“阿波罗尼斯圆”的应用举例
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用阿波罗尼斯圆是古希腊几何学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊几何曲线。
它被广泛运用于数学和工程领域，具有重要的应用价值。
本文将介绍阿波罗尼斯圆在几何学中的几个重要应用。
一、光学系统的导向元件阿波罗尼斯圆被广泛应用于光学系统中的导向元件设计。
光学系统中的导向元件对光进行控制和调整，使其能够沿特定路径传播或聚焦在特定位置。
阿波罗尼斯圆的特殊形状和性质使得它能够实现精确的光线导向和聚焦。
通过对光线的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将入射光线汇聚到焦点上，实现精确的光束控制。
二、天文学中的椭圆轨道描述天文学中的行星和卫星运动轨道通常被描述为椭圆形状。
阿波罗尼斯圆在这方面发挥了关键作用。
根据开普勒定律，行星和卫星在引力作用下绕着中心天体运动，其轨道呈现出椭圆形状。
阿波罗尼斯圆的研究成果为天文学家提供了理论基础和数学工具，使得他们能够精确地描述和预测行星和卫星的运动轨迹，为天文学研究和空间探索提供了重要参考。
三、声学中的反射和聚焦阿波罗尼斯圆的特殊性质在声学中也有广泛应用。
声学中的反射和聚焦是将声波传播和聚焦在特定区域的重要问题。
阿波罗尼斯圆的形状使得它能够实现声波的精确反射和聚焦。
通过对声波的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将声波聚焦在特定位置，实现声学上的精确控制。
四、水波和震波的传播研究阿波罗尼斯圆不仅在光学和声学中有应用，还在水波和震波的传播研究中发挥重要作用。
水波和震波的传播过程与光波和声波有许多相似之处。
阿波罗尼斯圆的研究成果为水波和震波的传播提供了重要的参考和理论基础，推动了这一领域的发展。
综上所述，阿波罗尼斯圆在光学、天文学、声学和水波、震波传播等领域中都有重要应用。
其特殊形状和性质使得它成为精确控制和调整光、声、波等物理量的有效工具。
随着科学技术的发展和应用需求的增加，阿波罗尼斯圆将继续在多个领域发挥重要作用，为人类认识和探索自然世界提供宝贵的支持。
阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆的逆用 (解析版)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用【微点综述】当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O 与直线OA 相交于M ，N 两点设点E 为OA 上一点，且满足PA PE =λ，由阿氏圆定理AN NE =λ，AMME=λ，则AN =λNE ⇒OA -R =λR -OE ，∴λOE =1+λ R -OA ①同理AM =λME ⇒R +OA =λOE +R ，∴λOE =1-λ R +OA ②由①②消OA 得：2λOE =2R ，即ROE=λ，即R =λOE ，由①②消R 得：OA =λ2OE ，因此，满足条件的点E 在阿氏圆的圆心和定点A 的连线上，且ROE=λ或OAOE=λ2．【典例刨析】1.(2022·湖南·临澧一中高二开学考试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2+y 2=1上的动点M 和定点A -12,0 ，B (1，1)，则2|MA |+|MB |的最小值为( )A.6B.7C.10D.112.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O :x 2+y 2=1、点A -12,0 和点B 0,12 ，M 为圆O 上的动点，则2|MA |-|MB |的最大值为( )A.52B.172C.32D.223.古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262-前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O 0,0 ，A 3,0 ，圆C :x -2 2+y 2=r 2r >0 上有且仅有一个点P 满足PA =2PO ，则r 的取值为( )A.1B.5C.1或5D.不存在4.已知点P 是圆x -4 2+y -4 2=8上的动点，A 6,-1 ，O 为坐标原点，则PO +2PA 的最小值为______．5.已知圆C ：x -1 2+y -1 2=1，定点P 是圆C 上的动点，B 2,0 ，O 是坐标原点，则2PO +PB 的最小值为______．6.(2022江西·南昌八中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O (0,0)，A (3,0)，圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足|PA |=2|PO |，则r 的取值为_______.【针对训练】7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQMP =λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为-13,0 ,λ=3，若点B 1,1 ，则3MP +MB 的最小值为( )A.10B.11C.15D.178.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ､B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：x 2+y 2=1和点A -12,0 ，点B (4，2)，M 为圆O 上的动点，则2|MA |+|MB |的最小值为___________9.(2022安徽·合肥六中高二期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆O :x 2+y 2=1和A -12,0 ，点B (1,1)，M 为圆O 上动点，则MA +12MB 的最小值为_______.10.(2022上海金山中学高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足PA |=λPB (其中λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M (-1,0)、N (2,1)，P 是圆O :x 2+y 2=3上的动点，则3PM +PN 的最小值为____________11.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PAPB=2，求PA 2+PB2的最小值．12.(2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,1 ，B -2,4 ，点P 是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E :y 2=4x 上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则12PB +PQ +QH 的最小值为______.参考答案1.【答案】C【分析】讨论点M 在x 轴上与不在x 轴上两种情况，若点M 不在x 轴上，构造点K (-2，0)，可以根据三角形的相似性得到|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，进而得到2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |，最后根据三点共线求出答案.【详解】①当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(-1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(-1，0)，则2|MA |+|MB |=2×12+1+1 2+12=1+5；若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |+|MB |=2×32+1-1 2+12=4．②当点M 不在x 轴上时，取点K (-2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |=1，|OA |=12，|OK |=2，所以|OM ||OA |=|OK ||OM |=2．因为∠MOK =∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，所以|MK |=2|MA |，则2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |．易知|MB |+|MK |≥|BK |，所以|MB |+|MK |的最小值为|BK |．因为B (1，1)，K (-2，0)，所以(2|MA |+|MB |)min =|BK |=-2-12+0-1 2=10．又10<1+5<4，所以2|MA |+|MB |的最小值为10．故选：C 2.【答案】B【分析】令2MA =MC ，则MA MC=12，由阿氏圆的定义可知：C (-2,0)，由数形结合可知2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的最大值.【详解】设M x ,y ，令2MA =MC ，则MA MC=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，点C -2,0 ，当点M 位于图中M 1的位置时，2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的值最大，最大为BC =172.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.3.【答案】C【分析】直接设点P x ,y ，根据PA =2PO 可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得CC 1 =r +r 1或CC 1 =r -r 1 ．【详解】设点P x ,y ∵PA =2PO 即x -32+y 2=2x 2+y 2整理得：x +1 2+y 2=4∴点P 的轨迹为以C 1-1,0 为圆心，半径r 1=2的圆，∵圆C :x -2 2+y 2=r 2的C 2,0 为圆心，半径r 的圆由题意可得：3=CC 1 =r +r 1或3=CC 1 =r -r 1 ∴r =1或r =5故选：C ．4.【答案】10【分析】解法1：借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到PO +2PA =2PA +PA ，进而根据三点共线即可求出最值；解法2：将PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2转化为=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2 ，进而结合进而根据三点共线即可求出最值．【详解】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用假设A m ,n ，使得PO =2PA ，则x 2+y 2=2x -m 2+y -n 2，从而可得3x 2-8mx +4m 2+3y 2-8ny +4n 2=0，从而可知圆心坐标为4m 3,4n3，所以4m 3=4，4n 3=4，解得m =n =4，即A 3,3 ．所以PO +2PA =2PA +PA ≥2A A =26-3 2+-1-3 2=10．即PO +2PA 的最小值为10．解法2：代数转逆法由x -4 2+y -4 2=8，得x 2+y 2=8x +8y -24．PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2=2x 2+y 24+x -62+y +1 2=2x2+y 2 -34x 2+y 2 +x -62+y +1 2=2x 2+y 2-6x +6y -18 +x -62+y +1 2=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2x -32+y -3 2+x -6 2+y +1 2表示的是动点x ,y 与3,3 和6,-1 之间的距离之和，当且仅当三点共线时，和最小，故PO +2PA ≥26-3 2+3+1 2=2×5=10．5.