“abc猜想”讲义(14)
“abc猜想”讲义(十三)
“abc猜想”讲义（十三）第十三讲证明“abc猜想”主讲王若仲在第九讲中，（iv）对于等式m+g＝n，m和g以及n均不为恒定的值。
我们现在就分析第（iv）的情形。
（iv）对于m+g＝n，当m，g，n均不为恒定的值时，由第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，随着m和g以及n的变化，rad（m）和rad（g）以及rad（n）必为下列情形之一：①rad（m）和rad（g）均为恒定的值，rad（n）不可能为恒定的值。
②rad（n）和rad（g）均为恒定的值，rad（m）不可能为恒定的值。
③rad（n）和rad（m）均为恒定的值，rad（g）不可能为恒定的值。
④rad（n）为恒定的值，rad（m）和rad（g）均不为恒定的值。
⑤rad（m）为恒定的值，rad（n）和rad（g）均不为恒定的值。
⑥rad（g）为恒定的值，rad（m）和rad（n）均不为恒定的值。
⑦rad（n）和rad（m）以rad（g）均不为恒定的值。
我们注意观察，从第（iv）中的①，②，③，④，⑤，⑥，⑦等情形来看，我们不难发现：①和⑤以及⑥和⑦的情形中，rad（n）均不为恒定的值。
那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形就与（ii）中（三）的情形同理可得出同样的结论。
②和③的情形可互换，即②和③为同类型的情形。
⑤和⑥的情形可互换，即⑤和⑥为同类型的情形。
我们下面逐步分析研究：（一）对于①，rad（m）和rad（g）均为恒定的值，由第七讲中的不定方lim 程定理4.1和推论4.1可知，rad（n）不可能为恒定的值。
因n÷n=1，那么+∞→n lim（n）=1。
（n）÷n→+∞又因n=[rad（n）]·H；当正整数n不断增大时，那么根数rad（n）总趋势也是随着正整数n的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n趋向于正无穷大时，根数rad（n）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n）]·H}=1恒成立。
第14讲 简单的轴对称图形与利用轴对称进行设计八年级数学下册同步精品讲义
第14讲简单的轴对称图形与利用轴对称进行设计目标导航知识精讲知识点01 角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE【知识拓展】（2021秋•昌吉市校级期末）如图，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB＝3cm，BD＝2cm，则DE＝cm．【即学即练1】（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝°．（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知，则BC的长为．（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．【即学即练2】（2022春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD ＝3，则AC的长为（）A．3B．C．4D．知识点02线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【知识拓展1】（2021秋•曲阳县期末）如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝，AC＝．【即学即练1】（2022•珠海二模）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC 的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（）A．10B．15C．20D．25【即学即练2】（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（）A．B．C．1D．2【知识拓展2】（2021秋•汉阴县校级期末）；如图，已知△ACD的周长是14，AB﹣AC＝2，BC的垂直平分线交AB于点D，BC交AB于点D，交BC于点E，求AB和AC的长．【即学即练1】（2021秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数．知识点03 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．【知识拓展1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝15cm，AC＝10cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【即学即练1】（2021秋•鼓楼区校级期末）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，OA＝OB，射线OC交边AB于点D，则∠ADC＝°．【知识拓展2】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠DCA的度数；（2）若∠DCA＝x°，求∠EBC的度数（用含x的代数式表示）．【即学即练1】（2021秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E．（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．知识点04等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．【知识拓展1】（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（）A．8B．9C．12D．15【即学即练1】（2022春•泰州月考）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m+2n的取值范围是．【知识拓展2】（2021秋•连江县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由；（2）求证：S△AOB＝2S△OBE．【即学即练1】（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．知识点05 作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．【知识拓展1】（2021秋•昌吉市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；（3）求△ABC的面积．【即学即练1】（2021•安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于BD的对称点P；②作射线PC交BD于点Q；③连接AQ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（）A．∠PCB＝∠AQB B．∠PCB＜∠AQBC．∠PCB＞∠AQB D．以上三种情况都有可能【即学即练2】（2021秋•广饶县期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'，并在所画图中标明字母；（2）△ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P，连接PB、PC，当PB+PC最小时，这个最小值是．知识点06 利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．【知识拓展1】（2021秋•吐鲁番市期末）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．【即学即练1】（2022春•海淀区校级月考）北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（）A．国家体育场B．国家游泳中心C．天安门D．国家大剧院【即学即练2】（2021秋•兴化市期末）如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有种．【即学即练3】（2021秋•黄石港区期末）如图a，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形，直线MN为格点直线（点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上）．