2020年线性代数全套教学课件
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线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
线性代数课件PPT
线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数ppt
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
《线性代数电子教案》课件
《线性代数电子教案》PPT课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用解释线性代数的概念和重要性探讨线性代数在工程、物理、计算机科学等领域的应用1.2 向量和空间定义向量及其几何表示介绍向量的运算，如加法、减法、数乘和点积1.3 矩阵和矩阵运算介绍矩阵的定义和基本性质探讨矩阵的运算，如加法、减法、数乘和乘法第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义和性质解释线性方程组的含义和基本性质探讨线性方程组的解的存在性和唯一性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤演示高斯消元法的具体操作过程2.3 矩阵的逆定义矩阵的逆及其性质探讨矩阵的逆的求法和应用第三章：矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义解释特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和关系3.2 矩阵的特征值和特征向量的求法介绍求解矩阵的特征值和特征向量的方法演示求解矩阵的特征值和特征向量的具体过程3.3 矩阵的对角化定义矩阵的对角化及其条件探讨矩阵对角化的方法和应用第四章：向量空间和线性变换4.1 向量空间的概念和性质解释向量空间的概念和基本性质探讨向量空间的基、维数和维度4.2 线性变换的定义和性质定义线性变换及其性质探讨线性变换的矩阵表示和特征值4.3 线性变换的图像和应用介绍线性变换的图像和性质探讨线性变换在图像处理等领域的应用第五章：行列式和矩阵的秩5.1 行列式的定义和性质解释行列式的概念和基本性质探讨行列式的计算方法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质定义矩阵的秩及其性质探讨矩阵的秩的求法和应用5.3 矩阵的逆和行列式的关系探讨矩阵的逆和行列式之间的关系演示利用行列式和矩阵的秩解决实际问题的方法第六章：二次型和正定矩阵6.1 二次型的定义和性质解释二次型的概念和基本性质探讨二次型的标准形和判定方法6.2 矩阵的正定性和二次型的应用定义正定矩阵及其性质探讨正定矩阵的判定方法和应用6.3 二次型的最小二乘法介绍最小二乘法的原理和步骤演示最小二乘法在实际问题中的应用第七章：特征值和特征向量的应用7.1 特征值和特征向量在控制理论中的应用探讨特征值和特征向量在控制理论中的重要作用演示利用特征值和特征向量分析线性系统的稳定性7.2 特征值和特征向量在信号处理中的应用解释特征值和特征向量在信号处理中的重要性探讨利用特征值和特征向量进行信号降噪等处理的方法7.3 特征值和特征向量在图像处理中的应用介绍特征值和特征向量在图像处理中的作用演示利用特征值和特征向量进行图像降维和特征提取的方法第八章：向量空间的同构和商空间8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构及其性质探讨同构的判定方法和性质8.2 向量空间的商空间解释向量空间的商空间的概念和性质探讨商空间的构造和运算规则8.3 向量空间的同构和商空间的应用探讨向量空间的同构和商空间在数学和物理学中的应用演示利用同构和商空间解决实际问题的方法第九章：线性代数在优化问题中的应用9.1 线性代数在线性规划中的应用解释线性规划问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决线性规划问题的方法9.2 线性代数在非线性优化中的应用介绍非线性优化问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决非线性优化问题的方法9.3 线性代数在机器学习中的应用解释机器学习中的线性代数方法探讨利用线性代数方法进行数据降维、特征提取和模型构建的方法第十章：总结和拓展10.1 线性代数的核心概念和定理总结线性代数的核心概念和定理强调其在数学和科学研究中的重要性10.2 线性代数的拓展学习和研究方向介绍线性代数的拓展学习和研究方向鼓励学生积极探索线性代数的应用和创新10.3 线性代数的练习和参考资源提供线性代数的练习题和解答推荐相关的参考书籍和在线资源，供学生进一步学习和参考重点和难点解析重点一：向量和空间的概念及运算向量是线性代数的基本元素，其运算包括加法、减法、数乘和点积。
线性代数完整教学课件
2020/10/12
线性代数
2020/10/12
课程简介:
线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程， 它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校各专业的 一门重要的基础理论课。对线性方程组的讨论，在理 论上和历史上都是线性代数这门学科的起点。由于线 性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线 性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本 课程所介绍的思想和方法广泛地应用于各个学科。
ann
或 diag(a11, a22,…, ann)
ann
2020/10/12 这里当然允许主对角线上的元为零.
2、数量矩阵
定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线上的元都相等，则称 此矩阵为n阶数量矩阵 (scalar matrix).
即
a
A
a O
O
或
a
a
a
a
或 diag(a, a,…, a)
2020/10/12
线性方程组的系数与常数项按原来位置可排
为矩形阵列
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
b1 b2 bn
对线性方程组的
研究可转化为对 这张表的研究.
这就是矩阵
2020/10/12
二、矩阵概念
定义1.2 由 m n个数aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一个m行
2020/10/12
引言
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数 学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发 展，成为在经济学、物理学、生物学、地理学等中 有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学 中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西 勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远， 可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算 术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵， 所用的解法就是矩阵的初等变换。
线性代数
2020/10/12
课程简介:
线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程， 它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校各专业的 一门重要的基础理论课。对线性方程组的讨论，在理 论上和历史上都是线性代数这门学科的起点。由于线 性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线 性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本 课程所介绍的思想和方法广泛地应用于各个学科。
ann
或 diag(a11, a22,…, ann)
ann
2020/10/12 这里当然允许主对角线上的元为零.
2、数量矩阵
定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线上的元都相等，则称 此矩阵为n阶数量矩阵 (scalar matrix).