【答案】5【分析】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用，设B m ,n ，使得PB =2PB ，利用两点间的距离公式化简可求得B 32,12 ，得直线BB 与圆C 相交，则2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，从而可求得其最小值，解法2：代数转逆法，2PO +PB =2x 2+y 2+x -2 2+y 2=2x 2+y 2+x -32 2+y -12 2 ，可得当点O ,P ,B 32,12 共线，且P 在OB 之间时取得最小值.【详解】解：解法1：阿波罗尼斯圆的逆用设B m ,n ，使得PB =2PB ，则x -2 2+y 2=2x -m 2+y -n 2 ，整理，得x 2-4m -1 x +y 2-4ny +2m 2+n 2-2 =0，即[x -2(m -1)]2+(y -2n )2=2m 2+2n 2-8m +8=2(m -2)2+2n 2所以2m -1 =1，2n =1，从而B 32,12．经验证，知直线BB 与圆C 相交．从而2PO +PB =2PO +PB ≥2OB =2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．解法2：代数转逆法2PO +PB =2x 2+y 2+x -22+y 2=2x 2+y 2+12x 2+y 2-2x +2=2x 2+y 2+x2+y 2 -12x 2+y 2 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-122x +2y -1 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-3x -y +52=2x 2+y 2+x -322+y -122≥2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．故答案为：5【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼斯圆，设B m ,n ，使得PB =2PB ，化简后将问题转化为2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，考查数学转化思想，属于较难题.6.【答案】5【分析】设动点P x ,y ，根据题意求出点P 的轨迹方程可知轨迹为圆，由题意可知两圆相外切，再讨论内切和外切列方程即可得求解.【详解】设动点P x ,y ，由PA =2PO ，得x -3 2+y 2=4x 2+4y 2，整理得x +1 2+y 2=4，即点P 的轨迹方程为：x +1 2+y 2=4，又因为圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足x +1 2+y 2=4，所以两圆相切，圆x +1 2+y 2=4的圆心坐标为-1,0 ，半径为2，圆C ：x -2 2+y 2=r 2r >0 的圆心坐标为2,0 ，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r +2=3，得r =1，因为r >1，故r =1舍去，当两圆内切时，r -2 =3，r >1，得r =5．故答案为：5.7.【答案】D【分析】设Q a ,0 ，M x ,y ，根据|MQ ||MP |=λ和x 2+y 2=1求出a 的值，由3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |，两点之间直线最短，可得3|MP |+|MB |的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即可.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a 2+y 2，由P -13,0 ，所以PM =x +13 2+y 2，因为|MQ ||MP |=λ且λ=3，所以x -a 2+y 2x +13 2+y2=3，整理可得x 2+y 2+3+a 4x =a 2-18，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以3+a 4=0a 2-18=1，解得a =-3，所以Q -3,0 ，又MQ =3|MP |，所以3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |≥BQ ，因为B (1,1)，所以3|MP |+|MB |的最小值BQ =1+32+1-0 2=17，当M 在位置M 1或M 2时等号成立.故选：8.【答案】210【分析】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，根据圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，求得点C 坐标，再连接BC ，由直线段最短求解.整理得：【详解】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，则|MA ||MC |=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C (m ，n )，则|MA ||MC |=x +12 2+y 2(x -m )2+(y -n )2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，所以点C (-2，0)，如图所示：当点M 位于图中M 1､M 2的位置时，2|MA |+|MB |=|MC |+|MB |的值最小，最小为210.故答案为：2109.【答案】102【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】令2MA =MC ，则MA MC=12.由题意可得圆x 2+y 2=1是关于点A ，C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12设点C 坐标为C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12整理得x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13由题意得该圆的方程为x 2+y 2=1，所以2m +4=02n =0m 2+n 2-13=1 ，解得m =-2n =0 所以点C 的坐标为(-2,0)，所以2MA +MB =MC +MB ，因此当点M 、C 、B 在同一条直线上时，2MA +MB =MC +MB 的值最小，且为(1+2)2+(1-0)2=10，故MA +12MB 最小为102.故答案为：10210.【答案】26【分析】在x 轴上取S -3,0 ，由△MOP ∼△POS 可得PS =3PM ，可得3PM +PN ≥SN ，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在x 轴上取点S -3,0 ，∵OM OP =OP OS =33，∠MOP =∠POS ，∴△MOP ∼△POS ，∴PS =3PM ，∴3PM +PN =PS +PN ≥SN (当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号)，∴3PM +PN min =SN =-3-22+0-1 2=26.故答案为：26.11.【答案】36-242【分析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P x ,y ，根据已知条件可得出点P 的轨迹方程，利用代数法可得出PA 2+PB 2=2OP 2+2，数形结合可求出OP 的最小值，即可得解.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A -1,0 、B 1,0 ，设点P x ,y ，因为PA PB=2，即x +1 2+y 2x -12+y2=2，整理可得x 2+y 2-6x +1=0，即x -3 2+y 2=8，所以点P 的轨迹是以C 3,0 为圆心，22为半径的圆，则PA2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2 +2=2OP 2+2，当点P 为线段OC 与圆C 的交点时，OP 取得最小值，所以，PA 2+PB 2 min =2×3-22 2+2=36-24 2.12.【答案】x +2 2+y 2=4； 10-1##-1+10.【分析】设点P 坐标，根据题意写出关于x 与y 的关系式化简即可；由PA =12PB ，QH =QF -1，代入12PB +PQ +QH 中，即可取出最小值.【详解】设点P (x ,y )，∵λ=12，∴PA PB =12⇒(x +2)2+(y -1)2(x +2)2+(y -4)2=12⇒x +2 2+y 2=4.抛物线的焦点为点F ，由题意知F 1,0 ，QH =QF -1，∵PA =12PB ，∴12PB +PQ +QH min =PA +PQ +QF -1 min =AF -1=-2-1 2+12-1=10-1.故答案为：x +2 2+y 2=4；10-1.。
例谈阿波罗尼斯圆的应用
例谈阿波罗尼斯圆的应用吉㊀磊(兰州天庆实验中学ꎬ甘肃兰州７３００３０)摘㊀要:文章从阿波罗尼斯圆的定义入手ꎬ给出近年来中考相关试题的解法ꎬ为学生学习高中解析几何打下良好的基础.关键词:阿波罗尼斯圆ꎻ中考数学ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２３－００２０－０４收稿日期:２０２３－０５－１５作者简介:吉磊(１９８１.１－)ꎬ男ꎬ陕西省西安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀近年来ꎬ在各地中考中ꎬ对于重难点题型的考查多少都涉及到数形结合解决 极限值 的待定系数问题ꎬ在这里就不得不提到非常著名的 阿波罗尼斯圆 (简称 阿氏圆 )理论ꎬ这种方法可以帮助学生理解考查题型的设计初衷ꎬ从而整合所学相关知识的应用与拓展.１阿波罗尼斯圆的定义及定理定义㊀已知平面上两个定点Ａ㊁Ｂꎬ若一个动点Ｐ满足ＰＡＰＢ＝ｋ(ｋ>０且ｋʂ１)ꎬ其中ｋ为定值ꎬ则这个动点Ｐ的运动轨迹是一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现ꎬ这个点Ｐ所形成的圆就称为阿氏圆.也称之为圆的第二定义.当且仅当ｋ＝１时ꎬ点Ｐ的运动轨迹是线段ＡＢ的中垂线[１].定理㊀如图１ꎬＰ是平面上一动点ꎬＡ㊁Ｂ是两定点ꎬＰＡʒＰＢ＝ｋꎬＭ是ＡＢ的内分点ꎬＮ是ＡＢ的外分点且ＡＭʒＭＢ＝ＡＮʒＮＢ＝ｋꎬ则Ｐ点的轨迹是以ＭＮ为直径的圆.图１㊀点Ｐ轨迹图２ 阿氏圆 在初中阶段的应用２.１阅读材料型(显露阿氏圆)例１㊀(２０１９秋 山西期末)如图２ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ在ｘ轴ꎬｙ轴上分别有点Ｃ(ｍꎬ０)ꎬＤ(０ꎬｎ)ꎬ点Ｐ是平面内一动点ꎬ且ＯＰ＝ｒꎬ设ＯＰＯＤ＝ｋꎬ求ＰＣ＋ｋＰＤ的最小值.图２㊀例１题图阿氏圆的关键解题步骤:第一步:如图２ꎬ在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎻ第二步:证明ｋＰＤ＝ＰＭꎻ第三步:连接ＣＭꎬ此时ＣＭ即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分):解㊀在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.任务:(１)将以上解答过程补充完整.(２)如图２ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＢＣ＝３ꎬＤ为әＡＢＣ内一动点ꎬ满足ＣＤ＝２ꎬ利用(１)中的结论ꎬ请直接写出ＡＤ＋２３ＢＤ的最小值.考点:相似形综合题.专题:几何综合题ꎻ应用意识.分析㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可.(２)利用(１)中结论计算即可.解㊀(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭʒＯＰ＝ＯＰʒＯＤ＝ｋꎬ又ȵøＰＯＤ＝øＭＯＰꎬʑәＰＯＭʐәＤＯＰ.ʑＭＰʒＰＤ＝ｋꎬʑＭＰ＝ｋＰＤꎬʑＰＣ＋ｋＰＤ＝ＰＣ＋ＭＰꎬ当ＰＣ＋ｋＰＤ取最小值时ꎬＰＣ＋ＭＰ有最小值ꎬ即ＣꎬＰꎬＭ三点共线时有最小值ꎬ利用勾股定理得ＣＭ＝ＯＣ２＋ＯＭ２＝ｍ２＋(ｋｒ)２＝ｍ２＋ｋ２ｒ２.(２)ȵＡＣ＝ｍ＝４ꎬＣＤＢＣ＝２３ꎬ在ＣＢ上取一点Ｍꎬ使得ＣＭ＝２３ＣＤ＝４３ꎬʑＡＤ＋２３ＢＤ的最小值为４２＋(４３)２＝４１０３.点评㊀本题属于相似形综合题ꎬ考查了相似三角形的判定和性质ꎬ勾股定理ꎬ两点之间线段最短等知识ꎬ解题的关键是理解题意ꎬ学会用数形结合转化的思想考虑问题ꎬ属于中考常考题型.２.