（1）仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（2）如图b，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．（3）如图c，仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高，简单说明你的理由．能力拓展一．选择题（共6小题）1．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（）A．110°B．70°C．55°D．70°或55°2．（2020•郎溪县校级自主招生）如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．S1+S3＝S2+S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S4＝S2+S3D．S1＝S33．（2018•市南区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D，DE⊥AB于E，连接CD．若CD＝2，DE ＝，则∠ACD＝（）A．150°B．135°C．120°D．110°4．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．70°5．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1，h2，h3且满足h2+h3﹣h1＝18，那么等边△ABC的面积为（）A．B．C．D．6．（2019•柯桥区自主招生）平面上任意一点到边长为的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（）A．3B．6C．4D．8二．填空题（共7小题）7．（2019•和平区校级自主招生）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是．8．（2020•浙江自主招生）设锐角△ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为．9．（2020•武昌区校级自主招生）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是．（结果用m，n表示）10．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，若CF＝10，则DE＝．11．（2019•顺庆区校级自主招生）已知△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线与直线AC相交形成的锐角是50°，则∠BAC＝．12．已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点；（2）分别延长DM，EP，FN至，使＝，＝，＝；（3）顺次连接，，，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．13．（2008•合肥开学）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•寻乌县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3）C（﹣1，﹣1）（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1；B1，；C1；（2）△ABC的面积为；（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．15．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB 的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．16．（2021秋•木兰县期末）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为（﹣5，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的A1B1C1；（2）通过画图在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB并直接写出点Q的坐标．Q 的坐标为．17．（2021秋•开封期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•普兰店区期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（）A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF2．（2021秋•细河区期末）如图，已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（在B，C不与点O重合）连接AB，连AC交射线OE于点D，且AB∥ON，当△OCD是等腰三角形时，则∠OAC＝（）A．60°或40°或120°B．80°或40°C．60°或120°D．70°或120°3．（2022•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为（）A．3B．3C．2D．44．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝，则AB的长为（）A．B．2C．4D．65．（2021秋•雁江区期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（）A．5B．7C．8D．7或86．（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（）A．1B．C．2D．3二．解答题（共6小题）7．（2021秋•定陶区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠C＝35°，求∠BAE的度数．8．（2021秋•濮阳期末）如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC，∠BAC＝28°，求∠D的度数．9．（2021秋•岑溪市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB 于点E，∠C＝75°．（1）求∠A的度数；（2）求∠CBD的度数．10．（2021秋•嘉鱼县期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，且AC＝BC，求∠C的度数．11．（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（2，﹣1），C（4，4）．（1）请在所给的坐标系中画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点）．12．（2021秋•利通区校级期末）如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标．试求出△ABC的面积．题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•望城区期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（）A．62°B．58°C．52°D．46°2．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（）种涂法．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）4．（2021秋•鹿邑县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，CD⊥AD，CB⊥AB，AC的延长线与∠ADC、∠ABC相邻的两个角的平分线交于点E，若CD＝CB，则∠CED的度数为．5．（2021秋•钢城区期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F A⊥AC，垂足为A，AF ＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为．6．（2022•鼓楼区校级开学）如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是．7．（2021秋•道县期末）如图，已知∠MON＝30°，A、B、C、D在射线ON上，点E、F、G在射线OM 上，△ABE、△BCF、△CDG均为等边三角形，若OA＝1，则△CDG的周长为．8．（2021春•城阳区期末）（1）已知：线段a，∠α，∠β．求作：△ABC，使AB＝a，∠A＝α，∠B＝β．