2021届上海市杨浦区高三一模数学Word版(附简析)

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上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23，故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81 324=.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题3．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题4．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+=A．177-B．717-C．177D．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：25 cos1sin13θθ=--=-，5t n1a2θ-=．所以tan tan457tan()41tan tan4517πθθθ+︒+==--︒．5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X，则()E X为（）A．98B．78C．12D．6256【答案】A【解析】【分析】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，则()35381056CP XC===，()21533830156C CP XC===，()12533815256C CP XC===，()33381356CP XC===. 因此，随机变量X的数学期望为()103015190123565656568E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A．3?i≤B．4?i≤C．5?i≤D．6?i≤【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S=时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S=时，9i=；当1910S=+=时，8i=；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,1--C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分析可得函数()f x 的图象关于2x =对称且在[)2,+∞上为减函数，则不等式()()31f a f a ≤+等价于231a a -≥-，解得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数()2y f x =+为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称，因为()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞ ()12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，则()()()()312312231f a f a f a f a a a ≤+⇔-≤+-⇔-≥-，解得：1324a -≤≤. 即实数a 的取值范围是13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 8．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ðA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<，结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.10．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.11．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b 范围，y 轴截距，求出a 的范围，判断()g x 在区间端点函数值正负，即可求出结论. 【详解】∵2()f x x bx a =-+，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为2bx =，0(0)1<=<f a ，1122<=<bx ，∵()2'=-f x x b ，所以()ln ()ln 2'=+=+-g x a x f x a x x b 在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln 10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b ，所以函数()g x 的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.12．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A 【解析】【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区市级名校2021-2022学年高三适应性调研考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( )A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -= C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ D ．()()()()2,00,01,02x x x f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩2．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3 5．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（）①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-；②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数；③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ；④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值7．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．1±9．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（）A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞- 10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n n b a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（） A ．3- B ．13-C ．1D ．3 11．若复数21i z =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数 12．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含详细解析)

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = ． 2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z = ． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = ．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为．5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = ． 6．（4分）已知5sin α=-，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为（结果用数值表示）．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为． 9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞= ．11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有对．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3sin cos f x k x x x =+，x R ∈．（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =，3b =，求ABC ∆的面积S ．19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈．