服从正态分布

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如何检验数据是否服从正态分布

如何检验数据是否服从正态分布正态分布是概率论和统计学中的一个重要分布，也称为高斯分布。

在很多实际问题中，需要确定一个数据集是否服从正态分布。

本文将介绍几种常用的方法来检验数据是否服从正态分布。

1.直方图检验法：直方图是用来表示数据频数分布的常用图形方法。

通过绘制数据集的直方图，我们可以观察数据的分布情况。

对于服从正态分布的数据，其直方图应该是呈现出一座钟形曲线的形状。

如果数据集的直方图呈现出钟形曲线的形状，那么可以初步判断数据服从正态分布。

但这种方法仅适用于大样本量和精确的直方图。

2.正态概率图法：正态概率图（Probability Plot）是另一种判断数据是否服从正态分布的方法。

正态概率图是将数据按照大小排序后，将每个数据点的累积分布函数的值（即标准正态分布分位数）在纵坐标上绘制，而横坐标则表示数据点的实际值。

如果数据集的正态概率图上的点大致沿着一条直线排列，则可以认为数据服从正态分布。

4.统计检验法：统计检验是通过计算统计量来得出结论的方法。

常用的统计检验方法有Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验和Anderson-Darling检验。

- Kolmogorov-Smirnov检验：该检验利用累积分布函数（CDF）来判断观测样本与理论分布之间的差异，若与理论分布没有显著差异，则可认为服从正态分布。

- Shapiro-Wilk检验：该检验是一种适用于小样本量的检验方法，利用观察数据与正态分布之间的相关系数来判断数据是否服从正态分布。

- Anderson-Darling检验：该检验适用于中等样本量，通过计算观察数据与理论分布之间的差异来判断数据服从的分布类型。

总结：。

正态分布概念

图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布的曲线，医学上许多资料近似服从正态分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几何性 : 参数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲线的形状
由σ决定.

正态分布数学公式

正态分布数学公式
正态分布的公式：Y＝（X-μ）/σ～N（0，1）。

正态分布符号定义：
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N（μ，）。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。

μ是位置参数，当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴，越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴，越向左移动。