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）结论：．（2）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．结论：．9．（2021春•大洼区月考）在4×4的方格中，有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中的小正方形A 到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．这样的移法共有种．三．解答题（共4小题）10．（2021秋•道县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．（1）∠BPC的度数是．（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．（3）证明：AB＝PC．11．（2021秋•安庆期末）教材呈现，如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，△ABC的周长是10，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD ＝3，求△ABC的面积．12．（2021秋•宜州区期末）如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC 于点F，AB∥DE．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．13．（2022•黄陂区模拟）在8×6的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：（1）在线段AC上取点E，使DE＝CD；（2）画格点F，使EF∥AB；（3）画点E关于AB的对称点G；（4）在射线AG上画点P，使∠PDE与∠GAE互补．题组C 培优拔尖练一．解答题（共12小题）1．（2021秋•仓山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．2．（2021秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．3．（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝．（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝．（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．4．（2021秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，点E，F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，∠EAF＝90°，BC＝12，EF＝5．（1）求∠BAC的度数；（2）求S△EAF．5．（2021秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．（1）作出边AC的垂直平分线DE；（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．6．（2021秋•黄石期末）如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在边长为1的正方形在顶点上．（1）求△AOB的面积；（2）若点B关于y轴的对称点为C，点A关于x轴的对称点为D，求四边形ABCD的面积．7．（2021秋•尚志市期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹）8．（2021秋•垦利区期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）分别写出点A′、B′、C′的坐标．9．（2020秋•澄海区期末）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．10．（2021秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB 于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE＝DF；（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝BC．（3）如图（3），若BE＝AE，则CF＝BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝BC．11．（2020秋•大足区期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE 的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE 的度数（直接写出结果）．12．（2021秋•常州期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．请同学们利用网格线进行画图：（1）在图1中，画一个顶点为格点、面积为5的正方形；（2）在图2中，已知线段AB、CD，画线段EF，使它与AB、CD组成轴对称图形；（要求画出所有符合题意的线段）（3）在图3中，找一格点D，满足：①到CB、CA的距离相等；②到点A、C的距离相等．。
“abc猜想”讲义(17)
相同的正实数（z11，z12，z13，…，z1e，y11）和（z21，z22，z23，…，z2e，y12）， 即至少有一个 z1i≠z2i（i＝１，２，３，…，e）或者 y11≠y12，那么必然存在两
2
个正实数
x11
和
x12（x11≠x12），使得（
g z11 11
·
g z12 12
·
g z13 13
函数ψ（zi，y）=
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
-
d
y
，由第六讲中的定义
3.2
可
知，定义域中任一一组 zi 和 y 的确定值有唯一函数ψ（zi，y）的值与之对应，
同时任一函数ψ（zi，y）的值有唯一
rad（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
）÷m}存在正实数极限。令
x+
d
y
=
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
，x
和
y
以及
zi
均为不小于
1
的正实数。设
函数
f （ zi ， y ） = （
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
）÷
g ve 1e
） ÷m ， 不 管
m
和
1
“abc猜想”讲义(十二)
“abc 猜想”讲义（十二）第十二讲证明“abc 猜想”主讲王若仲在第九讲中，对于②如果rad（g ）为恒定的值，则rad（n ）不可能为恒定的值。
对于③，rad（g ）和rad（n ）均不为恒定的值。
这一讲中我们就具体分析这两种情形：（二）对于②，rad（g ）为恒定的值，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，则rad（n ）不可能为恒定的值。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
（1）因为R+h d =n ，d 为大于1的恒定正整数，h 为不小于1的整数；由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad（n ），因为n=h d +R ，设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(R d rad R d h h++的情形。
由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由前面第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。
即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。
“abc猜想”讲义(十四)
“abc 猜想”讲义（十四）第十四讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下：（1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数；（2）b=g=h d ，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