（1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = [2，)+∞ ．【解答】解：全集U R =，(,2)A =-∞， _{}[2U A ∴=，)+∞．故答案为：[2，)+∞．2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z【解答】解：因为复数12z i =-，所以||z =． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = \{3}{2}frac - ．【解答】解：若关于x ，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则直线240x y +-= 和直线380x ay --=平行，故有\{3}{2}\{}{1}\{8}{4}frac frac a frac =-≠--，求得\{3}{2}a frac =-，故答案为：\{3}{2}frac -．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为 323π．【解答】解：球的半径为2R =，∴球的体积为343233V R ππ==．故答案为：323π． 5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = 6 ．【解答】解：直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直， 23(1)0m ∴⨯+⨯-=，求得实数6m =，故答案为：6．6．（4分）已知sin α=，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ．【解答】解：因为sin 0α=<，(2πα∈-，)2π，所以(2πα∈-，0)，cos α=，则sin()cos 2παα+==．． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 1120 （结果用数值表示）．【解答】解：已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为2256n =，8n ∴=．则展开式中的通项公式为82182r r r r T C x -+=，令820r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为44821120C =，故答案为：1120．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为 (-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【解答】解：根据题意，当0x 时，()21x f x =-，此时，若()1f x >，即211x ->，解可得1x >，此时()1f x >的解集(1,)+∞，又由()f x 是偶函数，则当0x <时，()1f x >的解集(,1)-∞-，综合可得：不等式()1f x >的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为 3x = ．【解答】解：{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-，{2}log_{2}(2)log_{2}(3)x x ∴=-，故{2}23x x =-，故{2}{2}\\{\{}{}{{}30}\\{0}\\{{}230}\{}\.left begin array l x x x x end array right ->>--=，解得：3x =，故答案为：3x =．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞=3．【解答】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，12||||1PF PF -=，则曲线T 为双曲线，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ， 21a =，12a =，1c =，∴22213144b c a =-=-=， ∴双曲线方程为224413x y -=．渐近线方程为3y x =±，而点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，当n →+∞时，直线2n P F 的斜率趋近于3，即23n P F k =．则2:3(1)n P F y x =-，即330x y --=．∴22|3|3lim (3)(1)n n d →∞-==+-．故答案为：3． 11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有 18 对．【解答】解：根据题意，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，则8i i iAE AB BE AB AD =+=+，8j j jAF AD DF AD AB =+=+，则()()8882i j i j i jAE AF AB AD AD AB =++=+，若2i j AE AF ，则282i j+，变形可得416i j +，又由i ，*j N ∈，1i ，7j ，当1i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当2i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当3i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当4i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当5i =时，j 可取的值为1、2，共2个；当6i =时，j 可取的值为1、2，共2个；当7i =时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(,)i j 共有342318⨯+⨯=对，故答案为：18．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为 3 ．【解答】解：由题意，设{}()x f x y a ==-，根据(1)\{1}{3}f frac -=-，解得3a =，{}()3x f x y ∴==-，那么log_{3}()x y =-，(0)y <，x 与y 互换，可得{1}()log_{3}()f x x -=-，(0)x <，则{}()3x y f x ==-⋅，那么{}_{3}(\{}{})x lo g frac y =-，x 与y 互换，可得{}_{3}(\{}{})y lo g frac x =-，向上平移1个单位，可得{}_{3}(\{}{})1y lo g frac x =-+，即log_{3}(){}_{3}(\{3}{})x lo g frac x -=-，故得3=，故答案为：3．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 【解答】解：因为0a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为0a b >>，0c ≠，则20c >，所以22ac bc >，故B 正确；若0a b >>，0c <，则ac bc <，故C 错误；若0a b >>，0c <，则11a b <，c ca b>，故D 错误．故选：B ．14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =【解答】解：函数2y x =的值域为[0，)+∞，故排除A ；∴函数2y x=的值域为{|0}y y ≠，故排除B ；函数2x y =的值域为(0,)+∞，故C 满足条件；函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞，故排除D ，故选：C ．15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -【解答】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有48C 种取法，正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面，则可得到四面体的个数为4812C -，故选：A ．16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：当1a >时，集合(1,)A =+∞，若0k <，则{|k B y y x ==，}(0,1)x A ∈=，此时AB =∅；当01a <<，集合(0,1)A =，若0k <，则{|k B y y x ==，}(1,)x A ∈=+∞，此时A B =∅，故“0k <”是“AB =∅”的充分条件，当1a >时，集合(1,)A =+∞，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ；当01a <<，集合(0,1)A =，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ，所以“0k <”不是“A B =∅”的必要条件，所以“0k <”是“A B =∅”的充分非必要条件．