尺规作图九种基本作图(1)

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(完整版)尺规作图方法大全

M尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a .作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a .则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于　的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ；（２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP 平分∠AOB）。

作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

d①①①BAP（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P是直线AB上一点。

求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；MN21（3）过D、Q作直线CD。

基本尺规作图

基本尺规作图在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中垂线。

已知：如图，线段MN.求作：直线PQ，使PQ┴MN.作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的ＭＮ的中垂线。

题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．图（1）图（2）（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．过一点作已知直线的垂线；过直线上(或直线外)一点作已知直线的垂线:①过直线上一点作已知直线的垂线;图1-9-5②过直线外一点作已知直线的垂线.图1-9-6例1：阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．【答案】等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线小云的作法如下：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是.【答案】四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行(本题答案不唯一) 例3阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：作法正确的同学是；这位同学作图的依据是．【答案】丁；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；等量代换。

尺规作图九种基本作图

a尺规做图之阳早格格创做【知识回瞅】1、尺规做图的定义：尺规做图是指用不刻度的曲尺战圆规做图.最基原,最时常使用的尺规做图,常常称基原做图.一些搀纯的尺规做图皆是由基原做图组成的.2、五种基原做图：1、做一条线段等于已知线段；2、做一个角等于已知角；3、做已知线段的笔曲仄分线；4、做已知角的角仄分线；5、过一面做已知曲线的垂线；（1）题目一：做一条线段等于已知线段.已知：如图，线段a .供做：线段AB ，使AB = a . 做法：（1）做射线AP ；（2）正在射线AP 上截与AB=a .则线段AB 便是所供做的图形.（2）题目二：做已知线段的笔曲仄分线. 已知：如图，线段MN.供做：面O ，使MO=NO （即O 是MN 的中面）. 做法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的相共线段为半径绘弧，二弧相接于P ，Q ；（２）对接PQ 接MN 于O ．则面PQ 便是所供做的ＭＮ的笔曲仄分线. （3）题目三：做已知角的角仄分线. 已知：如图，∠AOB ，供做：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 仄分∠AOB ）. 做法：（1）以O 为圆心，任性少度为半径绘弧，分别接OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN 21的线段少为半径绘弧，二弧接∠AOB 内于Ｐ；（3）做射线OP.则射线OP 便是∠AOB 的角仄分线. （4）题目四：做一个角等于已知角. 已知：如图，∠AOB.供做：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 做法：（1）做射线O’A’；（2）以O 为圆心，任性少度为半径绘弧，接OA 于M ，接OB 于N ；BAP（3）以O’为圆心，以OM 的少为半径绘弧，接O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN 的少为半径绘弧，接前弧于N’；（5）对接O’N’并延少到B’. 则∠A’O’B’便是所供做的角.（5）题目五：通过曲线上一面干已知曲线的垂线. 已知：如图，P 是曲线AB 上一面.供做：曲线CD ，是CD 通过面P ，且CD ⊥AB. 做法：（1）以P 为圆心，任性少为半径绘弧，接AB 于M 、N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的少为半径绘弧，二弧接于面Q ；（3）过D 、Q 做曲线CD. 则曲线CD 是供做的曲线. （6）题目六：通过曲线中一面做已知曲线的垂线已知：如图，曲线AB 及中一面P.供做：曲线CD ，使CD 通过面P ，且CD ⊥AB.做法：（1）以P 为圆心，任性少为半径绘弧，接AB 于M 、N ；（2）分别以M 、N 圆心，大于MN 21少度的一半为半径绘弧，二弧接于面Q ；c abmn （3）过P、Q做曲线CD.则曲线CD便是所供做的曲线.（7）题目七：已知三边做三角形.已知：如图，线段a，b，c.供做：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 做法：（1）做线段AB = c；（2）以A为圆心，以b为半径做弧，以B为圆心，以a为半径做弧与前弧相接于C；（3）对接AC，BC.则△ABC便是所供做的三角形.（8）题目八：已知二边及夹角做三角形.已知：如图，线段m，n,∠α.供做：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.做法：（1）做∠A=∠α；（2）正在AB上截与AB=m ,AC=n；（3）对接BC.则△ABC便是所供做的三角形.（9）题目九：已知二角及夹边做三角形.已知：如图，∠α，∠β，线段m .供做：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.做法：（1）做线段AB=m；（2）正在AB的共旁做∠A=∠α，做∠B=∠β，∠A与∠B的另一边相接于C.则△ABC便是所供做的图形（三角形）.。