p 均为大于1的恒定的正整数；（4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。
这一讲我们就只分析第（1）和第（2）的情形：（二）对于②，rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，由第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，那么rad（m ）不可能为恒定的值。
“abc猜想”讲义(21)
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
-g）}=（
g11
·
g12
·
g13
·…·
g1e
）÷（ g11 · g12 · g13 ·…· g1e -1）。
则函数 f（zi，y）在 ziϵ[1+ε，+∞-ε]，yϵ[1+ε，+∞-ε]的闭区域中有界。
即存在恒定的正实数 E（1＜E＜+∞），使得 1＜f（zi，y）≤E 或者 1＜f（zi，y）
＜E
恒成立。那么对于（
g v1 11
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
） ÷m ， 不 管
m
和
g v1 11
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
以及
g
如何变化，1＜
（
g v1 11
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
） ÷m ≤ E
或者
1＜
（
g v1 11
·…·
g ze 1e
）]=1÷[1-y÷（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
）]
=1 。 因 为
1＜（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
） ÷x ＜ 2 ，
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
“Abc猜想”简捷证明(完整版)
我们假定 b 为奇素数，也就是 2v·pk-qh 为奇素数，又假定对于任何ε＞0, 存在常数 kε＞0，有 kεrad[qh·（2v·pk-qh）·2v·pk]1+ε＞2v·pk 成立。即就是 k ε·[q·（2v·pk-qh）·2·p]1+ε＞2v·pk 成立。
由此可知，在满足（2v·pk-qh）＞0 的前提下，不管（2v·pk·n-qh）为奇素
数还是奇合数，我们都把它看作奇素数来分析探讨，说明按照这样拓展开来的情 形下，对于等式 a+bi＝cj，a 和 bi 以及 cj 均为正整数，且 a 和 bi 互质，cj=2v·pk·n， a=qh，bi=（2v·pk·n-qh）。确实存在常数 kε＞0，对于任何ε＞0,有不等式 kε rad[qh·（2v·pk·n-qh）·2v·pk·n]1+ε＞2v·pk·n 成立。
在常数 kε＞0，并对于任何三个满足 a+b＝c 以及 a 和 b 互质的正整数 a，b，c。 有：c＜kεrad(abc)1+ε,rad(abc)表示(abc)中质因数的积。[1]如：rad(36)=rad(2 ×2×3×3)=2×3=6。
“abc 猜想”证明
定理 1:任何三个满足 a+b＝c 以及 a 和 b 互质的正整数 a，b，c。对于任何 ε＞0,存在常数 kε＞0，有：c＜kεrad(abc)1+ε。
1
以 d1·rad（n）＞g1=n。所以不等式 kε·[q·（2v·pk·n-qh）·2·p·rad（n）]1+ ε＞2v·pk·n 仍成立。即不等式 kεrad[qh·（2v·pk·n-qh）·2v·pk·n]1+ε＞2v·pk·n 成立。
(晨鸟)初一数学秋季讲义第14讲图形中的观察、归纳与猜想
1壮壮饿了…满分晋级阶梯漫画释义14图形中的观察、归纳与猜想图形的认识9级平行线构造与等积变换图形的认识8级图形中的观察、归纳与猜想图形的认识7级平行线的性质及判定寒假班第三讲秋季班第十四讲秋季班第十三讲2从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，变化成复杂、有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形变化的问题是近年中考、竞赛的一个热点问题．【引例】用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……①搭7个三角形需要根火柴．②搭n 个三角形需要根火柴．【解析】法一：通过数量关系找规律，如图，第1、2、3、4……个图形中火柴的个数依次是3、5、7、9……所以第7个三角形需要15根火柴，第n 个三角形需要21n 根火柴；法二：第一个图形中有3根火柴，第2个图形中有321个根火柴，第3个图形中有322根火柴，第4个图形中有323根火柴，………第n 个图形中有32(1)21n n 根火柴．【点评】解决图形规律问题思路众多，此处不一一列举.知识互联网思路导航例题精讲题型一：探究图形规律3【例1】⑴按下图方式摆放餐桌和椅子：如果按照图的方式继续排列餐桌，请完成下表：桌子张数 1 2 3 10n可坐人数61014⑵观察下列图案：第1个图案第2个图案第3个图案它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有个三角形，第n （1n ≥，且n 为整数）个图案中三角形的个数为（用含有n 的式子表示）．（昌平区一模）⑶图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1①图2有个三角形；图3有个三角形；②按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？⑷已知：如图, 互相全等的平行四边形按一定的规律排列.其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，第④个图形中一共有个平行四边形,……，第n 个图形中一共有平行四边形的个数为个.【解析】⑴42，42n；⑵22，42n；⑶①5，9．②43n ．典题精练4⑷19，21nn 【备选】如图是由大小相同的小立方体木块叠加而成的几何体，图1中有1个立方体，图2中有4个立方体，图3中有9个立方体，……，按这样的规律叠放下去，第8个图中小立方体个数是．【解析】2864．【例2】⑴观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是一样的），请写出第n 个图中最小的三角形的个数有个．⑵如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：第一层：侧面个数上面个数1415；第二层：侧面个数上面个数24311；第三层：侧面个数上面个数34517；第四层：侧面个数上面个数44723；…………根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题：①求第6层有多少个面被涂成了红色？②求第n 层有多少个面被涂成了红色？（用含n 的式子表示）③若第m 层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．【解析】⑴14n ；⑵①第6层：侧面个数上面个数6411241135，故第6层有35个面被涂成了红色．②第n 层：被涂成了红色的面的个数为：4(21)(61)nn n ．③依题意可得：6189m ，∴690m ∴15m ，故这是第15层．【例3】如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：图1图2 图3第一层第二层第三层第1个图第2个图第3个图第4个图5⑴填表：⑵如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？⑶如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？⑷观察图形，你还能得出什么规律？【解析】⑴如表．剪的次数12345正方形个数47101316⑵如果剪了100次，共剪出11003301个小正方形；⑶如果剪n 次，共剪出13n 个小正方形；⑷观察图形，还能得出的规律是：剪n 次，最小正方形的边长为原来的12n．【例4】⑴假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：……那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？答：．⑵在数学活动课上，小红同学准备用两种不同颜色的布拼接一个正方形杯垫，杯垫的图案设计如图所示，最后应选择下图中的哪一个才能使其与上图拼接后符合图案的设计模式？（）．DC BA⑶在数学活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是，跳动第2012次到达的顶点是．