,故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32、 (2)由等比数列得性质:S 3,S 6－S 3,S 9－S 6仍成等比数列,于就是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6), 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34、[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们得通项公式与性质有许多相似之处,其中等差数列中得“与”“倍数”可以与等比数列中得“积”“幂”相类比.关注它们之间得异同有助于我们从整体上把握,同时也有利于类比思想得推广.对于等差数列项得与或等比数列项得积得运算,若能关注通项公式a n ＝f (n )得下标n 得大小关系,可简化题目得运算.以题试法3.(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列,a 4＋a 7＝2,a 5a 6＝－8,则a 1＋a 10＝( ) A.7 B.5C.－5D.－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }就是等比数列,a 2＝2,a 5＝14,则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A.16(1－4－n )B.16(1－2－n ) C 、323(1－4－n )D 、323(1－2－n )解析:(1)选D 法一:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12a 1＝－8故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7、法二:由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4a 7＝－2、则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12a 1＝－8故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7、(2)选C ∵a 2＝2,a 5＝14,∴a 1＝4,q ＝12,a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －5、 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n ). 练习题1.(教材习题改编)数列1,23,35,47,59…得一个通项公式就是 ( )A.a n ＝n2n ＋1B.a n ＝n2n －1C.a n ＝n2n －3D.a n ＝n2n ＋3答案:B2.设数列{a n }得前n 项与S n ＝n 2,则a 8得值为( ) A.15 B.16 C.49D.64解析:选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15、3.已知数列{a n }得通项公式为a n ＝nn ＋1,则这个数列就是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析:选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋1)(n ＋2)＝1(n ＋1)(n ＋2)>0、4.(教材习题改编)已知数列{a n }得通项公式就是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)2n －5(n 为奇数)则a 4·a 3＝________、解析:a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54、 答案:545.已知数列{a n }得通项公式为a n ＝pn ＋q n ,且a 2＝32,a 4＝32,则a 8＝________、解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2p ＋q 2＝324p ＋q 4＝32解得⎩⎨⎧p ＝14q ＝2、则a n ＝14n ＋2n ,故a 8＝94、答案:941.(2012·福建高考)等差数列{a n }中,a 1＋a 5＝10,a 4＝7,则数列{a n }得公差为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析:选B 法一:设等差数列{a n }得公差为d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10a 1＋3d ＝7、解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2、故d ＝2、法二:∵在等差数列{a n }中,a 1＋a 5＝2a 3＝10,∴a 3＝5、 又a 4＝7,∴公差d ＝7－5＝2、2.(教材习题改编)在等差数列{a n }中,a 2＋a 6＝3π2,则sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝( ) A 、32 B 、12C.－32D.－12解析:选D ∵a 2＋a 6＝3π2,∴2a 4＝3π2、∴sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12、 3.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中,已知a 4＋a 8＝16,则该数列前11项与S 11＝( ) A.58B.88C.143D.176解析:选B S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88、4.在数列{a n }中,若a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1),则该数列得通项a n ＝________、 解析:由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2、 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1、 答案:2n －15.(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项与,若a 1＝12,S 2＝a 3,则a 2＝________,S n ＝________、解析:设{a n }得公差为d ,由S 2＝a 3知,a 1＋a 2＝a 3,即2a 1＋d ＝a 1＋2d , 又a 1＝12,所以d ＝12,故a 2＝a 1＋d ＝1,S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n 、 答案:1 14n 2＋14n1.(2011·江西高考){a n }为等差数列,公差d ＝－2,S n 为其前n 项与.若S 10＝S 11,则a 1＝( ) A.18 B .20 C.22D.24解析:选B 由S 10＝S 11,得a 11＝S 11－S 10＝0,a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20、 2.(2012·广州调研)等差数列{a n }得前n 项与为S n ,已知a 5＝8,S 3＝6,则S 10－S 7得值就是( )A.24B.48C.60D.72解析:选B 设等差数列{a n }得公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8S 3＝3a 1＋3d ＝6解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0d ＝2则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48、3.(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中,a 5＋a 6＝4,则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A.10 B.20 C.40D.2＋log 25解析:选B 依题意得,a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝20,因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20、4.(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足:a 1＝1,a n >0,a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *),那么使a n <5成立得n 得最大值为( )A.4B.5C.24D.25解析:选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1,∴数列{a 2n }就是以a 21＝1为首项,1为公差得等差数列.∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n 、又a n >0,∴a n ＝n 、∵a n <5,∴n <5、即n <25、故n 得最大值为24、5.已知等差数列{a n }得前n 项与为S n ,并且S 10>0,S 11<0,若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立,则正整数k 得值为( )A.5B.6C.4D.7解析:选A 由S 10>0,S 11<0知a 1>0,d <0,并且a 1＋a 11<0,即a 6<0,又a 5＋a 6>0,所以a 5>0,即数列得前5项都为正数,第5项之后得都为负数,所以S 5最大,则k ＝5、6.数列{a n }得首项为3,{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *).若b 3＝－2,b 10＝12,则a 8＝( )A.0B.3C.8D.11解析:选B 因为{b n }就是等差数列,且b 3＝－2,b 10＝12, 故公差d ＝12－(－2)10－3＝2、于就是b 1＝－6,且b n ＝2n －8(n ∈N *),即a n ＋1－a n ＝2n －8、所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3、7.(2012·广东高考)已知递增得等差数列{a n }满足a 1＝1,a 3＝a 22－4,则a n ＝________、解析:设等差数列公差为d ,∵由a 3＝a 22－4,得1＋2d ＝(1＋d )2－4,解得d 2＝4,即d ＝±2、由于该数列为递增数列,故d ＝2、∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1、 答案:2n －18.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项与,a 7－a 5＝4,a 11＝21,S k ＝9,则k ＝________、 解析:a 7－a 5＝2d ＝4,则d ＝2、a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1, S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9、又k ∈N *,故k ＝3、答案:39.设等差数列{a n },{b n }得前n 项与分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3,则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4得值为________. 解析:∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6、∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941,∴a 6b 6＝1941、 答案:194110.(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＝－3、 (1)求数列{a n }得通项公式;(2)若数列{a n }得前k 项与S k ＝－35,求k 得值. 解:(1)设等差数列{a n }得公差为d ,则a n ＝a 1＋(n －1)d 、 由a 1＝1,a 3＝－3,可得1＋2d ＝－3,解得d ＝－2、 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n 、 (2)由(1)可知a n ＝3－2n ,所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2、由S k ＝－35,可得2k －k 2＝－35, 即k 2－2k －35＝0,解得k ＝7或k ＝－5、又k ∈N *,故k ＝7、11.设数列{a n }得前n 项积为T n ,T n ＝1－a n ,(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 就是等差数列;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 得前n 项与S n 、解:(1)证明:由T n ＝1－a n 得,当n ≥2时,T n ＝1－T nT n －1,两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1、∵T 1＝1－a 1＝a 1, 故a 1＝12,1T 1＝1a 1＝2、∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 就是首项为2,公差为1得等差数列. (2)由(1)知1T n ＝n ＋1,则T n ＝1n ＋1,从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1、故a nT n ＝n 、∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 就是首项为1,公差为1得等差数列.∴S n ＝n (n ＋1)2、12.已知在等差数列{a n }中,a 1＝31,S n 就是它得前n 项与,S 10＝S 22、 (1)求S n ;(2)这个数列得前多少项得与最大,并求出这个最大值. 解:(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10, S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22,又S 10＝S 22, ∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0,即12(a 11＋a 22)2＝0,故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0、又∵a 1＝31,∴d ＝－2,∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2、(2)法一:由(1)知S n ＝32n －n 2,故当n ＝16时,S n 有最大值,S n 得最大值就是256、 法二:由S n ＝32n －n 2＝n (32－n ),欲使S n 有最大值, 应有1<n <32,从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256, 当且仅当n ＝32－n ,即n ＝16时,S n 有最大值256、 1.(教材习题改编)等比数列{a n }中,a 4＝4,则a 2·a 6等于( ) A.4 B.8 C.16D.32解析:选C a 2·a 6＝a 24＝16、2.已知等比数列{a n }得前三项依次为a －1,a ＋1,a ＋4,则a n ＝( )A.4·⎝⎛⎭⎫32n B.4·⎝⎛⎭⎫23n C.4·⎝⎛⎭⎫32n －1D.4·⎝⎛⎭⎫23n －1 解析:选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5, a 1＝4,q ＝32,故a n ＝4·⎝⎛⎭⎫32n －1、 3.已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3,a 2＋a 3＝6,则a 7＝( ) A.64B.81C.128D.243解析:选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2,故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1,a 7＝1×27－1＝64、4.(2011·北京高考)在等比数列{a n }中,若a 1＝12,a 4＝4,则公比q ＝________;a 1＋a 2＋…＋a n＝________、解析:a 4＝a 1q 3,得4＝12q 3,解得q ＝2,a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12、答案:2 2n －1－125.(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }得前n 项与为S n ,若S 3＋3S 2＝0,则公比q ＝________、解析:∵S 3＋3S 2＝0,∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0,∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0、∵a 1≠0,∴q ＝－2、答案:－21.设数列{a n }就是等比数列,前n 项与为S n ,若S 3＝3a 3,则公比q 为( )A.－12B.1C.