２非材料阅读型(隐藏阿氏圆)例２㊀(２０１７ 兰州)如图３ꎬ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ＡＢ交于Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)两点ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６交ｙ轴于点Ｃ.点Ｅ是直线ＡＢ上的动点ꎬ过点Ｅ作ＥＦʅｘ轴交ＡＣ于点Ｆꎬ交抛物线于点Ｇ.图３㊀例２题图(ａ)(１)求抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的表达式ꎻ(２)连接ＧＢꎬＥＯꎬ当四边形ＧＥＯＢ是平行四边形时ꎬ求点Ｇ的坐标ꎻ(３)①在ｙ轴上存在一点Ｈꎬ连接ＥＨꎬＨＦꎬ当点Ｅ运动到什么位置时ꎬ以Ａ㊁Ｅ㊁Ｈ㊁Ｆ为顶点的四边形是矩形?求出此时点ＥꎬＨ的坐标ꎻ②在①的前提下ꎬ以点Ｅ为圆心ꎬＥＨ长为半径作圆ꎬ点Ｍ为☉Ｅ上一动点ꎬ求１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值.考点:二次函数综合题.专题:综合题.分析㊀(１)利用待定系数法求出抛物线方程ꎻ(２)先利用待定系数法求出直线ＡＢ的方程ꎬ进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可ꎻ(３)①先判断出要以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬ只有ＥＦ为对角线ꎬ利用中点坐标公式建立方程即可ꎻ②先取ＥＧ的中点Ｐ进而判断出әＰＥＭʐәＭＥＡ即可得出ＰＭ＝１２ＡＭꎬ连接ＣＰ交圆Ｅ于Ｍꎬ再求出点Ｐ的坐标即可得出结论.解㊀(１)ȵ点Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)在抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上ꎬʑ－１６－４ｂ＋ｃ＝－４ꎬｃ＝４{ꎬʑｂ＝－２ꎬｃ＝４{ꎬʑ抛物线的方程为ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋４ꎻ(２)设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｎ过点ＡꎬＢꎬʑｎ＝４ꎬ－４ｋ＋ｎ＝－４{ꎬʑｋ＝２ｎ＝４{ꎬʑ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ｍꎬ２ｍ＋４)ꎬʑＧ(ｍꎬ－ｍ２－２ｍ＋４)ꎬȵ四边形ＧＥＯＢ是平行四边形ꎬʑＥＧ＝ＯＢ＝４ꎬʑ－ｍ２－２ｍ＋４－２ｍ－４＝４ꎬʑｍ＝－２ꎬʑＧ(－２ꎬ４).(３)①如图４ꎬ由(２)知ꎬ直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋４ꎬ设Ｅ(ａꎬ２ａ＋４)ꎬȵ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＦ(ａꎬ－１２ａ－６)ꎬ设Ｈ(０ꎬｐ)ꎬȵ以点ＡꎬＥꎬＨꎬＦ为顶点的四边形是矩形ꎬȵ直线ＡＢ:ｙ＝２ｘ＋４ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６ꎬʑＡＢʅＡＣꎬʑＥＦ为对角线ꎬʑＥＦ与ＡＨ互相平分ꎬʑ１２(－４＋０)＝１２(ａ＋ａ)ꎬ１２(－４＋ｐ)＝１２(２ａ＋４－１２ａ－６)ꎬʑａ＝－２ꎬｐ＝－１ꎬʑＥ(－２ꎬ０).Ｈ(０ꎬ－１)ꎻ㊀图４㊀例２题图(ｂ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５㊀例２题图(ｃ)②如图５ꎬ由①知ꎬＥ(－２ꎬ０)ꎬＨ(０ꎬ－１)ꎬＡ(－４ꎬ－４)ꎬʑＥＨ＝５ꎬＡＥ＝２５ꎬ设ＡＥ交☉Ｅ于Ｇꎬ取ＥＧ的中点ＰꎬʑＰＥ＝５２ꎬ连接ＰＣ交☉Ｅ于Ｍꎬ连接ＥＭꎬʑＥＭ＝ＥＨ＝５ꎬʑＰＥＭＥ＝５２５＝１２ꎬȵＭＥＡＥ＝５２５＝１２ꎬʑＰＥＭＥ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬȵøＰＥＭ＝øＭＥＡꎬʑәＰＥＭʐәＭＥＡꎬʑＰＭＡＭ＝ＭＥＡＥ＝１２ꎬʑＰＭ＝１２ＡＭꎬʑ１２ＡＭ＋ＣＭ最小值为ＰＣꎬ设点Ｐ(ｐꎬ２ｐ＋４)ꎬȵＥ(－２ꎬ０)ꎬʑＰＥ２＝(ｐ＋２)２＋(２ｐ＋４)２＝５(ｐ＋２)２ꎬȵＰＥ＝５２ꎬʑ５(ｐ＋２)２＝５４ꎬʑｐ＝－５２或ｐ＝－３２(由于Ｅ(－２ꎬ０)ꎬ所以舍去)ꎬʑＰ(－５２ꎬ－１)ꎬȵＣ(０ꎬ－６)ꎬʑＰＣ＝(－５２)２＋(－１＋６)２＝５５２ꎬ即:１２ＡＭ＋ＣＭ的最小值为５５２.例３㊀(２０２１ 沙坪坝区校级模拟)在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＣ交ＢＤ于点ＥꎬәＡＤＥ为等边三角形.(１)若点Ｅ为ＢＤ的中点ꎬＡＤ＝４ꎬＣＤ＝５ꎬ求әＢＣＥ的面积ꎻ(２)若ＢＣ＝ＣＤꎬ点Ｆ为ＣＤ的中点ꎬ求证:ＡＢ＝２ＡＦꎻ(３)如图６ꎬ若ＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬ点Ｐ为四边形ＡＢＣＤ内一点ꎬ且øＡＰＤ＝９０ʎꎬ连接ＢＰꎬ取ＢＰ的中点Ｑꎬ连接ＣＱ.当ＡＢ＝６２ꎬＡＤ＝４２ꎬｔａｎøＡＢＣ＝２时ꎬ求ＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值.㊀图６㊀例３题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３题图(ｂ)考点㊀相似形综合题.专题:图形的相似ꎻ推理能力.分析㊀(１)如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.利用勾股定理构建方程求出ｘꎬ即可解决问题.(２)如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＡＦ＝ＦＧꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.想办法证明әＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬ可得结论.(３)如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５ꎬ连接ＱＴꎬＴＣ.想办法证明әＱＪＴʐәＢＪＱꎬ推出ＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５/５２＝１０１０ꎬ推出ＱＴ＝１０１０ＢＱꎬ推出ＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴꎬ求出ＣＴꎬ可得结论.(１)解㊀如图７中ꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈꎬ设ＥＨ＝ｘ.ȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＤ＝ＤＥ＝４ꎬøＡＥＤ＝øＣＥＨ＝６０ʎꎬȵøＣＨＥ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝ＥＨ ｔａｎ６０ʎ＝３ｘꎬȵＣＤ２＝ＣＨ２＋ＤＨ２ꎬʑ２５＝３ｘ２＋(ｘ＋４)２ꎬʑ４ｘ２＋８ｘ－９＝０ꎬʑｘ＝－２＋１３２或－２－１３２(舍弃)ꎬʑＣＨ＝３９－２３２ꎬʑＳәＢＥＣ＝１２ˑ４ˑ３９－２３２＝３９－２３.图８㊀例３题图(ｃ)㊀㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例３题图(ｄ)(２)证明:如图８中ꎬ延长ＡＦ到Ｇꎬ使得ＦＧ＝ＡＦꎬ连接ＤＧꎬＣＧꎬ延长ＧＣ交ＢＤ于Ｔꎬ过点Ｃ作ＣＨʅＢＤ于Ｈ.ȵＡＦ＝ＦＧꎬＣＦ＝ＦＤꎬʑ四边形ＡＣＧＤ是平行四边形ꎬʑＡＣʊＤＧꎬＧＣʊＡＤꎬʑøＣＡＤ＋øＡＤＧ＝１８０ʎꎬȵәＡＤＥ是等边三角形ꎬʑＡＥ＝ＡＤꎬøＡＥＤ＝øＡＤＥ＝øＥＡＤ＝６０ʎꎬʑøＡＥＢ＝øＡＤＧ＝１２０ʎꎬʑøＣＧＤ＝øＥＡＤ＝６０ʎ＝øＧＤＴꎬʑәＤＧＴ是等边三角形ꎬʑＤＧ＝ＤＴꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬʑәＣＥＴ是等边三角形ꎬʑＣＴ＝ＣＥꎬøＣＴＥ＝øＣＥＴ＝６０ʎꎬȵＣＢ＝ＣＤꎬＣＨʅＢＤꎬʑＢＨ＝ＤＨꎬＴＨ＝ＥＨꎬʑＢＴ＝ＤＥꎬʑＢＥ＝ＤＴ＝ＤＧꎬʑәＡＥＢɸәＡＤＧ(ＳＡＳ)ꎬʑＡＢ＝ＡＧ＝２ＡＦ.(３)解:如图９中ꎬ取ＡＤ的中点Ｏꎬ连接ＯＰꎬＯＢꎬＯＣꎬ取ＯＢ的中点Ｊꎬ连接ＱＪꎬＣＪꎬ过点Ｃ作ＣＦʅＡＢ于Ｆꎬ在ＪＢ上取一点Ｔꎬ使得ＪＴ＝５５.连接ＱＴꎬＴＣ.ȵＡＢʊＣＤꎬøＢＡＤ＝９０ʎꎬʑøＡＤＣ＝９０ʎꎬȵＣＦʅＡＢꎬʑøＣＦＡ＝９０ʎꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是矩形ꎬʑＡＤ＝ＣＦ＝４２ꎬȵｔａｎøＣＢＡ＝ＣＦＢＦ＝２ꎬʑＢＦ＝２２ꎬȵＡＢ＝６２ꎬʑＡＦ＝４２ꎬʑＡＤ＝ＡＦꎬʑ四边形ＡＦＣＤ是正方形ꎬȵＢＣ＝ＢＦ２＋ＣＦ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＣＯ＝ＯＤ２＋ＣＤ２＝(２２)２＋(４２)２＝２１０ꎬＯＢ＝ＯＡ２＋ＡＢ２＝４５ꎬʑＣＢ＝ＣＯꎬȵＣＦ＝ＣＤꎬøＣＦＢ＝øＣＤＯ＝９０ʎꎬʑＲｔәＣＦＢɸＲｔәＣＤＯ(ＨＬ)ꎬʑøＢＣＦ＝øＤＣＯꎬʑøＢＣＯ＝øＤＣＦ＝９０ʎꎬȵＢＪ＝ＪＯꎬʑＣＪ＝１２ＯＢ＝２５ꎬʑＣＴ＝ＴＪ２＋ＣＪ２＝(５５)２＋(２５)２＝５０５５ꎬȵＢＱ＝ＱＰꎬＢＪ＝ＪＯꎬʑＱＪ＝１２ＯＰ＝２ꎬȵＱＪ２＝２ꎬＴＪ ＪＢ＝５５ˑ２５＝２.ʑＱＪ２＝ＪＴ ＪＢꎬʑＱＪＪＴ＝ＪＢＱＪꎬȵøＱＪＴ＝øＱＪＢꎬʑәＱＪＴʐәＢＪＱꎬʑＱＴＢＱ＝ＪＴＪＱ＝５５２＝１０１０ꎬʑＱＴ＝１０１０ＢＱ.ʑＣＱ＋１０１０ＢＱ＝ＣＱ＋ＱＴȡＣＴ＝５０５５ꎬʑＣＱ＋１０１０ＢＱ的最小值为５０５５.参考文献:[１]方立洋ꎬ经凯强.阿波罗尼斯圆的性质及应用[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０２３(０１):１５－１８.[责任编辑:李㊀璟]。
阿波罗尼斯圆的离心率与轴比的关系
阿波罗尼斯圆的离心率与轴比的关系阿波罗尼斯圆，又被称为椭圆，是数学中的一种几何形状。
它在数学、物理学以及工程领域中具有广泛的应用。
在研究阿波罗尼斯圆的特性时，我们常常会关注其离心率与轴比之间的关系，本文将对这一关系进行探讨。
一、阿波罗尼斯圆的定义及特性阿波罗尼斯圆是平面上满足到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个点称为焦点，常数称为焦点距离。
阿波罗尼斯圆具有以下特性：1. 定义特性：阿波罗尼斯圆的每一个点到两个焦点的距离之和等于焦点距离。
2. 对称性：阿波罗尼斯圆具有关于两个坐标轴的对称性和关于原点的中心对称性。
3. 参数方程：阿波罗尼斯圆的参数方程为x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
二、离心率与轴比的定义1. 离心率：离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，通常用字母e表示。
离心率的定义为e = c / a，其中c表示焦点距离，a表示椭圆的长半轴。
2. 轴比：轴比是指椭圆的长半轴与短半轴之间的比值，通常用字母b / a表示。
其中b表示椭圆的短半轴，a表示椭圆的长半轴。
三、离心率与轴比的关系离心率和轴比之间存在着一定的数学关系。
通过推导我们可以得到离心率与轴比的关系式为e² = 1 - (b² / a²)。
根据这一关系式，我们可以得出以下结论：1. 当离心率e等于零时，椭圆退化为一个圆。
此时长半轴和短半轴相等，即a = b。
2. 当离心率e大于零且小于1时，椭圆的离心率小于1，形状变得更加扁平。
此时长半轴大于短半轴，即a＞b。
3. 当离心率e等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
此时长半轴趋向于无穷大，短半轴趋向于焦点距离的一半，即a→∞，b→c/2。
4. 当离心率e大于1时，椭圆的离心率大于1，形状变得更加细长。
此时长半轴小于短半轴，即a＜b。
综上所述，离心率与轴比之间存在着明确的关系。
离心率的大小直接影响着椭圆形状的扁平程度，而轴比则衡量着椭圆的长短轴比例。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯及其应用
一、以教材为背景，引出阿波罗尼斯圆
1、定义：
已知点M与两个定点叫,“2距离的比是一个正数机，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑机=1和〃 2 ≠ 1两种情形).
