数学建模图论模型 ppt课件

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图论模型实例优秀课件

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▪ 几个优化原则 ▪ 扩环原则 子图有孤立枝,扩环后权值应减小 ▪ 增环原则 环路上某个顶点有两枝,且有使两枝成环的边
存在,考虑增环,增环后权值应减小 ▪ 换枝原则 环路上某顶点长出一条枝,该枝末梢和环路另
一顶点接近,可考虑换枝
问题1的分析与求解--最小生成树法
问题1的分析与求解 --TSP方法
公路边的数字为该路段的公里数.
问题分析:
本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不 同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条 公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所 给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次 再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.
图论模型实例
专题
❖ 图的表示与锁具问题 ❖ 最小生成树、TSP和灾区巡视问题 ❖ 最短路、网络流和运输问题 ❖ 作业
图的表示与锁具问题
不积硅步,无以至千里 --荀子·劝学
图的矩阵表示
邻接矩阵: (以下均假设图为简单图).
1) 对无向图 G,其邻接矩阵 A(aij),其中:
1, aij 0,
若vi与vj相邻 , 若vi与vj不相.邻
i1
定义 称
为最大容许均衡度.
为该分组的实际均衡度.
显然0 0 1,0越小,说明分组的均衡性越 好. 取定一个 后,0与 满足条件 3)的分组是
一个均衡分组. 条件 4)表示总巡视路线最短.
此问题包含两方面:a)对顶点分组, b)在每组中求 (单个售货员)最佳旅行售货员回路.
因单个售货员的最佳旅行售货员回路问题不存在多 项式时间内的精确算法.因此多个售货员的最佳旅行售 货员回路问题也不存在多项式时间内的精确算法.

数学建模-图论

数学建模-图论

如例2中球队胜了,可从v1引一条带箭头的连线到v2,每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出,即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知, v1三胜一 负, v4打了三场球, 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系,在生产和生活中也是常见 的,如交通运输中的“单行线”,部门之间的领导和被领导关 系,一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模:
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题:一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题:地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色?1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题:18世纪在哥 尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒) 有一条名叫普莱格尔(Pregel) 的河流横经其中,河上有7座桥, 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步,于是提出了一个问 题:能否一次走遍7座桥, 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次, 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.

数学建模-图论模型

数学建模-图论模型

思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程,也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动,有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制,在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点,任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人,或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化,使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集,然后删去该极大 独立集,在剩下的图中找出 极大独立集,直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点:M是图G的一个匹配,若G中顶点v是M中某条边的端 点,则称M饱和v,否则称v是M的非饱和点。
• 可扩路:一条连接两个非饱和点x和y的由M外的边和M的边交错 组成的路称为M的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤:
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述:各大学学期临近结束时,需要根据老师任课 计划和学生选课情况,再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班,统一选课。另外,学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图,都可以分解成 若干个极大的双连通分支,且任意两分支之间的边是同向的。
举例:
• 右图所示竞赛图不是双连通的

为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E

数学建模-图论

数学建模-图论

图论导引
问题3:四色猜想 地图或地球仪上,最多用四种颜色就可把每一 国的版图染好,使得国界线两侧异色。
电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加 之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进 程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”,后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在 1976年6月,他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于 完成了四色定理的证明,轰动了世界。
有向图:
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
无向图:
1, 若vi与v j 关联 aij 0, 若vi与v j 不关联
图的矩阵表示
例6:写出右图与其基本图 的关联矩阵 解:分别为:
图论的基本概念
几个基本定理:
1、对图G V,E ,有 d v 2 E .
vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V,E 是有向图, 则 d v d v E .
vV vV
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
基 本 概 念
定义1 在无向图 G=(V,E)中: (1) 顶点与边相互交错的有限非空序列 w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v 0 到 v k 的通路,记为 Wv0vk (2)边不重复但顶点可重复的通路称为道路,记为 Tv0vk (3)边与顶点均不重复的通路称为路径,记为 Pv 0 v k 始点和终点相同的路称为圈或回路.

《数学建模》PPT课件

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( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得,一般首先考虑使用三次插值
法,因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中,二次插值法是一个很好的方法,它的收敛速度较
优化模型
(2)多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数,并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题:
mq() a2 b c
其中步长极值为:
b
2a
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求解单变量最优化问题的方法有很多种,根据目标函 数是否需要求导,可以分为两类,即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导,而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种: (1)消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代,逐渐消去不包含极小点的区间,缩小搜索区 间,直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search)。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点,将区 间分为三段,然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段,或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上,所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单,效率较高,稳定性好5 。