尺规作图基本作图(一).doc

三尺规作图§3．10 基本作图(一)一、教学目标1．使学生了解尺规作图的意义．2．使学生熟练掌握基本作图①、②．3．会用几何语言叙述作图过程．二、教学重点和难点1．重点：正确掌握基本作图①、②．2．难点：会用精练准确的几何语言叙述作图过程．三、教学方法引导学生动手动脑，掌握基本作图①、②．熟悉作图语言．四、教学手段利用硬纸片剪接将知识具体化．五、教学过程(一)复习提问1．什么叫做角？角的平分线？2．已知△ABC和△A'B'C'中AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．求证：△ABC≌△A'B'C'．(二)引入新课前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．本节我们学习这种几何作图方法．(三)讲解新课前面，我们学过用刻度尺、三角板、量角器和圆规等多种工具画几何图形．如果只用直尺(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的．我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)和圆规，也可以画出许多图形，有时还很方便．(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．(2)基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面再介绍几种基本作图：1．作一个角等于已知角下面我们研究只用直尺和圆规画一个角等于已知角．前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．作一个角等于已知角就是已知：∠AOB如图3-57．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．分析：假设∠A'O'B'已作出，且∠A'O'B'=∠AOB，如图3-58，在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D'，使OC=OD=O'C'=O'D'，那么△COD≌△C'O'D'．由此可知，要作出∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB，只要作出△O'C'D'，使O'C'=OC，O'D'=OD，C'D'=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．作法：(请同学们读句画图)(投影仪打出)(1)作射线O'A'．(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D，如图3-59．(3)以点O'为圆心，以O'C'长为半径作弧，交O'A'于C'．(4)以点C'为圆心，以C'D'长为半径作弧，交前弧于D'．(5)经过点D'作射线O'B'，∠A'O'B就是所求的角．证明：连结CD、C'D'，由作法可知△C'O'D≌△COD(SSS)∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等)．即∠A'O'B'=∠AOB．说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．练习：如图3-60，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规．然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．让学生写出证明过程．2．平分已知角前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？分析：如图3-61，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？已知：∠AOB如图3-62．求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．两弧交于点C．(3)作射线OC．OC就是所求的射线．证明：连结CD、CE，由作法可知△ODC≌△OEC∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．即∠AOC=∠BOC．小结：(1)基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁．(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠A'O'B'就是所求的角．”(4)要熟练掌握常用的几种几何作图语言．如：①过点×、点×作直线××；或作直线××；(用投影仪)或作射线××．②连结两点××；或连结××．③在××上截取××=××．④延长××到点×，或延长××到×使××=××．(5)在以后的作图中，如果遇到属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只把它当作“成法”用一句话概括即可，如作∠×××=∠×××．(四)练习教材P．59中练习1、2．(五)作业教材P．64中习题3．5 A组2、3、4．(六)板书设计。

尺规作图的知识归纳

考点名称：尺规作图尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。

还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。

注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED 中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处B．二处C．三处D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7(2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8(2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．考点一尺规作图 1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤： (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； (2)分析作图的方法和过程； (3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法．考点二五种基本作图 1．作一线段等于已知线段； 2．作一个角等于已知角； 3．作已知角的平分线； 4．过一点作已知直线的垂线； 5．作已知线段的垂直平分线．考点三基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.。