分析：当初=1时，表示线段2的垂直平分线.
下面我们只考虑机w 1时的情形
2、引例:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点用距离是它与点磔勺距离的(,用《几何画
板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
(1)用几何画板进行动画演示
结论1：
(2)回顾求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简
(3)改变些的值进行动画演示.
MQ
结论2：
二、探究新知
1、阿波罗尼斯圆
(1)定义
(2)人物简介
(3)注意事项
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
已知点M与两个定点M∣,M?距离的比是一个正数〃?，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(m≠l).
四、阿波罗尼斯圆的应用
例1(2008江苏卷13)若AB = 2,AC =√2BC,则SMBC最大值是. X
例2、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系Xeyt l ,点A （0,3）,圆球半径为1,圆心C 在直
线 /： y=2x-4±,若圆C 上存在点使得MA=2MO,求圆心C 的横坐标疝勺取值范围.
例3、已知A(-2,0),P 为圆U(x + 4y +
练习:若48 = 2,8。
= 1,8 = 3,用为以瓦）为直径的圆上一点,则怨= MC
五、课堂小结
1、一个概念
2、两种思想：方程思想、转化思想
坐标为
V=16上任意一点,若点B 满足2∣ PAl = IPM ,则
5的
3、三类问题：轨迹、定点、定值。
2020重庆中考复习阿氏圆及其应用举例(Word版)
阿氏圆及其应用举例一、什么是阿氏圆？阿氏圆是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DPMPDCBA分析：注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 二、应用举例例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7B ．5C ．D ．B PO解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴＝，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝P A，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（）A．B．6C．2 D．4解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A．例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．解：∵2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵求23AD BD +最小值即可,在CA 上截取CM ，使得CM ＝4，连接DM ，BM ． ∵CD ＝6，CM ＝4，CA ＝9，∴CD 2＝CM •CA ，∴＝，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△ACD ，∴＝＝，∴DM ＝AD ，∴AD +BD ＝DM +BD ，∵DM +BD ≥BM ，在Rt △CBM 中，∵∠CMB ＝90°，CM ＝4，BC ＝12，∴BM ＝＝4，∴AD +BD ≥4，∴AD +BD 的最小值为4．例4、如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝8，P 为矩形内部一点，且PB ＝4，则AP +PC 的最小值为 ．A BCDP解：如图2，在AB 上截取BF ＝2，连接PF ，PC ， ∵AB ＝8，PB ＝4，BF ＝2，∴＝＝，且∠ABP ＝∠ABP ，∴△ABP ∽△PBF ，∴＝＝，∴PF ＝AP ，∴AP +PC ＝PF +PC ，∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP +PC 的值最小，∴CF ＝＝＝2，∴AP +PC 的值最小值为2，例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 ．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连结EF，OE，∵，∠EOB为公共角，∴△OBE∽△OEF，∴，∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF，即A、E、F三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF＝＝. 例6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC 的最大值为．解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵＝2，＝2，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．三、练习巩固1、（2019•郫都区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．解：如图，在CB 上取一点F ，使得CF ＝2，连接FD ，AF ． ∴CD ＝4，CF ＝2，CB ＝8，∴CD 2＝CF •CB ，∴＝，∵∠FCD ＝∠DCB ，∴△FCD ∽△DCB ，∴＝＝，∴DF ＝BD ， ∴BD +AD ＝DF +AF ，∵DF +AD ≥AF ，AF ＝＝2，∴BD +AD 的最小值是2，2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为 .解：在BM 上截取BQ=23， 2,3BQ BM QBM M BA BM BA '''==∠=∠'Q，.BQM BM A ''∴∆∆∠: 1,3QM BQ M A BM '∴==''1,3QM M A ''∴= 2122()2()33CM AM CM AM CM QM ''''''∴+=+=+当Q M C '、、三点共线时，=CM QM QC ''+有最小值为：22222237=()4.33QC BQ BC +=+=223CM AM ''∴+的最小值为4373.3、已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，则2P A +PB 的最小值为 ．解：延长OA 到点E ，使CE ＝6，∴OE ＝OC +CE ＝12，连接PE 、OP ， ∵OA ＝3，∴，∵∠AOP ＝∠AOP ，∴△OAP ∽△OPE ，∴，∴EP ＝2P A ，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13.4、如图，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，则2P A+PB 的最小值为．解：如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．5、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．。
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用阿波罗尼斯圆（Apollonian circles）是数学中的一个重要概念，广泛应用于天文学领域。
这一概念来源于古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）的研究成果，被称为“三个圆外切于一个圆”的问题，据此得名。
阿波罗尼斯圆在天文学中的应用包括以下几个方面。
1. 星系形成模型阿波罗尼斯圆可以用来描述星系的形成模型。
天文学家观测到在星系形成的过程中，恒星和星际物质会形成环状结构。
而阿波罗尼斯圆则可以准确地描述这些环状结构的形成和演化。
通过对恒星的轨道和质量分布进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来预测星系的形成和演化历程。
2. 行星轨道模拟阿波罗尼斯圆也可以用来模拟行星的轨道。
行星的运动轨迹可以通过数学建模进行模拟，利用阿波罗尼斯圆的特性，可以更加精确地描述行星在太阳系中的运动轨迹。
这对于天文学家来说是非常重要的，因为行星轨道的研究可以揭示宇宙中的引力规律和行星的形成机制。
3. 空间天体测距阿波罗尼斯圆还可以用于空间天体的测距。
在天文观测中，我们经常需要测量天体之间的距离，比如测量恒星与地球的距离、测量星系与星系之间的距离等。
利用阿波罗尼斯圆的几何性质，可以通过测量天体之间的角度和弧长，来计算它们之间的距离。
这为天文学家提供了一种精确测距的方法。
4. 天体碰撞模拟阿波罗尼斯圆还可以应用于模拟天体碰撞的过程。
天文学家经常关注天体之间的碰撞事件，比如彗星撞击行星、星系之间的相互作用等。
通过对碰撞速度、角动量和质量分布等因素进行建模，可以利用阿波罗尼斯圆来模拟天体碰撞的过程，并对其产生的影响进行预测和分析。
综上所述，阿波罗尼斯圆在天文学中有着广泛的应用。
它不仅可以用于描述星系的形成和演化，还可以模拟行星轨道、测量天体之间的距离以及模拟天体碰撞等。
随着天文观测和数学建模技术的不断发展，阿波罗尼斯圆的应用将更加深入和广泛，为我们揭示宇宙的奥秘提供更多的线索和解释。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。
它不仅具有深刻的理论内涵，还在众多实际问题中有着广泛而重要的应用。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。
简单来说，假如有两个定点 A 和 B，一个动点 P，并且满足｜PA|／｜PB| ＝定值 k（k ≠ 1），那么点 P 的轨迹就是一个圆。
这个圆有着一些有趣的性质。
比如说，圆心在线段AB 的中垂线上；而且，当两个定点之间的距离固定，以及比值 k 确定时，这个圆的大小和位置也就唯一确定了。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？让我们一起来看看。
在几何问题中，阿波罗尼斯圆常常能帮助我们巧妙地解决一些难题。
比如，在三角形中，如果已知某两条边的长度以及它们的比值，要求第三边的取值范围，这时就可以通过构建阿波罗尼斯圆来找到答案。
在物理学中，阿波罗尼斯圆也有它的身影。
例如，在研究两个点电荷之间的电场分布时，如果电荷的电荷量之比为定值，那么等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。
在工程领域，阿波罗尼斯圆同样发挥着重要作用。
在建筑设计中，当需要确定一些特定的位置关系，以保证结构的稳定性和美观性时，阿波罗尼斯圆的知识能够提供有效的解决方案。
在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是屡见不鲜。
很多看似复杂的竞赛题目，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。
接下来，通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的魅力。
假设在平面直角坐标系中，有两个定点 A(0, 0)和 B(4, 0)，动点 P 满足｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，求点 P 的轨迹方程。
首先，设点 P 的坐标为（x, y)。
则｜PA| ＝√（x²＋ y²)，｜PB| ＝√（x 4)²＋ y²。
因为｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，所以√（x²＋ y²) ／√（x 4)²＋ y²＝1/2。
阿波罗尼斯圆及其应用(整理)
阿波罗尼斯圆的应用1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点',A A ，设P 点在同一平面上且满足,'λ=PA PA当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的相关性质性质1.当1>λ时，点'A 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点'A 在圆O 外。
