沪教版(五四学制)六年级数学下册教案：7.2角的概念与表示
沪教版(上海)六年级下学期7.3角的定义和画法同步学案
沪教版（上海）初中数学2019-2020学年度六年级数学同步教学案角的定义及画法【学习目标】1．理解角的概念，并能用数学符号表示．2．掌握角的大小的比较方法及角的和、差、倍的画法．3．理解线段的角的平分线的概念，掌握它们的画法，会用尺规作已知角的平分线．4．理解余角、补角的概念及相关的命题，并会进行相关的计算．5．直观与实验操作相结合，初步运用几何作图的基本语句说理表达．【知识点梳理】1．角的定义：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．2．角的表示方法：角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．∠，其中O为角的顶点，A、B分别(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB为角的两边上的点，“∠”是角的符号．∠，如图②所示．(2)在一个顶点处只有．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示O∠，如图③所示．(3)用小写希腊字母表示，记作α∠，如图④所示．(4)用数学表示单独的一个角，记作1【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示． 【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北． (3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：角的大小比较一般有两种方法：(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒， 3045︒<︒Q ，12∴∠<∠(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．如图②所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠． 如图③所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠5．画相等的角： 1．度量法．（1）对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；（2）对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合；（3）读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数． 2．尺规法．6．角的和、差、倍的画法： 1．度量法．用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）的角． 2．尺规作图法．利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧”．作两个角的差的要领是“二合同侧”．7．角平分线的概念及画法（作法）1．概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，这时，12AOC BOC AOB ∠=∠∠或2AOB AOC A BOC ∠=∠=∠.2．画法．(1)利用量角器画图：量→算→画． (2)利用直尺和圆规作图．8．余角、补角的定义．(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角． 9．余角、补角性质．(1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等． (2)补角的性质：同角（或等角）的补角相等．【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关．(2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法．10．角的度量单位、角的换算及角的分类(1)角的度量单位是：度、分、秒．1度的160为1分，记作1'，即160'︒=．1分的160为1秒，记作1''，即160'''=．【注意】(1)角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；(2)1︒的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1︒的角．1周角＝360︒，1平角＝180︒(2)角的分类：(1)小于90︒的角叫做锐角．(2)等于90︒的角叫做直角．(3)大于90︒小于180︒的角叫做钝角．【典型例题讲解】【例1】如右图所示，图中有几个角？能用一个大写字母表示的有几个？【分析】一个顶点、两条边组成一个角，图中共有8个，顶点处只有一个角时用一个大写字母表示，所以,B D以用来表示角，即,B D∠∠.【解析】有8个角，有两个角能用一个大写字母表示．【例2】画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向．【分析】正确理解方位角的概念，正确表示方位角．【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图②所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔③所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图④所示．【借题发挥】(1)如图①，角的始边是 ，终边是 ，角的顶点是 .① ②(2)如图②，点C 在AOB ∠的 ，点D 在AOB ∠的 .(3)如图③，射线OA 表示 偏西 ︒的方向；射线OB 表示南偏 ︒的方向.③ ④(4)在图④中，共有 个角．它们分别是 . 【答案】 (1)OB ;OA ;O (2)内部；外部 (3)北；30；东；60(4)3；,,AOB BOC AOC ∠∠∠【例3】观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【分析】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定． 【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等， 测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒． 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同．【方法总结】角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．【例4】已知射线AC 和α∠如下图所示，用两种方法画BAC ∠，使BAC α∠=∠.