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．【解答】解：（1）证明：点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点，11//DD CC ∴， 11//CC BB ，11//DD BB ∴，D ∴、B 、1B 、1D 四点共面．（2）作111C F B D ⊥，垂足为F ， 1BB ⊥平面111A B C ，1C F ⊂平面111A B C ，∴直线1BB ⊥直线1C F ，1C F ⊥直线11B D 且1BB 与11B D 相交于1B ，∴直线1C F ⊥平面11DBB D ，1C BF ∴∠即为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角．在直角△1C BF 中，122BC =，125C F =，110sin C BF ∠=，直线1BC 与平面11DBB D 所成的角为10arcsin．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3cos f x k x x x =+，x R ∈．（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =3b =，求ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由题意知，(0)0f k ==，下面对0k =进行检验：若0k =，则()3cos f x x x =，对任意x R ∈都有()3)cos()3cos ()f x x x x x f x -=--==-， ()f x ∴是奇函数，0k ∴=．（2）2()cos 3cos 1f A A A A =+=，∴1cos23212A A +=，整理，得1sin(2)62A π+=， 2266A k πππ∴+=+或526k ππ+，k Z ∈， A k π∴=或3k ππ+，k Z ∈，(0,)A π∈，∴3A π=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=，即219726c c+-=，整理，得2320c c -+=，解得1c =或2c =，∴133sin 2S bc A ==或33． 19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒【解答】解：（1）[10x ∈，20]时，设：2(14)8y a x =-+， (10,24)M 代入得1a =，2(14)8y x ∴=-+， [20x ∈，24]时， (20,44)Q 、(24,24)N ， 5144y x ∴=-+，∴2(14)8[10,20]5144(20,24]x x y x x ⎧-+∈=⎨-+∈⎩．（2）如图，设仰角为α，俯角为β， (20,44)Q ，(0,24)A ，∴仰角α最小为45︒， 24tan yxβ-=，224(28204)x x x --+=18028()28125x x=-+-，[10x ∈，20]∴俯角β最小为arctan(12528)49.4-+≈︒，θ∴最小为94.4︒．20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．【解答】解：（1）_{1}(,0)A a -，_{2}(,0)A a ，(0,1)B ， \{{_1}}(,\;1)overrightarrow A B a =，\{{_2}}(,\;1)overrightarrow A B a =-，2\{{_1}}\{{_2}}{}14overrightarrow A B overrightarrow A B a ⋅=-+=-，解得{2}5a =，即椭圆Γ的方程为22\{}{5}{}1frac x y +=；（2）椭圆的方程为22\{}{2}{}1frac x y +=，则_{2}(1,0)F ，设(_{}Q x Q ，_{})y Q ，由线段_{2}F Q 的中点在y 轴上，得_{}1x Q =-，代入椭圆方程，得{_}\{\{2}}{2}y Q frac sqrt =，即({1,\;\{\{2}}{2}})Q frac sqrt -，{_{\{_2}}}{_{\{_2}}}{_{\}}\{1}{2}({1\{\{2}}{4}})21\{\{2}}{4}S triangle F BQ S triangleB F M S DeltaBQM frac frac sqrt frac sqrt =+=-⋅=-；（3）证明：由题意_{1}(3,0)A -，_{2}(3,0)A ，设点P 的坐标为(6,)m ，直线_{1}:\{}{9}(3)PA y frac m x =+，与椭圆方程{2}{2}\{\;{}}{9}{}1frac x y +=联立消去y ，得{2}{2}{2}{2}(9)69810m x m x m +++-=，由韦达定理，得22{_}\{3{}27}{9{}}x C frac m m =-++，即222({\{3{}27}{9{}},\;\{6}{9{}}})C frac m m frac m m -+++，同理222({\{3{}3}{1{}},\;\{2}{1{}}})D frac m m frac m m -+-+，当_{}_{}x C x D =，即2222\{273{}}{9{}}\{3{}3}{{}1}frac m m frac m m -+=-+，即{2}3m =时，直线CD 的方程为\{3}{2}x frac =，当_{}_{}x C x D ≠时，直线2222:\{2}{1{}}\{4}{3(3{})}({\{3{}3}{1{}}})CD y frac m m frac m m x frac m m --+=---+，化简得2\{4}{3(3{})}({\{3}{2}})y frac m m x frac =--，恒过点({\{3}{2},\;0})frac ，综上所述，直线CD 恒过点({\{3}{2},\;0})frac ．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈．（1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．【解答】（1）解：由234a π=，33a π=，可得23cos4b π==，31cos 32b π==，公比为q =，由2213b b b =解得11b =，数列{}n b的通项公式为1(n n b -=．（2）证明：设存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列，则2102a a π<<<，此时21cos cos 0a a >>，公比21cos 1cos a q a =>，11cos cos ()n n a a q -=，考虑不等式11cos 1n a q ->，当11log (cos )q n a >-时，即11[1log (cos )]q n a +-时，有cos 1n a >（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），这与()cos f x x =的值域为[1-，1]矛盾，所以假设不成立，得证；（3）解：121()(21)02m b b m +++=，可得1210m b b ++=，由等差数列性质*221210(11,)i m i m b b b b i m i N +-++=+=+∈，即22cos cos 0i m i a a +-+=，特别地，10m b +=，现考虑21m S +的最大值．为使21m S +取最大值，应有[5n a π∈，6]π，否则在21m S +中将n a 替换为n a '，且cos cos n n a a ='，[5n a π'∈，6]π，将得到一个更大的21m S +，由22cos cos 0i m i a a +-+=可知22112112i m i a a ππ+-+==，特别地，1112m a π+=；于是2111(21)11()(11)10022m max m S m ππππ++=+=，解得18922m，所以m 的最大值为8．。

上海市杨浦区2021届高三第一学期学科测试数学理科