是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。

通常用表示标准正态分布。

主要特点：
1、估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。

2、制定参考值范围。

1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。

2）百分位数法常用于偏态分布的指标。

表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。

3、质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。

这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。

4、正态分布是许多统计方法的理论基础。

检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。

许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。

正态分布

正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。

正态分布十大模型

正态分布十大模型正态分布是统计学中一个重要的概率分布模型。

它是一种连续概率分布，其形状呈钟形，中心对称。

在许多实际应用中，正态分布模型经常被用来描述和分析数据。

以下是正态分布的十大模型。

1. 标准正态分布模型标准正态分布模型是正态分布的特殊情况，其均值为0，标准差为1。

它的概率密度函数可以用公式表示为：2. 正态分布检验模型正态分布检验模型用于确定一组数据是否服从正态分布。

它可以通过计算样本数据的偏度和峰度来进行检验。

3. 多维正态分布模型多维正态分布模型是指具有多个随机变量的正态分布。

它的特点是每个随机变量都呈现正态分布，且不同随机变量之间可能存在相关性。

4. 正态分布回归模型正态分布回归模型是一种用于预测和解释因变量和自变量之间关系的模型。

它基于正态分布假设，将自变量和误差项都假设为正态分布。

5. 正态分布离群值检测模型正态分布离群值检测模型用于检测数据中的离群值。

离群值是指与其他观测值差异较大的数据点。

该模型可以通过计算数据点与正态分布的偏差来进行检测。

6. 正态分布置信区间模型正态分布置信区间模型用于估计参数的置信区间。

在给定样本数据和置信水平的情况下，该模型可以计算出参数的置信区间，进而进行统计推断。

7. 正态分布期望值与方差模型正态分布期望值与方差模型用于估计数据的期望值和方差。

该模型基于正态分布的特性，通过样本数据的均值和方差来估计总体的期望值和方差。

8. 正态分布峰度与偏度模型正态分布峰度与偏度模型用于描述数据的偏度和峰度。

峰度描述数据分布的尖锐程度，偏度描述数据分布的对称性。

正态分布的峰度为3，偏度为0。

9. 正态分布分位数模型正态分布分位数模型用于计算分位数。

分位数是指将数据按照百分比划分的值。

正态分布的分位数可以通过标准正态分布的分位数表进行计算。

10. 正态分布相关性模型正态分布相关性模型用于分析两个变量之间的相关性。

通过计算两个变量的协方差和相关系数，可以判断它们之间的线性相关性。

什么是正态分布？

什么是正态分布？正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。

它的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐趋于无穷远，中间部分较为集中。

正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种理想的分布模型。

正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$x$ 是随机变量的取值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

正态分布的均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。

正态分布具有以下特点：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称，即曲线在均值处取得最大值，两侧的面积相等。

2. 唯一性：正态分布由均值和标准差唯一确定。

3. 稳定性：正态分布在多次独立抽样下，样本均值的分布仍然服从正态分布。

4. 中心极限定理：当样本容量足够大时，无论总体分布是什么形状，样本均值的分布都接近正态分布。

正态分布在实际应用中具有广泛的意义和重要性。

首先，许多自然现象和社会现象都服从正态分布，例如人的身高、体重、智力水平等。

其次，正态分布在统计推断中起到了重要的作用。

根据正态分布的特性，我们可以利用正态分布进行参数估计、假设检验、置信区间估计等统计推断方法。

此外，正态分布还在工程、经济学、金融学等领域中广泛应用，例如风速、股票收益率等。

正态分布的应用不仅限于单变量情况，还可以推广到多变量情况。

多变量正态分布是指多个随机变量同时服从正态分布的情况。

多变量正态分布的概率密度函数可以用多元高斯分布的形式表示。

多变量正态分布在多元统计分析中具有重要的地位，常用于描述多个变量之间的相关关系。

总之，正态分布是概率论和统计学中最重要的分布之一，具有对称性、唯一性、稳定性和中心极限定理等特点。

发现用户需求服从正态分布

报童问题（Newsboy problems）
一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价格出售。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为50份、标准偏差为12份的正态分布。那么他应当订购多少份报纸呢？
14
8
需求概率
总需求量
35 36 37 38 39 40 41
这一需求
量的概率
0.10 0.15 0.25 0.2后一件销
售出的概率
1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10
0
其中，最后一件销售出的概率 =1-（需求<n）的概率
=1- 需求n1量为i的概率
i 1
最优订货量应按下列不等式确定：
ri1
P(r)
v
ri
P(r)
r0
v u r0
需求≤ri的概率
6
例1：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利60
元。如果当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价
处理后全部售完，此时每一筐损失40元。根据历史销售
经验，市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题(Date Problem)
您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢

设总体服从正态分布

CH11、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，()2,θμσ未知，12,,,n x x x 是来自总体的样本，求求证参数2μσ和的UMVUE 为()()21111,n n i i i i T X x x x n n ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑.解：()()222222(;)exp exp 22x x x P x μμμθσσ⎧⎫⎧⎫-+-⎪⎪⎪⎪=-=-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭22222exp 2xx μσμσσ-⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭所以 221,2μωσσ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的值域包含内点。

由定理可知：完全充分统计量为()211,n n i i i i T X x x ==⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑∑又因为11ni i x x n ==∑是μ的无偏估计且又是完全充分统计量()T X '的函数。

又由()2221111n n i i i i x x x nx n n ==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑是2σ的无偏估计，且是完全充分统计量()T X '的函数。

故当()2,θμσ未知时，参数2μσ和的UMVUE 为()()21111,n n i i i i T X x x x n n ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。