【解析】(1)量出40α∠=︒;(2)以A 为顶点，AC 为一边作40BAC α∠=∠=︒，BAC ∠就是所作的角．如下图所示：【例5】如图①，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使COD β∠=∠. 【解】(1)作射线OC ；(2)以β∠的顶点为圆心、取定的长a 半径作弧，分别交β∠的两边于点E 、F （如图②）；① ②(3)以点O 为圆心、a 的长为半径作弧，交OC 于点M (4)以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N (5)经过点N 作射线OD （如图2-3）COD ∠就是所求作的角．【借题发挥】1. 用量角器画60AOB ∠=︒，再画1∠和2∠，使得1AOB ∠>∠，2AOB ∠<∠.2. 如图所示，已知AOB ∠和1∠以射线AO 为一条边在AOB ∠的内部求作AOC ∠,使AOC ∠=1∠，然后比较AOB ∠和AOC ∠的大小，并说明理由．【答案】图略；AOB AOC ∠>∠,因为它们有一条公共边OA ,且OC 在AOB ∠内，所以AOB AOC ∠>∠.3.如图，已知射线AC 和α∠，用直尺和圆规作BAC ∠，使BAC α∠=∠．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）【答案】（1） 以α∠的顶点位圆心、取定长a 为半径作弧，分别交α∠两边为E 、F （2） 以点A 位圆心、a 为半径作弧，交AC 于点M （3） 以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N （4） 经过点N 作射线AB 即为所求作的角.【例6】已知α∠、β∠ (如图所示)，作一个角2AOB αβ∠=∠-∠【解析】2AOD ααα∠=∠+∠=∠（二合异侧），2AOB αβ∠=∠-∠ (二合同侧)．保留作图痕迹线，了解作图的基本语句． 结果如图所示．【方法总结】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如2αβ∠-∠的度数，等于两个α∠的度数和再减去β∠的度数．【例7】如图所示是练习本中的横格线，任意画一条斜线和横格线相交于点A 、B 、C 、D ．得1∠、2∠、3∠、4∠．(1)用量角器分别比较1∠与2∠，3∠与4∠，1∠与4∠的大小； (2)用直尺和圆规分别作1∠、4∠的平分线相交于P ，用量角器量出APD ∠的大小．【分析】(1)用量角器量得1∠＝2∠＝126︒，3∠＝4∠＝54︒，所以有1∠>4∠．(2)如图所示，作图痕迹线要清晰．【解案】(1) 1∠＝2∠，3∠＝4∠，1∠>4∠；(2) 如图所示，90APD ∠=︒【借题发挥】1. 如图，已知90AOB ∠=︒，OC 平分AOD ∠，OE 平分BOD ∠，求COE ∠．【答案】()114522COE AOD BOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒ 2. 如图已知α∠，β∠，用直尺和圆规求作一个γ∠，使得12γαβ∠=∠-∠（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【答案】如图所示，BCD ∠即为所求作的γ∠．【例8】一个角的补角比它的余角的2倍多5︒，求这个角．【分析】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可．【解析】设这个角为α，则它的补角为180α︒-，余角为90α︒-，依题意得180α︒-＝2(90α︒-)＋5︒，18018025,5ααα︒-=︒-+︒=︒．所以这个角的度数为5︒．【例9】把l8.18︒转化成度、分、秒的形式．【分析】该题是换算公式的基本应用，在换算过程中分步进行即可．【解析】因为160'︒=，所以0.180.186010.8''︒=⨯=．因为160'''=，所以0.80.86048'''''=⨯=，所以18.18181048'''︒=︒．【借题发挥】1.用一副三角尺，能画出多少个大于0︒小于180︒的角？说出其中最大角与最小角的度数，并把这两个角画出来．【答案】15︒、30︒、45︒、60︒、75︒、90︒、105︒、135︒等2. (1)13.4︒= ° ′. (2)3045'︒= °.(3)1755619''︒-︒= . (4)7461825''︒+︒= .(5)25322'︒⨯= . (6)135244'︒÷= .【答案】(1)1324'︒； (2)30.75︒； (3)1136'︒； (4) 2611'︒；(5)514'︒； (6)3351'︒.3.如图，O 是直线AB 上的一点，90AOC ∠=︒,90DOE ∠=︒，图中互为余角的角一共有多少对？【答案】4对4.如图①，OB 、OD 分别是AOC ∠、EOC ∠的角平分线，分别写出图中1∠的补角和余角．【答案】1∠的余角是COB ∠或BOA ∠,1∠的补角是AOD ∠【随堂练习】1.理解题：一条直线是一个平角，一条射线是一个周角．这句话是否正确？【分析】本题考查平角、周角定义．平角的图形与直线相似，周角的图形与射线相似，根据图形相似，就认为概念也一致是错误的，平角、周角都是角，角有顶点、两条边、内部、外部．而直线、射线不存在．这句话是错误．2.能用AOB ∠、O ∠、1∠三种方法表示同一个角的图形是 ( )．【分析】对角的表示方法掌握得不好，误认为O ∠与AOB ∠表示的是同一个角，O ∠是一个单独的大写英文字母，它只能表示独立的一个角. 答案选：D.3．图中有多少个角小于平角？如果90BOE ∠=︒，那么图中哪些角是锐角？哪些角是钝角？其中哪些角的大小相等？【答案】图中有8个角小于平角，,,COD AOE AOB ∠∠∠是锐角，,,COE AOD COB ∠∠∠是钝角. ,,.DOE BOE AOB COD AOD BOC ∠=∠∠=∠∠=∠4．如图所示，用量角器量角的大小后，写出射线OA 、OB 、OC 各表示什么方向．【答案】OA 在北偏东50︒方向，OB 在北偏西30︒方向，OC 在东南方向上．5.如图所示，已知：90AOB ∠=︒，90COD ∠=︒，148AOD ∠=︒，求BOC ∠的度数．【答案】32BOC ∠=︒6.如图所示，已知：α∠、β∠、γ∠，求作AOB αβγ∠=∠+∠-∠ (不写画法，但要写结论)【课堂总结】【课后作业】1.在下图中共有多少个角？用符号把它们一一表示出来.【答案】共8个角分别为,,,,,,,B C BAC BAD DAC BDA CDA BDC ∠∠∠∠∠∠∠∠2.已知三个角的度数之比为3:4:2，且三个角的和是180︒，求这三个角的度数各是多少？【答案】60,80,40︒︒︒.3.(1)1083620'︒-︒= . (2)903414182'''︒-︒⨯= .(3)25.3︒= ° ′. (4)4715'︒= °.【答案】7140'︒；213124'''︒；25,18；47.25.4. (1)根据下列语句画图：(i)作AOB ∠；(ii)在AOB ∠的内部作射线OC ；(iii)作一条直线DE 与射线OA 、OB 、OC 分别相交于M 、N 、P ．(2)上面所作的图中共有多少个角？（不包括平角）【答案】图略，共有15个角.5.已知一个角的余角，与它的补角互补，求这个角的度数.【答案】45︒6.一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数.【答案】36︒操作题：7.用量角器画一个120︒的角，然后剪下来，对折后，折出60︒的角，再对折，得到30︒的角，并用三角尺验证一下，准确吗？8.用量角器画一个120︒角，然后用直尺和圆规作出这个角的平分线．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）9.先用量角器画100AOB ∠=︒，再画一条射线OC ，使80AOC ∠=︒.BOC ∠的大小是多少度？【答案】20︒。
