尺规作图九种基本作图(1)

B

P

A

a

O

Q

P

N

M O

N M

B

P

A 尺规作图

【知识回顾】

1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .

求作：线段AB ，使AB = a . 作法：

（1） 作射线AP ；

（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。 已知：如图，线段MN.

求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：

（１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2

1

的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ．

则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，

求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法：

（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN 2

1的线段长

为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

N

M B O

A

③

②

①

A'A'

N'

O'

B'

M'O'

A'

N'

M'

M'

O'

Q

N

D

C P

P M B

A

B

A P

A B

B

A P Q N D C

M

（4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB

作法：

（1）作射线O ’A ’；

（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P 是直线AB 上一点。

求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。

作法：

（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；

（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2

1的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ，

且CD ⊥AB 。 作法：

（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；

（2）分别以M 、N 圆心，大于MN 2

1

长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ；

（3）过P 、Q 作直线CD 。

c a b C

b

a

c B

A α

n

C

B

A

m

m

n α

C

B

A

m

β

α

βα则直线CD 就是所求作的直线。

（7）题目七：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c.

求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：

（1） 作线段AB = c ；

（2） 以A 为圆心，以b 为半径作弧，

以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠α.

求作：△ABC ，使∠A=∠α，AB=m ，AC=n. 作法：

（1） 作∠A=∠α；

（2） 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； （3） 连接BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠α，∠β，线段m .

求作：△ABC ，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：

（1） 作线段AB=m ； （2） 在AB 的同旁

作∠A=∠α，作∠B=∠β，

∠A 与∠B 的另一边相交于C 。

则△ABC 就是所求作的图形（三角形）。