第6讲—期望效用和随机占优

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6.5 若干典型期望效用函数
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6.6 随机占优的概念
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第六讲 von NeumannMorgenstern 期望效用函数
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6.1 “圣彼德堡悖论”的讨论
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概率论的早期历史
1713 年发表《猜 度术 (Ars Conjectandi)》。这 是当时最重要、最 有原创性的概率论 著作。由此引起所 谓“圣彼德堡悖论” 问题。
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“圣彼德堡悖论”的金融学含义
“倍赌策略”是一种“套利策略”。在一个有 等价概率鞅测度的“二叉树”“存贷－赌博” 市场上，采用“倍赌策略”，如果允许无限 借贷和无限次赌博，那么其“赢钱概率”为 1。 它可以作为某些股票在一定时期内会“疯涨” 的理由。
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结为函 数 u 的凸性的 比较。它的程 度可用 –u’’/u’ 来度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
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期望效用函数
1944 年在巨著 《对策论与经济行 为》中用数学公理 化方法提出期望效 用函数。这是经济 学中首次严格定义 风险。
Oskar Morgenstern (1902-1977)
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John von Neumann (1903-1957)
Daniel Kahneman, (1934-) 2002 年诺贝 尔经济学奖获得者
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Kahneman 诺贝尔演说的问题
问题 1. 假设有一场这样的赌博：你赢 150 元 的概率是 50%, 而你输 100 元的概率也是 50%. 你能接受这样的赌博吗？如果你身边的钱少 于 100 元，你是否会改变你的决定？ 调查结果是：除非把所赢的钱提高到 200 元 以上，绝大多数的人都不接受这样的赌博， 只有少数人接受这样的赌博。但对于后一种 情况，所有人都不接受。
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一个简化的公理体系
公理 1 “不确定利益”是随机变量所构成的一 个集合 L ，并且对于任何两个“不确定利益” x,y 来说，“以概率 p 获得 x,以概率 1-p 获 得 y” 也是“不确定利益”。这一“不确定利 益”可称为 x 以概率 p 与 y 的“平均”，并 记为(x,y;p). 公理 2 任何两个“不确定利益”都可比较好坏。 公理 3 “不确定利益”中有一个最好的以及一个 最差的。
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Kahneman 诺贝尔演说的问题
问题 2. 现在有这样两种情况：一种情况是肯 定损失 100 元；另一种情况是参加这样的赌 博：你赢 50 元的概率是 50%, 而你输 200 元 的概率也是 50%. 对于这样的两种情况你选择 哪一种？如果你身边的钱多于 100 元，你是 否会改变你的决定？ 调查结果是绝大多数的人选择赌博，即使身 边有多于 100 元的钱也并没有多大影响。
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Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。
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6.3 Allais 悖论和 Kahneman-Tversky 的研究
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6.4 Arrow--Pratt 风险厌恶度量
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有风险与无风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的 利益比较就是比较 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中 性 (不在乎)；一般取 <，表示对风险厌恶。 取 > 表示对风险爱好。 把 u 理解为“定价”，这就是“非线性 定价”与“P-F 线性定价”之间的比较。
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一个简化的公理体系 (续)
公理 4 如果有三个“不确定利益”一个比 一个好，那么处于中间的 “不确定利益” 相当于另外两个“不确定利益”的对某个 概率的“平均” 。反之，两个“不确定利 益”的对某个概率的“平均” 的好坏必处 于两者之间。 假定 b “最好”，w “最坏”。那么任何 x 一 定相当于 b 关于概率 p 与 w 的“平均”。 取 u(x)=p, 即得所求期望效用函数。
Jacob Bernoulli (1654-1705)
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“圣彼德堡悖论”问题
有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，……一般情形为前 n-1 次 n1 输，第 n 次赢得 2 元。问：应先付多 少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！
用期望效用函数来刻划风险
所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集 合上的函数，它在一个随机变量上的取值等 于它作为数值函数在该随机变量上取值的数 学期望。用它来判断有风险的利益，那就是 比较“钱的函数的数学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
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“圣彼德堡悖论”
1738 年发表《对机遇性 赌博的分析》提出解决 “圣彼德堡悖论”的“风 险度量新理论”。指出用 “钱的数学期望”来作为 决策函数不妥。应该用 “钱的函数的数学期望”。
Daniel Bernoulli （1700-1782)
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6.2 von Neumann--Morgenstern 期望效用函数的公理化陈述
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期望效用函数的争论
期望效用函数似乎是相当人 为、相当主观的概念。一开 始就受到许多批评。其中最 著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 由此引起许多非期望效用函 数的研究，涉及许多古怪的 数学。但都不很成功。
Kahneman-Tversky 理论
Kahneman 与 Amos Tversky, (1937-1996) 两位心理学家于 1979 年发表的论文“展望理论 (Prospect Theory)”已成为《计 量经济学 (Econometrica)》有 史以来被引证最多的经典。他 们企图改变期望效用函数理论 框架。