2、20(,)N μσ正态总体，0μ已知，求2σ的完全充分统计量及一致最小方差无偏估计解：设1X ,2X ,…,n X 是来自正态总体20(,)N μσ的一个样本，其样本的联合密度函数为()2120211(,,,;)exp .2nn n i i P x x x x θμσ=⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭∑ 令()()201ni i T x x μ==-∑，()()21,02w w θσ==-∈Ω=-∞，Ω有内点，故()T x 是完全充分统计量. 又因为()()()()2220011n ni i i i E T x E x E x n μμσ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑，从而()21E T x n σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()2011n i i x n μ=-∑是2σ的UMVUE .3、设1X ,2X ,…,n X 为来自两点分布的样本,用因子分解定理求充分统计量.解: 依题意可知，样本1X ,2X ,…,n X 的联合概率分布为()()()∑⎪⎭⎫⎝⎛--=∑-∑=-iiiX n Xn X n X X X P θθθθθθ111;,,,21若取()121,,...,nn i i T x x x x ==∑,()12,,...,1n h x x x =,()()()12,,...,;11Tn n g T x x x θθθθ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,则有()()()()θθ;,,,,,,;,,,21212211n n n n x x x T g x x x h x X x X x X P ⋅====由因子分解定理知()121,,...,nn ii T X X X X==∑是θ的充分统计量.4、求证：()()1I nI θθ=.证明：由()22ln (,)p x I E θθθ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭，又()1(,),nii p x p x θθ==∏，则有()()222212212121ln (,)ln (,)ln (,)ln (,)n i i ni i p x I E p x E p x E p x n E nI θθθθθθθθθθ==⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎧⎫⎛⎫∂⎪⎪=-⎨⎬ ⎪∂⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎧⎫⎛⎫∂⎪⎪=-⎨⎬ ⎪∂⎪⎪⎝⎭⎩⎭=∑∑ 命题得证.20、 21、 22、 23、 24、 CH21、解：（1）221221)(1)1()()(nnx n Var x Var q ni n i i θθθθθ-=-===∑∑==-（2）设n 次实验中成功的次数是N ，发生的频率是nN，则θ的频率替换估计是n n N n N 2)(-，所以)(θq 的频率替换估计是n n N n N nq 22)(1)(-=∧θ2、解：由题意)1,(~μN x ，所以)1,0(~N x μ-{}{})(1)(1010μφμφμμμμ-=-=-<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<x P x P x P因为n 个样本中事件{}0<x 发生m 次，所以事件{}0<x 发生的频率是nm由频率替换原理得{}nm x P =-=<∧∧)(10μφ 所以)1(1∧-∧-=nm φμ4、解：421414)1(2121),()(10θθθθθθθθ+=++=-+==⎰⎰⎰+∞∞-dxx dx x dx x xf X E 由421θ+=X ，得214-=∧x θ6、解：（1）由分布函数得出概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>==+101);(();(1x x x dx x F d x f ββββ1);()(111-====⎰⎰⎰+∞+∞++∞∞-βββββββdx x dx xxdx x xf X E令1-=ββX ，得1-=∧x xβ （2）β的似然函数是{}⎪⎩⎪⎨⎧=+其它 0min )1()(111n nnx x x x L βββ对数似然函数是∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ0ln )(ln 1=-=∂∂∑=ni i x nL βββ 解得∑=∧=ni ixn1ln β7、解：{})(σμφσμσμ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<t t x P t x P 又因为参数2,σμ的极大似然估计是∑=∧∧-==ni i X X n X 122)(1,σμ所以{}t x P <的极大似然估计是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∧σφx t12、解：先求总体的分布函数⎩⎨⎧≤>-==--∞-⎰θθθx x e dt t f x F x x01)()()(2再求∧θ的分布函数{}{}[]⎩⎨⎧≤>-=--=>>>-=>-=≤=≤=--∧∧θθθθθx x e x F x x x x x x P x x x P x x x P x P x F x n nn n n 01)(11),,(1)(m i n 1)(m i n )()()(22111所以概率密度为θθθθθθθθθ≠+==⎩⎨⎧≤>==⎰∞+∞-∧--∧∧∧ndx x xf E x x ne dxx dF x f x n 21)()(02)()()(2因为所以不具有无偏性。