初中尺规作图详细讲解含图

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们或一部分所组成的图形,因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点；以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上,最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔Pierre Laurent Wantzel首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年,德国数学家林德曼Ferdinand Lindemann证明π是一个超越数即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数,由此即可推得根号π即当圆半径1r=时所求正方形的边长不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规,作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形.·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规即半径固定的圆规作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的,先放弃其中一个条件,那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件,这个点就在另一条轨迹上,故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法,或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等,到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等,发射塔P 应修建在什么位置【例2】【分析】这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点P 应满足两个条件,一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上,所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ,OE 与直线FG 的交点1C ,2C 就是发射塔的位置.【例3】在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(4,0),O 是坐标原点,在直线3y x =+上求一点P ,使AOP ∆是等腰三角形,这样的P 点有几个【例4】【解析】首先要清楚点P 需满足两个条件,一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次,寻找P点要分情况讨论,也就是当OA OP =时,以O 点为圆心,OA 为半径画圆,与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时,以A 点为圆心,OA 为半径画圆,与直线无交点；当PO PA =时,作OA 的垂直平分线,与直线有一交点3P ,所以总计这样的P 点有3个.【例5】设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r 的圆,使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】设M ⊙是符合条件的圆,即其半径为r ,并与O ⊙及'O ⊙外切,显然,点M 是由两个轨迹确定的,即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上,又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上,因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ,当2r b <时,该题无解,当2r b =有唯一解；当2r b >时,有两解.【解析】以当O ⊙与'O ⊙相距为b ,2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+,''O B R r =+.⑵ 分别以O ,'O 为圆心,以R r +,'R r +为半径作圆,两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ,2OM ,分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心,以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.思考若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r ()r R >的圆,使其与O ⊙ 内切,与'O ⊙外切.”又该怎么作图⑵ 代数作图法：解作图题时,往往首先归纳为求出某一线段长,而这线段长的表达式能用代数方法求出,然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例6】只用圆规,不许用直尺,四等分圆周已知圆心.【分析】设半径为1.,也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..一直角边为1的直角三角形度自然就出来了.【解析】具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径,分别以两个相对的等分点为圆心,同向作弧,交于一点.“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2,.可. ⑷【例7】求作一正方形,使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】设ABC ∆的底边长为a ,高为h ,关键是在于求出正方形的边长x ,使得212x ah =,所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】已知：在ABC ∆中,底边长为a ,这个底边上的高为h ,求作：正方形DEFG ,使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ,使得DN h =； ⑶ 取MN 中点O ,以O 为圆心,OM 为半径作O ⊙；⑷ 过D 作DE MN ⊥,交O ⊙于E , ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例8】在已知直线l 上求作一点M ,使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线,其切线长为a .al【分析】先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ,再以O 为圆心,d 为半径作圆,此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆,使得：90A ∠=︒,OA r =,AB a =.⑵ 以O 为圆心,OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交,此时有两个交点1M ,2M . 1M ,2M 即为所求.若此圆与直线l 相切,此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离,此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线,其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题,需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度,以使已知图形与所求图形发生联系,从而发现作图途径.【例9】已知：直线a 、b 、c ,且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆,使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】假设ABC ∆是正三角形,且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ,将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后,置于'ACD ∆的位置,此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒,B 点又可以确定,故符合条件的正三角形可以作出.【解析】作法：⑴ 在直线a 上取一点A ,过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥,交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心,AC 为半径作弧,交b 于B 使B 与'D 在AC 异侧. ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例10】已知：如图,P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆,使得90P ∠=︒,PC PD =,且C 在OA 上,D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ,使得PM PE =或'PM PE =； ⑷ 过M 或'M 作MC l ⊥或'M C l ⊥,交OA 于C 或'C 点；⑸ 连接PC 或'PC ,过P 作PD PC ⊥或''PD PC ⊥交OB 于D 或'D 点. 连接,PD CD 或',''PD C D . 则PCD ∆或''PC D ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图,要作出满足某些条件的图形,可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形,然后利用位似变换,将这个与其位似得图形放大或缩小,以满足全部条件,从而作出满足全部的条件.【例11】已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ,使得D 、E 在BC 边上,F 在AC 边上,G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件,作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ,然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大或缩小得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ,过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ,且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题,通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形,再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形,使面积不变,从而完成所作图形.【例12】如图,过ABC ∆的底边BC 上一定点,P ,求作一直线l ,使其平分ABC ∆的面积.【分析】因为中线AM 平分ABC ∆的面积,所以首先作中线AM ,假设PQ 平分ABC ∆的面积,在AMC ∆中先割去AMP ∆,再补上ANP ∆.只要NM AP ∥,则AMP ∆和AMP ∆就同底等高,此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】作法：⑴ 取BC 中点M ,连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例13】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ,使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ,再取矩形BCDF 对角线的交点'O ,则经过点O ,'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ,交BC 于R ,过线段RQ 中点P ,且与线段AE 、BCNM P CB Al均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例14】 07江苏连云港如图1,点C 将线段AB 分成两部分,如果AC BCAB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S SS S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中,若点D 为AB 边上的黄金分割点如图2,则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗为什么⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF 如图3,则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4,点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点,过点E 作EF AD ∥,交DC 于点F ,显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADCS AD h =△,12BDC S BD h =△,12ABCS AB h =△, ∴ADC ABC S AD S AB =△△,BDC ADC S BDS AD=△△．又∵点D 为边AB 的黄金分割点,∴AD BD AB AD=．∴ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212S S S ==,即121S S S S ≠,∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． ⑶ ∵DF CE ∥,ACB图1A DB 图2C AD B图3C F E 图4∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等, ∴DECFCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ,∴DGE FGC S S =△△．∴ADCFGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形,BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△,∴BEFCAEF ABC AEFS S S S =四边形△△△．∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一,现提供两种画法；画法一：如答图1,取EF 中点G ,再过点G 作一直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ,连接MN ,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．E M 答案图1E M 答案图2。

