南航金城信号与线性系统课后答案 第二章 连续系统的时域分析习题解答
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统考题参考解答(完整版)
《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。
证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数） 解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。
若是，确定其周期。
（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。
显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。
（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。
（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。
1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。
（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。
课后习题及答案_第2章时域离散信号和系统的频域分析--习题答案.doc
n = −∞
∑ x (n)e
2
=
1 jω 1 e + 1 + e − jω 2 2
=1+
1 jω (e + e − jω ) = 1 + cos ω 2
4
jω （ 3） X 3 ( e ) =
n = −∞
∑ a u ( n )e
n ∞ n − jωn
∞
− jωn
=
∑a e
n =0
∞ n = −∞
=
∑ x ( n )e
∞
− jωn
因为 xe(n)的傅里叶变换对应 X(ejω)的实部， 的虚部乘以 j， 因此
dX (e jω ) = FT[ − jnx( n)] dω
∫
π
−π
7 dX (e jω ) 2 dω = 2π nx(n) = 316π dω n = −3
2
∑
6.解： （ 1）
X 1 (e jω ) =
n = −∞ ∞
∑ δ(n − 3) e
− j ωn
∞
− jωn
= e − j3ω
jω （ 2） X 2 ( e ) =
jω
（5）FT[ x(n) y (n)] =
= = =
n = −∞ ∞
∑ x ( n ) y ( n )e
1
∞
− j ωn
n = −∞
Y (e ω )e ω ∑ x ( n) 2π ∫ π
j ′ −
π
j ′n
dω ′e − jωn dω ′
1 2π 1 2π
∫ ∫
π
−π
Y (e jω ′ )
第2章 答案 1.解： （1） FT[ x(n − n0 )] =
《信号与系统》课后习题参考答案
《信号与系统》课后习题参考答案第二章 连续信号与系统的时域分析2-9、（1）解：∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。
又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-∴A=-6则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u et t h t --=δ。
∴⎰⎰∞--∞--==t td ue d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞---t d u e τττ)(63 )()(6)(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=则系统的阶跃响应)(2)(3t u et g t -=。
2-11、解：①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C eC t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：t t e A eA t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==)()2121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t te C e C )2121(32t t t e e e ---+- t tt e C e C e 3221)21()1(21---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，21=C 21=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C0212=+C 212-=C ∴=-)0(r 21211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：（1）依题意，得：)(2)(*)()(t u e t h t u t r tzi -=+)()()(t t h t r zi δ=+∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi ziδ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi--=-'δ ∴)(11)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(11)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t--=δ∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e tt t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e et r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且311--=e A 。