沪教版(五四学制)六年级数学下册教案：7.2余角,补角
性质二．例题精讲【根据已知图形找余角和补角】例1.如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则图中与∠3互余的角是_________,图中与∠4互余的角是_________,图中有与∠4互补的角是_________.变式 1.如图，已知AOB是一条直线，∠AOD=∠DOC，∠COF=∠EOB，OF⊥AB．则（1）∠AOC的补角是；（2）是∠AOC的余角；（3）∠DOC的余角是；（4）∠COF的补角是．2.如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD= 900，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？【图形的折叠问题】例2、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝700，求∠B′OG的度数．变式 1.如图,长方形ABCD 沿AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果∠BAF=60°,求∠AFB 的度数。
总结：折叠前后的两个图形是完全一样的。
【根据一个角和余角，补角的关系来求解】例3一个角的补角加上10°，等于这个角的余角的3倍。
求这个角是多少度？变式 一个角和它的补角的比是4:5，则这个角的余角是多少度？例4.下列说法中正确的是（ ）A ．钝角有余角B ．互余，互补与角的度数和位置都有关C ．互余互补的两角一定有公共顶点和公共边D.A Ð和B Ð互补,A Ð与B Ð互余，则22B C ??180°变式 下列说法中，正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角是对顶角三．课堂练习。
一、选择：1.如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( )A.90°<n<180°B.0°<n<90°C.n=90°D.n=180°2．下列说法中正确的是 ( )A．一个角的补角只有一个B．一个角的补角必大于这个角C．若不相等的两个角互补，则这两个角一个是锐角，一个是钝角D．互余的两个角一定相等3．下列结论中，正确的个数有 ( )(1)一个角的补角比这个角的余角大900(2)互余的两个角的比是4:6，这两个角分别是360和540(3)小于平角的角是钝角(4)两个角互补，必定一个锐角，另一个钝角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．下列说法正确的是 ( )A．一个锐角的余角是一个锐角 B．一个锐角的补角是一个锐角C．一个锐角的补角不是一个钝角 D．一个锐角的余角是一个直角5．一个锐角的余角加上900，就等于 ( )A．这个锐角的余角 B．这个锐角的补角 C．这个锐角的2倍 D．这个锐角的3倍6．一个角的余角比它本身小，这个角是 ( )A．大于450 B．小于450C．大于00小于450 D．大于450小于9007．如图，已知∠ACB= 900，∠l=∠B，∠2=∠A，那么下列说法错误的是 ( )A．∠l与∠2是互为余角 B．∠A与∠B不是互为余角C．∠1与∠A是互为余角 D．∠2与∠B是互为余角二．填空1．如图所示，当∠1、∠2满足时，能使OA⊥OB（只填一个条件）．2．如图所示，∠AOC＝90°，∠AOB＝∠COD，则∠BOD＝．3．互为余角的两个角的差为20°，则这两个角的度数分别为．三、解答题1．如图，已知AOB为直线，OC平分∠AOD，∠BOD=300，求∠AOC的度数．2．如图，在一个五边形的边AB上有一点O，将O与五边形的顶点C、D、E相连，∠ COB =360，∠DOE= 540，OC、OE分别是∠DOB、∠AOD的平分线。
沪教版(五四制)六年级数学下册 第七章 角 讲义(无答案)
角学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位1. 角的定义，角大小比较，余角，补角的概念方位角的性质 2，角的倍数的画法知识梳理1：1、 角的表示：1）角一般用三个大写英文字母表示，如下图记作∠AOB ，也可以记作∠O如果以点O 为顶点的角有多个，那么其中任何一个角必须用三个大写英文字母表示，而不能简单记作∠O2）也可以在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α（读alpha ）、β（读beta ）、γ（读gamma ）……，或者标上一个数字，如1、2、3……2、角的大小的比较 1）度量法 2）叠合法3、余角、补角（1） 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.（2） 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3） 补角、余角的性质★ 同角或等角的补角相等’;同角或等角的余角相等. 4、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向. 方位角α的取值范围为0900≤≤α 即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”,★ “北偏东45度”为东北方向、“北偏西045度”西北方向、“南偏东045度”为东南方向、“南偏西045度”为西南方向.知识梳理2画角的和、差、倍O BAD C OBA讲角平分线时既要会用文字表述又要掌握以下两点：(1)如图2∵ OC平分∠AOB．(2)如图2∴OC平分∠AOB【试题来源】【题目】如图中，各角的度数是∠1=，∠2=．【试题来源】【题目】9时整，时钟的时针和分针成（）。
A锐角 B钝角 C直角 D平角【试题来源】【题目】下列角从小到大排列，正确的是（）A.锐角、钝角、直角、平角、周角B．锐角、直角、钝角、周角、平角AC.周角、锐角、直角、钝角、平角D．锐角、直角、钝角、平角、周角C【试题来源】【题目】从一点引出的两条（），所组成的图形叫做角。