五种基本的尺规作图

建筑学
在建筑设计中，尺规作图被广泛应用于绘制平面图、立面图和剖面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精确零件图和装配图的重要工具，有助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作图也被用于创作具有几何美感的作品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已知线段的垂直平分线，这在几何作图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆规进行作图的方法，是几何学中的基本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作线段的垂直平分线以及作已知线段的中点。

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图知识要点

尺规作图知识要点一、工具：直尺(不用刻度)、圆规；使用铅笔作图。

二、使用工具：直尺用于画直线、射线、连接线段；圆规用于画弧、圆。

三、交轨法找点：1 .到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的弧上；2 .到两点的距离相等的点在连结这两点的线段的中垂线上；3 .到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；4 .到一直线的距离等于定长的点在距离这条直线为定长的双轨平行线上;5 .到两条平行线距离相等的点在距离这两条平行线相等的单轨平行线上。

四、五个基本作图：L 作一条线段等于已知线段；基本作图语句：作线段唯四。

作法：(1)作射线壁；(2)以A 为圆心，以a 为半径画弧交AE 于B 。

则线段也为所求作线段。

2 ,作一个角等于已知角；基本作图语句：作∕A∣ 0' B'=NA0B 。

作法：(1)作射线0' E ；(2)以Q_为圆心，以适当长为半径画弧，交 ”于此交型于N ；(3)以。

二为圆心，以0M 为半径画弧交射线0' E 中B'；(4)以也为圆心，以幽为半径画弧交前弧于心；八(5)作射线0' A'。

决/ \则NA' 0' B'为所求作的角o3 .平分已知角；基本作图语句：作空平分N 顿。

7T 一作法：(1)以殳为圆心，适当长为半径画弧，交”于旦交空于£；(2)分别以E 、F 为圆心，以大于‘EF 相同长度为半径画弧，在NA0B_ _ 2 — I —内部相交于点C ； C(3)作鼐线工。

则射线0C 为NA0B 的平分线。

'4 .经过一点作已知直线的垂线；，广F 一基本作图语句：过£作胆于D 。

半M 作法：(1)以C 为两心，适当长为半径画弧，交直线AB 于E 、F ；则直线CM 为所求作直线型的垂线。

5 .作线段的垂直平分线。

基本作图语句：作MN,使MN 垂直且平分AB 。

尺规作图资料(完整)

1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6:尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9:单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15:单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20:单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25:只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中。

初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

尺规作图技巧

尺规作图技巧
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

其中直尺必须没有刻度，只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度，只能用来作圆和圆弧．因此，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不可以度量的。