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e-t) (t)，强迫响应为(1-e-2t) (t)，则下面的说法正确的是______________(A)该系统一定是二阶系统(B)该系统一定是稳定系统(C)零输入响应中一定包含(e-3t+e-t) (t)(D )零状态响应中一定包含(1-e-2t) (t)X2.2(西安电子科技大学2005年考研题)信号f1(t)和f2(t)如图X2.2所示,f=f1(t)* f2(t)，则f(-1)等于__________图X2.2X2.3 (西女电子科技大学2005年考研题)下列等式不成立的是(A) f1(t t。
)* f2(t t°) 锂) * f2(t)(B)-J—f1(t)* f2(t) dtd f1(t)dt-J* — f2(t) dt 2(C) f(t)* (t) f (t)(D) f(t)* (t) f (t)答案：X2.1[D] , X2.2[C], X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打错误的打“X” 。
(1 )若y(t) f(t)*h(t)，则y(2t) 2f(2t)*h(2t)。
[](2)如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。
[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[](4 )若y(t) f(t)*h(t)，则y( t) f( t)*h( t)。
[](5)两个LTI系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
[]第二章、单项选择题连续系统的时域分析(C) 1.5 ( D)-0.5(A)T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。
(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。
信号与系统第2章作业解答
解：（1） f (t t0 ) (t) f (t0 ) (t)
（2） f (t t0 ) (t t0 )dt f (0)
（3） 2 et (t 3)dt e3 2 (t 3)dt e3
4
4
(4) et sin t (t 1)dt 0 0
第二章 连续时间信号的时域分析
2
n
（4） x1(n) x2 (n) 2n u(n) 3n u(n) 2k 3nk k 0
3n
n
( 2 )k
1 ( 2)n1 3n 3 [3n1 2n1]u(n)
k0 3
1 2
3
（5） x1(n) x2 (n) [(0.5)n u(n 4)][4nu(n 2)]
( 1)k u(k 4) 4nk u(n k 2) 2 k
P59 2.24 解： （2） f1 f3 r(t) r(t 1) r(t 2)
2r(t 1) 2r(t 2) 2r(t 3) r(t 2) r(t 3) r(t 4)
f1 f3
1
0
1
2
34
t
-1
r(t) 3r(t 1) 4r(t 2) 3r(t 3) r(t 4)
4
42
（2） (t 3)etdt e3
（3） (1 t)(t2 4)dt 5
（4） (t) sin 2t dt 2 (t) sin 2t dt 2
t
2t
第二章 连续时间信号的时域分析
6 / 11
P91 3.1 (5) (6) 解： 由题意知 x(n) 的波形如下图示
eatu(t) sin tu(t) a sin t cos t eat u(t) 1 a2
第二章 连续时间信号的时域分析
信号与线性系统课后答案
解： (a) H ( p)
p
p p
1
2
p p2
2
1
1 2
1 4
2( 1 ) 2
p2 1
p
2
+ 1F
f
-
1F
+
1H u -
h(t
)
1 2
(t)
2 4
sin
t (t), 2
(a)
g(t)
t
h( )d
0_
1 2
(t
)
2 4
cos
2
t (t)
0
1 2
cos
t (t) . 2
+
(b) H ( p)
4j
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(5) y(t) f1(t 1) f1(t 2) sinπ(t 1)[ε(t 1) ε(t 2)] sinπt[ε(t 2) ε(t 1)];
(6)
y(t)
n0
f2 (t
nT )
sinπ n0 T
(t
nT )ε(t
nT
)
sinπT tε(sinπT t)ε(t) .
p
2
p 1 p
1
;
Hi
f
( p)
i0 (t) f (t)
p
p2 2
p
p
1
.
2 -3 给定如下传输算子 H( p)，试写出它们对应的微分方程。
( 1)
H ( p)
p p
3
;
(2) H ( p)
p p
3 3
;
(3)
H(
p)
p3 2p 3
信号与系统第二章连续系统的时域分析
解：齐次解同上。由于f(t)=e–2t，其指数与特征根之 一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得P1e-2t = e–2t 所以P1= 1 但P0不能求得。全解为
) (t)
2.若描述系统的微分方程为：
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t)
可根据LTI系统的线性性质和微积分特性
求出阶跃响应。
三、冲激响应和阶跃响应的关系
(t) d (t)
其经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程： y(n) (t) +an-1y(n-1) (t) +…+ a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特 征根确定。特解的函数形式与激励有关。
例（p40）描述某系统的微分方程为： y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)，求：
dt
t
(t) (x)dx
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
例2.2-3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应
x’(t)
f(t)
x’’(t)
+
-
-
3
2
1
x(t)
－
y(t)
2+
《信号与系统》第二章习题解答
yt xt ht
(b) If d y t dctontains only three
value of a?