即
a
A
a O
O
或
a
a
a
a
或 diag(a, a,…, a)
2020/10/12
线性方程组的系数与常数项按原来位置可排
为矩形阵列
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
b1 b2 bn
对线性方程组的
研究可转化为对 这张表的研究.
这就是矩阵
2020/10/12
二、矩阵概念
定义1.2 由 m n个数aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一个m行
2020/10/12
引言
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数 学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发 展，成为在经济学、物理学、生物学、地理学等中 有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学 中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西 勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远， 可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算 术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵， 所用的解法就是矩阵的初等变换。
线性代数全套课件
a 21 D ai 1 a i1 a n1 a 22 a2n ai 2 a a in a i2 in an 2 a nn
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
(完整版)自考线性代数全套课件
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标 准形, 并求 所用的 变换矩 阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
15
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
于是所求正交变换为
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 A E 2 14
2 4
182
9
2 4 14
14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
x Cy
9
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
15
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
于是所求正交变换为
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 A E 2 14
2 4
182
9
2 4 14
14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
x Cy
9
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
线性代数课件chap33向量组的秩(2020)
命题
1. 向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关
r 1 , 2 ,..., m m
2. 向量组 1 , 2 ,..., m
线性相关
r 1 , 2 ,..., m m
3. 等价向量组必有相同的秩
4. 若 r 1 , 2 ,..., m r则向量组中
的任意k行与B 的相应的k行具有相同的相关
性
即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系
例、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，
并将其它向量用所求的极大线性无关组
线性表示。
1
1
0
1
2
1
2
1
3
6
1 , 2 , 3 4 5
1 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
1 2 3 4 5
所以， , , , , =
, , 为一个极大无关组
= + , = − − +
命题 设向量组 1 , 2 ,..., m
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
证明 其中任意m个向量构成的向量组的ห้องสมุดไป่ตู้ ≥r+m-s
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
线性代数全套课件
2
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
它们的和
j1 jn
J 1 a1 j a2 j
1
2
anjn
称为n阶行列式。
a11 a12 a1n
记为
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
aij 称为行列式的元素
行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为 零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式， 它等于对角线上元素的乘积。
例 证明
a a n 1 ,1 a n1 a a n 1, 2 an 1
n ( n 1 ) 2
a1n a2,n1 an1, 2 an1
i1 i p i q i n 与 i1 iq i p in 只经过一次对换
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
此式称为n阶行列式的 展开式或行列式的值
D
j1 jn
1
J
a1 j1 a2 j2 anjn
例
计算4阶行列式
a11 D
0
0 0 a 33 a43
0 0 0 a44
a 21 a 22 a 31 a 32 a41 a42
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一 项的乘积 a1 j1 a2 j 2 a3 j3 a4 j中只要有一个元素为 0，乘积 n 就等于0，所以只需展开式中不明显为0 的项。
同济大学线性代数全套教学课件
定义 例如
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
a1 al a b b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn
a1 al b a b1 bm
a1 al b b1 bma c1 cn
备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形.
4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1
a21
x1
a22 x2
b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a a a a )x a b b a
例如 在排列32514中， 逆序
32514
逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
答：2和1，3和1也构成逆序.
20
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 的i逆n 序数通常记为 t(i1.i2 in ) 奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列.
思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数 等于零，因而是偶排列.
3
第一章
• 内容提要
行列式 •行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
线性代数_课件
2020/3/1
22
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 ：
(
p1 p2... pn )
(
pn
pn1... p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1... p1)
n(n 1) 2
k
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例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
(完整版)《大学线性代数》PPT课件
下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
《线性代数》PPT课件幻灯片PPT
特别当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,···, n )相似时,
那么
Am = PmP-1; (A)= P()P-1.
而对于对角阵, 有
1k
k =
k2
;
kn
()=
(1)
(2)
(n).
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式
(A). 结论: 假设f( )为矩阵A的特征多项式, 那么矩阵
A的多项式 f(A)=O. 此结论的一般性证明较困难, 但当矩阵A与对角
因此, 当a = –1时矩阵A能对角化.
三、小 结
1. 相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系, 它具有很多良好的 性质, 除了课堂内介绍的以外, 还有: (1) 假设A与B相似, 那么det(A)=det(B); (2) 假设A与B相似, f(x)为多项式, 那么f(A)与f(B) 相似; (3) 假设A与B相似, 且A可逆, 那么B也可逆, 且A1与B2-1. 相相似似.变换与相似变换矩阵 相似变换是对方阵进展的一种运算, 它把A变成 P-1AP, 可逆矩阵P称为进展这一变换的相似变换矩阵.
-2
P1AP
1 1.
矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相
互对应.
例3:设A= 110
0 1 0
a10,当a为何值时, 矩阵A能对角化?
0 1 解: | A –E | = 1 1 a = –(–1)2(+1).
1 0
得矩阵A的特征值 1 = –1, 2 = 3 = 1. 对应单根1 = –1, 恰好可求得一个线性无关的特
阵 相似时很容易证明即.
f(A)=Pf()P=POP-1=O.
二、利用相似变换将方阵对角化
n阶方阵A是否与对角阵 =diag( 1, 2,···, n ) 相似, 那么我们需要解决如下两个问题:
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它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
基础
基本内容
用向量的观点讨论 基本问题并介绍向 量空间的有关内容
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
课程简介
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系 问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组.
行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具， 也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向 量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系 的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
第五章 相似矩阵及二次型
矩阵理论
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
a11 x1 a12 x2 b1
(1)
a21 x1 a22 x2 b2
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1D1 D14 7 Nhomakorabea2,
x2
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11