性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|1r λλ=-性质3：'OA rr OA ==λ λ越大，圆越小.例1：已知P 点在边长为2的正方形ABCD 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______ 解析:22',1,2,'=∴====OA r OA OA r r OA λ '2,2'PA PA PA PA=∴==λ,5'2)'(22=≥+=+B A BP PA BP PA练习1：已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______27练习2：已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动，)4,4(),0,4(B A ，求BP AP 2+的最小值例2：（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.练习1：满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.练习2.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.例3：已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB=1，AD=CD=2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成角相等，则点M 的轨迹长度为_________94π练习：在正方体1111D C B A ABCD -中，33=AB ，点E ，F 在线段1DB 上，且,1FB EF DE ==点M 是正方体表面上一个动点，点P,Q 是空间两个动点，若2||||||||==QF QE PF PE 且4||=PQ ，则MQ MP ⋅的最小值为____________38-练习2：已知△ABC 的面积为1，∠A 的角平分线交对边BC 于D ， AB=2AC ，且AD=kAC ，则当k=________时，边BC 的长度最短.5102=k 分析：面积为定值，AB=2AC ，所以A 的轨迹为阿氏圆，设圆交BC 和延长线为D 、E ，易得AD 即为∠A 的角平分线，且当AO 垂直BC 时BC 有最小值，设圆半径为r ，OC r r OB ===2λ,r r OB OD rOC r OB =-=∴==,2,2 r AD r 2,25AC ==勾股定理得： 5102252===∴r r ACADk 3、已知向量,a b 满足：||3,||2||,b a b a ==-若||3a b λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围是_______.例4. （2015年高考数学湖北卷）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③2NB MA NAMB+=号是 .（写出所有正确结论的序号）解：（1）易知半径2r =，所以圆的方程为()(22122x y -+=；（2）易知()()21,21A B ，设(),P x y 为圆C 上任意一点，则()()()()()()()()222221422221221221422221221221x y yyPA PBy y x y +-+-----====+-++-+--，故①正确；())21212NB MANA MB-=-=，②正确；))212122NB MANA MB+=+=yxOTC NA MB5、已知点(0,2),(1,1)A B --，P 是圆C:222x y +=上的一个动点.求||||PB PA 的最大值. 6、已知向量||6,||||,2,b a a c b a c m ==--=是||()a tb t R +∈的最小值,求m 的最大值.。
阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义
阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义阿波罗尼斯圆是数学中一个重要的曲线，它由一对不相交的直线段围起来，这对直线段的长度之和始终保持不变。
在这个主题中，我们将探讨阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义。
一、阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆是一个以固定点F为焦点，固定线段AB的两个端点A、B为直径的圆。
其中，焦点F位于直线AB的垂直平分线上。
在这个圆中，点M和N是圆上两个点，且满足MA + MB = NA + NB。
二、焦点的性质1. 焦点到任意点的距离之和相等：对于阿波罗尼斯圆上的任意一点P，它到焦点F的距离FP与到直线AB的距离的和等于常数。
这一性质使得焦点具有一种几何上的特殊性质，使得阿波罗尼斯圆能够在各种应用中发挥重要的作用。
2. 轨迹上的任意一点都是一对交错测量值的平均值：阿波罗尼斯圆上任意一点的坐标值可以表示为两个数的平均值，这两个数代表直线段AB两个端点的坐标值。
这种特性使得阿波罗尼斯圆可以用来表达各种测量值的平均值，如光线、能量、声波等。
三、焦点的物理意义阿波罗尼斯圆的焦点在物理学中有着重要的应用和意义。
以下是一些例子：1. 镜面的焦点：根据阿波罗尼斯圆的性质，对于镜面而言，焦点是光线反射的特殊位置。
当光线平行于镜面主轴时，反射后的光线都汇聚于焦点位置，因此可以用焦点来确定镜面成像的位置和性质。
2. 太阳能聚焦器：太阳能聚焦器利用阿波罗尼斯圆的特性，将太阳的光线集中到一个焦点上，以产生高温。
这种技术被广泛应用于太阳能发电和太阳能热水器等领域。
3. 声音聚焦：借鉴阿波罗尼斯圆的性质，可以设计出声音聚焦器，将声波聚集到一个点上，用于医学诊断、声学研究等领域。
4. 能量传输和集中：阿波罗尼斯圆的焦点还可以用于能量传输和集中。
例如，在激光技术中，利用焦点将能量集中在一个小区域内，实现高功率激光束的传输和应用。
总结：阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义在科学和工程中有着广泛的应用。
焦点是一种特殊的位置，它使得阿波罗尼斯圆能够在光学、声学、能源等领域发挥着重要的作用。
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过 A(0，2)，O(0，0)，D(t， 0)(t>0)三点，M 是线段 AD 上的动点，l1，l2 是过点 B(1，0)且互相垂直 的两条直线，其中 l1 交 y 轴于点 E，l2 交圆 C 于 P，Q 两点． (1)若 t＝PQ＝6，求直线 l2 的方程； (2)若 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数，求三角形 EPQ 的面 积的最小值．
2
2
2
2
串讲 2 已知点 P 是圆 O：x2＋y2＝25 上任意一点，平面上有两个定点 13 1 M(10，0)，N( 2 ，3)，则 PN＋2PM 的最小值为
5
．
解析： 设 x 轴上一定点 Q(m， 0)， 记 PM∶PQ＝λ， P(x， y)， 由 PM∶PQ ＝λ 得(x－10)2＋y2＝λ2[(x－m)2＋y2]，化简得(λ2－1)x2＋(λ2－1)y2＋(20 －2mλ2)x＋(λ2m2－100)＝0，因为 x2＋y2＝25，所以
2 解析：依题意，PA2＝PO2－12，PB2＝PO2 － 2 ，因为 PB＝2PA，所 1 2 2 2 2 以 PB2＝4PA2，所以 PO2 － 4 ＝ 4( PO － 1 ) ， 可得 PO ＝ 4 PO ，设 P(x， 1 1
4 2 2 64 y)，可得(x－4 )＋y ＝4(x ＋y )化简得(x＋3) ＋y ＝ 9 .所以满足条件的
2 2 2 2
4 8 点 P 在以(－3，0)为圆心，3为半径的圆上，又因为点 P 在直线 x＋ 3y 4 |－3－b| 8 －b＝0 上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以 <3， 1＋ 3 20 解得－ 3 <b<4.
变式 2 已知点 A(－2，0)，B(4，0)，圆 C：(x＋4) ＋(y＋b) ＝16，点 P PA 是圆 C 上任意一点，若PB为定值，则 b 的值为 0 ．
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A,，设P 点在同一平面上且满足,PBPA当且1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理：B A,为两已知点，Q P,分别为线段AB 的定比为)1(的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A,两点的距离之比为.证（以1为例）设QBAQ PBAP a AB,，则1,1,1,1a BQ aAQa PBa AP.由相交弦定理及勾股定理知,1,1222222222aBCAB ACaBQPB BC于是,1,122aACaBC.BCAC而C Q P ,,同时在到B A,两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A,两点的距离之比恒为.性质1.当1时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；当10时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。
性质2.因AQ AP AC2，过AC 是圆O 的一条切线。
若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122aPQ，面积为.122a性质4.过点A 作圆O 的切线C AC(为切点），则CQ CP,分别为ACB 的内、外角平分线。
性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF 数学应用1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(aa 求点P 的轨迹.2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM2，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A 如果动点P 满足PB PA 2，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2的ABC 面积的最大值是___________.5.在等腰ABC 中，BD AC AB ,是腰AC 上的中线，且,3BD 则ABC 面积的最大值是___________.6.已知P A ),0,2(是圆16)4(:22yxC 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得21PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由.变式：已知圆16)4(:22yx C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有?21PBPA 若存在，求出B A,坐标；若不存在，说明理由.7.在ABC 中，AD AC AB ,2是A 的平分线，且.kAC AD（1）求k的取值范围；（2）若ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.Welcome To Download 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆与向量 (解析版)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与向量阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与向量【微点综述】涉及线段定比的有些平面向量题，或是涉及数量积的等式，可以转化成三点共线问题，构造阿波罗尼斯圆，建立平面直角坐标系，利用阿波罗尼斯圆解决问题．【典例刨析】1.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足|c -a |=12，则|a +b -c |+2|c -b |最小值为__________.2.已知BC =6，AC =2AB ，点D 满足AD=2x x +y AB+y 2x +yAC ，设f x ,y =AD ，若f x ,y ≥f x0,y 0 恒成立，则f x 0,y 0 的最大值为______________．3.(2022浙江省宁波市鄞州中学高三其他)已知向量a ,b ,c 满足|a |=12|b|=|c |=1,a ⋅b =1，则c +12a +12|c -b|的取值范围是_______.4.已知等边ΔABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足PA ⋅PB-2λ+1=0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是__________．5.已知A ,B 是平面上两个定点，平面上的动点C ,D 满足|CA |CB=|DA|DB =m ，若对于任意的m ≥3，不等式CD≤k AB 恒成立，则实数k 的最小值为______．6.已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t ,0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD |≤2|BD|恒成立，则最小正整数t =__________.【针对训练】7.(2022·广东广州·高二期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，点P 满足PAPB=3，则点P 的轨迹方程为__________.(答案写成标准方程)，PA ⋅PB的最小值为__________.8.(2022·江苏·高邮一中高二期末)阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P 到两定点A ，B 的距离之比满足PAPB=t (t >0且t≠1，t 为常数)，则P 点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，动点P 满足PAPB =2，则P 点的轨迹Γ为圆，该圆方程为_________；过点A 的直线交圆Γ于两点C ,D ，且AC =CD ，则CD =_________．