⑷如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（32n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3121步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3224步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为．【解析】⑴黑的；⑵A ；⑶B ；C ；⑷10；6．剪的次数12345正方形个数47A DCB1112109876543216有效的数学学习不是单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索是学习数学的重要方法．解实验操作题的关键是：在实验与操作获得直观形象经验的基础上，能发现规律，将其转化为一个数学问题．图形的翻折与剪拼是实验与操作题中经常遇到的问题，学生应熟练掌握.【例5】选择填空．⑴如图，等边ABC △的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE △沿直线DE 折叠，点A 落在点A 处，且点A 在ABC △外部，则阴影部分图形的周长为cm ．⑵甲乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45的角（如图），两人做法如下：甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则145；乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则45MAN对于两人的做法，下列判断正确的是（）．NM1PABCDACD(B)DCBAA ．甲乙都对B ．甲对乙错C ．甲错乙对D ．甲乙都错⑶把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1S 2（填“＞”、“＜”或“=”）．【解析】⑴3；⑵A ；⑶S 1 = S 2．【例6】⑴如图所示，把一个正方形纸片三次对折后沿虚线剪下，则展平后所得的图形是（）．思路导航典题精练题型二：实验与操作图1ACBCBA 图2AB C DEA ′7C ′B ′EDCBA沿虚线剪开右下方折右折上折A ．B ．C ．D ．（西城区期末）⑵如下图①，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）①②③A ．B ．C ．D ．⑶将一正方形纸片按图中①、②的方式依次对折后，再沿③中的虚线裁剪，最后将④中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）④①②③①②③④A ．B ．C ．D ．（人大附中期末）【解析】⑴ C ；⑵ C ；⑶ B ．【点评】既可以亲自剪裁，又可以按照折纸的先后顺序逐步倒推.8【例7】⑴如图，将一长方形纸片按图折叠，AE 、DE 为折痕，20C EB °，则AED 度数为．⑵当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：①以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；②将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF交AD 于F ．则AFE =.【解析】⑴80°；⑵67.5°．训练1. 对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是，自然数n 2的分裂数中最大的数是.（通州区一模）【解析】13，2n －1．训练2. 如下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了块石子．【解析】24nn ．训练3. 如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点把平角AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（）．BAOABABOOABCD131 3 5思维拓展训练（选讲）91+8=?1+8+16=?⑶1+8+16+24=?……(1)(2)(3)A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【解析】D.【点评】既可以亲自剪裁，又可以按照折纸的先后顺序逐步倒推．训练4. 图⑴是一个水平摆放的小正方体木块，图⑵、⑶是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是．【解析】91．题型一探索图形规律巩固练习【练习1】用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第3个图形中有黑色瓷砖块，第n 个图形中需要黑色瓷砖块（用含有n 的整式表示）．图3图2图1【解析】10，31n ．【练习2】观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n …+（n 是正整数）的结果为（）A ．2(21)nB ．2(21)n C ．2(2)nD ．2n复习巩固10【解析】A ．【练习3】图1是棱长为a 的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层，第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：①按照要求填表：n 1234…s136…②写出当10n时，s．【解析】①123410；②123.题型二实验与操作巩固练习【练习4】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【解析】D ．【练习5】如图，一个42的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个53的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是．?□□□□□□□□或□□□□或【解析】4或7或9或12或15．图1 图2 图3AB C D第十三种品格：公平一根手指成就一座大桥1883年，富有创造精神的工程师约翰·罗布林雄心勃勃地意欲建造一座横跨曼哈顿和布鲁克林的大桥。
“abc猜想”讲义(十五)
“abc 猜想”讲义（十五）第十五讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们分成四种情形,第十四讲我们讲解了（1）和（2）的情形，这一讲我们讲解（3）和（4）的情形。
（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，因为m+111h q ·212h q ·313hq ·…·s h s q 1=v p ，m=[rad（m ）]t ·H；其中t 为正整数，rad（m ）＞rad（H）。
当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，幂差极值n-max (g )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数m 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数g 不断减小时，那么正整数m 也是不断增大。
那么根数rad（m ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（m ）也趋向于正无穷大。
这种情形下，因为v p ÷（v p -111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）=1÷[1-（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p ]，设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实数。
函数f（x ）=x 1的情形包含了（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p 的情形。
函数f（x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f（x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f （x ）在xϵ[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。
第14课时 三角形全等的判定(4)--HL