上海市杨浦区2021届高三第一学期学科测试数学理科 2009.1.12考生注意： 1、本试卷共有20道题，满分150分，考试时间120分钟．2、本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、“理”考生共同做的题目．1．若函数()1f x x 的反函数()1f x -，则()11f -=_____．2．命题“若1x =，则22xx-+＞2”的逆命题是．3．若一元二次不等式20ax bx c ++≤的解集为空集φ，则实数a,b,c 应满足的条件是． 4．若函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω= .5．求满足211z i i=+-的复数z 为 . 6．若函数()933xxf x =+，若()10f x =，则x 的值为 . 7．根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .8．若正四棱锥的体积为43cm ，底面边长为3cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_____.9．若12nx x ⎫+⎪⎭的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n 的值为 .10．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，出现向上的点数分别为a ,b ，集合{}220A x x ax b x R =-+<∈且则 A φ≠的概率是 .11．若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，其对应边长分别是a ,b ,c 且22A A m cos ,sin ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2322A A 1n cos ,sin ,a m n 2⎛⎫===⎪⎝⎭且（1）则角A = ；（2）则b c +的取值范围为 .12．下列各对矩阵，存在积AB 的是 ( ) ()A 12A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()B 1243A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 56B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()C 14A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2365B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()D 135246A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，78B ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．若数列{}n a 为等比数列，则3516a a =是44a =的 ( ) ()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 即非充分也非必要条件14、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是 ( )()A (15)，()B (13)，()C 3)，()D (15)，15．在直角坐标系xOy 中，点()P ,P P x y 和点()Q ,QQ x y 满足Q P P QP P x y x y y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若OQm OP=及POQ θ∠=，其中O 为坐标原点，则m 与θ的值 ( )()A 4πθ=，m 不确定()B θ不确定，2m =()C 2m =，4πθ=()D 以上答案都不对三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写在答题纸上与题号对应的区域内，并写出必要的步骤.16. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分设函数()121fx x =-+的定义域为集合A ，函数()()1g x lg x a =--的定义域为集合B ．（1）求RA .（2）若 A B R =，求实数a 的取值范围.17. (本题满分14分)一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体. （1）求该几何体的表面积；（精确到201.cm ）（2）如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明.（杯壁的厚度忽略不计）18. (本题满分14分)气象台预报，距离S 岛正东方向300km 的A 处有一台风形成，并以每小时30km 的速度向北偏西︒30的方向移动，在距台风中心处不超过270km 以内的地区将受到台风的影响. 从台风形成起经过多少小时，S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时)19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分. 第3小题满分5分. 已知函数()21ax bf x x+=+是定义在()11,-上的奇函数，其中a 、b R ∈且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间()11,-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；（3）求函数()f x 的值域；20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 在直角坐标平面xOy 上一列点()()()()112223331n n n P a ,b ,P a ,b ,P a ,b ,,P a ,b ,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅都在函数12y log x =的图像上，其中n a ＞0 ，n N *∈．（Ｉ）已知数列{}n b 是等差数列，求证数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的前n 项和是112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（1）设过点1n n P ,P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n C ，且n C t ≤对n N *∈ 恒成立，求实数t 的取值范围；（2）对于数列{}n d ，假设存在一个常数q ，使得对任意的正整数n 都有n d ＜q ，且 lim n n d q →∞=，则称{}n d 为“左逼近”数列，q 为该数列的“左逼近”值．研究：数列{}n A 是否为“左逼近”数列，如果是，求出“左逼近”值，如果不是，说明理由；受本题的启示，请你设计一个“左逼近”数列，并写出它“左逼近”值．答案一、填空题1． 0 2.若222x x -+>则x=1 3． a>0且24b ac -<0 4． 2 5． 1+i 6． 0 或2 7． 30 8． 030 9． 8 10．1411．（１）0120 ，（２）4b c <+≤三、解答题()()()()0221011411216081110R x x x A ,,C A ,B a,a ≥------+∴≥+∴<-≥----------⎡⎫∴=-∞--+∞⎪⎢⎣⎭⎡⎫∴=------------⎪⎢⎣⎭>----------∴=-++---------116.1解：由 2-分x+11或x -分21分22由1-x-a 分分111111230122A B Raa a ,=-+<-⎧⎪∴------------------⎨+≥-⎪⎩⎡⎫⇒∈-------------------⎪⎢⎣⎭分分1７．解由于半径3R cm =高为10h cm =母线l ==分S 表面积=S 圆锥侧+12S 球表面积 2142rl R ππ=+⨯ -------------------------------4分329ππ=⨯⨯(18154.9π=+≈()2cm -----------------------------6分(2) 不会溢出杯子 -----------------------------------8分因为，3114318223V ππ=⨯⨯=球 --------- --------10分V 圆锥119103033S h ππ=⨯⨯=⨯⨯⨯=底---------12分又因为 3018ππ>所以，不会溢出杯子 -----------------------------------14分18．可设台风中心经过t 小时到达点B -------------1分由题意得， ︒=︒-︒=∠603090SAB --------------2分在SAB ∆中，SA=300，AB=30t ， ---------------3分由余弦定理，2222223003023003060SB SA AB SA AB cos SAB.(t )t cos =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯︒----------8分若S 岛受到台风影响，则有 270SB ≤，而22270SB ≤, 化简整理得019102≤+-t t , -------------------------------10分解此不等式得6565+≤≤-t ．即t 的范围大约在 2.5小时与7.4小时之间． --------------------------------------12分所以从台风形成起，大约在 2.5小时S 岛开始受到影响，约持续 4.9小时以后影响结束. --------------------------------------14分1９．解：由题意()()11f x .-在上是奇数，()()f x f x ,-=22011ax b ax b ,b x x -++⎛⎫=-∴= ⎪++⎝⎭-----------------------3分又1225f ,⎛⎫=⎪⎝⎭易得1a = -----------------------------------5分 ()21xf x x =+ ()11x .