随机误差的正态分布特点

随机误差的正态分布特点随机误差是指在测量或实验中出现的不可预测的偶然性误差，通常表现为数据点在期望值周围上下波动，呈现出一种无规律的分布。

而正态分布则是一种常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特征，其均值、中位数和众数重合，且对称分布。

正态分布的特点是具有明显的中心对称性，即均值位于分布的中心，而标准差决定了分布的扁平程度。

在正态分布中，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。

这种特性使得正态分布在统计学中应用广泛，特别适合描述大量独立测量所得数据的分布情况。

当随机误差服从正态分布时，意味着在测量或实验中产生的误差是无偏的，即随机误差在正负方向上等概率出现，不会对结果产生系统性的影响。

这种误差分布的特性有助于科学家们更好地理解和评估实验数据的可靠性，从而提高实验的准确性和可重复性。

在实际应用中，随机误差的正态分布特点常常体现在各种测量和调查中。

例如，在物理实验中，测量仪器的精度限制和环境因素的干扰可能导致随机误差的产生，而这些误差往往呈现出正态分布的特征。

在社会调查中，由于受访者个体差异和调查方法的局限性，随机误差也会以正态分布的形式存在，影响着统计数据的准确性和可信度。

中心扩展是指正态分布曲线在均值处向两侧逐渐变陡，形成一个逐渐扩展的中心区域。

这种特点表明大多数数据点集中在均值附近，而远离均值的数据点数量逐渐减少。

中心扩展的特性使得正态分布在描述数据集中心趋势和变异程度时具有重要意义，有助于科学家们更好地分析和解释数据的分布规律。

在实际应用中，中心扩展的特点常常被用于判断数据的离群值和异常情况。

当数据点偏离均值较远时，可能表明存在异常情况或特殊情形，需要进一步检查和验证。

通过观察正态分布曲线的中心扩展情况，可以更直观地了解数据的分布情况，从而有效识别异常值并减少误判的可能性。

总的来说，随机误差的正态分布特点体现了数据分布的一种普遍规律，具有中心对称和中心扩展的特性。

医学统计学正态分布

许多现象和数据都可以用正态分布来进行建模和分析。
正态分布的假设检验
假设检验是医学统计学中常用的方法之一。
通过检验数据是否服从正态分布，可以判断相关统计推断的适用性。
正态分布的可视化方法
图表是可视化呈现正态分布的重要工具。
直方图、箱线图和概率图等方法可以帮助理解数据的分布特征。
医学统计学正态分布
医学统计学中，正态分布是一个重分布，又称为高斯分布，是一种以钟形曲线为特征的概率分布。
它具有对称性、单峰性和中心极限定理等重要特点。
正态分布的公式和参数
正态分布的概率密度函数可以使用以下公式表示：
()=1/(√(2)) * e^(-((−)²/2²))
其中，表示均值，表示标准差。
正态分布的应用领域
正态分布在医学统计学中广泛应用。
它可以用来描述人口生理指标、药物浓度、医学测试结果等。
正态分布与医学统计学的关系
医学统计学研究中常常假设数据服从正态分布。
正态分布的假设可以帮助进行参数估计和假设检验等统计推断。
正态分布的重要性
正态分布的重要性在于它在自然界和人类行为中的广泛应用。

关于正态分布

正态分布图的解释来源normal distribution正态分布一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与Μ邻近的值的概率大，而取离Μ越远的值的概率越小；Σ越小，分布越集中在Μ附近，Σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

