2017年杭二中高考数学第一次模拟试卷(含答案)

绝密★考试结束前
杭州市第二中学2017年普通高等学校招生适应性考试
数 学（理科）
姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共60分)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh
球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =
3
4πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =
3
1
h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =
3
1Sh h 表示台体的高
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x|y ＝
｝，B ＝｛x|x2－2x<0｝，则A ∪(
)＝（ ）
A ．[－1， 0]
B ．[1， 2]
C ．[0， 1]
D ．(－∞，1]∪［2，＋∞）
2．已知向量＝(2m ＋1，3，m －1)，＝(2，m ，－m)，且∥，则实数m 的值等于（ ）
A ．
B ．－2
C ．0
D ．或－2
3．已知复数z 满足（1－2i ）z ＝|1＋2i|·（1－i ），则复数z 的虚部为（ ）
A ．
B ．
C．D．－i
4．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（）A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D. 在区间上单调递减
5．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个的全等的等腰梯形，梯形上底、下底分别为2，4，腰长为，则该几何体的体积为（）
A．B．28－2πC．28－3πD．
6．已知某产品质量指标服从正态分布N(200，25)，某用户购买了10000 件这种产品，记X 表示10000 件这种产品中质量指标值大于210 的产品件数，则随机变量X 的数学期望EX＝（）
附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P(μ－δ<ξ<μ＋δ)＝68.26%，P（μ－2δ<ξ<μ＋2δ）＝95.44％）
A．6826B．3174 C．228D．456
7．图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于（）
A ．11
B ．8.5
C ．8
D ．7
8．设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为（ ） A ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l B ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α D ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α 9．某同学准备参加学校组织的“社区卫生服务”、“进福利院演出慰问”、“参观阿里巴巴”、“游学太子湾公园”、“市中心环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观阿里巴巴”与“市中心环保宣传”两项活动必须安排在相邻两天，“游学太子湾公园”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是（ ） A ．48 B ．24 C ．36 D ．64 10. 1＋7＋72＋…＋72016被6除所得的余数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
11. 已知椭圆E ：，过焦点(0，2)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，点A 坐标为
(0，)，，则直线l 斜率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12、已知点P 为双曲线)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右
焦点，且a b F F 2
21||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212
IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的
值为（ ）
A ．22
21+ B ．132- C ．12+ D ．12-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数 x ， y 满足，则z ＝2x －y 的取值范围是__________.
14．已知函数 f (x)＝xa 的图象过点 (4，2) ，令，n ∈N*，记数列{an}
的前n 项和为Sn ，则S99＝___________.
15．双曲线的两条渐近线与圆：(x －3)2＋y2＝1都相切，则双曲线C 的离心率
是_____.
16．已知函数，若存在实数a ，使得函数g(x)＝f(x)－a 有两个零点，则m 的取值范围是___________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分)设ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．平面向量
＝(cos A ，cos C)，＝ (c ，a)，
=(2b ，0)，且
·(－
)＝0．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若b ＝1，a ＝2，D 是边BA 上一点且∠B ＝∠DCA ，求CD ．
18．(本小题满分12 分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；两个变量y与x的回归模型中，分别
选择了2个不同模型，模型①：，模型②：，求，，，（精确到0.1）；
（Ⅱ）比较两个不同的模型的相关指数R12，R22，指出哪种模型的拟合效果最好，并说明理由.
附：回归方程其中，为样本平均数，
令z＝，则，，，；
19．(本小题满分12 分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是棱长为2的菱形，∠DAB
＝，侧面PAD为等边三角形，PB＝.
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角A－PB－C平面角的余弦值.
20．(本小题满分12 分)已知抛物线x2＝2py (p>0)过点(0，4)，作直线l交抛物线于A，B 两点，且以AB为直径的圆过原点O.
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若ΔMNP的三个顶点都在抛物线x2＝2py上，且以抛物线的焦点为重心，求ΔMNP面积的最大值．
21．(本小题满分12分)已知函数在内的最大值为.
（Ⅰ）求正实数k的值；
（Ⅱ）若对任意的x1，，存在使得，证明：.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．(本小题满分10 分) 选修4－1 ：几何证明选讲
如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.
（Ⅰ）求证：FB2＝FA·FD；
（Ⅱ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．
23．(本小题满分10 分) 选修4－4：坐标系与参数方程
直线l的极坐标方程为，曲线C参数方程为(θ为参数)，已知C与l有且只有一个公共点.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）过P点作平行于l的直线交C于A，B两点，且|PA|·|PB|＝3，求点P轨迹的直角坐标方程.
24．(本小题满分10 分)选修4－5：不等式选讲
对于任意实数a(a≠0)和b，不等式恒成立，
(Ⅰ)求满足条件的实数x的集合A；
（Ⅱ）是否存在x，y，z∈A，使得x＋y＋z＝1，且同时成立．
杭州市第二中学2017年普通高等学校招生适应性考试数学（理科）详细解答
一、选择题：
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．[－5，7]； 14. 9；
15.
16.
(Ⅰ)，
sinB ≠0，∴，∴.
(Ⅱ)，a ＝2，b ＝1，，∴
∴，
∴
答案与解析：
解：（Ⅰ）散点图如下图：
由表中的数据得：
模型二：
（Ⅱ）模型1：
模型2：
<
∴模型1的拟合效果较好.
答案与解析：
解：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连接PE，BE，∵ΔABD，ΔAPD为等边三角形∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面BPE，∴AD⊥PB
（Ⅱ）以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，过E作直线垂直于底平面为z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（1，0，0）， D（－1，0，0）， C（－2，，0），
B（0，， 0）， P（0，，）
设平面PBC法向量，
设平面ABP法向量，
∴，，而二面角所成的角为钝角，
∴二面角A－PB－C平面角的余弦值为.
答案与解析：
解：（Ⅰ）以AB为直径的圆过原点O，设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，
设直线l方程为y＝kx＋4，联立，
∴x2－2pkx－8p＝0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－8p，x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝0p＝2，抛物线方程为x2＝4y；
（Ⅱ）设PF交MN于Q，P(2t，t2)，M(2t1，t12)，N(2t2，t22)，
则，∴，，
，
直线MN方程为，
∴
＝＝，
∴，此时
答案与解析：
（Ⅰ），当时，，舍去；当时，，k＝1.
（Ⅱ），∴，令，∴
∴在(0，)上递减，要证，只需证明，而
＝
，
∴，，x1－x2<0，只需证明，也就是证明，
即证，令，，即是要证明时，
恒成立，
令，，
，，令，
，单减，而，，恒成立，即，，
，在恒成立，.
答案与解析：
解：（Ⅰ）证明：AD平分，，因为四边形FABC内接于圆，∴
，，所以，
，ΔFAB∽ΔFBD，
∴，∴
（Ⅱ）若AB是ΔABC外接圆的直径，，，∵BC＝6，∴，∴.
答案与解析：
解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为，曲线C的参数方程为(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C：x2＋y2＝1，∴a＝±1
（Ⅱ）设点P(x0，y0)及过点P的直线为L1：，
由直线L1与直线C相交可得：，
因为，所以，即：
联立
由，点P的轨迹的直角坐标方程为：（夹在两直线
之间的两段圆弧）.
答案与解析：
（Ⅰ）由题知，恒成立，故不大于
的最小值，，当且仅当
时取等号，∴的最小值等于2.
∴x的范围即为不等式的解，解不等式得.
（Ⅱ）.
∴，所以不存在这样的x，y，z满足条件.。