数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件

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几何实现图例
在一个图的几何实现中,两条边的交点可能不是
图的顶点。例如图7-4 中,它共有4个顶点,6条
v1
v4
边;而e
e1
3
与e
4 的交点不是这个图的顶点。
v2
e2
e3
e4
e5
v3
e6
v4 v1
v4
e2
e3
e1
v2
e4
e5
v3
e6
v4
平面图
一个图称为平面图,如它有一个平面图形,使得边与边仅在
顶 形点 。相交。图7-5就是一e个4 平v1 面图,因为e1它可以有下v面2 的图
一个图称为简单图,如果
它既没有环也没有多重边。
下图5是简单图。
u 1
本书只限于讨论有限简单图,
即顶点集与边集都是有限集的图。
f1
f5 f2
只有一个顶点的图称为平凡图; 边集是空集的图称为空图。
u3
f3
f4
u2
f6
u4
同构
给定两个图 G (V (G), E(G), G ) 与 H (V (H ), E(H ), H )
称G和H是同构的,记为G H ,
如果存在两个一一对应 ( ,)
:V (G) V (H )
: E(G) E(H )
使的
G (e) uv H ((e)) (u) (v)
同构图例
图G与图H是同构的。
v1 e6
e1 v2
e3
e2
e5
v4
e4
v3
G
u 1
f1
f5 f2
u3
f3
f4
u2
f6
公式(1)是Dijkstra算法的基础。

数学建模-图论30页PPT

数学建模-图论30页PPT

END10源自、倚南窗











16、业余生活要有意义,不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰,也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人,而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着,就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书,莫被书掌握;要为生而读,莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ,东 晋 浔阳 柴桑 人 (今 江西 九江 ) 。曾 做过 几 年小 官, 后辞 官 回家 ,从 此 隐居 ,田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材, 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
数学建模-图论
6













7、翩翩新 来燕,双双入我庐 ,先巢故尚在,相 将还旧居。
8













9、 陶渊 明( 约 365年 —427年 ),字 元亮, (又 一说名 潜,字 渊明 )号五 柳先生 ,私 谥“靖 节”, 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散

数模培训图论模型

数模培训图论模型
以可允许的10个状态向量作为顶点,将可能互相转移 的状态用线段连接起来构成一个图.
根据此图便可找到渡河方法.
2020/11/21
数模培训图论模型
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
2020/11/21
数模培训图论模型
图的定义
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物 体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的 事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点,
例 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过 河到河东.由于船小,一次只能带一物过河,并且狼与羊, 羊与菜不能独处.给出渡河方法.
解:用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的 状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有24 =16 种状态. 在河东岸的状态类似记作.
由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的, 从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0)也是不允许的.
数模培训图论模型
2020/11/21
数模培训图论模型
图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
2020/11/21
数模培训图论模型
1、图论的基本概念

数学建模图论讲

数学建模图论讲
如果任两顶点间最多有一条边,且每条边的两个端点皆 不重合的图,则称为简单图。
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2024年8月3日
数学建模-图论
一、图的基本概念
如果图的二顶点间有边相连,则称此顶点相邻,每一对顶点
都相邻的图称为完全图,否则称为非完全图,完全图记为 K V 。
若V (G) X Y, X Y , X Y 0 ,且 X 中 无相邻的顶点对,Y 中亦然,则称图 G 为二分图.
第1行 1 A1i 第i行 1
11,A1i 2
2 2
22,A1i3
4 4
4 4
其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理,计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25,
26时的情形,类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)×5=76.
于是,s=61×2+76×4=426,x=6306426=5880.
计算y1可分别考虑槽高只有1,12,13,14,15的 情形.若只有1,这样的锁具效只有1个, 若只有1和i(i=2,3,4,5),这样的锁具数=G中以1和i为 顶点,长度为3的道路数,此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到.
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示(应用实例解法分析)
事实上,因为
间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij),
3
4
t(2)ij=min{min1<=k<=5{tik+tkj},tij}, t(2)ij表示 从站点i到站点j的至多换乘一次的最短时间。
5
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数学建模-图论
二、图的矩阵表示(应用实例及解法分析)

图论模型专题PPT共71页

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图论模型专题
56、死去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的,否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学,如日出之阳;壮而好学 ,如日 中之光 ;志而 好学, 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也,匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里,与其说好 的教师 是幸福 ,不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战,就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢!

《数学建模图论》PPT课件

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华中农业大学数学建模基地
图论的基本概念
问题2:哈密顿圈(环球旅行游戏) 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市,能 否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点?

华中农业大学数学建模基地
图论的基本概念
问题3:四色问题
对任何一张地图进行着色,两个共同边界的 国家染不同的颜色,则只需要四种颜色就够了。
例2、考虑中国象棋的如下问题: (1)下过奇数盘棋的人数是偶数个。 (2)马有多少种跳法? (3)马跳出后又跳回起点,证明马跳了偶数步。 (4)红方的马能不能在自己一方的棋盘上不重复 的跳遍每一点,最后跳回起点?