V结合分析理解：用户ARPU变动值，方差越小，则证明图形越靠近中心，也就是可以看出这样的用户ARPU变动不十分大，属于较为稳定的用户类型。

正态分布的特征正态分布的特征：服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。

1.集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

2.对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。

σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。

3.u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。

正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。

正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。

Σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，Σ越大，数据分布越分散，Σ越小，数据分布越集中。

正态分布[2-2]

(X − X) u=
S
3.曲线下对称于的区间，面积相等。曲线下对称于0的区间，面积相等。曲线下对称于的区间 4.曲线下横轴上的面积为曲线下横轴上的面积为100%或1。曲线下横轴上的面积为或。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，，即均数位置，理论上：即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的实际应用中：实际应用中：范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的范围内曲线下的面积占总面积的范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的范围内曲线下的面积占总面积的范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于心，左右对称。左右对称。 2. 在在处取得概率密度函数的最大值，处取得概率密度函数的最大值，处有拐点，表现为钟形曲线。处有拐点，表现为钟形曲线。即正拐点对称。对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、双侧过高、过低均异常过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常

正态分布（Normaldistribution）又名高斯分布（Gaussiandistri。。。

[][][][]四个不同參数集的概率密度函数（绿⾊线代表标准正态分布）正态分布（Normaldistribution ）⼜名⾼斯分布（Gaussiandistri 。

正态分布（Normal distribution ）⼜名⾼斯分布（Gaussian distribution ），是⼀个在、及等都很重要的概率分布，在统计学的很多⽅⾯有着重⼤的影响⼒。

若X 服从⼀个为µ、为σ2的⾼斯分布，记为：X ∼N (µ,σ2),则其为正态分布的µ决定了其位置，其σ决定了分布的幅度。

因其曲线呈钟形，因此⼈们⼜常常称之为钟形曲线。

我们通常所说的标准正态分布是µ= 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿⾊曲线）。

⽂件夹 []概要正态分布是与中的定量现象的⼀个⽅便模型。

各种各样的測试分数和现象⽐⽅计数都被发现近似地服从正态分布。

虽然这些现象的根本原因常常是未知的，理论上能够证明假设把很多⼩作⽤加起来看做⼀个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell 的Fourier transform and its application 中能够找到⼀种简单的证明)。

正态分布出如今很多区域:⽐如, 是近似地正态的，既使被採样的样本整体并不服从正态分布。

另外，常态分布在全部的已知均值及⽅差的分布中最⼤，这使得它作为⼀种以及已知的分布的⾃然选择。

正态分布是在统计以及很多统计測试中最⼴泛应⽤的⼀类分布。

在，正态分布是⼏种连续以及离散分布的。

历史常态分布最早是在发表的⼀篇关于⽂章中提出的。

在1812年发表的《分析概率论》（Theorie Analytique des Probabilites ）中对棣莫佛的结论作了扩展。

如今这⼀结论通常被称为。

拉普拉斯在试验中使⽤了正态分布。

于引⼊这⼀重要⽅法；⽽则宣称他早在就使⽤了该⽅法，并通过如果误差服从正态分布给出了严格的证明。

“钟形曲线”这个名字能够追溯到他在⾸次提出这个术语"钟形曲⾯"，⽤来指代（）。

标准的正态分布

标准的正态分布正态分布是概率论和统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。

它具有许多重要的性质，因此在各个领域都有着广泛的应用。

正态分布的形状呈钟形曲线，左右对称，均值、中位数和众数都相等，且位于分布的中心。

在正态分布中，68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，95%的数据落在两个标准差范围内，99.7%的数据落在三个标准差范围内。

这种分布特性使得正态分布成为了许多自然现象和人类行为的模型。

正态分布的数学表达式为：\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]其中，$ \mu $ 为均值，$ \sigma $ 为标准差。