【试题来源】【题目】1）量角：∠A=度．（2）过点O画AC的平行线．（3）过点O画AB的垂线．【试题来源】【题目】先用量角器量出下面角的度数，再过P点分别作OA的垂线和OB的平行线．【试题来源】【题目】如右图所示，已知∠1＝∠2＝∠3，如果图中所有锐角的和等于180 ，那么∠AOB的度数是（）【试题来源】【题目】如图左所示，已知∠AOB ＝∠DOC ＝90，∠AOD －∠AOC ＝10，则∠BOC ＝（ ）习题演练【试题来源】 【题目】直角的21是（ ）度， 平角的65是（ ）度。
沪教版(五四制)六年级数学下册-第七章-线段和角的再认识讲义(无答案)教学内容
沪教版(五四制)六年级数学下册-第七章-线段和角的再认识讲义(无答案)一、 线段：直线上两个点及两点间的部分叫做线段。
一条线段有两个端点是其基本性质。
一个点是用大写字母表示的，线段可以用表示端点的两个字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。
如图，线段AB 可以用a 表示，线段CB 可以用b 表示。
aC B A二、 角； 角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形。
处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内。
用不带箭头或带箭头的弧线表示。
角一般用三个大写字母表示。
如果以O 为顶点的角只有一个，那么这个角可以用表示顶点的字母表示。
有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母或者一个数字，可以用这些字母或数字表示这个角。
第九讲线段和角的再认识线段及其性质知识点1：两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）。
线段可以乘以正整数n，就是n条该线段相加，即是这条线段的n倍。
知识点2：联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离。
两点之间，线段最短。
知识点3：将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。
【例题1】1、直线有个端点，射线有个端点，线段有个端点。
2、经过1点可以画条直线，经过两点可以画条直线。
3、若直线l上有,,A B C三个点，则可得到条射线。
4、线段的基本性质：在所有连结两点的线中，。
5、AB长16厘米，点C是线段AB的中点，点D是AC的中点，那么AC= ,BD=。
【例题2】如图所示，小明从家到学校有○1、○2、○3三条路可走，每条路的长分别为a,,,b c则（）A.a b c>> B.a c b>> C.a b c=> D.a b c=<【提高、尖子】如图所示，直线上有三个不同的点A B C、、，且,AB BC≠那么，到A B C、、三点距离的和最小的点（）A.是B点B.是线段AC的中点C.是线段AC外的一点D.有无穷多个B【例题3】1）已知线段AB，反向延长AB到C，使14AC BC=，D为AC中点，若2CD cm=，则AB等于cm。
角的概念与表示(教案)
角的概念与表示(教案)章节一：角的概念教学目标：1. 让学生理解角的概念。
2. 让学生学会用图形表示角。
教学内容：1. 引入角的概念，解释角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
2. 讲解角的特征，包括角的顶点、边的概念。
3. 通过示例，让学生学会用符号表示角，例如∠ABC表示角ABC。
教学活动：1. 利用实物或图形，引导学生观察和描述角的特点。
2. 让学生通过绘制图形，练习表示不同角度的角。
章节二：角的分类教学目标：1. 让学生了解不同类型的角。
2. 让学生学会分类角。
教学内容：1. 讲解角的分类，包括锐角、直角、钝角、平角和周角。
2. 给出角的分类标准，例如锐角是小于90度的角，直角是等于90度的角等。
教学活动：1. 通过示例，让学生观察和区分不同类型的角。
2. 让学生通过绘制图形，练习分类不同角度的角。
章节三：角的大小比较教学目标：1. 让学生学会比较角的大小。
2. 让学生学会用符号表示角的大小。
教学内容：1. 讲解比较角大小的方法，包括观察角的开口大小和比较角的两边长短。
2. 讲解表示角大小的符号，例如∠ABC > ∠DEF表示角ABC大于角DEF。
教学活动：1. 通过示例，让学生观察和比较不同角度的角。
2. 让学生通过绘制图形，练习比较不同角度的角，并用符号表示大小关系。
章节四：角的度量教学目标：1. 让学生学会用度量工具测量角的大小。
2. 让学生理解度量角的方法。
教学内容：1. 介绍度量工具，例如量角器，并讲解使用方法。
2. 讲解度量角的方法，包括将角的对边与量角器的刻度对齐，读取度数。
教学活动：1. 让学生通过观察和操作量角器，了解其结构和作用。
2. 让学生通过实际操作，练习测量不同角度的角，并记录度数。
章节五：角的计算与应用教学目标：1. 让学生学会计算角的和差。
2. 让学生学会应用角的知识解决实际问题。
教学内容：1. 讲解角的和差计算方法，包括同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍等。
六年级数学下册7.3角的概念与表示教案沪教版五四制
角的概念与表示中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
沪教版(上海)六年级第二学期 7.3 角的概念和表示 学案(含答案)
7.3 角的概念与表示知识点归纳1.角是具有公共端点的两条_____组成的图形，这个公共端点叫作角的_____,两条射线叫作角的_______.2.角也可以看作由一条射线绕着它的______旋转到另一个位置所组成的图形，处于初始位置的射线叫做角的______,终止位置的那条射线叫做角的_____.3.角一般用三个大写字母表示，如图可记作∠AOB,也可以用一个希腊字母记作_____，若以O 为顶点的角只有一个，还可以用一个大写字母记作____.4.用射线表示方向的一种基本形式是：南偏东45方向也可叫作____方向，南偏西45方向也可叫作____方向，北偏东45方向也可叫作____方向，其中北偏西45方向也可叫作____方向.5.在钟表上，时针1小时转过___度，分针1分钟转过____度.αOAB南 北偏东西夯实基础 一、填空题1.如图所示，点C在∠AOB 的___,点D 在∠AOB 的___,点E 在∠AOB 的____ .2.上海迪斯尼乐园于2016年6月盛大开园，如果小方家位于迪斯尼乐园的西北方向4.5公里处，那么迪斯尼乐园在小方家的____方向，即____偏_____方向.3.上午九点钟时，钟面上的时针和分针的夹角是____度，下午六点钟时，时针和分针的夹角是____度，下午四点钟时，时针和分针的夹角是___度. 二、解答题4.写出图中所有的角5.如图所示，分别指出点的什么位置。