9.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为4，动点P 满足PAPB=3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为___________；PA ⋅PB 最大值是___________.10.在平面四边形ABCD 中，∠BAD =90°，AB =2，AD =1．若AB ⋅AC +BA ⋅BC =43CA ⋅CB，则CB+12CD 的最小值为____．11.在ΔABC 中，A =120°，AB =2AC =6，点D 满足AD=x3x +3y AB +2y x +yAC ，则AD 的最小值为______.12.已知圆C 的圆心在直线3x -y =0上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：x -y =0截得的弦长为27.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点B 7,6 ，且点M 满足AM =2MB ，记点M 的轨迹为Γ.①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1.【答案】52【分析】建立坐标系，设A (1,0)，B (0,1)，D (1,1)，设OA =a ，OB =b ，则|a +b -c |+2|c -b|=CD +2BC ，构造相似三角形，设E 1,14，可得ΔAEC ∽ΔACD ，所以|a +b -c |+2|c -b |=CD +2BC =2(BC +CE )≥2BE =52．【详解】如图，A 1,0 ,B 0,1 ,D 1,1 ，设OA =a ,OB =b ，则向量c 满足|c -a |=12，设OC =c ，所以点C为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点，所以|a +b -c |=|OD -OC |=|CD |，同理2|c -b|=2|BC |，取点E 1,14 ，则AE AC =ACAD，又因∠CAE =∠DAC ，所以ΔAEC ∽ΔACD ，所以CE CD=12，即CD =2CE ，所以|a +b -c |+2|c -b|=CD +2BC =2CE +2BC =2BC +CE ，由三角形的三边关系知2BC +CE ≥2BE =212+34 2=2×54=52.故填：52.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题．2.【答案】4【分析】将已知AD =2x x +y AB +y 2x +yAC 变形为x x +y 2AB +y x +y 12AC ，设延长AB 至点F ，使得AF =2AB ,取AC 的中点E ，并通过xx +y +y x +y=1得出点D 在EF 上，再通过△AEF ≅△ABC 与已知条件得出f x 0,y 0 =ADmin =AG ，设AB =m ，再通过面积法与正、余弦定理得出AG 即可利用一元二次方程最值与根式性质得出答案.【详解】延长AB 至点F ，使得AF =2AB ,取AC 的中点E ，连接EF ，则AD =2x x +y AB +y 2x +y AC ，=x x +y 2AB+y x +y 12AC，=x x +y AF+y x +yAE ,∵xx +y +y x +y =1,∴点D 在EF 上，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，由“边角边”公理可得：△AEF ≅△ABC ，∴EF =BC =6，∵f x ,y =AD，且f x ,y ≥f x 0,y 0 恒成立，∴f x 0,y 0 =ADmin =AG ，设AB =m ，根据面积法知：AG =AE AF sin AEF，=m ⋅2m ⋅sin A6，=m 23sin A ，=m 231-m 2+4m 2-362⋅m ⋅2m 2，=13-916m 2-20 +144≤13×12=4，当且仅当m =25时等号成立，∴f x 0,y 0 max =4，故答案为：4.3.【答案】[3,7]【解析】根据几何关系，设点A ,B ,D 的坐标，点C 在单位圆上，故M =c +12a +12c -b =12EC+BC ，当B ,E ,C 三点共线时，即点C 在C 1处时，取最小值，以及数形结合分析出最大值，计算得到答案.【详解】因为|a |=1,|b |=2,a ⋅b =1，所以‹a ,b ›=π3，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =-12a，即A (1,0),B (1,3),D -12,0 ，点C 在单位圆x 2+y 2=1上，因为c +12a +12c -b =OC -OD +12OC -OB =DC +12BC，设|DC |=12|EC|,C (x ,y ),E (m ,n )，即x +12 2+y 2=12(x -m )2+(y -n )2，故E (-2,0)，所以M =c +12a +12c -b =12EC+BC ，如图，(1)当B ,E ,C 三点共线，即点C 在C 1处时，取最小值.因为M =c +12a +12c -b =12EC +BC ≥12BE=3，所以M min =3，(2)当C 位于C 2处时，取最大值，M =12(|EC 2|+|C 2B |)=7，因为2(|EC |2+|BC |2)=(2CC 1)2+(EB )2≤(4)2+(23)2=28，即EC 2+BC 2≤14，所以|EC |+|BC |2≤|EC |2+|BC|22≤7，当且仅当|EC |=|BC |取等号，综上，c +12a +12|c-b |∈3,7 .故答案为：3,7 .【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值问题，主要考查转化分析，数形结合分析，属于中档题型，本题的关键是根据根据条件设出定点和动点的坐标，根据数形结合分析，转化为点C 位置讨论的问题.4.【答案】38<λ≤12.【分析】设PA =x 0≤x ≤2 ，根据PA ⋅PB-2λ+1=0得到关于x 的函数，由题意可得该函数在区间0,2 上有两个不同的零点，然后根据二次函数的相关知识可得实数λ的取值范围．【详解】如图，设PA =x 0≤x ≤2 ，则PC =2-x ，则PB =PA +AB =-x 2AC+AB ，又AC ⋅AB=2×2×cos60°=2，∴PA ⋅PB =-x 2AC ⋅-x 2AC +AB =x 24AC 2-x 2AC⋅AB =x 2-x ．∵满足PA ⋅PB-2λ+1=0的点P 恰有两个，∴关于x 的方程x 2-x -2λ+1=0在区间0,2 上有两个不同的实数根．设f x =x 2-x -2λ+1，则函数f x 在区间0,2 上有两个不同的零点，∴Δ=1-4-2λ+1 >0f 0 =-2λ+1≥0f 2 =3-2λ≥00<12<2，解得38<λ≤12．∴实数λ的取值范围是38,12．【点睛】(1)用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的运算律求解．(2)对于一元二次方程根的分布问题，可根据“三个二次”间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式(组)，通过解不等式(组)可得所求．5.【答案】34【分析】建立坐标系，得点C ,D 的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设AB =1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A 0,0 ,B 1,0 ，设C x ,y ,∴x 2+y 2x -1 2+y2=m ⇒x -m 2m 2-1 2+y 2=m 2m 2-1 2故动点C ,D 的轨迹为圆，由CD≤k AB 恒成立，则k ≥CD max =2m m 2-1=2m -1m≥34故答案为34【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题6.【答案】4【解析】设点D x ,y ,根据|AD |≤2|BD|列出关于D x ,y 的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点D x ,y ,因为点D 是直线AC 上的动点,故y -1x =-1t⇒x +ty -t =0.由|AD |≤2|BD |得x 2+y -1 2≤4x -1 2+y 2 ,化简得x -43 2+y +13 2≥89.依题意可知,直线AC 与圆x -43 2+y +13 2=89至多有一个公共点,所以43-43t 1+t 2≥89,解得t ≥2+3或t ≤2- 3.所以最小正整数t =4.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题.7.【答案】 x -522+y 2=94-3【分析】设点P 坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对PA ⋅PB 化简，结合轨迹方程可得x 的范围，然后可解.【详解】设P 点坐标为(x ,y )，则由PA PB=3，得(x +2)2+y 2(x -2)2+y2=3，化简得x 2+y 2-5x +4=0，即x -52 2+y 2=94.因为PA =(-2-x ,-y ),PB=(2-x ,-y )，x 2+y 2=5x -4所以PA ⋅PB=(-2-x )(2-x )+y 2=x 2+y 2-4=5x -8因为点P 在圆x -52 2+y 2=94上，故1≤x ≤4所以-3≤PA ⋅PB ≤12，故PA ⋅PB的最小值为-3.故答案为：x -52 2+y 2=94，-38. 【答案】 (x -5)2+y 2=16 26【分析】设P x ,y ，根据PAPB=2可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =2 6.【详解】设P x ,y ，则x +3 2+y 2x -32+y2=2，整理得到x 2+y 2-10x +9=0，即(x -5)2+y 2=16.因为AC =CD ，故C 为AD 的中点，过圆心5,0 作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD 的中点，则AM =32CD ，故64-94CD 2=16-14CD 2，解得CD =26，故答案为：(x -5)2+y 2=16，2 6.9.【答案】12π 24+163【分析】以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方程，可得半径，从而得面积．由P (x ,y )，利用向量数量积的坐标表示求出PA ⋅PB，结合P 在圆上可得最大值．【详解】以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A -2,0 ，B 2,0 ，设P x ,y ，PAPB=3，∴x +22+y 2x -2 2+y2=3，得：x 2+y 2-8x +4=0⇒x -4 2+y 2=12，点P 的轨迹为圆(如图)，其面积为12π.PA ⋅PB =x 2-4+y 2=OP 2-4，如图当P 位于点D 时，OP 2最大，OP 2最大值为4+23 2=28+163，故PA ⋅PB最大值是24+16 3.故答案为：12π；24+16 3.10.【答案】262【分析】以AB 的中点O 为坐标原点，以AB 方向为x 轴正向，建立如下平面直角坐标系. 设C (x ,y )，根据已知条件可求得C 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，取B 1(4,0)，可得ΔOBC ~ΔOCB 1，从而有CB 1=2CB ，因此CB +12CD =12(2CB +CD )=12(CB 1+CD )，因此只要CB 1+CD 最小即可．【详解】如图，以AB 的中点O 为坐标原点，以AB 方向为x 轴正向，建立如下平面直角坐标系.则A (-1,0)，B (1,0)，设C (x ,y )，则AB =(2,0)，AC =(x +1,y )，BC=(x -1,y )因为AB ⋅AC +BA ⋅BC =AB ⋅AC +AB ⋅CB =AB ⋅AB =43CA ⋅CB所以AB ⋅AB =43AC ⋅BC ，即：4=43×(x -1)(x +1)+y 2整理得：x 2+y 2=4，所以点C 在以原点为圆心，半径为2的圆上.在x 轴上取B 1(4,0)，连接B 1C可得ΔOBC ~ΔOCB 1，所以BC B 1C =OBOC=2，所以B 1C =2BCCB +12CD =12(2CB +CD )=12B 1C +CD由图可得：当B 1,C ,D 三点共线时，即点C 在图中的M 位置时，B 1C +CD 最小.此时CB +12CD 最小为DB 1=12(4+1)2+12=262.故答案为262．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用．解题关键点有二，一是建立坐标系，求出C 点在一个圆上，二是取点B 1，构造出ΔOBC ~ΔOCB 1，于是B 1C =2BC ，问题转化为求CD +CB 1的最小值．11.【答案】33913【分析】令AE =13AB ，AF =2AC ，可得AD =x x +y AE+y x +yAF ，即D 在直线EF 上，从而当AD ⊥EF 时AD最小，结合三角形知识得到结果.