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证明：如答图F12-14-1,连接BE. ∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90°． 在Rt△ABE和Rt△DBE中,
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5. 如图F12-14-4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC 上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F ．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位 置关系，并说明你猜想的正确性．
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解：猜想：BF⊥AE． 理由：∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACE=90°． 又BC=AC，BD=AE， ∴△BDC≌△AEC（HL）． ∴∠CBD=∠CAE． 又∵∠CAE+∠E=90°． ∴∠EBF+∠E=90°． ∴∠BFE=90°，即BF⊥AE．
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2. 如图F12-14-1,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是点E,F，且BE=CF．求证：∠B=∠C．
证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形. 在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）. ∴∠B=∠C.
第十二章 全等三角形
第14课时 三角形全等的判定(4)--HL
目录
01 分层作业本
分知识层思作维业导本图 A组
1. 下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；② 一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等 的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5 cm，一条 直角边都为3 cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的 有_______2_____个．
“abc猜想”讲义(十七)
“abc 猜想”讲义（十七）第十七讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中⑤的情形，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；对于第（iv ）中⑥的情形，rad（g ）为恒定的值，rad（n ）和rad （m ）均不为恒定的值；对于第（iv ）中⑦的情形，rad（m ）和rad（g ）以及rad（n ）均不为恒定的值。
这一讲我们主要讲解⑤的情形。
⑥的情形和⑦的情形同理可得。
（五）对于⑤，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，n-max (m )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数g 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数m 不断减小时，那么正整数g 也是不断增大。
那么根数rad（g ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad （g ）和根数rad （n ）也趋向于正无穷大。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
令m=k q 或m=111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1，其中11p ，12p ，13p ，…，r p 1均为素数，q 为大于1的正整数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r 。
“abc猜想”讲义(22)
“abc 猜想”讲义（22）第二十二讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中⑤的情形，这一讲我们讲解⑤的情形。
（五）对于⑤，rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值；当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，n-max (m )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数g 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数m 不断减小时，那么正整数g 也是不断增大。
那么根数rad（g ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad （g ）和根数rad （n ）也趋向于正无穷大。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
对于n 和rad（n ），设函数ψ（x）=z，x 和z 均为不小于1的实数。
这种情形下，由第六讲中的定义3.2可知，任一函数ψ（x）的值有唯一的rad（x）与之对应。
那么这种情形下，我们总可以令rad（x）=az′+r（r＜a），其中a 和r 均为恒定的正实数。
因为对于任一正实数x 1，总有一个正实数z 1，使得rad （x 1）=az 1′+r 成立。
那么对于任意两个不小于1的正实数x 11和x 12（x 11≠x 12），必然存在两个正实数z 11和z 12（z 11≠z 12），使得[rad（x 11）-r]÷z 11=[rad（x 12）-r]÷z 12。
“abc猜想”讲义(24)
那么 lim [kε·（x·y）÷z2]=0；说明 kε·x·y＞z2 不可能恒成立。所以假 zxy
定不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有正整数解不能成立。 ③r＞n，r＞m，n=m，不妨设不定方程 xk3 + yh3 = zt3 有正整数解，那么总可以
设 t3=3s3+v3，v3=0 或 1 或 2。因为 k3＞2，h3＞2，t3＞2，t3＞k3，t3＞h3，k3=h3； 由第二十三讲中的引理 6.1 和引理 6.2 可知，x＜ zs3 ,y＜ zs3 。然而在假定的情
2
形下，不定方程 xk3 + yh3 = zt3 必定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两
两 互 质 。 根 据 第 七 讲 中 的 定 理 4.1 和 推 论 4.1 以 及 abc 定 理 可 知 ， 则 有 kεrad( xk3 · yh3 · zt3 )1+ε＞ zt3 。然而 kεrad( xk3 · yh3 · zt3 )≤kε·x· y·z＜
以设 t2=3s2+v2，v2=0 或 1 或 2。因为 k2＞2，h2＞2，t2＞2，t2≥k2，t2≥h2，k2≠h2； 由第二十三讲中的引理 6.1 和引理 6.2 可知，x＜ zs2 ,y＜ zs2 。然而在假定的情 形下，不定方程 xk2 + yh2 = zt2 必定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两 两 互 质 。 根 据 第 七 讲 中 的 定 理 4.1 和 推 论 4.1 以 及 abc 定 理 可 知 ， 则 有 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 )1+ε ＞ zt2 。 然 而 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 ) ≤ kε·x·y·z ＜ kε· z2s2 1 ；由 abc 定理可知，那么则有 kε· z2s2 1 ＞ z3s2 v2 ，即 kε＞ zs2 v2-1 。因为 kε为常数，当 s2＞1 或 v2＞1 时，不定方程 xk2+yh2=zt2 的正整数解有无穷多组，显 然 zs2 v2-1 的值无确定性，这样就与 kε＞ zs2 v2-1 产生矛盾。当 s2=1 和 v2≥1 时，不 定方程 xk2 + yh2 = zt2 的正整数解有无穷多组，显然 zs2v2-1 的值无确定性，这样就与 kε＞ zs2v2-1 产生矛盾。 当 s2=1，v2=0 时，不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有无穷多组正整 数解，并且任一组正整数解均两两互质。这种情形下，z＞x，z＞y，设 z=x2·x+u3(x ＞u3)，z=y2·y+u4(y＞u4)，然而 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 )≤kε·x·y·z；由 abc 定 理 可 知 ， kε·x·y·z ＞ z3 。 对 kε·x·y÷z2 求 极 限 ， 因 [kε· （ x·y ） ÷z2]={kε·（x·y）÷[（x2·x+u3）（y2·y+u4）]}，那么[kε·（x·y）÷z2] ≤{kε·（x·y）÷[（x2·x）·（y2·y）]}=kε÷（x2·y2）。而 lim [kε÷（x2·y2）]=0，