discontinuities,what is the
Solution ：
yt
a
0 a 1 1+a t
5
Chapter 2
Problems Solution
2.11 Let xt ut 3 ut 5 ht e3tut
a
u0 tcostdt
cost
1
t0
b
5
0
sin2t t 3dt 0
c
5
5
u1 1
cos2
d
1 t
6 4
u1tcos2 1tdt
1cos2t 0 t 0
8
Chapter 2
Problems Solution
2.22a
xt ht
e e
tut
信号与线性系统 白恩健书答案
第1章基本概念K第1章习题k1.1解：（1）x(t)为周期信号，周期为T=10。
（2）x(t)为非周期信号。
（3）x[n]为非周期信号。
（4）x[n]为周期信号，周期为N=2。
（5）x(t)为非周期信号。
（6）x[n]为周期信号，周期为N=2。
1.2解：（1）x(t)为功率信号。
（2）x(t)既不是能量信号也不是功率信号。
（3）x[n]为能量信号。
（4）x(t)为能量信号。
（5）x(t)为能量信号。
（6）x[n]为能量信号。
1.3略。
1.4略。
1.5（原题有误）一个离散时间系统的激励与响应的关系为y[n]=M∑i=0b i x[n−i]。
用算符S−k代表将信号x[n]平移k个单位时间得到输出信号x[n−k]的系统，即x[n−k]=S−k(x[n])。
写出联系y[n]与x[n]的系统算符T及其可逆系统的算符T inv。
解：提示：可逆系统为y[n]−M∑i=1b i x[n−i]=b0x[n]。
1.6解：（1）因果、无记忆、非线性、时不变、BIBO稳定系统。
（2）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（3）因果、无记忆、线性、时变和非稳定系统。
（4）因果、记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（5）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（6）因果、记忆、时不变、非稳定系统。
–2/48–第1章基本概念（7）因果、无记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（8）非因果系统、无记忆、线性、时不变、BIBO稳定系统。
1.7证明略。
1.8解：（1）x[n]的响应为{1,1,−1,2,n=0,1,2,3}。
（2）x[n]的响应为{1,1,−3,1,3,−5,2,n=−3∼3}。
（3）x[n]的响应为{1,0,−1,4,−3,2,n=−2∼3}。
1.9证明提示：根据微积分的极限定义证明。
1.10解：（1）x(t)的响应为4(1−e−t)u(t)−6(1−e−t+1)u(t−1)。
（2）x(t)的响应为[2(t+e−t)−2]u(t)。
信号与线性系统_习题答案(有错版)
2.1 (1) 已知连续时间信号 x(t ) 如图 P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) x(t − 2) (b) x(1 − t ) (c) x(2t + 2) (2) 根据图 P2.1(b)所示的信号 h(t ) ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) h(t + 3) (b) h( − 2) (c) h(1 − 2t ) (3) 根据图 P2.1(a)和(b)所示的 x(t ) 和 h(t ) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) x(t )h(−t ) (b) x(1 − t )h(t − 1) (c) x(2 − ) h(t + 4)
其基波周期 T0 是 T1 , T2 的最小公倍数。 (b) x(n) 和 y ( n) 是周期的， x(n + = N1 ) x(n), y (n + N = y ( n) 2) 令 f= (n) x(n) + y (n) ，欲使 f (n) 是周期的，必须有
= N 0 kN = mN 2 1
πn
4
，对所有 n ，
7
1 n , n奇 显然 x(n) 是非周期的，但 y1 (n) 是周期的。 h(n) = 3 0, n偶
(c) 正确。若 x(n) 的周期为 N ，则 y2 (n) 的周期为 2 N 。 (d) 正确。若 y2 (n) 的周期为 N ，则 N 只能是偶数。 x(n) 的周期为 N / 2 。 2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (a) = x(t ) 2 cos(3t + π / 4) (c) x(t ) = e (e) = x ( n)
1
《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。
信号与系统第二章答案
f (n ) x (n ) y ( n) ，欲使 f (n ) 是周期的，必须有 N 0 kN1 mN 2
(h)
(i)
(j)
x (n ) 2 cos( n / 4) sin( n / 8) 2 sin( n / 2 / 6) x (t ) 2 cos(3t / 4) ，周期信号， T
2 3
。
解：(a)
(b)
x (n ) cos(8 n / 7 2) ，周期信号， Q 0 x (t ) e j ( t 1) ，周期信号， T 2 。
(c)
(a)
h (t 3)
(b)
h (1 2t )
(3) 根据图 P2.1(a) 和(b) 所示的
x (t ) 和 h (t ) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(b)
(a)
x(t )h(t )
x(1 t )h(t 1)
(c)
t x (2 )h (t 4) 2
图 P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：
(d)
x (n ) e j (n / 8 )
(e)