【详解】AD =x 3x +3y AB +2y x +y AC =x x +y 13AB+y x +y 2AC，令AE =13AB ，AF =2AC ，则AD =x x +y AE +y x +yAF ，因为xx +y +y x +y=1，所以D 在直线EF 上，从而当AD ⊥EF 时AD最小，在ΔAEF 中，AE =13AB =2，AF =2AC =6，A =120°，由余弦定理得EF =213，又S ΔAEF =12AE ⋅AF ⋅sin A =12EF ⋅AD min ，得AD min =AE ⋅AF sin A EF =2×6×32213=33913.故答案为：33913【点睛】本题综合考查了平面向量与解三角形知识，考查三点共线、余弦定理，三角形面积公式等知识，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12.【答案】(1)x -1 2+y -3 2=9；(2)①x -5 2+y -5 2=1，Γ是圆；②存在，D 4910,4910.【分析】(1)设圆心t ,3t ，根据题意，得到半径r =3t ，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出t =±1，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；(2)①设M (x ,y )，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到x A =-14+3xy A =-12+3y ，代入圆C 的方程，即可得出结果；②假设存在一点D t ,t 满足PO PT=λ(其中λ为常数)，设P x ,y ，根据题意，得到x 2+y 2x -t 2+y -t2=λ，再由①，得到x -5 2+y -5 2=1，两式联立化简整理，得到x 10-10λ2+2tλ2 +y 10-10λ2+2tλ2-49+49λ2-2λ2t 2=0，推出10-10λ2+2tλ2=049λ2-2λ2⋅t 2=49 ，求解得出t ，即可得出结果.【详解】(1)设圆心t ,3t ，则由圆与x 轴正半轴相切，可得半径r =3t .∵圆心到直线的距离d =t -3t2=2t ，由7+2t 2=r 2，解得t =±1.故圆心为1,3 或-1,-3 ，半径等于3.∵圆与x 轴正半轴相切∴圆心只能为1,3故圆C 的方程为x -1 2+y -3 2=9；(2)①设M (x ,y )，则：AM =x -x A ,y -y A ，MB=7-x ,6-y ，∴x -x A =14-2x y -y A =12-2y∴x A=-14+3xy A =-12+3y∵点A 在圆C 上运动∴3x -14-1 2+3y -12-3 2=9即：∴3x -15 2+3y -15 2=9∴x -5 2+y -5 2=1所以点M 的轨迹方程为x -5 2+y -5 2=1，它是一个以5,5 为圆心，以1为半径的圆；②假设存在一点D t ,t 满足POPT =λ(其中λ为常数)设P x ,y ，则：x 2+y 2x -t 2+y -t2=λ整理化简得：x 2+y 2=λ2x 2-2tx +t 2+y 2-2ty +t 2 ，∵P 在轨迹Γ上，∴x -5 2+y -5 2=1化简得：x 2+y 2=10x +10y -49，所以10x +10y -49=λ210x +10y -49-2tx -2ty +2t 2整理得x 10-10λ2+2tλ2 +y 10-10λ2+2tλ2 -49+49λ2-2λ2t 2=0∴10-10λ2+2tλ2=0 49λ2-2λ2⋅t2=49 ，解得：t=49 10；∴存在D4910,4910满足题目条件.【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.。
阿波罗尼斯圆在物理学中的应用
阿波罗尼斯圆在物理学中的应用阿波罗尼斯圆是一个有着许多独特性质的几何形状，它在物理学领域中具有广泛应用。
本文将探讨阿波罗尼斯圆在物理学中的应用，并阐述其在光学、声学以及电磁学等方面的重要作用。
一. 光学中的应用阿波罗尼斯圆在光学中被广泛使用，尤其是在设计凸透镜时。
凸透镜是一种呈凸形的光学元件，能够将光线聚焦或发散。
通过研究阿波罗尼斯圆的曲率特性，可以更好地设计凸透镜的形状，以实现更高的光学性能。
例如，在望远镜的设计中，阿波罗尼斯圆被用来设计主透镜的形状。
通过精确计算曲率半径和透镜的中心位置，可以使望远镜的成像更加清晰和准确。
此外，阿波罗尼斯圆的使用还能有效地减少光学畸变，提高望远镜的分辨率和观测效果。
二. 声学中的应用除了光学，阿波罗尼斯圆在声学领域中也有重要的应用。
其中一个示例是在扩音器设计中的应用。
扩音器是一种将声音放大的装置，通过研究阿波罗尼斯圆的声学特性，可以设计出形状更加合理的扩音器。
阿波罗尼斯圆的设计可以使扩音器的声波更加均匀地传播，减少声音的衰减和畸变。
这种设计不仅能够提高扩音器的音质，还可以增加扩音器的音量和覆盖范围，满足不同环境下的音频需求。
三. 电磁学中的应用在电磁学中，阿波罗尼斯圆被广泛应用于天线的设计。
天线是一种将电磁波转换为电信号或电信号转换为电磁波的装置。
通过研究阿波罗尼斯圆的电磁波传播特性，可以更好地设计天线的形状和尺寸，以实现更好的信号接收和发送效果。
阿波罗尼斯圆的应用能够提高天线的方向性和增益，减少信号的衰减和干扰。
在通信领域，通过合理利用阿波罗尼斯圆的设计，可以提高信号传输的质量和可靠性，满足不同应用场景下的通信需求。
总结综上所述，阿波罗尼斯圆在物理学中的应用十分广泛且重要。
其在光学、声学和电磁学等领域的运用，提升了相关技术的性能和效果。
通过合理利用阿波罗尼斯圆的独特特性，可以为相关领域的研究和应用带来更多的机遇和突破。
随着科学技术的不断进步，相信阿波罗尼斯圆在物理学中的应用将会越来越深入，为人类带来更多的创新和发展。
阿波罗尼斯圆的轴对称性及其应用
阿波罗尼斯圆的轴对称性及其应用阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯提出的一种特殊的椭圆曲线，具有许多独特的性质和应用。
其中，轴对称性是阿波罗尼斯圆最为重要的性质之一，本文将探讨阿波罗尼斯圆的轴对称性及其在几何学和工程学中的应用。
一、阿波罗尼斯圆的定义与性质阿波罗尼斯圆是由一个移动的点P和两个固定的焦点F1和F2组成的曲线。
其定义是点P到F1的距离与点P到F2的距离之比等于一个常数e的绝对值，即PF1/PF2 = e。
阿波罗尼斯圆是一种闭合曲线，其形状类似于椭圆，但焦点并不位于椭圆的中心点上。
阿波罗尼斯圆具有许多有趣的性质，其中最重要的是其轴对称性。
阿波罗尼斯圆是以一条直线(称为主轴)为对称轴，对称性质使得阿波罗尼斯圆在几何学和工程学中得到广泛的应用。
二、阿波罗尼斯圆的轴对称性阿波罗尼斯圆具有以主轴为对称轴的轴对称性质。
即对于任意一点P(x, y)在阿波罗尼斯圆上，如果其关于主轴的对称点为P'(-x, y)，那么P'也必然在阿波罗尼斯圆上。
通过阿波罗尼斯圆的轴对称性，我们可以得到一些关于曲线的重要结论。
首先，对称性保证了阿波罗尼斯圆上的点在主轴两侧以相等的距离分布，这对于研究曲线的几何性质具有重要意义。
其次，轴对称性也使得我们可以通过知道曲线上一部分的特性来推断另一部分的特性，从而简化问题的求解过程。
三、阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆作为一种特殊的椭圆曲线，在几何学和工程学中有许多应用。
以下介绍几个典型的应用。
1.设计与建筑阿波罗尼斯圆的轴对称性使得它成为建筑与设计中常用的几何形状。
例如，一些钟表和灯具的设计中常使用阿波罗尼斯圆的形状，给人以优雅和和谐的感觉。
此外，阿波罗尼斯圆的轴对称性也被广泛用于设计拱门、穹顶等建筑元素，提升建筑物的美感和结构强度。
2.物体运动轨迹在物理学和天文学中，阿波罗尼斯圆的轴对称性也有广泛的应用。
例如，负责控制和预测天体运动的天文学家经常使用阿波罗尼斯圆来描述天体的轨道。
“阿波罗尼斯圆”的应用举例
“阿波罗尼斯圆”的应用举例【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>， 1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ）A.B.C.D.答案 C 解析 令2=MA MC ，则12MAMC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2λ。
设点C 坐标为(),C m n ， 则12MAMC ==。
整理得22222421333m n m n x y x y ++-+++=。
由题意得该圆的方程为221x y +=，∴2224020113m n m n +==+-⎧⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，解得2{ 0m n =-=。
∴点C 的坐标为（-2,0）。
∴2MA MB MC MB +=+,因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MBMC MB +=+故选C.【练习】1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．一个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析 由⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．2.到两定点的距离之比等于常数K （K ≠0）的点的轨迹是（ ）A. 椭圆B.抛物线C.圆D.直线和圆答案 D解析 当K=1时，轨迹是一条直线，即两定点连线的垂直平分线；当K ≠1时，轨迹是圆。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒，为解决众多几何问题提供了独特而有效的途径。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆指的是：平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹是一个圆。
这个定义听起来或许有些抽象，但通过具体的例子就能清晰许多。
假设平面上有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA|／｜PB| ＝ k（k 不为 1），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
当 k ＞ 1 时，点 P的轨迹是以线段 AB 的内分点为圆心的圆；当 0 ＜ k ＜ 1 时，点 P 的轨迹是以线段 AB 的外分点为圆心的圆。
那么，阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢？其一，圆心一定在线段AB 的垂直平分线上。
这是因为圆的对称性，使得圆心必然位于这条对称轴上。
其二，圆与线段AB 的两个端点的连线所成的夹角是恒定的。
接下来，让我们看看阿波罗尼斯圆在实际问题中的应用。
在几何问题中，它常常能帮助我们快速找到满足特定条件的点的位置。
例如，已知三角形的两个顶点以及这两个顶点到第三个顶点的距离之比，我们就可以利用阿波罗尼斯圆来确定第三个顶点的可能位置。
在物理学中，阿波罗尼斯圆也有其用武之地。
比如在电场问题中，当两个等量同种电荷形成的电场中，等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。
通过对阿波罗尼斯圆的理解和运用，我们能够更深入地分析电场的分布和性质。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能发挥作用。
比如在道路规划中，如果需要设计一条弯道，使得车辆在通过时从两个特定点观察到的视线角度保持一定比例，就可以借助阿波罗尼斯圆来确定弯道的形状和位置。
在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是常常成为解题的关键。
例如，在一些复杂的几何证明题中，巧妙地引入阿波罗尼斯圆的概念，能够化繁为简，找到解题的突破口。
再举一个具体的例子来说明。
假设有一个三角形 ABC，已知 A、B两点的坐标以及｜PA|／｜PB| ＝ 2，要求出点 P 的轨迹方程。
阿波罗尼斯圆在高考中的应用
练习 2：（2013 江苏卷 17）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x 4 。设圆 C 的
第 5页
半径为1，圆心在 l 上。 （Ⅰ）若圆心 C 也在直线 y x 1上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
现在问： P ， Q 这两点究竟有什么性质？由于 PA CA 2 ，
PB CB
∴ CP 为 ABC 的内角平分线；同理， CQ 为 ABC 的外角平分线.
这就是说， P ， Q 分别是线段 AB 的内分点和外分点，而 PQ 正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯
圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法：
练习 1：（2008 江苏卷 13）若 AB 2，AC 2BC ，则 SABC 的最大值为
解法一： 利用余弦定理和函数的最值问题处理
设 AC 2BC 2x ，
所以： cos C 3x 2 4
x 4 24x 2 16
，
2 2x2
2 2x2
则： S 1 ab sin C
PB x 2 ( y 2 1)2
4 2 2 2( 2 1) y
同理 NB - MA ( 2 1) ( 2 1) 2 ，②正确； NA MB
NB MA ( 2 1) ( 2 1) 2 2 ，③正确.