OA BBOCAO北 西6006. 在图中分别用阴影画出∠1的内部和∠2的外部，7. 如图所示，∠α用∠B 来表示正确吗？为什么？如果错了，应怎样改？强化拓展8.如图所示，点A 表示A 城，点D 表示D 城.(1)如果B 城在A 城的南偏西60方向，请画出从A 城到B 城方向的射线；(2)如果C 城在A 城的北偏东30方向，在D 城的南偏东60方向，请确定C 城的位置.(用点C 表示）要求：不写画法，保留必要的画图痕12BAαCD北迹，写出结论。
角的概念与表示(教案)
角的概念与表示一、教学目标1. 让学生理解角的概念，能够识别和描述各种类型的角。
2. 让学生学会使用量角器和直尺来测量和画角。
3. 让学生能够用符号表示角，并理解角的度量单位。
二、教学内容1. 角的概念：介绍角的定义，角是由两条射线的公共端点和非公共部分组成的图形。
2. 角的类型：讲解锐角、直角、钝角、平角和周角的定义和特点。
3. 测量角：教授使用量角器和直尺来测量角的大小。
4. 画角：讲解如何使用量角器和直尺来画角。
5. 表示角：介绍角的表示方法，使用符号“∠”来表示角，并在角的两条边上标注度数。
三、教学方法1. 采用直观演示法，通过实物模型和图示来讲解角的概念和类型。
2. 使用实践操作法，让学生亲自动手使用量角器和直尺来测量和画角。
3. 运用小组讨论法，让学生分组讨论角的表示方法，并互相交流心得。
四、教学准备1. 准备角的概念和类型的图示、模型等教具。
2. 准备量角器、直尺、纸张等学习用具。
3. 准备角的表示方法的示例教案。
五、教学步骤1. 引入新课：通过实物模型和图示，引导学生观察和描述角的特点，引发学生对角的好奇心。
2. 讲解角的概念和类型：讲解角的定义，引导学生理解和掌握角的概念，讲解各种类型的角的特点。
3. 演示测量角的方法：使用量角器和直尺进行演示，讲解测量角的步骤和注意事项。
4. 实践测量角：让学生分组进行实践操作，测量不同类型的角，并记录结果。
5. 演示画角的方法：使用量角器和直尺进行演示，讲解画角的步骤和注意事项。
6. 实践画角：让学生分组进行实践操作，画出不同类型的角，并标注度数。
7. 总结和复习：通过提问和讨论，检查学生对角的概念和表示方法的掌握情况，巩固所学知识。
六、教学评估1. 设计一份角的概念和类型的练习题，包括选择题、填空题和简答题，以评估学生对角的基本概念的理解。
2. 设计一份测量角的实践操作题，让学生独立或小组合作完成，以评估学生对测量角的技能掌握情况。
3. 设计一份画角的实践操作题，让学生独立或小组合作完成，以评估学生对画角的技能掌握情况。
2020--2021学年沪教版(上海)数学六年级第二学期7.3角的概念与表示教案
《7.3 角的概念与表示》在学习本单元之前，学生已经对线段和角有了初步的认识，能区分线段、射线和直线，掌握了角的分类。
本单元就是进一步探究有关线段和角的知识，能比较线段的大小及画线段的和、差、倍，能比较角的大小，掌握角的和、差、倍的画法，并认识余角和补角。
本课的教学内容是使学生掌握角的概念和表示方法。
【知识与能力目标】1、初步掌握角的概念和表示方法.2、掌握用角度表示方向的方法。
【过程与方法目标】在探究角的概念和表示方法的过程中，培养学生初步的空间观念和空间想象能力。
【情感态度价值观目标】使学生初步建立空间观念，培养学生用数学进行交流、合作探究和创新的意识，感受数学与现实生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】掌握角的概念和表示方法.【教学难点】角的表示方法。
多媒体课件。
◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程一、复习引入问题：角的定义是什么？答：角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
二、探究新知教师：角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内。
通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示。
涂颜色部分是角的外部，简称角外。
角的表示方法：（1）角一般用三个大写英文字母表示。
如∠AOB表示顶点的字母“O ”写在三个字母的中间。
顶点：点O 。
边：射线OA 、OB.（2）当以O 为顶点的角只有一个，那么这个角可用表示顶点的大写字母表示。
如∠O 。
当以点O为顶点的角有多个，那么其中任何一个角都不能记作∠O，而必须用三个大写英文字母表示。
（3）在角的内部标上一个数字，如：1、2、3……。
记作∠1、∠2、∠3。
（4）或者在角的内部标上一个小写的希腊字母，如α、β、γ。
记作∠α，∠β，∠γ。
三、巩固练习如图直线AB、DE相交于O，CO⊥ED，则图中共有锐角多少个？直角多少个？钝角多少个？并分别把它们表示出来。
四、课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？1、角的定义：小结：（1）角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。
沪教版六年级数学下册角的概念与表示优课件
以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起 始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般为锐 角）。
如图：
62°
射线OA表示北偏东方向62°。
O
如图，你能说说图中射线ＯＡ、ＯＢ、OC、 OD分别表示什么方向吗？
北
A
B
30°
45°
西 O
东
20° D
C 25°
射线OA表示北偏东30°方向
射线OB表示西偏北45°方向或西北方向。 射线OC表示南偏西25°方向 射线OD表示东偏南20°方向
终边
始边
在下图中用阴影表示∠α的外部。
α β
α
角的表示方法：用角的符号“∠”表示，读作
“角”。
（1）．用三个大写英文字母表示. 如：∠ABC C
注：顶点的字母必须放在
A
三个字母的中间。
B
∠AOB
Байду номын сангаас
B C
O
∠AOC
A
∠COB
（2）用一个大写英文字母表示。
如图：∠B。
注:此顶点处只有一个角
（3）在角的内部标上一个小写的希腊字母， 即用一个希腊字母表示. 例如，∠α、∠β、 ∠r
北
B
60°
西
东
O
C
南
回顾：本节课你的收获？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
沪教版数学六年级下册第七章《线段与角的画法》教学设计
沪教版数学六年级下册第七章《线段与角的画法》教学设计一. 教材分析沪教版数学六年级下册第七章《线段与角的画法》的内容包括线段的画法、角的画法以及线段和角的基本性质。
这部分内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了初步的画图技巧，对于线段和角的概念有一定的了解。
但是，对于如何准确地画出线段和角，以及线段和角的基本性质，还需要进一步的指导和练习。
三. 教学目标1.掌握线段的画法，能够准确地画出给定长度的线段。
2.掌握角的画法，能够准确地画出给定度数的角。