x (n ) (n 3m ) (n 1 3m)
m 0
(f)
x (t ) cos 2 t u (t ) x (t ) Ev cos 2 t u (t )
(g)
x (n ) cos( n / 4) cos( n / 4) x (t ) Ev cos(2 t / 4) u (t )
(b) 不正确。设
x (n ) g (n ) h (n ) ，其中 g ( n) sin
n ，对所有 n ， 4
信号与系统课后答案 第2章 习题解
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
信号与系统第2章 习题答案
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k 。
刚体与地面间的摩擦系数为f ，外加牵引力为)(t F S ，求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。
题图2-1解：由机械系统元件特性，拉力k F 与位移x 成正比，即k F kx =又()()tx t v d ττ-∞=⎰所以，()()()tk F t kx t kv d ττ-∞==⎰刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得()()()()ts dF t fv t k v d mv t dtττ-∞--=⎰ 整理得22()()()()s d d dm v t fv t kv t F t dt dt dt--= 2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源)(t i s ，试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：()()()C L S i t i t i t += （1） 根据电容特性，()()C C di t Cu t dt= （2） 由电路的基尔霍夫电压定律可得：12()()()()C C L L du t R i t L i t R i t dt+=+ （3） 将21()()()()C L L C du t Li t R i t R i t dt=+-代入（2）得 2212()()()()C L L C d d di t LC i t R C i t R C i t dt dt dt=+-（4）()()()C S L i t i t i t =-代入（4）得，22112()()()()()()S L L L S L d d d di t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt-=+-+整理得，21212()11()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC+++=+ （5） 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-，即11()()()L S u t i t i t R =-代入（5）得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC+-+-+-=+整理得，221211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt+++=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为)(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =，1)0(=-y ,1)0('=-y ，试计算)0(+y 和)0('+y 值。
信号与系统教案第2章 (2)
6δ (t ) − 6∆u(t )
→ r ( 0+ ) − r ( 0− ) =−6
→ r ( 0+ ) = r ( 0− ) −6
信号与系统
数学描述
d 由方 程 r ( t ) + 2r ( t ) = 3δ ′ ( t ) 可知 dt
设 则
代入方程 aδ ′( t ) + bδ ( t ) + c∆u( t ) + 2aδ ( t ) + 2b∆u( t ) = 3δ ′( t ) 或 aδ ′( t ) + (b + 2a)δ ( t ) + (c + 2b)∆u( t ) = 3δ ′( t ) 得出
dn dn-1 an n r(t) + an−1 n−1 r(t) +L+ a0r(t) dt dt dm dm-1 = bm m e(t) + bm−1 m−1 e(t) +L+ b0e(t) dt dt
信号与系统
微分方程的求解
经典法
齐次解：由特征方程 求出特征根 求出特征根→写出齐次解形式 齐次解：由特征方程→求出特征根 写出齐次解形式
信号与系统
微分方程的经典求解
例：求微分方程的完全解 d2 d r(t) + 6 r(t) + 5r(t) = e−t dt 2 dt d2 d 解: 齐次方程为 r (t ) + 6 r (t ) + 5r (t ) = 0 2 dt dt
特征方程： 特征方程： 特征根： 特征根： 该方程的齐次解为： 该方程的齐次解为：
信号与系统
第二章 连续时间系统的时域分析
信号与系统
§2.2 微分方程的建立
信号与系统第2章 连续信号与系统的时域分析
-1 0 1 2 |a|>1 原信号被压缩
-1 0
2
-2 -1 0 2 4 0<|a|<1 原信号被扩展
对音像的快放（压缩）和慢放（扩展）可视 33 为尺度变换。
2 1
压缩2倍 2
1 2
2 1
-1 0
-1 0
1
2
将原信号的变量t为2t，则
f ( 2 t ) u (t ) tu ( t ) (1 t ) u ( t 1)
仅时序变化 幅值没变 2 1 2 1
反褶 2 -2 0
-1 0
1
通过对音像的倒放可以实现反褶。
30
2 1
反褶 2
三角脉冲
2 1
-1 0
-2
0
1
原信号的表示式为：
f (t ) 1 2 u ( t 1) 1 2
矩形脉冲
t [ u ( t ) u ( t 2 )] u ( t 1) u ( t 2 ) tu ( t ) (1 1 2 t )u (t 2 )