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图论的基本概念
例3、证明:在任意6人的集会上,总有3人互相认 识,或总有3人互相不认识。
德·摩尔根致哈密顿的信(1852年10月23日) 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道,现在仍不甚
了了的事实。他说如果任意划分一 个图形并给各部分着上颜色,使任 何具有公共边界的部分颜色不同, 那么需要且仅需要四种颜色就够了 。下图是需要四种颜色的例子 (图1)。
……

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从而对应状态(1,0,0,1),(1,1,0,0),(1,0,0,0)也是 不允许的,

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图论的基本概念
人在河西: (1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0)
人在河东: (0,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (0,0,0,0)
以十个向量作为顶点,将可能互相转移的状态 连线,则得10个顶点的偶图。
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5
问题3(四色问题): 对任何一张地图进行着色,两个共同边界的国家染不同的颜
色,则只需要四种颜色就够了.
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小至组装
一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工序相互约束, 只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开始. 即它们之间存在 完成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的, 而且也能够 预计完成每个工序所需要的时间.
若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e),则称 F(e)为该边的权,并称图G为赋权图(网络), 记为 G = <V, E , F>。
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树,常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图,且G’又是一棵树, 则称G’是图G 的生成树。
问题:任何6个人的聚会,数其学中建总模会有图3个论互模相型认识或
条边必有3条边的颜色是相同的,不妨设为蓝 色(如图) 与这3条边相关联的另外3个节点之间的3条边 ,若都为红色,则形成红色的K3; 若另外3个节点之间的3条边有一条为蓝色,则 与上面的蓝色边形成蓝色的K3; 因此必然存在一个红色的K3或一个蓝色的K3 。
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或结点, 简称点;
② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如 果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G为有限图或 n阶图.
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向图(如图1); 如 果E的每一条边都是有向边, 则称G为有向图(如图2); 否则, 称 G为混合图.
数学建模图 论模型
数学建模图论模型
1. 图论基本概念 2. 最短路径算法 3. 最小生成树算法 4. 遍历性问题 5. 二分图与匹配
6. 网络流问题 7. 关键路径问题 8. 系统监控模型 9. 着色模型
2
数学建模图论模型
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而
回到出发点?
dout(v1)= dout (v3)= dout (v4)=2, dout(v2)=1 din(v1)= din(v3)= din(v4)=2, din(v2)=1
11
握手定理
握手定理:无向图中,所有结点的度数之和等于2m。
n
d(vi ) 2m
i1
右图:
n
d(vi ) 2*714
i1
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才能够完 成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪几个?
6
数学建模图论模型
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形 状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联 系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
推论1:无向图中必有偶数个度数为奇数的结点。 推论2:有向图中所有结点的出度之和等于入度之和。
12
数学建模图论模型
(1) 顶点个数是有限的; (2) 任意一条边有且只有两个不同的点与它相互关联; (3) 若是无向图, 则任意两个顶点最多只有一条边与之相 联结; (4) 若是有向图, 则任意两个顶点最多只有两条边与之相 联结. 当两个顶点有两条边与之相联结时,这两条边的方向 相反. 如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条边上增设顶点 使之满足.
10
有边联结的两个点称为相邻的点, 有一个公共端点的边称为相 邻边. 边和它的端点称为互相关联. 常用d(v)表示图G中与顶点v关联 的边的数目, d(v)称为顶点v的度数. 对于有向图,还有出度和入度之 分.
用N(v)表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合.
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4, d(v2)=2
图1
图2
并且常记: V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为(n,m)图
8
对于一个图G = (V, E ), 人们常用图形来表示它, 称 其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
相不认识。 图论模型:用红、蓝两种颜色对6个顶点的完全图K6的
行任意着色,则不论如何着色必然都存在一个红色的 一个蓝色的K3 。
对应关系:每个人即为一个结点;人与人之间的关系 一条边
数学建模图论模型
图论证明: 用红、蓝两种颜色对K6的边进行着色, K6的任意一个顶点均有5条边与之相连接,这5
例如, 设V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}, 则G = (V, E ) 是一个有4个顶点和6条边的图, G的图解如下图所示.
9
一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个图表示同一个图 G = (V, E )的图解.这两个图互为同构图,今后将不计较这种外形 上的差别,而用一个容易理解的、确定的图解去表示一个图.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 任意两点均有通路的图称为连通图. 定义4 连通而无圈的图称为树, 常用T表示树.
14
数学建模图论模型
给定图G=<V,E> 和 G’ =<V’,E’ > 是两个图,如 果有 V’ ⊆ V 和 E’ ⊆ E,则称图G’是图 G 的子图。 若V’ =V 称图G’是图 G 的生成子图;
3
欧拉指出: 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座,则从任一
陆地出发,必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.
4Байду номын сангаас
问题2(哈密顿环球旅行问题): 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市, 能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点?
欧拉问题是“边遍历”,哈密尔顿问题是“点遍历”
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