正态分布曲线呈钟形，左右对称，且在均值处达到最高点。

标准的正态分布具有均值为0，标准差为1的特性，这种分布被称为标准正态分布。

正态分布在实际应用中有着广泛的用途。

例如，在自然科学中，许多测量数据都服从正态分布，比如身高、体重、温度等。

在社会科学中，智力测试成绩、心理测量数据等也常常服从正态分布。

在工程领域，许多工艺参数的分布也可以用正态分布来描述。

正态分布还在金融领域、医学领域、经济学领域等各个领域都有着重要的应用。

正态分布的性质使得它成为了许多统计推断的基础。

例如，在假设检验中，许多统计量的分布都可以近似为正态分布，这样就可以利用正态分布的性质来进行推断。

在回归分析中，正态分布也是许多模型的基本假设之一。

因此，对正态分布有深入的理解，对于进行统计分析和推断具有重要的意义。

在实际应用中，我们经常需要对正态分布进行概率计算。

例如，给定一个正态分布随机变量，我们希望计算它落在某个区间内的概率。

这时就需要利用正态分布的性质和统计方法来进行计算。

同时，对于一组观测数据，我们也常常需要进行正态性检验，以确定数据是否符合正态分布。

这些都需要对正态分布有深入的理解和掌握。

总之，正态分布作为概率论和统计学中的重要内容，具有着广泛的应用和重要的理论意义。

4.4正态随机变量线性函数的分布

[推论] 设随机变量 X 服从正态分布, 则标准化的
随机变量
X * X ~ N (0 ,1).
在定理1中，设 a , b 1 即得结论.
[定理2] 设随机变量X 与Y 独立，并且都服从正态分布：
X
~
N (x
,
2 x
)
,
Y
~
N ( y
,
2 y
)
,
则它们的和也服从正态分布，且有
Z
X
Y
~
i1
i1
i1
思考题
1.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为1 ,标准差为 2的正态分布，而 Y 服从标准正态分布，试求随机变量 Z 2X Y 3 的概率密度. 解：已知 X 与Y 独立，且X ~ N(1 ,2) ,Y ~ N(0 ,1) ,
E(Z ) E(2X Y 3) 2E( X ) E(Y ) 3 5
i1
n
n
n
ci Xi ~ N(
cii ,
ci2
2 i
),
i1
i1
i1
其中 c1 ,c2 , ,cn 为常数.
例设 X ,Y 是两个相互独立的服从同一正态分布
N (0 ,(
1 )2 ) 的随机变量，求随机变量 2
X Y
的数学
期望 E( X Y ).
解: 设Z X Y,由正态随机变量的线性性质知
Z X Y ~ N(0 ,1) ,
于是 Z的概率密度为
fZ (z)
1
z2
e 2 , z .
2π
所以，
E( Z ) z
1
z2
e 2 dz
2π
1
z2

判断数据服从正态分布的方法

判断数据服从正态分布的方法如何判断数据服从正态分布正态分布是统计学中非常重要的一个概念，许多统计方法都基于数据服从正态分布的假设。

因此，判断数据是否服从正态分布对于统计分析的正确性和可靠性至关重要。

下面将介绍几种常见的方法来判断数据是否服从正态分布。

一、观察直方图和概率密度图观察数据的直方图和概率密度图是判断数据是否服从正态分布最直观的方法。

直方图可以展示数据的分布情况，而概率密度图则更加精细地展示了数据的分布特征。

如果数据呈现出钟形曲线的形状，且左右对称，那么可以初步判断数据服从正态分布。

二、使用正态概率图正态概率图是一种常用的判断数据是否服从正态分布的工具。

正态概率图是将数据的累积频率转换为正态分布的累积概率，并以此为横坐标绘制图形。

如果数据服从正态分布，那么正态概率图上的点应该近似地位于一条直线上。

三、使用偏度和峰度指标偏度和峰度是判断数据分布形态的两个重要指标。

偏度反映了数据分布的对称性，如果偏度接近于0，则数据分布相对对称；峰度反映了数据分布的尖峰程度，如果峰度接近于0，则数据分布相对平坦。

对于服从正态分布的数据，其偏度和峰度应该接近于0。

四、使用正态性检验正态性检验是一种统计方法，用于检验数据是否服从正态分布。

常见的正态性检验方法包括Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验和Anderson-Darling检验等。