•信号的加减运算：f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t )
注意要在对应的时间上进行加减运算。
1
t1 1 0 t2 2 1 0 -1 t2
相加
t1
0
-1
26
•信号的相乘运算： f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行相乘运算。
1
t1
波形没有变化，即没有失真
2 1
2 1
2 1
-1 0
2
-1 0
2
b<0 向右移位
-2 -1 0 1 b>0 向左移位
信号与系统课后答案2
A1e −2t
+
2 A2e−8t
故有
uc (0+ ) = A1 + A2 = 6
i(0+ )
=
1 2
A1
+
2 A2
=
0
联解得 A1-=8,A2=-2。故得
uc (t) = 8e−2t − 2e−8t V t ≥ 0
又得
i(t) = −C duc = 4e−2t − 4e−8t A t ≥ 0 dt
1 1
+
p u2 (t)
=
0
即
1 3
p
+ 1u1 (t )
− u2 (t)
=
pf
(t)
( ) − u1(t) + p2 + p +1 u2 (t) = 0
联解得
u2 (t) =
p2
3 + 4p + 4
f (t) =
H ( p) f (t)
故得转移算子为
H（p) =
u2 (t) f (t)
=
p2
3 + 4p + 4
f1(t −1) − f1(t − 2) + f1(t − 3)
y2(t)的波形如图题 2.10(d)所示 2-11．
d f (t)
试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励 f(t)产生的响应为 y(t)，则激励 dt
产生
∫ ∫ d
的响应为 dt
y(t)
（微分性质），激励
t −∞
f (τ )dτ
故得
3 3
进一步又可求得 uc(t)为
uc
(t )
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
第二章 连续系统的时域分析一、单项选择题X2.1（东南大学2002年考研题）一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e -3t +e -t )ε(t )，强迫响应为(1-e -2t )ε(t )，则下面的说法正确的是 。
（A ）该系统一定是二阶系统 （B ）该系统一定是稳定系统（C ）零输入响应中一定包含(e -3t +e -t )ε(t ) （D ）零状态响应中一定包含(1-e -2t )ε(t )X2.2（西安电子科技大学2005年考研题）信号f 1(t )和 f 2(t ) 如图X2.2所示，f =f 1(t )* f 2(t )，则 f (-1)等于 。
（A ）1 （B ）-1 （C ）1.5 （D ）-0.5图X2.2X2.3（西安电子科技大学2005年考研题）下列等式不成立的是 。
[])()(*)()()()(*)()()(*)()(*)()()(*)()(*)()(2121210201t f t t f D t f t t f C t f dt d t f dt d t f t f dt d B t f t f t t f t t f A ='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+-δδ答案：X2.1[D]，X2.2[C]，X2.3[B]二、判断与填空题T2.1（北京航空航天大学2001年考研题）判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。
（1）若)(*)()(t h t f t y =，则)2(*)2(2)2(t h t f t y =。
[ ] （2）如果x (t )和y (t )均为奇函数，则x (t )*y (t )为偶函数。
[ ] （3）卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[ ] （4）若)(*)()(t h t f t y =，则)(*)()(t h t f t y --=-。
[ ]（5）两个LTI 系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析.doc
第二章 连续系统的时域分析一、单项选择题X2.1（东南大学2002年考研题）一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e -3t +e -t )ε(t )，强迫响应为(1-e -2t )ε(t )，则下面的说法正确的是 。
（A ）该系统一定是二阶系统 （B ）该系统一定是稳定系统（C ）零输入响应中一定包含(e -3t +e -t )ε(t ) （D ）零状态响应中一定包含(1-e -2t )ε(t )X2.2（西安电子科技大学2005年考研题）信号f 1(t )和 f 2(t ) 如图X2.2所示，f =f 1(t )* f 2(t )，则 f (-1)等于 。
（A ）1 （B ）-1 （C ）1.5 （D ）-0.5图X2.2X2.3（西安电子科技大学2005年考研题）下列等式不成立的是 。
[])()(*)()()()(*)()()(*)()(*)()()(*)()(*)()(2121210201t f t t f D t f t t f C t f dt d t f dt d t f t f dt d B t f t f t t f t t f A ='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+-δδ答案：X2.1[D]，X2.2[C]，X2.3[B]二、判断与填空题T2.1（北京航空航天大学2001年考研题）判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。
（1）若)(*)()(t h t f t y =，则)2(*)2(2)2(t h t f t y =。
[ ] （2）如果x (t )和y (t )均为奇函数，则x (t )*y (t )为偶函数。