∈- -----------------------------6分（2）在 ()11,-内任取12x ,x 令1211x x -<<< -------------------------------7分()()()()()()()()()()()21122121222221121121212122122121219111111111110101x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x ,f x f x f x x ---=-=------------------++++<⎫⎪⇒<-<<-<<∴->->⎬<⎪⎭∴->>∴=+分而即所以，()21xf x x =+ 在()11,-上是单调递增的--------------------------------------------11分（3）（解法一）由()21xf x x=+，令()()()11122u x x ,u ,,x=+∈-∴∈-∞-+∞又----------------------------------14分()f x ∴的值域为{}11110002222,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-------------------------------------16分（解法二）利用（2）的结论，也可.20题（Ｉ）设等差数列{}n b的公差为d ，则n+1n b b d -= 对n N *∈恒成立，----------2分1111122n n n n P ,n ,P ,n ++⎛⎫⎛⎫∴+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易求过这两点的直线方程()122n n y n x +--=--令0y =则 122n n x ++= ；令0x =则 2y n =+ ()()2122122222n n n n n c n ++++∴=+⋅= 由()2222nn n c t t ++≤≤即对*n N ∈恒成立 --------------------10分令()()2222n n f n ++=，则()()()()22322312n n n f n f n ++-+-+=232102n n n ++-=>恒成立，()f n 为单调递减 ()f n ∴ 的最大值为()918f = 98t ∴≥ ------------12分（2）、易求，()()()111222n n n n n n B ,B ++++==，21122142211111111121324351121113112123212212n n n n T n n n n A ......n n n n n n n n +⎛⎫∴=+=+---------------------- ⎪++⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭分且311lim lim 23212n n n A n n →∞→∞⎛⎫=--=⎪++⎝⎭-----------------------------------------------16分设计的“左逼近”数列，并写出它“左逼近”值，符合题的要求即可，答案不唯一 ------------------------------------------------18分1且 lim 1n n p →∞=，它是“左逼近”数列，其“左逼近”值为1；等等．。

上海市杨浦区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列结论中正确的个数是（）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C ．3D ．2【答案】D【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||362||AB AC λ===u u u ru u ur . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.4．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为1122BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为122h AC ==，所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 1AG AEG GE ∠===，当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 5．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 7．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．C ．52D ．5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】依题意得，2121a PF PF =-=，125F F ==，因此该双曲线的离心率12215F F e PF PF ==-.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 9．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ，得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.10．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-，所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=．考点：双曲线方程.12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C 【解析】【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==，第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；L L可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区高考数学一模试卷解析版

高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A. a2＞b2B.C. |a|＞|b|D. 2a＞2b2.要得到函数y=2sin（2x+）的图象，只要将y=2sin2x的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位3.设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（）A. 如果z1-z2＞0，那么z1＞z2B. 如果|z1|=|z2|，那么z1=±z2C. 如果，那么|z1|＞|z2|D. 如果z12+z22=0，那么z1=z2=04.对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（）A. 若A⊆B，f A（x）≤f B（x）B. f（x）=1-f A（x）C. f A∩B（x）=f A（x）•f B（x）D. f A∪B（x）=f A（x）+f B（x）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=x，的定义域为______ ．6.关于x，y的方程组的增广矩阵为______．7.己知函数f（x）的反函数f-1（x）=log2x，则f（-1）=______．8.设a∈R，a2-a-2+（a+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则a=______．9.己知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2πcm2，则母线与底面所成角的大小为______．10.己知（ax+1）7的二项展开式中x3的系数为280，则实数a=______．11.椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=5，则cos∠F1PF2=______．12.己知数列{a n}的通项公式为，S n是数列{a n}的前n项和，则S n=______．13.在直角坐标平面xOy中，A（-2，0），B（0，1），动点P在圆C：x2+y2=2上，则的取值范围为______．14.己知六个函数：①；②y=cos x；③；④y=arcsin x；⑤；⑥y=x+1，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有______种15.己知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3=0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为______．16.向量集合，对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，则称S为“C类集”，现有四个命题：①若S为“C类集”，则集合也是“C类集”；②若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”；③若A1，A2都是“C类集”，则A1∪A2也是“C类集”；④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1∩A2也是“C类集”．