2020年线性代数全套教学课件

D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
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D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
第五章 相似矩阵及二次型
矩阵理论
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
a11 x1 a12 x2 b1
(1)
a21 x1 a22 x2 b2
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
课程简介
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系 问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组.
行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具， 也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向 量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系 的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
基础
基本内容
用向量的观点讨论 基本问题并介绍向 量空间的有关内容
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．