这些检验方法基于统计假设，通过计算统计量和对应的P值来判断数据是否服从正态分布。

如果P值大于给定的显著性水平（通常为0.05），则可以认为数据服从正态分布。

需要注意的是，以上方法仅仅是判断数据是否服从正态分布的一些常用手段，不能完全确保数据服从正态分布。

因此，在实际应用中，判断数据是否服从正态分布需要结合多种方法综合考虑，尤其是对于重要的统计分析结果，更应该进行多方面的验证和检验。

总结起来，判断数据是否服从正态分布是统计分析中的一项重要任务。

通过观察直方图和概率密度图、使用正态概率图、计算偏度和峰度指标以及进行正态性检验等方法可以初步判断数据是否服从正态分布。

正态分布

正态分布1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x)d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和 σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布． 3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π．(4)曲线与x 轴之间的面积为 1．(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682__7； P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954__5； P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997__3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )(2)正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) (3)正态曲线可以关于y 轴对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤C )＝P (X ＞C )，则C ＝( ) A ．0 B ．σ C ．－μ D ．μ答案：D已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X ＜3)＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12答案：D已知正态分布密度函数为f (x )＝12πe －x24π，x ∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案：02π探究点1 正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．【解】从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，所以σ＝ 2.于是φμ，σ(x )＝12π·e－（x －20）24，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x ＝μ，二是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0. 由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．探究点2 利用正态分布的性质求概率设X ～N (1，22)，试求： (1)P (－1＜X ≤3)； (2)P (3＜X ≤5)．【解】因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)，所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ≈12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.[变问法]在本例条件下，试求P (X ≥5)．解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，所以P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ≈12(1－0.954 5)＝0.022 75.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.(2)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )； ②P (X ＜μ－a )＝P (X ≥μ＋a )；③若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P （b ＜X ＜2μ－b ）2.1.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2解析：选C.因为P (ξ<4)＝0.8，所以P (ξ>4)＝0.2. 由题意知图象(如图)的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，所以P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. 所以P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.2．设随机变量ξ服从正态分布N (2，9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝________．解析：因为μ＝2，由正态分布的定义知其图象(如图)关于直线x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，所以c＝2.答案：2探究点3 正态分布的实际应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70，110)内的概率为0.954 5.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间(80，100)内的概率就是0.682 7.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有 2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4，0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.002 7，而5.70∉(2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案：A2．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977解析：选C.由题意可知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，所以图象关于y 轴对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2P (ξ>2)＝0.954.3．设X ～N (5，1)，求P (6<X ≤7)．解：由已知得P (4<X ≤6)≈0.682 7，P (3<X ≤7)≈0.954 5.又因为正态曲线关于直线x ＝5对称，所以P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7) ≈0.954 5－0.682 7 ＝0.271 8.由对称性知P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)，所以P (6<X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9.知识结构深化拓展标准正态分布及其性质(1)标准正态分布：当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是f (x )＝12πe －x 22，(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线． (2)标准正态分布的性质①标准正态分布N (0，1)在正态分布的研究中占有[A 基础达标]1．已知随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，且P (X >1)＝0.5，则实数a 的值为( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．4解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布N (a ，4)，所以P (X >a )＝0.5.由P (X >1)＝0.5，可知a ＝1.2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18πe－（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 3．已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 7，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 65 C ．0.158 6D ．0.158 5解析：选B.