其中正确的命题有______（填所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，，E，F分别为棱PD，PA的中点．（1）求证：B、C、E、F四点共面；（2）求异面直线PB与AE所成的角．18.己知函数f（x）=2x+，其中a为实常数．（1）若f（0）=7，解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19.东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15°，且位于B的南偏东15°方向，D位于A的正北方向，AC=AD=2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km/h．（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，点D的坐标为（t，0）（t＞0）．（1）若，求点A的坐标；（2）若△AFD为等腰直角三角形，且∠FAD=90°，求点D的坐标；（3）弦AB经过点D，过弦AB上一点P作直线x=-t的垂线，垂足为点Q，求证：“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”．21.己知无穷数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，均有S2n-1≥0，S2n≤0，则称数列{a n}具有性质P．（1）判断首项为1，公比为-2的无穷等比数列{a n}是否具有性质P，并说明理由；（2）己知无穷数列{a n}具有性质P，且任意相邻四项之和都相等，求证：S4=0；（3）己知b n=2n-1（n∈N*），数列{c n}是等差数列，a n=，若无穷数列{a n}具有性质P，求c2019的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A选项不正确，当a=1，b=-2时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=-2时，不等式就不成立；C选项不正确，因为a=1，b=-2时，不等式就不成立；D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选D．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2.【答案】A【解析】解：将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=2sin（2x+）的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，反例z1=3+i，z2=1+i，满足，z1-z2＞0，当时z1＞z2不正确，所以A不正确；对于B，反例z1=1+i，z2=1-i，满足|z1|=|z2|，但是z1=±z2不正确；对于C，，那么|z1|＞|z2|，正确；对于D，反例z1=1+i，z2=1-i，满足z12+z22=0，不满足z1=z2=0，所以D不正确；故选：C．通过反例判断A的正误；复数的模与复数的关系判断B、C的正误；反例判断D的正误即可．本题考查命题的真假的判断，复数的模以及复数的性质的判断，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：A：∵A⊆B，可得x∈A则x∈B，∵，，而C R A中可能有B的元素，但C R B中不可能有A的元素，∴f A（x）≤f B（x），故A正确；B：因为f（x）=，综合f A（x）的表达式，可得f=1-f A（x），故B正确；C：f A∩B（x）====f A（x）•f B （x），故C正确；D：f A∪B（x）=≠f A（x）+f B（x），故D错误；故选：D．根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，进而求解；考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；5.【答案】（0，+∞）【解析】解：∵y=x=，使函数有意义只要满足x＞0即可，故函数y=x的定义域为：（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）先将函数解析式化为根式，进而可得要使函数有意义只要满足x＞0即可．本题考查的知识点是幂函数的定义域，熟练掌握幂函数的图象和性质是解答的关键．6.【答案】【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x，y的方程组的增广矩阵为，故答案为：由增广矩阵的定义可求解；考查增广矩阵的概念，属于基础题；7.【答案】【解析】解：把y=-1代入反函数f-1（x）=log2x=-1，故x=，故答案为：．根据函数与反函数点关于y=x对称，代入求出．题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：∵a2-a-2+（a+1）i为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．直接由实部为0且虚部不为0列式求解a值．本题考查复数的基本概念，是基础题．9.【答案】【解析】解：由圆锥侧面积公式S=πrl=π•1•l=2π，解得l=2，设母线与底面所成角为θ，则cosθ==，∴θ=，故答案为：．由圆锥侧面积公式S=πrl=π•1•l=2π，解得l=2，进而可求出母线与底面所成角的余弦值，进而求解；考查圆锥侧面积公式，三角函数的应用，属于基础题；10.【答案】2【解析】解：二项式展开的通项公式得，令r=4，得x3的系数，，a=2，故答案为：2．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．11.【答案】【解析】解：椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=5，可得|PF2|=6-5=1，|F2F1|=2c=2，由余弦定理可得：cosθ===．故答案为：．利用椭圆的定义，结合余弦定理转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，中档题．12.【答案】【解析】解：由，知数列{a n}自第三项起是以为首项，以为公比的等比数列，则S n=（a1+a2+a3+…+a n）=a1+a2+（a3+a4+…+a n）=1+2+=．故答案为：．由题意可得数列{a n}自第三项起是以为首项，以为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列的极限求解．本题考查数列极限的求法，熟记无穷递缩等比数列的极限为是关键，是基础题．13.【答案】【解析】解：令（θ∈[0，2π]），且A（-2，0），B（0，1），∴====，其中tanφ=-2，∴的取值范围为．故答案为：．根据题意，可令，从而可求出，，然后进行数量积的坐标运算，并根据两角和的正弦公式得出，从而可得出的取值范围．本题考查了圆的参数方程，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：根据题意，六个函数：①，②y=cos x，③，④y=arcsin x，⑤，⑥y=x+1中，奇函数有④y=arcsin x和⑤，共2个，偶函数有：①和②y=cos x，共2个，非奇非偶函数有：④y=arcsin x和⑥y=x+1，共2个，从6个函数中任选3个，若有1个奇函数和2个偶函数，有1×2=2种选法，若有2个奇函数和1个偶函数，有1×2=2种选法，若有1个奇函数、1个偶函数和1个非奇非偶函数，有2×2×2=8种选法，则既有奇函数又有偶函数的选法共有2+2+8=12种；故答案为：12．根据题意，分析6个函数的奇偶性，进而分3种情况讨论选出函数中既有奇函数又有偶函数的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及函数奇偶性的判定，属于基础题．15.【答案】（-，-]【解析】解：画出函数的图象，如图所示，令y=f（x），则y2+my+2m+3=0有2个不相等的实数解，其范围分别为（0，1）和[1，+∞），则解得＜m≤-故答案为：（-，-]．分析f（x）的图象，可知关于f（x）的二次方程有2根，范围分别为（0，1）和（1，+∞），在按二次方程根的分布处理．考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；16.【答案】①②④【解析】解：①若S为“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，集合，可得对于任意μ，μ∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λμ+（1-λ）μ∈M，故①正确；②若S是“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈S，T是“C类集”，则对于任意，∈T，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈T，可得对于任意+∈M，+∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λ（+）+（1-λ）（+）∈M，故②正确；③若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A2，设M=A1∪A2，M为A1，A2中的元素的合并而得，且不重复，不符合“C类集”的定义，故③错误；④若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1-λ）∈A2，设M=A1∩A2，M为A1，A2中的元素的公共部分而得，且不为空集，符合“C类集”的定义，故④正确．