－12或1 D 、14解析:选C 当q ＝1时,满足S 3＝3a 1＝3a 3、当q ≠1时,S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2, 解得q ＝－12,综上q ＝－12或q ＝1、 2.(2012·东城模拟)设数列{a n }满足:2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *),且前n 项与为S n ,则S 4a 2得值为( )A 、152B 、154 C.4 D.2解析:选A 由题意知,数列{a n }就是以2为公比得等比数列,故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152、 3.(2012·安徽高考)公比为2得等比数列{a n }得各项都就是正数,且a 3a 11＝16,则log 2a 10＝( )A.4B.5C.6D.7解析:选B ∵a 3·a 11＝16,∴a 27＝16、又∵等比数列{a n }得各项都就是正数,∴a 7＝4、又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25,∴log 2a 10＝5、4.已知数列{a n },则“a n ,a n ＋1,a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”就是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”得( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A 显然,n ∈N *,a n ,a n ＋1,a n ＋2成等比数列,则a 2n ＋1＝a n a n ＋2,反之,则不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,…5.(2013·太原模拟)各项均为正数得等比数列{a n }得前n 项与为S n ,若S n ＝2,S 3n ＝14,则S 4n等于( )A.80B.30C.26D.16解析:选B 设S 2n ＝a ,S 4n ＝b ,由等比数列得性质知:2(14－a )＝(a －2)2,解得a ＝6或a ＝－4(舍去),同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2,所以b ＝S 4n ＝30、6.已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0得四个根组成以12为首项得等比数列,则m n＝( ) A 、32B 、32或23C 、23 D.以上都不对解析:选B 设a ,b ,c ,d 就是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0得四个根,不妨设a <c <d <b ,则a ·b ＝c ·d ＝2,a ＝12,故b ＝4,根据等比数列得性质,得到c ＝1,d ＝2,则m ＝a ＋b ＝92,n ＝c ＋d ＝3,或m ＝c ＋d ＝3,n ＝a ＋b ＝92,则m n ＝32或m n ＝23、 7.已知各项不为0得等差数列{a n },满足2a 3－a 27＋2a 11＝0,数列{b n }就是等比数列,且b 7＝a 7,则b 6b 8＝________、解析:由题意可知,b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7,∵a 7≠0,∴a 7＝4,∴b 6b 8＝16、答案:168.(2012·江西高考)等比数列{a n }得前n 项与为S n ,公比不为1、若a 1＝1,则对任意得n ∈N *,都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0,则S 5＝________、解析:由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0,设公比为q ,则a 1(q 2＋q －2)＝0、由q 2＋q －2＝0解得q＝－2或q ＝1(舍去),则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11、 答案:119.(2012·西城期末)已知{a n }就是公比为2得等比数列,若a 3－a 1＝6,则a 1＝________;1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________、 解析:∵{a n }就是公比为2得等比数列,且a 3－a 1＝6,∴4a 1－a 1＝6,即a 1＝2,故a n ＝a 12n －1＝2n ,∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ,1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n ,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 就是首项为14,公比为14得等比数列,∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎫1－14n 、 答案:2 13⎝⎛⎭⎫1－14n 10.设数列{a n }得前n 项与为S n ,a 1＝1,且数列{S n }就是以2为公比得等比数列.(1)求数列{a n }得通项公式;(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1、解:(1)∵S 1＝a 1＝1,且数列{S n }就是以2为公比得等比数列,∴S n ＝2n －1, 又当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2、∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n ＝12n －2n ≥2、(2)a 3,a 5,…,a 2n ＋1就是以2为首项,以4为公比得等比数列,∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3、 ∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13、 11.设数列{a n }得前n 项与为S n ,其中a n ≠0,a 1为常数,且－a 1,S n ,a n ＋1成等差数列.(1)求{a n }得通项公式;(2)设b n ＝1－S n ,问:就是否存在a 1,使数列{b n }为等比数列？若存在,求出a 1得值;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,得2S n ＝a n ＋1－a 1、当n ≥2时,有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 12S n －1＝a n －a 1、两式相减,得a n ＋1＝3a n (n ≥2).又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1,a n ≠0,所以数列{a n }就是首项为a 1,公比为3得等比数列.因此,a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *).(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1, b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n 、 要使{b n }为等比数列,当且仅当1＋12a 1＝0,即a 1＝－2、 所以存在a 1＝－2,使数列{b n }为等比数列.12. (2012·山东高考)已知等差数列{a n }得前5项与为105,且a 10＝2a 5、(1)求数列{a n }得通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中不大于72m 得项得个数记为b m 、求数列{b m }得前m 项与S m 、解:(1)设数列{a n }得公差为d ,前n 项与为T n , 由T 5＝105,a 10＝2a 5,得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋5×(5－1)2d ＝105a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )解得a 1＝7,d ＝7、因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *).(2)对m ∈N *,若a n ＝7n ≤72m ,则n ≤72m －1、 因此b m ＝72m －1、所以数列{b m }就是首项为7,公比为49得等比数列,故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748、。