1、尺规作图规范用语
2、尺规作图基本步骤
3、五种基础的尺规作图题型（掌握基础才能挑战复杂题型）
基本作图一：作一条线段等于已知线段。

基本作图二：作一个角等于已知角。

基本作图三：作已知线段的垂直平分线。

基本作图四：作已知角的角平分线
基本作图五：过一点作已知直线的垂线。

4、典型例题分析
END
来源：网络（侵删）。

尺规作图精品课件

尺规作图
1.3 尺规基本几何作图
正六边形的作图 (1)
已知对角线长度 D
作法一
作法二
正六边形的作图 (2)
已知对边距离 S
作法一
作法二
正五边形的作图
已知外接圆直径 D
A
A
B KO
K OC
(a)
(b)
(c )
1. பைடு நூலகம்度
斜度和锥度
定义：斜度是指直线或平面对另一直线或平面倾斜的程度，一般以直角三角形的两直角边的比值来表示.
a)
3等分
25
25
b)
c)
圆弧连接
1. 圆弧连接的基本关系
R2=R1-R
作半径为R的圆弧与已知直线相切
R2=R1+R
画半径为R的圆弧与已知圆弧 R1外切
画半径为R的圆弧与已知圆弧R1内切
2. 圆弧连接作图举例
圆弧连接作图举例
圆弧连接作图举例
椭圆
椭圆的作图：已知长、短轴半径—四心法
E
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加深的具体步骤如下:
(1) 加深图中的全部细线，一次性绘出标题栏、剖面线、尺寸界线、尺寸线及箭头等.
(2) 加粗圆弧。圆弧与圆弧相接时应顺次进行. (3) 用丁字尺从上至下加粗水平直线，到图纸最下方后应刷
去图中的碳粉，并擦净丁字尺. (4) 用三角板与丁字尺配合，从左至右加粗垂直方向的直线，
(1) 绘图纸边界线，图框线和标题栏框线.
(23456) 布画图已中连检绘知间接查重线. 要段的基准线、轴线、中心线等
以钓钩为例
15
20
40
6
R=15+32
第三阶段：加深、完成全图

尺规作图(一)

(15). 已知线a，b，求作线段x = a2 b2； (16). 已知线a，b，求作线段x = a2 b2 (a b)..
五、解作图题的步骤
1. 分析：找作图的线索； 2. 作法：利用公法和成法说明作图过程； 3. 证明：证明所作图形满足条件； 4. 讨论：讨论图形的多寡、定位与否，已知
条件对图形的影响.
(9). 已知弓形的弦长和其内接角，求作弓形弧；
(10). 分一定线段成若干等分； (11). 内分、外分一定线段成已知比(正有理数、
部分特殊无理数)； (12). 作三已知线段的第四比例项(a:b = c:x) ；
(13). 作二已知线段的第三比例项(a:b = b:x)； (14). 作二已知线段的比例中项 (a:x = x:b) ；
尺规作图（一）
作图题：根据已知条件，做出具备此条件的图形.
一、作图题的地位和作用：
1. 它是几何学的根基； 2. 它是理论和实际的具体体现； 3. 它是学习其它学科的理论基础；
（如画法几何、绘图学） 4. 它是培养学生逻辑思维能力的重要手段.
二、作图可能、不可能问题：
1. 仅用直尺和圆规经过有限次运用能够作出的图形，称为尺规作图可能问题； 2. 仅用直尺和圆规经过有限次运用不能够作出的图形，称为尺规作图不能问题(或不可作问题); 3. 古代三大尺规作图不能问题：
三等分任意角，化圆为方，倍立方；
三、定位作图与不定位作图
1.定位作图：必须在指定位置作出图形；如：求作圆周使其与定圆和定直线相切； 2.不定位作图：所作图形只要满足条件即可，对其位置没有要求；如：求作定圆内的最长弦；注：不定位作图中，满足条件的彼此合同的图形
只算作一个解.
四、公法与成法

初中尺规作图总结

2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角 .
利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差 . 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1. 用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交
则线段 AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=N（O即 O是 MN的中点） . 作法：（１）分别以 M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；（２）连接 PQ交 MN于 O．则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。（试问： PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠ AOB，求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠ AOB）。作法：（1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，
题时，保留作图痕迹很重要 . 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本
规作图 , 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段；
2 、作一个角等于已知角； 3 、作已知线段的垂直平分线； 4 、作已知角的角平分线； 5 、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 作法：（ 1）作射线 AP；（ 2）在射线 AP上截取 AB=a .
图（ 2）
图（ 3）
正解如图（ 3）．（1）作直线 PQ，在直线 PQ上任取一点 D，作 DM⊥ PQ；（2）在 DM上截取线段 DA=h；

数学人教版九年级下册专题学习：尺规作图(一)

变式应用：

已知ΔABC，求作一点，使点P到AB，AC 的距离相等，且到边AC的两端点距离相等。
A
B
C
课堂研学：

例2、已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：ʘO，使得ʘO经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作ʘO的切线．
当堂练学：
• 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．ABC • （1）求∠ADE；（直接写出结果） • （2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
A
B
C
解析：
• • • • • • • 解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线， ∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC==4， ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE， ∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．
预习导学：

初中数学5个基本尺规作图方法： 1.作一个角等于已知角。 2.作已知角的角平分线。 3.做已知线段的垂直平分线。 4.过一点作已知直线的垂线。 5.过直线外一点做已知直线的平行线。
课堂研学：