故答案为：①②④．由新定义“C类集”，结合不等式的性质和集合的运算性质，即可判断结论．本题考查集合的新定义的理解和运用，考查定义法解题，以及推理能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）在△PAD中，由E、F为PD，PA中点得，EF为中位线，即EF∥AD，又∵底面为矩形，AD∥BC，∴EF∥BC，∴由平行线确定唯一平面得E、F、B、C在同一平面上．（2）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，依题意得：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，0，-1），=（0，，），cosθ===，∴异面直线PB与AE夹角为：arccos．【解析】（1）要证B、C、E、F四点共面，只需证明EF∥BC，进而求解；（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，进而求解；考查空间内的点共面的证明，异面直线夹角的求法，空间直角坐标系的应用，属于中档题；18.【答案】解：（1）由题意f（0）=1+a=7，∴a=6，f（x）=，由=5可得2x=2或2x=3，∴x=1或x=log23，（2）函数定义域R，①当f（x）为奇函数时，f（-x）=-f（x），∴=-（2x+），∴（1+a）（）=0，∴a=-1；②当f（x）为偶函数时，f（-x）=f（x），∴=（2x+），∴（1-a）（）=0，∴a=1；③当a≠±1时，函数f（x）为非奇非偶函数．【解析】（1）由题意f（0）=7，代入即可求解，（2）要判断函数的奇偶性，只有检验f（-x）与f（x）的关系即可．本题主要考查了指数方程的求解及函数的奇偶性的判断，体现了分类讨论思想的应用》19.【答案】解：（1）依据题意：在△ACE中，正弦定理：=，即，解得：AE=，∴救护车到达A处需要时间：==2min，火车到达A处需要时间：=1.41min，火车影响A道口时间为[，]，2∈[，]，∴救护车经过A会受影响．（2）若选择A道口：一共需要花费时间为：t A=+1+×60=（3+）=4.41min若选择B道口：∵BE＞BC，通过B道口不受火车影响；一共花费时间为：t B=，由余弦定理求AB长：AB2=BC2+AC2-2BC•AC cos∠ACB，即AB=-，∴BD==，t B==×60min=4.25min＜t A，∴选择B过道．【解析】（1）利用正弦定理求出AE，进而求出火车到达A处的时间，进而求解；（2）分别求出选择A道口，B道口的时间，进而求解．考查利用三角函数解决实际问题的能力，分类讨论的思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，可设A（m，n），即n2=4m，m＞0，n＞0，又，可得m2+n2=5，解得m=1，n=2，即A（1，2）；（2）设A（x，y），由F（1，0），D（t，0），∠FAD=90°⇒•=（1-x，-y）•（t-x，-y）=（1-x）（t-x）+y2=0，①由△AFD为等腰三角形，可得A在x轴上的投影为FD的中点，即有x=，且y2=4x，代入①解得t=5±4，由t＞0，可得D（5+4，0）；（3）先证由“P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”．设直线AB的方程为x=ay+t，联立抛物线方程y2=4x，可得y2-4ay-4t=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4a，AB的中点P（t+2a2，2a），Q（-t，2a），直线QA的斜率为k=，又x1=ay1+t，可得k=，又y2=4x两边对x求导，可得2yy′=4，即y′=，则在A处的切线的斜率为，由-==0，可得QA为抛物线的切线；再证由“直线QA与抛物线相切”可得“P为弦AB的中点”．设Q（-t，s），即P的纵坐标为s，可得切线QA的方程为y-s=（x+t），联立抛物线方程y2=4x可得-y++s=0，由△=1-4••（+s）=0，整理可得y12-2sy1-4t=0，②由y1为y2-4ay-4t=0的根，可得y12-4ay1-4t=0，③由②③为同一方程，可得2s=4a，即s=2a=，可得P为AB的中点，综上可得“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”．【解析】（1）设A（m，n），即n2=4m，m＞0，n＞0，再由两点的距离公式，计算可得所求坐标；（2）设A（x，y），由F（1，0），D（t，0），由等腰直角三角形的定义，结合向量垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得D的坐标；（3）先证由“P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”，设出AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及导数求得A处的切线的斜率，作差可得证明；再证由“直线QA与抛物线相切”可得“P为弦AB的中点”．设Q（-t，s），即P的纵坐标为s，可得切线QA的方程为y-s=（x+t），联立抛物线方程，运用直线和抛物线相切的条件可得判别式为0，整理，结合方程重合，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线和抛物线相切的条件，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）a n=a1q n-1=（-2）n-1，S2n-1==（1+22n-1）＞0，S2n==（1-22n）＜0，则数列{a n}具有性质P；（2）证明：由题意可得{a n}具有周期性，a n=a n+4，则S4n=nS4，由{a n}具有性质P，可得S4n≤0，S4n+1≥0，运用反证法，若S4＜0，则S4n+1=nS4+a4n+1=nS4+a1，令n=[-]+1，则S4n+1＜0，（当n=-+1时，S4n+1=0，则当n=[-]+1，则S4n+1＜0），与S4n+1≥0矛盾，可得S4≥0，又S4n≤0，具有S4=0成立；（3）由题意b n=2n-1，可设{c n}的前n项和为T n=An2+Bn，{b n}的前n项和为R n=n2，无穷数列{a n}具有性质P，可得S2n-1≥0，S2n≤0，其中S2n-1含有n项奇数项，n-1项偶数项，有S2n-1=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n-2）=（b1+b2+…+b n）+（c1+c2+…+c n-1）=n2+A （n-1）2+B（n-1），其中S2n含有n项奇数项，n项偶数项，有S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=（b1+b2+…+b n）+（c1+c2+…+c n）=n2+An2+Bn，由性质P可得对任意n∈N*成立，则A，B满足，即，可得c2019=T2019-T2018=B-4037∈[-4039，-4037]．【解析】（1）由等比数列的求和公式和不等式的性质，结合性质P，即可判断；（2）由题意可得a n=a n+4，则S4n=nS4，由性质P和反证法，即可得证；（3）可设{c n}的前n项和为T n=An2+Bn，{b n}的前n项和为R n=n2，运用性质P和数列的分组求和，解不等式可得A，B的范围，进而得到所求范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查反证法和分类讨论思想的运用，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（）ABC ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得223a c =，所以离心率==c e a．故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 2．函数2sin cos ()20x x x f x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos()()2020x x x x x xf x f xx x----=+=+=-，故函数()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；而2()020fππ=-<，排除B；2(2)05fππ=>，排除D.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.3．已知函数2()ln(1)f xx x-=+-,则函数(1)=-y f x的图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.4．