由于X 服从正态分布N (3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－0.682 72＝0.158 65.4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2≈0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%，故选B.5．(2018·洛阳模拟)某班有50名学生，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (105，102)，已知P (95≤X ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．7解析：选B.因为考试的成绩X 服从正态分布N (105，102)，所以正态曲线关于x ＝105对称．因为P (95≤X ≤105)＝0.32，所以P (X ≥115)＝12×(1－0.32×2)＝0.18.所以该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9.6．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (12ξ)＝________．解析：因为ξ～N (2，2)，所以D (ξ)＝2. 所以D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝12.答案：127．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝0.3，则P (X ＜0)＝________．解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2. 答案：0.28．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若X 在(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在(0，2)内取值的概率为________．解析：如图，易得P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，故P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.89．在一次测试中，测试结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0，2)内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0，4)内取值的概率； (2)P (X >4)．解：(1)由X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，因为P (0<X <2)＝P (2<X <4)，所以P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12[1－P (0<X <4)]＝12(1－0.4)＝0.3. 10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X ～N (0，1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm 为合格品，求： (1)X 的密度函数；(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．解：(1)根据题意，知X ～N (0，1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x )＝11.52πe －x 24.5. (2)设Y 表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P (|X |≤1.5)＝P (－1.5≤X ≤1.5)＝0.682 7，而Y ～B (5，0.682 7)，合格率不小于80%，即Y ≥5×0.8＝4，所以P (Y ≥4)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 45×0.682 74×(1－0.682 7)＋0.682 75≈0.492 9.[B 能力提升]11．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f (x )＝12πe－（x －2）22的图象，若∫2f(x)d x ＝13，则P (X >4)＝( )A.16B.14 C.13D.12解析：选A.因为随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe －（x －2）22的图象，所以μ＝2，即函数f(x)的图象关于直线x ＝2对称，因为∫2f(x )dx ＝13，所以P (0<X ≤2)＝13，所以P (2<X ≤4)＝13，因为P (2<X ≤4)＋P (X >4)＝12，所以P (X >4)＝12－P (2<X ≤4)＝12－13＝16.故选A. 12．已知正态分布N (μ，σ2)的密度曲线是f (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 的图象．给出以下四个命题：①对任意x ∈R，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立；②如果随机变量X 服从N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数； ③如果随机变量X 服从N (108，100)，那么X 的期望是108，标准差是100； ④随机变量X 服从N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p .其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 解析：如果随机变量X ～N (108，100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③错，又f (μ＋x )＝12πσe －（μ＋x －μ）22σ2＝12πσe －x22σ2， f (μ－x )＝12πσe（μ－x －μ）22σ2＝12πσe －x 22σ2，故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④. 答案：①②④13．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且正态分布密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，P (72<X ≤88)≈0.682 7. (1)求参数μ，σ的值； (2)求P (64<X ≤72)．解：(1)由于正态分布密度函数在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<X ≤88)≈0.682 7，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，所以σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)≈0.954 5，P (72<X ≤88)≈0.682 7，所以P (64<X ≤72)＝12[P (64<X ≤96)－P (72<X ≤88)] ＝12×(0.954 5－0.682 7)11＝0.135 9.14．(选做题)从某校的一次学科知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：(2)由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N (μ，196)，其中μ近似为样本平均数x .①利用该正态分布，求P (Z >74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求E (X )．附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)样本平均数x ＝35×350＋45×1050＋55×1250＋65×1550＋75×650＋85×250＋95×250＝60. (2)①由(1)可知，Z ～N (60，196)，故P (Z >74)＝1－P （60－14<Z <60＋14）2＝0.158 65. ②由①知，某位同学参加学科知识竞赛的成绩Z 超过74分的概率为0.158 65，依题意可知，X ～B (20，0.158 65)，所以E (X )＝20×0.158 65＝3.173.。

正态分布表达式

正态分布表达式
正态分布表达式：
正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。

遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布主要特点：
估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。

制定参考值范围：正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。

质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。

这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。