例1、(2013 年甘肃兰州)如图 6-3-3，两条公路 OA 和 OB相交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P 到两条公路 OA，OB 的距离相等，且到两工厂 C，D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)．

用尺规作图的方法

用尺规作图的方法
使用尺规作图的方法通常是指使用直尺和圆规来绘制几何图形。

下面是一些常见的尺规作图方法：
1. 画直线：使用直尺将两点连接起来，得到直线段。

2. 作等分线段：给定一条线段AB，使用直尺从A点和B点分别向外画出等长的线段AC和BD，然后使用圆规以AC为半径或以BD为半径在A点或B点上作圆弧，两个圆弧的交点C即为原线段AB的中点。

3. 作平行线：给定一条直线AB和一点C，使用尺规方法如下：
a. 以C为中心，任意取一条长度大于AC的线段CD；
b. 使用圆规以C为中心，以线段CD的长度作圆弧，在直线AB上作出EF 两个交点；
c. 使用直尺连接线段EF，得到平行于直线AB的直线。

4. 作垂直线：给定一条直线AB和一点C，使用尺规方法如下：
a. 使用直尺连接点C与直线AB上的任意一点D；
b. 以点D为中心，调整圆规的宽度，绘制一个圆弧，与直线AB相交于E 和F两个点；
c. 使用直尺连接点C和点E或F，得到垂直于直线AB的直线。

5. 作角的平分线：给定一个角ACB，使用尺规方法如下：
a. 以点C为中心，绘制一个圆弧，与直线CA和CB分别相交于D和E两个点；
b. 以点D和E为中心，调整圆规的宽度，分别绘制两个圆弧，使得两个圆弧相交于F；
c. 使用尺子连接点C和F，得到角ACB的平分线。

需要注意的是，尺规作图方法不能解决所有的几何问题，只能在一些特定的条件下使用。

同时，尺规作图的精度也受到直尺和圆规的限制，因此绘制出的图形可能会有一定的误差。

在实际应用中，还需要结合其他几何工具和方法来进行精确的绘图。

尺规作图九种基本作图

aM 尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN.求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 21的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ；（２）连接PQ 交MN 于O ．则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。

作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN 21的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

③②①PBBA P （4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ；（3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’；（4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’；（5）连接O ’N ’并延长到B ’。

则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。

初中尺规作图基本方法

初中尺规作图基本方法
尺规作图是绘制平面几何图形的一种重要方法，初中阶段主要涉及到以下四种基本作图：
1. 线段作图：给出一条直线段AB，要求在这个线段上取一点P，使AP：PB=2:3。

（具体方法：先作出线段AB，然后以A 为圆心，以AB 为半径画一个圆，再以B 为圆心，以BA 为半径画一个圆，两圆交点记为P，连接AP、PB即可）
2. 直角三角形作图：给定一个直角三角形，要求在某一边上取一点，使该点到此边的距离为另一条直角边的一半。

（具体方法：先作出直角三角形ABC，然后以AB 为直径画一个半圆，半圆上一点记为D，连接BD，把BD 延长至E，使BE=BD，连接CE，设置长为BE 的尺子，从点C 开始，把尺子逐步向E 滑动，途中记录一点F，使CF=BE，连接AF，即为所求点）
3. 等边三角形作图：给定一条直线段AB，要求在这个线段上取一点P，使三角形PAB 为等边三角形。

（具体方法：先作出线段AB，然后以A 为圆心，以AB 为半径画一个圆，再以B 为圆心，以BA 为半径画一个圆，两圆交点分别记为P、Q，连接PQ，以PQ 为边取一等边三角形PQR，PQ 与AB 的交点即为所求点）
4. 正方形作图：给定一条直线段AB，要求在这个线段上取一点P，使PABQ 为
正方形。

（具体方法：先作出线段AB，然后以A 为圆心，以AB 为半径画一个圆，再以B 为圆心，以BA 为半径画一个圆，两圆交点分别记为P、Q，连接PQ，将PQ 延长至R，使PR=AB，连接AR、BR，即可得到正方形PABQ）。

实用文库汇编之尺规作图九种基本作图

aM*作者：角狂风*作品编号：1547510232155GZ579202 创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

③②①PB（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ；（3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’；（4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’；（5）连接O ’N ’并延长到B ’。

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