3.理解线段和角的基本性质，能够运用这些性质进行简单的证明和计算。
四. 教学重难点1.线段的画法，特别是对于不同长度线段的画法。
2.角的画法，特别是对于不同度数角的画法。
3.线段和角的基本性质的理解和运用。
五. 教学方法采用讲解法、演示法、练习法、讨论法等相结合的方法，通过教师的引导和学生的积极参与，使学生掌握线段和角的画法以及基本性质。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括线段的画法、角的画法以及线段和角的基本性质的讲解和示例。
2.准备一些实际的线段和角，以便进行演示和练习。
3.准备一些练习题，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入线段和角的概念，例如：“小明家和学校之间的距离是200米，请你画出这条线段。
”让学生思考和讨论如何画出这条线段，从而激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解线段的画法，包括如何使用尺子和圆规准确地画出给定长度的线段。
同时，展示一些实际的线段，让学生进行观察和理解。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组给定一个长度，要求学生互相合作，使用尺子和圆规画出这个长度的线段。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予评价和反馈。
4.巩固（5分钟）讲解角的画法，包括如何使用尺子和圆规准确地画出给定度数的角。
同时，展示一些实际的角，让学生进行观察和理解。
角的概念与表示(教案)
角的概念与表示川沙中学南校徐莲教学目标1. 理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角.2. 能识读并画出方向角.3. 经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性.4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系.教学重点1.角的概念及表示法.2.方向角的表示.教学难点1.角的概念及内部和外部的认识.2.方向角的识别与表示.一.引入课题：角背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面.二. 新课1. 角的两种定义角是具有公共端点的两条射线组成的图形.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.2. 角的内部和外部角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内.本书中所说的角，除了周角外，未加说明的角是指小于平角的角3. 角的表示方法（1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA（注意：顶点字母必须写在中间）.顶点：边：（2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.（3）用一个数字表示，如:∠1、∠2.（4）也可用一个希腊字母表示，如：∠α、∠β、∠γ.练一练(1)在下面图中用阴影表示∠1的外部.(2) ①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边.②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE是同一个角吗？③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正.4. 方向角探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？用射线表示方向的一种基本形式：例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约南偏西35°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙中学南校到迪斯尼乐园方向的射线.练习：已知川沙人民医院在川沙中学南校约北偏东55°的方向，如果用点O表示川沙中学南校，用点B表示川沙人民医院，请画出从川沙中学南校到川沙人民医院方向的射线.三. 课堂小结四. 作业拓展练习如图，点A表示A城，点D表示D城.（1）D在A的什么方向？（2）如果B城在A城的南偏西60°方向，请画出从A城到B城方向的射线.（3）如果C城在A城的东北方向，在D城的正东方向，请确定C城的位置.（用点C表示）。
【新】沪教版六年级数学下册《角的概念与表示》优质课 课件.ppt
谈一谈：本节课你有何收获？
1. 角的两种定义； 2. 角的三种表示方法； 3. 方位角；
作业布置： 作业本，课本作业题
再见
▪ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
角用“∠”表示，读做“角”。角
的表示方法有下面几种：
A
(1) 用三个大写字母表示：B
C
如：∠ABC（顶点字母写在中间）
(2) 用角的顶点字母表示： 如：∠B（只有一个角时）B
A D
C
这里能用∠ B表示角吗？
A
(3) 用一个数字表示：
D
2
如：∠1、∠2
B1 C
(4)也可用一个希腊字母表示： A
如：∠a、∠ β
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
7.3 角的概念与表示
角的定义： B
终边
边
顶点
O边
顶点
始边
A
1、角是由两条有公共端点的射线所组成的图形。
沪教版六年级数学下册《角的概念与表示》优 课件
角用“∠”表示，读做“角”。角
的表示方法有下面几种：
A
(1) 用三个大写字母表示：B
C
如：∠ABC（顶点字母写在中间）
(2) 用角的顶点字母表示： 如：∠B（只有一个角时）B
A D
C
这里能用∠ B表示角吗？
A
(3) 用一个数字表示：
D
2
如：∠1、∠2
B1 C
(4)也可用一个希腊字母表示： A
如：∠a、∠ β
E
OA表示北偏东300方向.如果用
点O表示人民广场,用点B表示真 如镇,画出从人民广场到真如镇
南S
的射线. 南(北)偏东(西)X0
例题2：一天放学后，小明从学校（A）先沿着 正东方向的马路走100米，然后走一段东北方向 的小路100米，最后又走了一段西北方向的小路 100米到家.（1）请画出小明这天回家的路线图 （比例尺为1∶5000）；（2）请测量出小明家 在学校的什么方向上？
7.3 角的概念与表示
角的定义： B
终边
边
顶点
O边
顶点
始边
A
1、角是由两条有公共端点的射线所组成的图形。
这个公共端点叫做这个角的顶点
这两条射线叫做这个角的边
2、角也可以看成是由一条射线绕着它的端点 旋转到另一个位置所成的图形。处于初始位 置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那 条射线叫做角的终边.