8x x ⎛- ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（） A ．70B ．-70C ．28D ．-28 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)r r r r r r r T C xC x x--+==-，令38242r r -=⇒=，所以2x 的系数是448(1)70C -=，故选A ．考点：二项式定理的应用．5．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A 3B ．5C ．2D 3+1【答案】B【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x ya b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,a c b b A c ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，则22243b c a c b c=+，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得222a c b x c b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a c b b A c ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，则22243b c a c b c=+，整理得()()22229550c a c a --=，则22519c a =<（舍去），225c a=， 5c e a∴==. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（）A ．2B ．32C ．42D ．322【答案】A【解析】【分析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则22211212242y y y y y y -=+-=,所以211||222OMN S OF y y =⋅-=V . 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π163 【答案】D【解析】【分析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π3V V V =+=故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9．曲线312ln y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A ．3B ．2C ．32D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得： ()()222321111330k f x x x x x x x x x x '==+=++≥⋅⋅=>，即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立，所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.10．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（）A ．55B ．306C ．66D ．55【答案】C【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D所成角的正弦值．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r，设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos,|EF n EF n EF n⋅==⋅u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA DD 所成角的正弦值为66. 故选C ．【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．11．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC所以1B M AE ⊥，所以存在C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.12．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π【答案】B【解析】【分析】首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果.【详解】()f x 的最小正周期为π，那么3n k ππ+=(k ∈Z )，于是3n k ππ=-，于是当1k =时，n 最小值为23π，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷

2020-2021学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1. 设全集U R =，(),2A =-∞，则U C A =____________ 【答案】[)2,+∞【解析】本题考查补集的定义2. 设复数12z i =- (i 是虚数单位)，则z =____________【解析】z ==3. 若关于,x y 的方程组2438x y x ay +=⎧⎨-=⎩无解，则实数a =_____________【答案】32-【解析】由方程组无解可知21332032D a a a ==+=⇒=--，此时41680382x D ==-≠，方程组无解。

4.已知球的半径为2.则它的体积为________________【答案】323π 【解析】3432=33V r ππ=球5. 若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-互相垂直，则实数m =_______________ 【答案】6 【解析】由122,3k k m =-=可得231m-⨯=-，所以6m =6. 已知sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______________【解析】由诱导公式可得sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭所以cos α==7.已知2()nx x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256,则展开式中的常数项为_____________(结果用数值表示) 【答案】1120【解析】由二项式系数和为256可得22568nn =⇒=，88218822rr rr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭当820r -=时，4r =，可得常数项为445821120T C ==8. ()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21xf x =-，则不等式()1f x >的解集为_____________ 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞【解析】当0x ≥时，()21xf x =-，由()1f x >得2111xx ->⇒>，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时()1f x > 所以()1f x >的解集为(,1)(1,)-∞-+∞9.方程2221log log (3)x x +=-的解为___________________【答案】{}3x x =【解析】由22221log log 2log (3)x x x +==-，得2233x x x =-⇒=或-1，由于230x x x >⎧⇒>⎨->⎩{}3x x =10.平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T .点(,)n n P n y (其中0,n y n N +>∈ )是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则 lim n n d →∞=_________________【答案】3 【解析】由题意可知曲线T 的方程为()2244103x y x -=>，所以224413n n y -= 因为2011n n n P F y y k n n -==--，所以2n P F 的方程为()11n yy x n =--化为一般式可得(1)0n n y x n y y ---=，所以22(1)n nn y d y n =+-，所以2222222233334431(1)3(1)4244nn n n n y d y n n n n n --===+--+--+所以33 lim 4n n d →∞==11.如图所示，矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作127,,,E E E 自左到右依次记作127,,F F F ，满足*2(,,1,7)i j AE AF i j N i j ≤∈≤≤的有序数对(,)i j 共有_______________对。