NA MB
这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难
整理得： y 2 x 2 6x 1 （x 3）2 8 8 ，∴ y 2 2 ，
阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用 (解析版)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．阿波罗尼斯(Apollonius 约公元前262~192)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a 2+y 2=2aλλ2-1 2，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2a λ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．性质2：因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．性质4：过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．性质6：过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图④，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE =12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．【典例刨析】1.(2022·河北盐山中学高二期中)已知两定点A -2,1 ，B 2,-1 ，如果动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.2.(2022四川涪陵月考)若ΔABC 满足条件AB =4,AC =2BC ，则ΔABC 面积的最大值为__________．3.已知圆O ：x 2+y 2=9，点B -5,0 ，在直线OB 上存在定点A (不同于点B )，满足对于圆O 上任意一点P ，都有PAPB 为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求PAPB．4.在平面直角坐标xOy 中，已知点A 1,0 ,B 4,0 ，若直线x -y +m =0上存在点P 使得PA =12PB ，则实数m 的取值范围是_______．5.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足PAPB =3，则PA 2+PB 2的最大值为( )A.16+83B.8+43C.7+43D.3+36.(2022四川·成都外国语学校高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A -1,0 ，B 2,0 ，圆C :x -2 2+y -m 2=14m >0 ，在圆上存在点P 满足PA =2PB ，则实数m 的取值范围是( )A.22,62B.54,212C.0,212D.52,212【针对训练】7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，O 1:x -4 2+y 2=4，动点P 在直线x +3y -b =0上，过P 点分别作圆O ,O 1的切线，切点分别为A ,B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8.已知A ,B 是平面上两个定点，平面上的动点C ,D 满足|CA |CB=|DA|DB =m ，若对于任意的m ≥3，不等式CD≤k AB 恒成立，则实数k 的最小值为______．9.已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t ,0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD |≤2|BD|恒成立，则最小正整数t =__________.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：(x +4)2+y 2=4，动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______.11.在平面直角坐标系xOy 中，M ,N 是两定点，点P 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，满足：PM =2PN ，则MN 的长为.12.(2022辽宁·高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.参考答案1.【答案】40π【分析】设P (x ,y )，根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P 的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设P (x ,y )，由题设得：(x +2)2+(y -1)2=2[(x -2)2+(y +1)2]，∴(x -6)2+(y +3)2=40，故P 的轨迹是半径为40的圆，∴图形的面积等于40π.故答案为：40π2.【答案】163【分析】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理得出cos B ，根据三角形任意两边之和大于第三边得出x 的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC =x ，则AC =2x ，由余弦定理可得cos B =16+x 2-(2x )22×4×x =16-3x 28x由三角形任意两边之和大于第三边得x +2x >4x +4>2x ，解得43<x <4，即169<x 2<16∴S ΔABC =12⋅4⋅x ⋅sin B =2x 1-cos 2B =2x 1-16-3x 2 264x 2=2569-916x 2-809 2当x 2=809时，ΔABC 面积取最大值163故答案为：163【点睛】本题主要考查了求三角形面积的最值，涉及余弦定理的应用，属于中档题.3.【答案】A -95,0 ，PA PB=35【分析】根据两点距离的坐标运算可得10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，进而得10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，即可求解.【详解】设P (x ,y ),A (a ,0),a ≠-5，设PA PB=λ>0故PA PB=x -a 2+y 2x +52+y2=λ，且x 2+y 2=9，化简得：10λ2+2a x +34λ2-a 2-9=0，该式对任意的x ∈-3,3 恒成立，故10λ2+2a =034λ2-a 2-9=0 ，解得a =-95λ=35或a =-5λ=1 (舍去)，故PA PB=35，A -95,0 4.【答案】-22,22【分析】根据PA =12PB 得出点P 的轨迹方程，又点P 在直线x -y +m =0上，则点P 的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设P (x ,y )则PA =(x -1)2+(y -0)2,PB =(x -4)2+(y -0)2，因为PA =12PB ，所以有(x -1)2+(y -0)2=12(x -4)2+(y -0)2，同时平方，化简得x 2+y 2=4，故点P 的轨迹为圆心在(0,0)，半径2为的圆，又点P 在直线x -y +m =0上，故圆x 2+y 2=4与直线x -y +m =0必须有公共点，所以|m |1+1≤2，解得-22≤m ≤2 2.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨迹，并能求出点的轨迹方程.5.【答案】A【分析】设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，由PA PB=3，可得点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，又PA 2+PB 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设A -1,0 ,B 1,0 ，P x ,y ，因为PA PB=3，所以x +1 2+y 2x -12+y2=3，即x -2 2+y 2=3，所以点P 的轨迹为以2,0 为圆心，半径为3的圆，因为PA 2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2+1 ，其中x 2+y 2可看作圆x -2 2+y 2=3上的点x ,y 到原点0,0 的距离的平方，所以x 2+y 2 max =2+3 2=7+43，所以2x 2+y 2+1 max =16+83，即PA 2+PB 2的最大值为16+83，故选：A .6.【答案】D【分析】设P x ,y ，根据PA =2PB 求出点P 的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设P x ,y ，因为点A -1,0 ，B 2,0 ，PA =2PB ，所以x +12+y 2=2x -2 2+y 2即x 2+y 2-6x +5=0，所以x -3 2+y 2=4，可得圆心3,0 ，半径R =2，由圆C :x -2 2+y -m 2=14可得圆心C 2,m ，半径r =12，因为在圆C 上存在点P 满足PA =2PB ，所以圆x -3 2+y 2=4与圆C :x -2 2+y -m 2=14有公共点，所以2-12≤3-2 2+m 2≤2+12，整理可得：94≤1+m 2≤254，解得：52≤m ≤212，所以实数m 的取值范围是52,212，故选：D .7.【答案】-203,4.【分析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围.【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则∵PB =2PA ，∴x -42+y 2-4=2x 2+y 2-1，∴(x -4)2+y 2=4(x 2+y 2)，∴x 2+y 2+83x -163=0，圆心坐标为-43,0 ,半径为83，∵动点P 在直线x +3y -b =0上，满足PB =2PA 的点P 有且只有两个，∴直线与圆x 2+y 2+83x -163=0相交，∴圆心到直线的距离d =-43-b 1+3<83，∴-43-163<b <-43+163，即实数b 的取值范围是-203,4 .【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.【答案】34【分析】建立坐标系，得点C ,D 的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设AB =1，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A 0,0 ,B 1,0 ，设C x ,y ,∴x 2+y 2x -1 2+y2=m ⇒x -m 2m 2-1 2+y 2=m 2m 2-1 2故动点C ,D 的轨迹为圆，由CD≤k AB 恒成立，则k ≥CD max =2m m 2-1=2m -1m≥34故答案为34【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题9.【答案】4【解析】设点D x ,y ,根据|AD |≤2|BD|列出关于D x ,y 的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点D x ,y ,因为点D 是直线AC 上的动点,故y -1x =-1t⇒x +ty -t =0.由|AD |≤2|BD |得x 2+y -1 2≤4x -1 2+y 2 ,化简得x -43 2+y +13 2≥89.依题意可知,直线AC 与圆x -43 2+y +13 2=89至多有一个公共点,所以43-43t 1+t 2≥89,解得t ≥2+3或t ≤2- 3.所以最小正整数t =4.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题.10.【答案】-283.【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到PO 1 =2PO ，求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．【详解】由题意得：O (0,0)，O 1(-4,0)，设P (x ,y )，如下图所示∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线，∴∠PBO 1=∠PAO =90°，又∵PB =2PA ，BO 1=2AO ，∴△PBO 1∽△PAO ，∴PO 1 =2PO ，∴PO 1 2=4PO 2，∴(x +4)2+y 2=4(x 2+y 2)，整理得x -43 2+y 2=649，∴点P (x ，y )的轨迹是以43,0 为圆心、半径等于83的圆，∵动点P 在直线l ：x -22y +b =0上(b <0)，满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，∴该直线l 与圆x -43 2+y 2=649相切，∴圆心43,0 到直线l 的距离d 满足d =r ，即43+b 12+(22)2=83，解得b =203或-283，又因为b <0，所以b =-283．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．11.【答案】32【分析】不妨就假设M ,N 在x 轴上，设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，由PM =2PN 可得x 2+y 2+2m -8n3x +4n 2-m 23=0，然后和方程x 2+y 2=1对比，就可以求出m ,n 【详解】由于M ,N 是两定点，不妨就假设M ,N 在x 轴上如图所示：设M (m ,0),N (n ,0),P (x ,y )，PM =2PN ，∴PM 2=4PN 2，∴(x -m )2+y 2=4(m -n )2+y 2 ，即x 2-2mx +m 2+y 2=4x 2-8nx +4n 2+4y 2，3x 2+(2m -8n )x +3y 2+4n 2-m 2=0，x 2+y 2+2m -8n 3x +4n 2-m 23=0与x 2+y 2=1表示同一个圆.∴2m -8n =0m 2-4n 23=1∴{m =2n =12或m =-2n =-12∴MN =32.故答案为：32.【点睛】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单.12.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)。
阿氏圆的性质及其应用
阿波罗尼斯圆的性质及其应用廖波定义：平面内到两定点的距离之比为常数()10≠>λλλ且的点的轨迹是圆，简称阿氏圆。
已知：点的轨迹。
求P PB AP a AB ,,2λ==解：以AB 为垂直平分线和AB 所在直线为坐标轴，建立如图所示坐标系。
令),(y x P 。
()()[]22222y a x y a x BP AP +-=++⇒=λλ 2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⇒m ma y a x λλ性质①在内。
外，在时，在外。
内，在时，A B A O B ΘO <<Θ>101λλ②APB PP BP A P PB P A ∠⇒==平分'''λ③λ==∙=⇒∆∆BPAP OB OP OA OB OP POB AOP )2(,)1(2相似与一、在解三角形中的应用例1、已知：BC AC AB 2,2==的三角形ABC ，求其面积的最大值？解：由阿氏圆的性质可得，当C 点在圆的最高点时，面积最大。
22222212max max =⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∙=r r r r r h AB S ，而22max =S 例2、在____,2,2的最大值则边中，面积c b a S ABC ==∆解：如图所示：r c c r r r r OA 232121,212=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+==r h c hc c S ==⇒=∙⨯=max h ,42h 21要最大。
最小，要使又666232232122=⇒=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=∙∙∴c c r r r 二、在两点间距离的应用例3、在坐标系中，A(4,0),B(0,3),P 为422=+y x 上一个动点，则3AP+2BP 的最小值为_____解：方案①将B 点转移到圆内D 处，DP BP r OD BP DP OD OB OD r 23342=⇒=⇒=⇒∙=()104332323min ==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴AD DP AP DP AP 方案②将A 点转移到圆内C 处,使AP=2PC,将圆外线段变到圆内，系数变大，不能达到PC 与PB 系数一致的目的，所以，点在圆外变到圆内，系数变大，反之，系数变小.例4、已知：______y 6-13253,422的最小值为则+-==+x d y x 解：如图所示()()PB y x y PC y x x =-+=-=+-=22223613,3132-53接下来和例3如法炮制,化系数相同法则得：()102)34(4232322=+≥+=∴P A PD d 例5、已知l .05:l 2221，在直线若对圆上任意一点与直线：P y x r y x =-+=+ΘO 上均存在两点E 、F ，使_____,8,2的取值范围则且r EF PF PE ==解：因为定线段EF 是直线上的动线段，所以1ΘO 是半径一定的动圆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“阿波罗尼斯圆”的应用举例
【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为
λ（0λ>， 1λ≠）
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11答案 C
解析 令2=MA MC ，则12
MA
MC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2
λ。
设点C 坐标为(),C m n ， 则()()2
2221212
x y MA
MC x m y n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-+-。
整理得2222
2421333m n m n x y x y ++-+++=。
由题意得该圆的方程为221x y +=， ∴2224020113m n m n +==+-⎧⎪⎪⎪⎨
=⎪⎪⎪⎩
，解得2{ 0m n =-=。
∴点C 的坐标为（-2,0）。
∴2MA MB MC MB +=+,
因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C.
【练习】
1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )
A ．双曲线
B ．一个圆
C ．两个圆
D ．两条抛物线
答案 C
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，
得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．
2.到两定点的距离之比等于常数K （K ≠0）的点的轨迹是（ ）
A. 椭圆
B.抛物线
C.圆
D.直线和圆
答案 D
解析 当K=1时，轨迹是一条直线，即两定点连线的垂直平分线；当K ≠1时，轨迹是圆。
3.在ABC V 中，||4AB = ，且||3|CA CB = ，则ABC V 面积的最大值是 A.3 B.3 C.3 D.83
答案 B
4.已知平面直角坐标系中有两定点12(0,2),(0,2)F F - ，平面中有一动点M ，该点使得12MF F V
满足条件1221sin sin MF F MF F ∠=∠ ，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是
答案 (243,243)-+。