谈一谈：本节课你有何收获？
1. 角的两种定义； 2. 角的三种表示方法； 3. 方位角；
作业布置： 作业本，课本作业题
再见
▪不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月1日星期五2022/4/12022/4/12022/4/1 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/12022/4/12022/4/14/1/2022 ▪正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/12022/4/1April 1, 2022 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
沪教版六年级下角的概念与表示课件
D O
C B A
你能说出图中射线OA，OB，OC，OD分 别表示什么方向吗？
射线OA表示北偏东30°方向； 射线OB表示南偏西60°方向； 射线OC表示南偏东70°方向； 射线OD表示西北方向。
课堂小结
1、角的概念：
（1）具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角; （2）由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置 所成的图形叫做角.
房顶的角
吊 扇 扇 叶 的 夹 角
剪刀的角
画一画:画一个角 说一说:角是由什么图形组成？
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 角的顶点 角的边
边 顶点
试一试：
1、判断下列哪些图形是角？
（ ） （ ） （× ） （ × ） （ ） （×）
角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所 成的图形。
阅读书本 思考有几种方法表示角？
角的符号：
角的表示方法： 顶点字母要写在中间
①
A
顶点：点O.
记作：∠AOB. 边：射线OA、OB.
O
B
分别说出∠ABC、∠POQ、∠XYZ的顶点和边.
角
∠ABC
∠POQ
∠XYZ
顶 点
点B
点O
点Y
边 射线BA、BC 射线OP、OQ 射线YX、YZ
O
D
O
A
以O为顶点的角只有一个，
本书所说的角，除了圆周角外，未加说明的角是指小于平角的角
1、角是由两条具有公共 端点的射线组成的图形。
2、角也可以看做一条射 线绕端点旋转所组成的图 形。
判断
• （1）直线也叫平角（×） • （2）两条有公共端点的线段组成的图形
叫做角（× ）
• （3）两条有公共端点的射线组成的图形 叫做角（ √ ）
六年级下册数学导学案-《角的概念与表示》导｜沪教版
( )( )( )( )( )( )六年级下册数学导学案－7学习目标：1、明白角的有关概念；2、把握角的四种表示方法；3、在用含方向角的射线表示方向的过程中，感受实际问题与数学问题间的互相转化.学习过程：一、角的概念角是具有公共端点的两条射线组成的图形.角的形成过程：操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐步把一只脚旋转到另一个位置.[来源:学.科.网Z.X.X.K]角是由___________绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.[来源:学,科,网Z,X,X,K]初始位置的那条射线叫做角的________，终止位置的那条射线叫做角的_________.[来源:Z。
xx。
k ]角的始边转动到角的终边所通过的平面部分，叫做角的内部，简称角内，余下部分是角的外部，简称角外.[来源:学+科+网]二、角的表示方法[来源:Z_xx_k ]（1）分别说出∠ABC、∠POQ、∠XYZ的顶点和边.角∠ABC ∠P OQ ∠X YZ顶点边DABCEFHG30︒45︒30︒CBAONSE W西东南北（2） [来源:学+科+网]专门地：我们书中所说的角，如不加以说明是指小于平角的角.（周角除外）反馈练习:1、用一个大写字母或一个希腊字母表示图中的角. [来源:学*科*网Z*X*X*K]2、图中共有（ ）个角，并分别表示出来.[来源:Z 。
xx 。
k ] 三、方位角读法： 1、点A在点O的_____________方向2、点B 在点O 的_____________方向3、点C 在点O 的_____________方向4、画出表示南偏东50°的射线OP[来源:Z#xx#k ]。
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基本内容角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）.表示方法表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示用数字来表示角用希腊字母来表示角图示角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.互余：如果两个角的度数和是，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。
（其中一个角称为另一个角的余角。
)互补：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。
（其中一个角称为另一个角的补角。
）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。
）角的度量单位换算：热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ⅹ）2、小于钝角的角都是锐角；（√）3、如果和两角互补，和两角互余，那么；（√）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。
（ⅹ）5、有公共端点的两条射线叫做角。
（ⅹ）6、角的边的长短，决定了角的大小。
（ⅹ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。
（√）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。
（ⅹ）二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。
A. B. C. D.2、一个锐角的余角加上，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上3、已知、都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75°4、如图，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠，∠O，∠AOB三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.2、如图2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=__∠AOC____-______= _____-________.3、OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=________,则OC平分∠AOB;若OC 是∠AOB的角平分线,则_________=2∠AOC.4、填写适当的分数： =____直角=____平角=____周角。
5、计算： =____； =____。
