二次函数的性质

初三数学

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二次函数

二次函数的图象及性质（学案）

一.知识巩固:

1.什么样的函数是一次函数?它有哪些性质?

2.什么样的函数是反比例函数?它有哪些性质?

二.新课学习:

㈠二次函数:

观察思考1: 写出下列关系的解析式能将所列函数式概括出一个基本形式吗?

⑴现有一组数列:2, 5, 10, 17,…… . 那么第n个数y与n的函数关系为______________.

⑵有n支球队进行单循环比赛,总比赛场次m与n的关系式为______________.

⑶某工厂一种产品现在的年产量是20万件,计划今后两年增加产量.如果每年的产量都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y(万件)与x的关系为______________________.

1.定义: 一般地,形如y= ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫二次函数.某中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

注意:①二次函数是一个关于自变量的二次整式; ②含自变量x的项的最高次数是2，若当一个二次函数包含一个次数大于2的项，那么这个项的系数必为0; ③定义是用象形的手段来定义的,式子中的x、y 可代表代数式。如y＋2＝k（x＋1）2＋x是指y＋2是关于x＋1 的二次函数。

2.二次函数的图像及性质:

实践与观察1: 在同一坐标系中,画出函数y=x2 , y=2x2, y =x2 , y= x2 +1, y=x2 -1 , y= －

x2 ,

y=－2x2, y = －x2 , y= －x2 +1, y=－x2－1 的图象. 从中你会发现什么规

律

y=2x

y= x

y=x

y1

2

0x

y

1234

-1

-2

-3

-4

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y y=x -1

y=x +1

y=x

y

0x

y

1234

-1

-2

-3

-4

2

3

4

-1

-2

-3

-4

1

x

y

二次函数的性质:

1.二次函数的图象是一条抛物线.

2.当a＞0时,抛物线的开口______,顶点是抛物线的___点; 当a＜0时,抛物线的开口____,顶点是抛物

线的____点. | a | 越大,抛物线的开口越_____.

3.二次函数y= ax2的图象关于y轴对称, 顶点坐标是(0,0)

4.二次函数y=ax2+b (a≠0)的图象关于y轴对称, 顶点坐标为( 0, b) ;抛物线y=ax2 +b是抛物线y=ax2向上(下)平移| b |个单位长度得到的.

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5. 抛物线y= ax 2 +b (a≠0)与抛物线y= - (ax 2 +b) = -ax 2 -b 关于x 轴对称. 实践与观察2: 分别在两个坐标系中,画出y= x 2 , y =

(x+1)2 , y =

(x-1)2 ,

及y=

x 2 , y =

(x －1)2 +1, y =

(x ＋2)2 -1, 这两组图象,考虑它们的开口方向、对

称轴和顶点坐标以及图象之间的关系。

二次函数的性质：

1.抛物线y=ax 2 +c . y=a(x-h)2 . y=a(x-h)2 +k 与y= ax 2 形状______.开口方向______,顶点坐标和对称轴_______.并可通过上下左右平移抛物线y=ax 2 而得到其它抛物线.

2.抛物线 y=a(x-h)2 +k 有如下特征:⑴当a ＞0时,开口_____,函数有_____值, 当a ＜0时,开口_______,函数有_____值. ⑵对称轴是平行于__轴的直线x=h,⑶顶点坐标是( __ , ___) .

练习:

说出下列抛物线的开口方向、对称轴、及顶点坐标。并指出当此图象的顶点平移到顶点时的抛物线解析式，求出函数的极值。

⑴ y ＝2(x+3)2+5 ⑵ y= -3(x-1)2 -2 ⑶ y = 4(x-3)2+7 ⑷ y = -5( x+2)2 -6

例1. 已知y= (m 2 -1)x 2 +(m+1)x+5是关于x 的函数, ⑴当m 为何值时,此函数是二次函数.⑵当m 为何值时,此函数是一次函数.

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例2. 将抛物线y= 2( x+1)2 -3向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得抛物线的表达式为____________________.

例3. 要建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装 一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的很抛

1m 处达到最高. 高度为3m.水柱落地处离池中心3m , 水管应多长?

课后精练

⑴ m 为何值时，y=mx m - 2m -1 是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 增大而减小。

⑵ 函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x －3交于点（1，b ），求 ① a 和b 的值

②求抛物线y=ax 2的解析式。并求顶点坐标和对称轴 ③x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大 ④求抛物线与直线y=－2的两交点及顶点所构成的三角形的面积

⑶ 如图，直线 过A （4，0）和B （0，4）两点，它与二次函数y=ax 2 的 图象在第一象限内相交于P 点，若 △ AOP 的面积为4.5, 求二次函数的解析式.

⑷ 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.,①在图中所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式;②在正常水位的基础上,当水位上升h(m)时,桥 下水面的宽度为d(m),求出将d 表示为h 的函数解析式;③设正常水位时,桥 下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行.