[ ] （3）卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[ ] （4）若)(*)()(t h t f t y =，则)(*)()(t h t f t y --=-。
[ ]（5）两个LTI 系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
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X 第二章 连续系统的时域分析习题解答2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。
试列写各响应关于激励微分算子方程。
解：.1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1111)( )b (; 105.7)625(3 102 ;)(375)()6253(4)()()61002.041( )a (0202200204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p ppf t u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++⇒++=+=+++=++=⨯=+⇒⨯==+⇒=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。
解：. 1)()()( ; 11)()()( )b (; 6253105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (220 20 40 0 +++==+++==+⨯==+==-p p pp t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i f u2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。
.)2)(1()3()( )4( ; 323)( )3(; 33)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+=p p p p p H p p p H p p p H p p p H解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d )1( f tfy t y t f y t y +=+=+. d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f tf y t y t y f t f y t y +=+++=+2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为：. 4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(13)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84()12()( )2(;1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(42)( )1(---2---2--=''='=++==''='=+++-=='=+++=t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t y f (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a)图题2-1试求系统的零输入响应y x (t )(t 0)。
解：,e e)( ,3 ,1 )1(32121t tA A t y p p --+=-=-=. 0 , )e 12(1)(121444200 ,)e ()( , 2 ,0 )3(. 0 , 2sin e 5.0)(905.00cos 240)sin (cos 21cos 0 ,)2cos(e )( , 2j 2 ,0 )2(;0 , e 5.1e 5.3)(5.15.3312 232132323123213 ,2123213233232132213 ,213212121 t t t y A A A A A A A A A A t A A t y p p t t t y A A A A A A A A A A A A t A A t y p p t t y A A A A A A t t t t t t ------+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=+=++=-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧︒-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++=±-==-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧--=+= 2-5 已知图题2-5各电路零输入响应分别为：.0 ,V sin e6cos e2)( (b); 0 ,V e 4e 6)( )a (3343x x t t t t u t t u ttt t ----+=-=求u (0-)、i (0-)。