6、由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了___12.5_____度，分针旋转了___150_____度，此刻时针与分针的夹角是___117.5_____度．7、如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠COD,则∠BOD的余角______, ∠COE的补角是_______,∠AOC的补角是___________.8、∠α与它的余角相等，∠β与它的补角相等，则∠α＋∠β＝__135__°．9、互为余角两角之差是35°，则较大角的补角是__62.5___°．10、钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是__82.5___°．四、解答题1、如图,已知∠1,∠2,画出一个角,使它等于3∠1-∠2.解：略2、读句画图填空（每空1分，共10分）（1）画∠AOB＝60°．（2）画∠AOB的平分线OC，则∠BOC＝∠_AOC___＝∠_AOB___＝_30___°．（3）画OB的反向延长线OD，则∠AOD＝∠_BOD___－∠AOB＝__120___°．（4）画∠AOD的平分线OE，则∠AOE＝∠__DOE__＝__60___°，∠COE＝__90___°．（5）以O为顶点，OB为一边作∠AOB的余角∠BOF，则∠EOF＝__150__°，射线OC、OB将∠__AOF__三等分．五、计算1．37°28′＋44°49′；2．108°18′－52°30″；3．25°36′×4；4．40°40′÷3．答案：1,83 °17′2,55 °48′3,102 °24′4,13°′精解名题例1、已知∠，∠，∠，画∠AOB，使∠AOB＝2【提示】方法一：先量、后算、再画；方法二：叠加法，逐步画出．【答案】方法一：量得∠＝25°，∠＝54°，∠＝105°，∠AOB＝2＝2×25°＋54°－×105°＝50°＋54°－35°＝69°．画∠AOB＝69°，则∠AOB就是所要画的角．方法二：画法：（1）画∠AOC（2）以O为顶点，OC为一边在∠AOC的外部画∠COD（3）以O为顶点，OD为一边在∠AOD的外部画∠DOE（4）以O为顶点，OE为一边在∠EOA的内部画∠EOB则∠AOB就是所要画的角．例2、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的补角．解：这个角的补角为例3、如图,已知直线AB和CD相交于O点,∠COE是直角,OF 平分∠AOE, ∠COF=34°,求∠BOD的度数.解：角∠BOD的度数为。
例4、如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°。
（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是__东偏北_________；（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是___南偏东______；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,作∠BOD的平分线OE,并用方位角表示OE的方向是____西偏南_________。
（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE。
答：∠COE的度数备选例题：例1、如图,三角形ABC中,AB=AC,延长CA,用量角器量∠B、∠C、∠BAD。
(1)你能得出什么结论,猜想∠BAD、∠B、∠C的关系(可多画几个类似图形尝试)(2)用你得出的结论和猜想的关系解决下列问题:一暗礁边缘有一标志C在灯塔B北偏西80°的方向上,与灯塔B的距离为30海里, 轮船从灯塔正南方30海里的A处出发,若航行方向是北偏西45°, 轮船能避开暗礁吗?说明理由. 解：（1）∠BAD=∠B+∠C（2）能避开，因为AB=BC，如果避不开根据（1）得到的信息则C应该在灯塔北偏西。
巩固练习1、下列说法错误的是( D )A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；B.角的大小与它们的度数大小是一致的；C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。
2、用一副三角板不能画出( C )A.75°角B.135°角C.160°角D.105°角3、如图8,直线a、b相交,∠1=130°,则∠2+∠3=( B )A.50°B.100°C.130° C.180°4、如图9,三条直线相交于O点,则图中相等的角(平角除外)有( C )对A.3对B.4对C.6对D.8对5、轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48°,那么从A同时观测轮船在C处的方向是( A )A.南偏东48°B.东偏北48°C.东偏南48°D.南偏东42°6、如图，, ,点B、O、D在同一直线上，则的度数为（ C ）A. B. C. D.7、设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（ B ）A.九点一刻时，∠是平角B.十点五分时，∠是锐角C.十一点十分时，∠是钝角D.十二点一刻时，∠是直角8、如图，由点O引射线OA、OB、OC，则这三条射线组成___3____个角，分别是_∠AOB,∠AOC,∠BOC__，其中∠AOB用数字表示为___1_____，∠2用三个字母表示为____∠AOC__。
9、38°41′的角的余角等于________,123°59′的角的补角等于________.10、如果∠1的补角是∠2,且∠1>∠2,那么∠2的余角是_∠1-_(用含∠1 的式子表示).11、如果∠α与∠β互补,且∠α:∠β=5:4,那么,∠α=_______,∠β=_________.12、；（） ；（） ；（） ；（）13、一个角是它补角的一半,则这个角的余角是__30°_______.14、如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOC=900，∠DOE=900，图中互余的角共有 ____4_____对.互补的角有____3___对。
OA B E DC15、已知∠AOB=300,以点O 为端点,画射线OC,使∠AOC 与∠AOB 互余,这样的射线OC 能画出几条?在图中画出符合要求的射线OC. 答：略16、一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数． 解:这个锐角是17、已知：如图∠ABC ＝30°，∠CBD ＝70°BE 是∠ABD 的平分线，求∠DBE 的度数。
解：角∠DBE 的度数为。
18、已知∠α与∠β 互为补角，且∠β 的比∠α大15°，求∠α的余角．解：17°19、如图，∠AOB 是直角，∠AOC 等于46°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠OA BCN MMON的度数．解：35°自我检测一、判断1.所有的直角都相等.( √ )2.大于直角的角都是钝角.( ⅹ)3.如图1,∠1也可以用∠AOB或∠O来表示.( √ )4.由同一端点出发的两条直线组成的图形叫做角.(ⅹ )5.一个锐角和一个钝角的和等于一个平角.( ⅹ)6.一个角的补角大于这个角.( ⅹ )7.一个钝角减去一个锐角必然得到一个锐角.( ⅹ )8.一个角的补角减去这个角的余角是一个直角.(√ )9.同角或等角的余角相等,补角也相等.( √ )10.若有一个公共顶点和一条公共边的两个角互补,则这两个角的另一边必在同一直线上.( ⅹ )二、选择题1、下列语句正确的是（ B ）A、两条直线相交组成的图形叫角；B、一条直线可以看成一个平角；C、一个平角的两边可以看成一条直线；D、周角就是一条射线2、下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是（ B ）3、若∠1= ∠2= 则∠1与∠2的大小关系是（ C ） A 、∠1=∠2 B 、∠1＞∠2 C 、∠1＜∠2 D 、无法确定4、时钟显示为8：30时，时针与分针所夹角度是（ C ） A 、 B 、 C 、 D 、5、已知∠MON=30°,∠NOP=15°,则∠MOP=( C).A.45°B.15°C.45°或15°D.无法确定6、用一副三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,•另一个是-30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同度数的角共有( D ) A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 三、填空题1、互为补角的两个角可以都是___直角____角,或者一个是___锐角___角,一个是__钝__角-.(填“钝角”、“锐角”、“直角”)2、从1时5分到1时35分，时钟的分针转了____180____º。