abc猜想
abc猜想
数论中的abc猜想（亦以Oesterlé猜想而闻名）最先由乔瑟夫及大卫在19XX年提出，一直未能被证明。
数学家用三个相关的正整数a，b和c（满足a+b=c）声明此猜想（也因此得名abc猜想）。
若d是abc不同素因数的乘积，这个猜想本质上是要说d通常不会比c 小太多。
换句话来说，如果a，b的因数中有某些素数的高幂次，那c通常就不会被素数的高幂次整除。
在20XX年X月，日X的京X大学数学家望XXX发布了其四篇预印文稿，介绍了他的全面一般化泰勒米希理论，并声称用此理论可证明包括abc猜想在内的几个著名猜想。
他的论文在数学期刊上刊登以供参考查阅，很多人也开始学习他的理论。
很多数学家对他的文章持怀疑态度。
要解决这个猜想或许还是要走上孤独的漫漫长路。
“abc猜想”讲义(16)
“abc 猜想”讲义（16）第十六讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下：（1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数；（2）b=g=h d ，c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
p 均为大于1的恒定的正整数；（4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。
本讲就只分析第（1）的情形。
（二）对于②，rad（n ）和rad （g ）均为恒定的值。
令b=g=h d 或b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p 或c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
“Abc猜想”简捷证明(完整版)
“abc 猜想”简捷证明王若仲（王洪）贵州省务川自治县实验学校贵州564300摘要：“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（DavidMasser)和法国数学家乔瑟夫·奥斯达利（JosephOesterl é）于1985年彼此独立提出。
它说明对于任何ε＞0,存在常数k ε＞0，并对于任何三个满足a+b＝c 以及a 和b 互质的正整数a，b，c。
有：c＜k εrad(abc)1+ε,rad(abc)表示(a·b·c)中无重复质因数的积。
首先我们来解读“abc 猜想”:对于任何三个满足a+b＝c 的正整数a，b，c；说明正整数a，b，c 是均在有穷范围内的任何三个正整数。
原因是如果a 和c 均为无穷大或者b 和c 均为无穷大或者a 和c 以及b 均为无穷大，这样的话，那么“abc 猜想”无实在意义。
根据解读的情形，那么“abc 猜想”就有一种更为简捷的证明方法，这种证明方法很直观，让人易懂明了。
这种证明方法也就是转换为证明有穷范围内的任何两个正整数a 和c，而正整数b 则由等式a+b＝c 确定，对于任何ε＞0,存在常数k ε＞0，有：c＜k εrad[a(c-a)c]1+ε,rad[a(c-a)c]表示[a·(c-a)·c]中无重复质因数的积。
关键词：abc 猜想；奇数；奇质数；质因数中图分类号：0156引言“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（David Masser）及法国数学家乔瑟夫·奥斯达利（Joseph Oesterlé）在1985年提出，一直未能被证明。
其名字来自把猜想中涉及的三个数字称为a，b，c 的做法。
它说明对于任何ε＞0,存在常数k ε＞0，并对于任何三个满足a+b＝c 以及a 和b 互质的正整数a，b，c。
有：c＜k εrad(abc)1+ε,rad(abc)表示(abc)中无重复质因数的积。
模型14 截长补短模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲考点一：截长型【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.变式训练【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．【变式1-3】．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．考点二：补短型【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求证：BD+DC＝AB．变式训练【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：BC＝AB+DC．【变式2-2】．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ∠，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．实战演练1．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．302．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．求证：AD+CD＝AB．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）BQ＝CQ；（2）BQ+AQ＝AB+BP．6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：（1）点E是AD的中点；（2）BC＝AB+CD．8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE 交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．（1）求点C坐标；（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；（3）求∠BEO度数；（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B 在y轴上（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．。
“abc猜想”讲义(3)
“abc猜想”讲义第三讲“abc猜想”证明（1）主讲王若仲有了前面有界函数一些性质的储备，现在探讨求证“abc猜想”。
abc定理:任何三个满足a+b＝c以及a和b互质的正整数a，b，c。
对于任何ε＞0,存在常数kε＞0，有：kεrad(abc)1+ε＞c。
其中rad(abc)表示(a·b·c) 中无重复质因数的积。
证明：对于“abc猜想”中的正整数a，b，c。
从表象看似乎没有什么规律可循，只要仔细研究不等式，可以设置任意两个素数p和q，设b＝p k·n-q h·m，且（p k·n-q h·m）和p k·n以及q h·m两两互质，p k·n＞q h·m,p k＞q h,k为正整数,h为非负正整数。
再按照n≥m和n≤m这两种情形进行分析讨论：下面就根据这两种类型，从一般化的角度逐一分析讨论：首先分析讨论第一种情形：设置任意两个素数p和q（p≠q），设b＝p k·n-q h·m，且p k·n和q h·m互质，p k＞q h，p k·n＞q h·m(n≥m)。
设c=p k·n，a=q h·m(n≥m)，p和q为任意两个素数（p≠q），且p k＞q h，p k·n ＞q h·m，p k·n和q h·m互质，则b=p k·n-q h·m。
假定p和q均为设定的两个素数,k为设定的正整数,h为设定的非负正整数时。
因为c＞a＞0，c＞b＞0，那么在这种情形下，则有p k-q h≤（p k·n-q h·m）÷n＜p k；说明对于任意两个正整数n和m(n≥m)，[（p k·n-q h·m）÷n]不大于某一定值H,[（p k·n-q h·m）÷n]不小于某一定值H′。