解：;V 246)0()0( )a (x =-==+-u u.0)66(1.0)0()0( V;202)0()0( )b (A3512)1618(61)0()0( x x x x =+-===+===++-==+-+-+-i i u u i i 2-6 图题2-6所示各电路：(a) 已知i (0-) = 0，u (0-) = 5V ，求u x (t )； (b) 已知u (0-) = 4V ，i (0-) = 0，求i x (t )； (c) 已知i (0-) = 0，u (0-) = 3V ，求u x (t ) .解：0650650)( )(2=++⇒=++⇒=p p pp p a Z(b) 图题2-5(a) 1 6F(a) (b)(c)图题2-6.0 ,V e 10e 15)( ,10 ,1532050)0()0(' ,V 5)0(e e )(3 , 2 32212121322121---------=-==⇒⎩⎨⎧--=+=⇒===+=⇒-=-=⇒ t t u A A A A A A C i u u A A t u p p t t x x x t t x.0 ,V e e 4 ,4 ,1 ,15035)0(' ,V 3)0( ,e e ,4,1,045045: )c (. 0 ,A sin e 4)( ,2 ,4 sin cos 4cos 04401)0(' , 0)0( )cos(e )(11 , 11 022011110)( )b (4214212122121212121212-------------==-=-=+⨯-==+=-=-==++⇒=++=-==⇒⎩⎨⎧--==⇒=+⨯-==+=⇒--=+-=⇒=++⇒=+++⇒= t u A A u u A A u p p p p p p t t t i A A A A A A A A i i A t A t i j p j p p p p p p t t x x x t t x t x x x t x 同理/πY 2-7 已知三个连续系统的传输算子H (p )分别为：. )2(13 )3( ; )84()12( )2( ; )3)(1(42)1(22+++++-+++p p p p p p p p p p 试求各系统的单位冲激响应h (t )。
解：; )()e e ()(3111)( )1(3t t h p p p H t t ε--+=⇒+++=.)()e 41e 2541()(241)2(5.241)( )3(;)()2sin e 875.02cos e 8181()( 2)2(2875.0)2(8181)( 5.1,81)84(1)21()81(8481)( )2(2222222222t t t h p p p p H t t t t h p p p p H B A p p p p B p A p p B Ap p p H t t t t εε-----+=⇒+-++=-+-=⇒++⨯-++-=⇒-==⇒++--+-=++++-= 2-8 求图题2-8所示各电路中关于u (t )的冲激响应h (t )解：(a)f u pu pu u i i pui f 480422111=+⇒⎩⎨⎧=--+=- e 5.0)(125.05.0184)( 81t h p p f u p H tε-=⇒+=+==⇒ (a).V )()e 4.0e 4.2()( 64.214.0 6723115.01111311)( )c (.V )()e 2e 2()( 221223235.015.01)( )b (6222t t h p p p p p pp p p H t t h p p p p p pp p H t t t t εε-----=⇒+++-=++=+++⨯+=-=⇒+-+=++=++=2-9 求图题2-9所示各电路关于u (t )的冲激响应h (t )与阶跃响应g (t )。
解：2cos 21)(0 2cos 42)(21)()( ),(2sin 42)(21)( 21)21(24121121)( )a ( t _0 222t t tt dh t g t t t t h p p p p p p p p H ετεττεδ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==-=⇒+-=+=++=-⎰),(e 41)(21)(2141211212111)( )b ( 21 t t t h p p p p p p H t εδ-+=⇒++=++=++=. )()e e ()(0]e e [)()( )e e 2()(112211122)( )c (()e 211()(0e 21)(21)()( 2 2_0 2 21 21 _0 t t][t t t d h t g t h p p ppp p H t t t t d h t g tt t t t εεττεεεετττττ-----------=+-==-=⇒+-+=+-+=-=-==⎰⎰2-10 如图题2-10所示系统，已知两个子系统的冲激响应分别为h 1(t ) (t 1)，h 2(t ) (t )解：求和号后的冲激响应为)1()(-+t t δδ，于是整个系统的冲激响应为：(b) u (c) 图题2-8u(a)(b)(c)图题2-9图题2-10y (t )f (t ))1()()(-+=t t t h εε2-11 各信号波形如题图2-11所示，试计算下列卷积，并画出其波形。
. )(')( )3( ; )()( )2( ; )()( )1(41 31 21t f t f t f t f t f t f ***解：.)3()3(21)1()1(23)1()1(23)3()3(21 )3()3(21)1()1()1()1(21 )1()1(21)1()1()3()3(21 )1()1()(')( )3();6()6(21)5()5(21)4()4(21)3()3( )2()2(21)1()1(21)(21 )4()3()2()()( )2();4()4(21)2()2( )()2()2()4()4(21 )2()2()()( )1(2()2(21)()2()2(21)(11411113111211-----+++-++=-----+++---+++-++=--+=--+--------+------=-+---=--+---+++-++=-++=--+-++=t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t f t f t f t f t t t t t t t t t t t t t t t f t f t f t f t f t t t t t t t t t t t f t f t f t f t t t t t t t f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε***2-12 求下列各组信号的卷积积分。