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“abc 猜想”讲义（14）
第十四讲
证明“abc 猜想”
主讲王若仲
第九讲中，（iv ）对于等式m +g ＝n ，m 和g 以及n 均不为恒定的值。
我们现在就分析第（iv ）的情形。
（iv ）对于m +g ＝n ，当m ，g ，n 均不为恒定的值时，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，随着m 和g 以及n 的变化，rad（m ）和rad （g ）以及rad（n ）必为下列情形之一：
①rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（n ）不可能为恒定的值。
②rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（m ）不可能为恒定的值。
③rad（n ）和rad（m ）均为恒定的值，rad（g ）不可能为恒定的值。
④rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。
⑤rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值。
⑥rad（g ）为恒定的值，rad（m ）和rad（n ）均不为恒定的值。
⑦rad（n ）和rad（m ）以rad（g ）均不为恒定的值。
我们注意观察第（iv ）中①，②，③，④，⑤，⑥，⑦的情形，可得出这样的结论；①和⑤以及⑥和⑦中，rad（n ）均不为恒定的值，那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形与第（ii ）中（三）的情形同理可得出同样的结论。
②和③的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
⑤和⑥的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
（一）对于第（iv ）中①的情形，rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，rad （n ）不可能为恒定的值。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞
→n lim （n ）=1。
又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
下面我们从四种情形进行分析：
（1）令k q +h d =n ，q 和d 均为大于1的恒定正整数且互质，k q ＞h d ，k 和h
均为不小于1的整数。
（2）令111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1+111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1=n ，其中
111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1＞111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，11p ，12p ，13p ，
…，r p 1，11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r ；w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
1k ，2k ，3k ，…，r k ，1h ，2h ，3h ，…，s h 均为不小于1的整数。
（3）令111k p ·212
k p ·313k p ·…·r k r p 1+h d =n ，其中h d ＞111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1；d，11p ，12p ，13p ，…，r p 1均为恒定的素数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r ；h，1k ，2k ，3k ，…，r k 均为不小于1的整数。
（4）令k q +111h q ·212
h q ·313h q ·…·s h s q 1=n ，其中k q ＞111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1；
q，11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
k，1h ，2h ，3h ，…，s h 均为不小于1的整数。
本讲只分析第（1）的情形。
（1）令k q +h d =n ，q 和d 均为大于1的恒定正整数且互质，k q ＞h d ，k 和h 均为不小于1的整数。
由第六讲中引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad（n ），因为n=k q +h d 。
在k q ＞h d 的情形下，由前面第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，这种情形下，不可能存在这样的情形：即p =1k q +1h d ，e=2k q +2h d ，k 1≠k 2或h 1≠h 2，使得rad（p）=rad（e ），这是因为k q ＞h d 且k q 和
h d 互质。
不管怎样，我们要想办法把这样的情形转换到连续函数上来考虑，根据函数在某一实数点（去心邻域内）存在极限的定义，利用三段论判定连续函数
在某闭区间有界。
我们设函数ψ（x，y）=x q +y d ，x 和y 均为不小于1的实数。
那么定义域中任一组（x，y）的值有唯一函数ψ（x，y）=x q +y d 的值与之对应，由第六讲中定义3.2可知，任一x q +y d 的值有唯一rad （x q +y d ）的值与之对应。
由第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，函数ψ（x，y）不可能恒为v p 或者111v g ·211v g ·311v g ·…·e v
e g 1的形式，其中p 或11g ，12g ，13g ，…，e g 1恒定不变。
那么这种情形下，总可以令x q +y d =az+r（r＜a），其中a 和r 均为恒定的正实数。
因为对于任一一组正实数（x 1，y 1），总有一个正实数z 1，使得1x q +1y d =az 1+r 成立。
那么对于任意两组不小于1的正实数（x 11，y 11）和（x 12，y 12），x 11≠x 12或者y 11≠y 12；必然存在两个正实数z 11和z 12（z 11≠z 12），使得（11x q +11y d -r）÷z 11=（12x q +12y d -r）÷z 12。
那么任一（x q +y d ）均可表为az+r（r＜a）的形式，
其中a 和r 均为恒定的正实数。
这种情形下，总可以令rad（x q +y d ）=bz′+s （s＜b），其中b 和s 均为恒定的正实数。
因为对于任一一组正实数（x 2，y 2），总有一个正实数z 2，使得rad（2x q +2y d ）=bz 2′+s 成立。
那么对于前面同样的
任意两组不小于1的正实数（x 11，y 11）和（x 12，y 12），x 11≠x 12或者y 11≠y 12；必然存在两个正实数z 21和z 22（z 21≠z 22），使得[rad（11x q +11y d ）-s]÷z 21=[rad （12x q +12y d ）-s]÷z 22。
那么任一rad（x q +y d ）均可表为bz′+s（s＜b）的形
式，其中b 和s 均为恒定的正实数。
而az+r 形式中的z 与bz′+s 形式中的z′又是一种函数对应关系，即az+r 形式中的任一z 值，bz′+s 形式中有唯一z′值与之对应。
所以不妨设函数μ（z）=（az+r）÷（bz+s），那么-lim +∞→z μ（z）=-lim +∞
→z （az+r）′÷（bz+s）′=a÷b，又+→1
lim z μ（z）=（a+r）÷（b+s），则函数μ（z）在z 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中有界。
即存在恒定的正实数F （1＜F ＜+∞），使得1＜μ（z）≤F 或者1＜μ（z）＜F 恒成立。
那么n÷rad（n ）与函数μ（z）在z 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中有相同的界。
即1＜n÷rad（n ）≤F 或者1＜n÷rad
（n）＜F恒成立。
因为rad（g）≥1，rad（m）≥1，那么F·rad（n）·rad（m）·rad（g）≥n或者F·rad（n）·rad（m）·rad（g）＞n恒成立。
2020年9月15日。